SGK Toán Lớp 7 Kết nối tri thức

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SGK Toán Lớp 7 Kết nối tri thức] Bài 16. Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

Bài 16. Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

Tổng quan về bài học

Bài học này sẽ giới thiệu cho các em về khái niệm tam giác cân, các tính chất đặc trưng của tam giác cân, cũng như khái niệm đường trung trực của một đoạn thẳng và mối liên hệ giữa đường trung trực và tam giác cân.

Mục tiêu chính của bài học là giúp các em:

Nắm vững định nghĩa, tính chất của tam giác cân, phân biệt được tam giác cân với các loại tam giác khác. Hiểu rõ khái niệm đường trung trực của một đoạn thẳng, cách xác định đường trung trực. Nắm vững mối liên hệ giữa đường trung trực và tam giác cân, từ đó vận dụng vào giải quyết các bài toán liên quan.
Kiến thức và kỹ năng

Bài học này sẽ cung cấp cho các em những kiến thức và kỹ năng sau:

Kiến thức:
Khái niệm tam giác cân, các loại tam giác cân.
Tính chất của tam giác cân: hai góc ở đáy bằng nhau, hai cạnh bên bằng nhau.
Khái niệm đường trung trực của một đoạn thẳng.
Tính chất của đường trung trực: mọi điểm thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
Mối liên hệ giữa đường trung trực và tam giác cân: đường trung trực của một cạnh trong tam giác cân đồng thời là đường phân giác của góc đỉnh đối diện với cạnh đó.
Kỹ năng:
Nhận biết và phân loại các loại tam giác cân.
Vận dụng tính chất của tam giác cân để giải quyết các bài toán.
Xác định đường trung trực của một đoạn thẳng.
Vận dụng mối liên hệ giữa đường trung trực và tam giác cân để giải quyết các bài toán.

Phương pháp tiếp cận

Bài học được tổ chức theo phương pháp gợi mở và tích cực, giúp các em chủ động trong quá trình học tập.

Giáo viên sẽ đưa ra những ví dụ minh họa, hình ảnh trực quan để giúp các em dễ dàng hình dung khái niệm tam giác cân và đường trung trực. Các em sẽ được tham gia vào hoạt động thảo luận nhóm, giải quyết các bài tập thực hành để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng. Giáo viên sẽ hướng dẫn các em cách vận dụng kiến thức đã học vào giải quyết các bài toán thực tế.
Ứng dụng thực tế

Kiến thức về tam giác cân và đường trung trực có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

Xây dựng nhà cửa, cầu cống: kiến thức về tam giác cân giúp đảm bảo độ vững chắc cho các công trình xây dựng.
Thiết kế đồ dùng, trang trí: kiến thức về tam giác cân được ứng dụng trong việc thiết kế các vật dụng có tính đối xứng, đẹp mắt.
Xây dựng bản đồ, định vị: kiến thức về đường trung trực giúp xác định vị trí chính xác của các điểm trên bản đồ.

Kết nối với chương trình học

Bài học này có mối liên hệ chặt chẽ với các bài học trước, đặc biệt là kiến thức về tam giác, góc, đường thẳng. Kiến thức về tam giác cân và đường trung trực sẽ là nền tảng cho các bài học tiếp theo về tam giác vuông, tam giác đều.

Hướng dẫn học tập

Để học hiệu quả bài học này, các em nên:

Chuẩn bị đầy đủ dụng cụ học tập: sách giáo khoa, vở, bút, thước, compa. Tập trung nghe giảng, ghi chép đầy đủ những kiến thức trọng tâm. Tham gia tích cực vào hoạt động thảo luận nhóm, giải quyết các bài tập thực hành. Ôn tập lại kiến thức đã học thường xuyên để nhớ lâu. * Vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán thực tế để nâng cao kỹ năng. Bên cạnh việc học trên lớp, các em có thể tham khảo thêm tài liệu, video, bài tập online để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng.

Keywords:

Tam giác cân, đường trung trực, đoạn thẳng, tính chất, góc ở đáy, cạnh bên, cách đều, đường phân giác, ứng dụng thực tế, xây dựng, thiết kế, bản đồ, định vị, bài toán thực tế, hình học, lớp 7, toán học, học tập, giáo dục.

