[SGK Toán Lớp 7 Kết nối tri thức] Bài 32. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Bài học này tập trung vào quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên trong hình học phẳng, một khái niệm quan trọng trong chương trình toán học lớp 7. Mục tiêu chính là giúp học sinh hiểu được định nghĩa, tính chất và các định lý liên quan đến đường vuông góc và đường xiên từ đó vận dụng vào giải quyết các bài tập hình học. Bài học sẽ cung cấp cho học sinh những công cụ cần thiết để phân tích hình học và nhận biết các quan hệ trong hình học.
2. Kiến thức và kỹ năngHọc sinh sẽ được học:
Khái niệm đường vuông góc, đường xiên: Định nghĩa, phân biệt giữa đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm đến một đường thẳng. Định lý về đường vuông góc và đường xiên: Nắm vững các định lý về mối quan hệ giữa khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (đường vuông góc) và độ dài các đoạn thẳng khác (đường xiên). So sánh độ dài đường vuông góc và đường xiên: Biết cách so sánh độ dài của đường vuông góc và đường xiên từ một điểm đến một đường thẳng. Vận dụng các định lý vào giải bài toán: Áp dụng các định lý đã học để giải quyết các bài toán về đường vuông góc và đường xiên. Phát triển kỹ năng vẽ hình: Nắm vững cách vẽ đường vuông góc, đường xiên và sử dụng các dụng cụ vẽ hình. Kỹ năng phân tích: Học sinh sẽ học cách phân tích hình vẽ và nhận ra các quan hệ giữa các đoạn thẳng. 3. Phương pháp tiếp cậnBài học sẽ được tổ chức theo phương pháp kết hợp giữa lý thuyết và thực hành.
Giảng giải lý thuyết: Giáo viên sẽ trình bày các định nghĩa, định lý, tính chất một cách rõ ràng và dễ hiểu. Ví dụ minh họa: Các ví dụ cụ thể sẽ được đưa ra để minh họa các kiến thức lý thuyết. Bài tập thực hành: Học sinh sẽ được làm các bài tập để củng cố kiến thức. Bài tập sẽ được phân loại từ dễ đến khó để phù hợp với trình độ học sinh. Thảo luận nhóm: Giáo viên khuyến khích thảo luận nhóm để học sinh cùng nhau giải quyết các bài toán và chia sẻ kinh nghiệm. Sử dụng đồ dùng dạy học: Sử dụng hình ảnh, sơ đồ minh họa để làm rõ các khái niệm trừu tượng. 4. Ứng dụng thực tếKiến thức về quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên có nhiều ứng dụng trong thực tế:
Xây dựng:
Ví dụ trong việc đo đạc, xây dựng các công trình.
Đo lường:
Trong việc đo khoảng cách.
Kỹ thuật:
Trong thiết kế các chi tiết máy móc.
Đời sống hàng ngày:
Ví dụ, tìm điểm gần nhất trên đường phố để đi đến nhà.
Bài học này là nền tảng cho các bài học tiếp theo về hình học phẳng, bao gồm các bài học về tam giác, hình thang, hình tròn. Nắm vững kiến thức về quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên sẽ giúp học sinh hiểu rõ hơn về hình học.
6. Hướng dẫn học tập Đọc kỹ bài:
Đọc kĩ nội dung bài học, ghi chép lại các định lý, định nghĩa quan trọng.
Làm bài tập:
Thực hành giải các bài tập từ dễ đến khó.
Vẽ hình chính xác:
Cẩn thận vẽ các hình minh họa để phân tích vấn đề.
Tìm kiếm thêm ví dụ:
Tự tìm kiếm các ví dụ về ứng dụng của đường vuông góc và đường xiên trong thực tế.
Làm việc nhóm:
Thảo luận với bạn bè để cùng nhau giải quyết các bài tập khó.
* Hỏi đáp với giáo viên:
Nếu gặp khó khăn, hãy hỏi giáo viên để được giải đáp thắc mắc.
1. Đường vuông góc
2. Đường xiên
3. Hình học phẳng
4. Định lý
5. Khoảng cách
6. Điểm
7. Đường thẳng
8. So sánh
9. Độ dài
10. Tam giác
11. Hình học
12. Bài tập
13. Toán lớp 7
14. Vẽ hình
15. Ứng dụng
16. Thực tế
17. Xây dựng
18. Đo lường
19. Kỹ thuật
20. Thiết kế
21. Phân tích
22. Giải bài toán
23. Giảng giải
24. Minh họa
25. Thảo luận
26. Nhóm
27. Đồ dùng dạy học
28. Sơ đồ
29. Hình ảnh
30. Khái niệm
31. Định nghĩa
32. Tính chất
33. Vận dụng
34. Củng cố
35. Trình độ
36. Phân loại
37. Bài tập hình học
38. Đường thẳng
39. Điểm trên đường thẳng
40. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
1. Khái niệm về đường vuông góc, đường xiên và hình chiếu của đường xiên
Từ \(A\) không nằm trên \(d\), kẻ một đường thẳng vuông góc với \(d\) tại \(H\). Trên \(d\) lấy điểm \(B\) không trùng với \(H\). Khi đó:
+ Đoạn \(AH\) gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ \(A\) đến \(d\).