Đề bài

Cho tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a) Giả sử AM vuông góc với BC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

b) Giả sử AM là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh tam giác hai tam giác AMB và AMC bằng nhau suy ra tam giác ABC cân.

b) Từ M kẻ hai đường vuông góc với AC và AB từ đó chứng minh hai góc B và C bằng nhau.

Chứng minh hai tam giác AMB và AMC bằng nhau

Suy ra tam giác ABC cân

Lời giải chi tiết

Xét 2 tam giác vuông AMC và AMB có:

AM chung

BM=CM (gt)

Suy ra \(\Delta AMC = \Delta AMB\) (hai cạnh góc vuông)

Do đó AC=AB (2 cạnh tương ứng) nên tam giác ABC cân tại A

Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB)

MG vuông góc với AC (G thuộc AC)

Xét 2 tam giác vuông AHM và AGM có:

AM chung

\(\widehat {HAM} = \widehat {GAM}\) (do AM là tia phân giác của góc BAC)

Suy ra \(\Delta AHM = \Delta AGM\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó HM=GM (2 cạnh tương ứng)

Xét 2 tam giác vuông BHM và CGM có:

BM=CM (giả thiết)

MH=MG (chứng minh trên)

Suy ra \(\Delta BHM = \Delta CGM\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Do đó \(\widehat {HBM} = \widehat {GCM}\) (2 góc tương ứng)

Dẫn đến tam giác ABC cân tại A.

Đề bài

Trong Hình 4.70, đường thẳng nào là đường trung trực của đoạn thẳng AB?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Lời giải chi tiết

Quan sát hình 4.70 ta thấy đường thẳng m vuông góc với đoạn thẳng AB tại trung điểm của AB nên m là đường trung trực của AB.

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AD. Chứng minh rằng đường thẳng AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh 2 tam giác bằng nhau suy ra 2 cạnh tương ứng bằng nhau, 2 góc tương ứng bằng nhau

Chú ý: Hai góc kề bù bằng nhau thì mỗi góc bằng 90 độ

Lời giải chi tiết

Vì \(\Delta ABC\) cân tại A nên AB = AC.

Xét 2 tam giác vuông ADC và ADB có:

AD chung

AC=AB (cmt)

=>\(\Delta ADC = \Delta ADB\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

=>CD=BD (2 cạnh tương ứng)

=> D là trung điểm của BC.

Mà \(AD\bot BC\) tại D

Vậy AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Đề bài

Tam giác vuông có hai cạnh bằng nhau được gọi là tam giác vuông cân.

Hãy giải thích các khẳng định sau:

a) Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông;

b) Tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45°;

c) Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45° là tam giác vuông cân.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng tổng ba góc trong tam giác bằng 180 độ.

Lời giải chi tiết

a) Do tổng ba góc trong 1 tam giác bằng 180 độ nên tam giác không thể có 2 góc vuông

=> Tam giác vuông cân sẽ có 2 góc nhọn bằng nhau

=> Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông.

b) Giả sử hai góc nhọn trong tam giác vuông là x, ta có:

\(\begin{array}{l}x + x + {90^o} = {180^o}\\ \Rightarrow 2x = {90^o}\\ \Rightarrow x = {45^o}\end{array}\)

Vậy tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45°.

c) Gọi góc còn lại của tam giác vuông có 1 góc nhọn bằng 45° là x, ta có:

\(x + {45^o} + {90^o} = {180^o} \Rightarrow x = {45^o}\)

Vậy tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45° là tam giác vuông cân.

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh AM vuông góc với BC và AM là tia phân giác của góc BAC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh 2 tam giác AMC và AMB bằng nhau từ đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Xét 2 tam giác AMB và AMC có:

AM chung

AB=AC (do tam giác ABC cân tại A)

MB=MC (gt)

\(\Rightarrow\) \(\Delta AMB=\Delta AMC\) (c.c.c)

\(\Rightarrow\) \(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\)(2 góc tương ứng).