+ Đoạn \(AB\) gọi là đường xiên kẻ từ \(A\) đến \(d\)
+ Đoạn \(HB\) gọi là hình chiếu của đường xiên \(AB\) lên đường thẳng \(d\).
2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Định lý 1: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
3. Quan hệ giữa các đường xiên và hình chiếu của chúng
Định lý 2: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó;
a) Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
b) Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn
c) Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
4. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Chỉ ra hai đường xiên bằng nhau hoặc hai hình chiếu bằng nhau
Phương pháp:
Ta sử dụng: “Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó: nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau; nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.”
Dạng 2: So sánh hai đường xiên hoặc hai hình chiếu
Phương pháp:
Ta sử dụng định lý:
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:
+ Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
+ Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn
+ Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau; nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
Dạng 3: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Phương pháp:
Ta sử dụng định lý:
Trong các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên.
Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A. Hai điểm M, N theo thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC ( M,N không phải là đỉnh của tam giác) (H. 9.13) . Chứng minh rằng MN < BC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
+ Góc tù là góc lớn nhất trong tam giác
+ Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất
Lời giải chi tiết
Ta có: Góc NMB là góc ngoài tại đỉnh M của tam giác AMN nên góc NMB là góc tù.
Góc BNC là góc ngoài tại đỉnh N của tam giác ABN nên góc BNC là góc tù.
Xét tam giác MNB có góc NMB là góc tù nên là góc lớn nhất trong tam giác. Cạnh NB đối diện với góc NMB nên là cạnh lớn nhất trong tam giác. Ta được NM < NB.(1)
Xét tam giác CNB có góc BNC là góc tù nên là góc lớn nhất trong tam giác. Cạnh CB đối diện với góc BNC nên là cạnh lớn nhất trong tam giác. Ta được NB < CB.(2)
Từ (1) và (2) ta được NM < CB.
Vậy MN < BC.
Đề bài
Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Lấy điểm M tùy ý nằm giữa B và C. ( H. 9.12)
a) Khi M thay đổi thì độ dài AM thay đổi. Xác định vị trí của điểm M để độ dài AM nhỏ nhất.
b) Chứng minh rằng với mọi điểm M thì AM < AB
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định lí:
+ Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ 1 điểm nằm ngoài 1 đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.
+ Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất.
Lời giải chi tiết
Kẻ AH BC.
a) Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ A điểm nằm ngoài đường thẳng BC đến đường thẳng BC thì đường vuông góc là đường ngắn nhất nên AM ngắn nhất khi M trùng H hay M là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC.
b) Cách 1:
+) Khi M trùng H thì AH < AB ( đường vuông góc luôn nhỏ hơn đường xiên)
+) Khi M nằm giữa B và H
Góc AMB là góc ngoài tại đỉnh M của tam giác AHM nên \(\widehat{AMB}>\widehat{AHM}= 90^0\) nên \(\widehat{AMB}\) là góc tù nên là góc lớn nhất trong tam giác ABM.
Trong tam giác ABM, cạnh AB đối diện với góc lớn nhất nên cạnh AB lớn nhất (định lí). Do đó AM < AB.
+) Khi M nằm giữa C và H
Góc AMC là góc ngoài tại đỉnh M của tam giác AHM nên \(\widehat{AMC}>\widehat{AHM}= 90^0\) nên \(\widehat{AMC}\) là góc tù nên là góc lớn nhất trong tam giác ACM
Trong tam giác ACM, cạnh AC đối diện với góc lớn nhất nên cạnh AC lớn nhất (định lí). Do đó AM < AC.
Mà AB = AC (gt)
\(\Rightarrow \) AM < AB
Vậy AM < AB
Cách 2:
Theo thử thách nhỏ trang 64, khi M thay đổi trên BC, M càng xa H thì AM càng lớn lên. Tuy nhiên, M nằm giữa B và C nên AM không vượt quá AB. Như vậy, AM < AB
Đề bài
Cho hình vuông ABCD. Hỏi trong bốn đỉnh của hình vuông
a) Đỉnh nào cách đều hai điểm A và C?
b) Đỉnh nào cách đều hai đường thẳng AB và AD?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Tìm đỉnh cách đều hai điểm A và C
b) Tìm đỉnh mà đường vuông góc kẻ từ đỉnh đó xuống hai đường thẳng AB và AD bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA ( tính chất)
a) Ta có: +) BA = BC nên đỉnh B cách đều hai điểm A và C
+) DA = DC nên đỉnh D cách đều hai điểm A và C
Vậy đỉnh B và D cách đều hai điểm A và C
b) +) Vì CB = CD nên khoảng cách từ C đến 2 đường thẳng AB và AD bằng nhau. Do đó đỉnh C cách đều 2 đường thẳng AB và AD.
+) Khoảng cách từ A đến AB bằng khoảng cách từ A đến AD ( bằng 0) nên A cách đều hai đường thẳng AB và AD.
Vậy đỉnh C và đỉnh A cách đều hai đường thẳng AB và AD.
Đề bài
Chiều cao của tam giác ứng với một cạnh của nó có phải là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đó không?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Độ dài của đường vuông góc kẻ từ 1 điểm đến 1 đường thẳng là khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng.
Lời giải chi tiết
Có vì chiều cao của tam giác ứng với một cạnh là đường vuông góc kẻ từ đỉnh đến cạnh đối diện nên là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đối diện.
HĐ
Cho điểm A không nằm trên đường thẳng d.
a) Hãy vẽ đường vuông góc AH và một đường xiên AM từ A đến d.
b) Em hãy giải thích vì sao AH < AM
Phương pháp giải:
Áp dụng: Trong 1 tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
Lời giải chi tiết:
a)
b) Trong tam giác AHM có \(\widehat {AHM} = 90^\circ \) nên là góc lớn nhất trong tam giác.
Cạnh AM đối diện với góc AHM nên là cạnh lớn nhất ( trong 1 tam giác, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất)
\( \Rightarrow AM > AH\)
Vậy AH < AM
Luyện tập
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 2 cm, M là một điểm trên cạnh BC như Hình 9.10
a) Hãy chỉ ra các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng BC.
b) So sánh hai đoạn thẳng AB và AM.
c) Tìm khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB.
Phương pháp giải:
Sử dụng định lí: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ 1 điểm nằm ngoài 1 đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Lời giải chi tiết:
a) Đường vuông góc kẻ từ A đến BC là: AB
Đường xiên kẻ từ A đến BC là: AM
b) AB < AM (Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ 1 điểm nằm ngoài 1 đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.)
c) Vì CB \( \bot \) AB nên khoảng cách từ C đến AB là độ dài CB = 2 cm
Vận dụng
Tình huống mở đầu
Bạn Nam tập bơi ở một bể bơi hình chữ nhật, trong đó có ba đường bơi OA, OB, OC. Biết rằng OA vuông góc với cạnh của bể bơi (H.9.8)
Nếu xuất phát từ điểm O và bơi cùng tốc độ, để bơi sang bờ bên kia nhanh nhất thì bạn Nam nên chọn đường bơi nào?
Phương pháp giải:
Sử dụng định lí: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ 1 điểm nằm ngoài 1 đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Lời giải chi tiết:
Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ O đến bờ bên kia của bể bơi thì OA là đường vuôn góc nên ngắn nhất ( Định lí)
Thử thách nhỏ
a) Quan sát hình 9.11, ta thấy khi M thay đổi trên d, M càng xa H thì AM càng lớn lên, tức là nếu HM < HN thì AM < AN. Hãy chứng minh khẳng định này nhờ quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác AMN.
b) Xét hình vuông ABCD và một điểm M tùy ý nằm trên các cạnh của hình vuông. Hỏi với vị trí nào của M thì AM lớn nhất? Vì sao?
Phương pháp giải:
Sử dụng định lí: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất.
Lời giải chi tiết:
+) TH1:
M nằm giữa H và N:
Vì góc AMN là góc ngoài tại đỉnh M của tam giác AHM nên \(\widehat{AMN} = \widehat{MAH} + \widehat{AHM} > \widehat{AHM} = 90^0\) hay \(\widehat{AMN}\) là góc tù.
Xét tam giác AMN có \(\widehat{AMN}\) là góc tù nên là góc lớn nhất trong tam giác. Cạnh AN đối diện với \(\widehat{AMN}\) nên là cạnh lớn nhất trong tam giác (định lí)
Vậy AM < AN
+) TH2:
H nằm giữa M và N:
Lấy điểm M’ trên d sao cho HM’ = HM. Ta được AH là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ nên AM = AM’ ( tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)
Hơn nữa, AM’ < AN ( theo trường hợp 1)
AM < AN
Vậy AM < AN.
b)
Theo câu a, khi M thay đổi trên BC, M càng xa B thì AM càng lớn. Khi M trùng C thì M xa B nhất nên khi đó AM là lớn nhất.
Khái niệm về đường vuông góc và đường xiên
Từ \(A\) không nằm trên \(d\), kẻ một đường thẳng vuông góc với \(d\) tại \(H\). Trên \(d\) lấy điểm \(B\) không trùng với \(H\). Khi đó:
+ Đoạn \(AH\) gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ \(A\) đến \(d\).
+ Đoạn \(AB\) gọi là đường xiên kẻ từ \(A\) đến \(d\)
So sánh đường vuông góc và đường xiên
Định lý: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Chú ý: + Độ dài đoạn thẳng AH là ngắn nhất trong các đoạn thẳng kẻ từ A đến d nên độ dài đoạn thẳng AH được gọi là khoảng cách từ A đến đường thẳng d.
+ Khi điểm A nằm trên đường thẳng d, ta coi khoảng cách từ A đến d bằng 0.
Giải bài tập những môn khác
Môn Toán học Lớp 7
Môn Ngữ văn Lớp 7
Môn Khoa học tự nhiên Lớp 7
Môn Tiếng Anh Lớp 7
Môn Lịch sử và Địa lí Lớp 7
Lời giải và bài tập Lớp 7 đang được quan tâm