Mà tia AM nằm trong góc BAC

\(\Rightarrow\) AM là phân giác của góc BAC

Mặt khác: Do \(\Delta AMB=\Delta AMC\) nên \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\)(2 góc tương ứng) mà \(\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = {180^o}\)( 2 góc kề bù)

Nên: \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = {90^o}\).

Vậy AM vuông góc với BC.

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A và các điểm E, F lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB sao cho BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB (H.4.69). Chứng minh rằng BE = CF.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh 2 tam giác bằng nhau để suy ra 2 cạnh tương ứng bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Do tam giác ABC cân tại A nên: \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\)(tính chất tam giác cân)

Xét 2 tam giác vuông BFC và CEB:

\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\)

BC chung

=>\(\Delta BFC = \Delta CEB\)(cạnh huyền – góc nhọn)

=>\(CF=BE\) (2 cạnh tương ứng).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ 3 Câu hỏi HĐ 4 Luyện tập 2

HĐ 3

Đánh dấu hai điểm A và B nằm trên hai mép tờ giấy A4, nối A và B để được đoạn thẳng AB.

Gấp mảnh giấy lại như Hình 4.63 sao cho vị trí các điểm A và B trùng nhau. Mở mảnh giấy ra, kẻ một đường thẳng d theo nếp gấp.

a) Gọi O là giao điểm của đường thẳng d và AB. O có là trung điểm của đoạn thẳng AB không?

b) Dùng thước đo góc, kiểm tra đường thẳng d có vuông góc với AB không?

Phương pháp giải:

Dùng thước đo kiểm tra.

Lời giải chi tiết:

a) O có là trung điểm của đoạn thẳng AB

b) Dùng thước đo góc ta thấy d có vuông góc với AB.

Câu hỏi

Trong Hình 4.64, bạn Lan vẽ đường trung trực của các đoạn thẳng. Theo em, hình nào Lan vẽ đúng?

Phương pháp giải:

Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó

Lời giải chi tiết:

Do: Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó

Nên hình a) Lan vẽ đúng.

HĐ 4

Trên mảnh giấy trong HĐ3, lấy điểm M bất kì trên đường thẳng d. Dùng thước thẳng có vạch chia kiểm tra xem AM có bằng BM không (H.4.65).

Phương pháp giải:

Dùng thước kiểm tra

Lời giải chi tiết:

Lấy điểm M bất kì trên đường thẳng d dùng thước kiểm tra ta thấy AM bằng BM.

Luyện tập 2

Cho M là một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Biết AM = 3 cm và \(\widehat {MAB}\)= 60° (H.4.67). Tính BM và số đo góc MBA.

Phương pháp giải:

Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Vì M là một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên MA=MB=3cm.

\(\Rightarrow\) Tam giác MAB cân tại M.

\(\Rightarrow\) \(\widehat {MAB} = \widehat {MBA} = {60^o}\).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Câu hỏi HĐ 1 HĐ 2 Luyện tập 1 TTN

Câu hỏi

Hãy nêu tên tất cả các tam giác cân trong Hình 4.59. Với mỗi tam cân đó, hãy nêu tên cạnh bên, cạnh đáy, góc ở đỉnh, góc ở đáy của chúng.

Phương pháp giải:

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. Hai cạnh bằng nhau đó gọi là 2 cạnh bên, cạnh còn lại của tam giác gọi là cạnh đáy.

Lời giải chi tiết:

+) Tam giác ABD cân tại đỉnh A có:

AB, AD là 2 cạnh bên

BD là cạnh đáy

\(\widehat B,\widehat D\) là 2 góc ở đáy

\(\widehat A\) là góc ở đỉnh

+) Tam giác ADC cân tại A có:

AC, AD là 2 cạnh bên

DC là cạnh đáy

\(\widehat C,\widehat D\) là 2 góc ở đáy

\(\widehat A\) là góc ở đỉnh

+) Tam giác ABC cân tại A có:

AB, AC là 2 cạnh bên

BC là cạnh đáy

\(\widehat C,\widehat B\) là 2 góc ở đáy

\(\widehat A\) là góc ở đỉnh

HĐ 1

Quan sát tam giác ABC cân tại A như Hình 4.60. Lấy D là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a) Chứng minh rằng \(\Delta \) ABD = \(\Delta \) ACD theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh.

b) Hai góc B và C của tam giác ABC có bằng nhau không?

Phương pháp giải:

a) Chứng minh ba cạnh của 2 tam giác trên bằng nhau

b) Từ câu a) suy ra 2 cặp góc tương ứng bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Xét hai tam giác ABD và ACD có:

AB=AC

AD chung

BD=DC

=>\(\Delta \)ABD = \(\Delta \)ACD (c.c.c)

b) Do \(\Delta \)ABD = \(\Delta \)ACD nên \(\widehat B = \widehat C\)( 2 góc tương ứng)

HĐ 2

Cho tam giác MNP có \(\widehat M = \widehat N\). Vẽ tia phân giác PK của tam giác \(MNP(K \in MN)\).

Chứng minh rằng:

a) \(\widehat {MKP} = \widehat {NKP}\);

b) \(\Delta MPK = \Delta NPK\);

c) Tam giác MNP có cân tại \(P\) không?

Phương pháp giải:

a) Sử dụng định lí: Tổng 3 góc trong một tam giác bằng 180 độ

b) Chứng minh 2 tam giác bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh - góc

c) Sử dụng định nghĩa tam giác cân: Tam giác MNP cân là tam giác có 2 cạnh bằng nhau

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác MPK có:

\(\widehat {PKM} + \widehat {MPK} + \widehat {KMP} = {180^o}\)

Xét tam giác NPK có:

\(\widehat {PKN} + \widehat {NPK} + \widehat {KNP} = {180^o}\)

Mà \(\widehat {KMP} = \widehat {KNP};\,\,\,\widehat {MPK} = \widehat {NPK}\)

Suy ra \(\widehat {MKP} = \widehat {NKP}\).

b)Xét hai tam giác MPK và NPK có:

\(\widehat {MPK} = \widehat {NPK}\)

PK chung

\(\widehat {MKP} = \widehat {NKP}\)

=>\(\Delta MPK = \Delta NPK\)(g.c.g)

c) Do \(\Delta MPK = \Delta NPK\) nên MP=NP (2 cạnh tương ứng)

=> Tam giác MNP cân tại P.

Luyện tập 1

Tính số đo các góc và các cạnh chưa biết của tam giác DEF trong Hình 4.62.

Phương pháp giải:

Chứng minh tam giác DEF cân tại F từ đó suy ra số đo các góc.

Lời giải chi tiết:

Cách 1: Vì tam giác DEF có DF=FE(=4cm) nên tam giác DEF cân tại F.

Mà \(\widehat E=60^0\)

Do đó, \(\Delta DEF \) đều. (Tam giác cân có 1 góc bằng \(60^0\))

\(\Rightarrow \widehat D = \widehat F=\widehat E=60^0\).

Vì tam giác DEF đều nên DE = DF = FE = 4cm.

Cách 2: Xét tam giác DEF có DF=FE(=4cm) nên tam giác DEF cân tại F.

Suy ra \(\widehat E = \widehat D = {60^o}\) ( tính chất tam giác cân)

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác vào tam giác DEF, ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat D + \widehat E + \widehat F = {180^o}\\ \Rightarrow {60^o} + {60^o} + \widehat F = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat F = {60^o}\end{array}\)

Vì tam giác DEF đều nên DE = DF = FE = 4cm.

TTN

Thử thách nhỏ

Một tam giác có gì đặc biệt nếu thoả mãn một trong các điều kiện sau:

a) Tam giác có ba góc bằng nhau?

b) Tam giác cân có một góc bằng 60°?

Phương pháp giải:

Áp dụng: Tam giác đều là tam giác có 3 cạnh bằng nhau hoặc ba góc bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Tam giác có ba góc bằng nhau là tam giác đều

b) Tam giác cân có 1 góc bằng 60 độ là tam giác đều.

1. Tam giác cân và tính chất