Chuyên đề học tập Toán Lớp 12 Cánh diều

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[Chuyên đề học tập Toán Lớp 12 Cánh diều] Giải bài 9 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh diều

Giải Bài 9 Trang 37 Chuyên đề Toán 12 - Cánh Diều 1. Tổng quan về bài học

Bài học này tập trung vào việc giải bài tập số 9 trang 37 trong Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh Diều, thuộc Chương 2: Ứng dụng toán học để giải quyết một số bài toán tối ưu. Mục tiêu chính là giúp học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm, cực trị của hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số trên một khoảng xác định. Bài học sẽ cung cấp hướng dẫn chi tiết, các bước giải bài toán và những lưu ý quan trọng để học sinh có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự.

2. Kiến thức và kỹ năng

Học sinh sẽ được củng cố và áp dụng các kiến thức sau:

Đạo hàm: Hiểu rõ khái niệm đạo hàm và cách tính đạo hàm của các hàm số cơ bản. Cực trị của hàm số: Xác định các điểm cực trị của một hàm số dựa trên đạo hàm. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hoặc trên một đoạn. Ứng dụng đạo hàm trong giải quyết bài toán tối ưu: Vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một đại lượng trong thực tế. Kỹ năng phân tích bài toán: Phát triển khả năng phân tích bài toán, xác định các yếu tố quan trọng và lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Kỹ năng trình bày bài giải: Củng cố kỹ năng trình bày bài giải một cách logic, chính xác và đầy đủ. 3. Phương pháp tiếp cận

Bài học được trình bày theo phương pháp hướng dẫn giải chi tiết bài tập. Chúng tôi sẽ:

Phân tích đề bài: Xác định rõ các yêu cầu của bài toán. Xác định hàm số cần tìm cực trị: Xác định hàm số cần tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Tính đạo hàm: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm tới hạn: Tìm các điểm tới hạn của hàm số. Xác định giá trị lớn nhất/nhỏ nhất: Sử dụng các phương pháp để xác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên miền xác định. Kiểm tra điều kiện biên: Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên của khoảng hoặc đoạn xác định. So sánh và kết luận: So sánh các giá trị tìm được để kết luận giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất. 4. Ứng dụng thực tế
Kiến thức trong bài học có thể được áp dụng trong nhiều lĩnh vực thực tế, ví dụ như:

Thiết kế: Tối ưu hóa kích thước, hình dạng để tiết kiệm nguyên vật liệu hoặc tối đa hóa diện tích.
Kinh tế: Tìm điểm tối ưu về chi phí, lợi nhuận.
Kỹ thuật: Tối ưu hóa quá trình sản xuất, thiết kế các cấu trúc.

5. Kết nối với chương trình học

Bài học này là một phần quan trọng trong Chương 2, liên quan trực tiếp đến việc áp dụng kiến thức về đạo hàm và cực trị của hàm số để giải quyết các bài toán tối ưu. Nó cũng là nền tảng để học sinh tiếp tục học các bài học về ứng dụng đạo hàm trong các chương sau.

6. Hướng dẫn học tập

Để học tập hiệu quả, học sinh nên:

Đọc kỹ đề bài: Hiểu rõ yêu cầu của bài toán. Phân tích bài toán: Xác định các yếu tố quan trọng và lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Làm các bài tập ví dụ: Thực hành giải các bài tập tương tự để củng cố kiến thức. Tham khảo tài liệu: Sử dụng các tài liệu tham khảo để tìm hiểu thêm về các khái niệm và phương pháp giải. Hỏi đáp với giáo viên/bạn bè: Trao đổi với giáo viên hoặc bạn bè để giải đáp những thắc mắc. Luyện tập thường xuyên: Thường xuyên giải các bài tập về ứng dụng đạo hàm để nâng cao kỹ năng. Tiêu đề Meta: Giải bài 9 trang 37 Chuyên đề Toán 12 - Cánh Diều Mô tả Meta: Hướng dẫn chi tiết giải bài tập số 9 trang 37 Chuyên đề Toán 12 - Cánh Diều, giúp học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Tìm hiểu ngay cách giải bài tập này! 40 Keywords:

Giải bài tập, bài tập 9, trang 37, Chuyên đề Toán 12, Cánh Diều, đạo hàm, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, hàm số, ứng dụng toán học, bài toán tối ưu, toán 12, giải tích, phương pháp giải, hướng dẫn, bài tập, học tập, học sinh, giáo dục, Cánh Diều, sách giáo khoa, toán học, bài tập vận dụng, giải bài, giải nhanh, giải chi tiết, giải từng bước, lời giải, đáp án, bài giảng, bài học, tài liệu, tài liệu học tập, bài tập trắc nghiệm, bài tập tự luận, hướng dẫn học, phương pháp học hiệu quả, tối ưu hóa, tìm cực trị, bài tập ứng dụng, điểm tới hạn, điều kiện biên.

đề bài

một lò xo được làm từ một sợi dây kim loại. gọi \(d\) là đường kính (trung bình) của sợ dây kim loại và \(d\) là đường kính (trung bình) của lò xo (hình 7). ki lò xo đứng lên mặt đất thì nó nén lại bởi trọng lượng \(p\) của lò xo, vật chất trong dây kim loại chịu ứng suất lớn nhất \(s\) tại các điểm trên bè mặt sợi dây mà khoảng cách từ những điểm đó đến đường tâm của lò so là nhỏ nhất.

biết rằng \(s\) được cho bởi công thức:

\(s = \frac{{8pd}}{{\pi {d^3}}}\left[ {\frac{{\frac{{4d}}{d} - 1}}{{4\left( {\frac{d}{d} - 1} \right)}} + \frac{{0,615d}}{d}} \right].\)

a) giả sử sợi dây kim loại là cố định. hỏi ta phải cuộn sợi dây kim loại đó thành lò xo với đường kình \(d\) bằng bao nhiêu để ứng xuất \(s\) là nhỏ nhất?

b) giả sử lò xo có đường kính \(d\) cố định. hỏi ta phải chọn loại dây kim loại với đường kính \(d\) bằng bao nhiêu để ứng suất \(s\) là nhỏ nhất.

phương pháp giải - xem chi tiết

a) khi sợi dây kim loại cố định thì \(d\) và \(p\) là các hằng số.

khi đó, để dễ dàng trong tính toán ta đặt \(a = \frac{d}{d}(a > 0).\)

biểu diễn lại \(s\) ta có: \(s(a) = \frac{{8pa}}{{\pi {d^2}}}\left[ {\frac{{4a - 1}}{{4(a - 1)}} + \frac{{0,615}}{a}} \right] = \frac{{8p}}{{\pi {d^2}}}\left[ {\frac{{4{a^2} - a}}{{4(a - 1)}} + 0,615} \right]\)

ta sẽ đi tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(s(a)\).

b) làm tương tự với câu a.

lời giải chi tiết

a) khi sợi dây kim loại cố định thì \(d\) và \(p\) là các hằng số.

đặt \(a = \frac{d}{d}(a > 0).\)

khi đó ta có hàm số \(s(a) = \frac{{8pa}}{{\pi {d^2}}}\left[ {\frac{{4a - 1}}{{4(a - 1)}} + \frac{{0,615}}{a}} \right] = \frac{{8p}}{{\pi {d^2}}}\left[ {\frac{{4{a^2} - a}}{{4(a - 1)}} + 0,615} \right]\) với \(a > 0.\)

ta có: \(s'(a) = \frac{{8p}}{{\pi {d^2}}}\left[ {\frac{{(8a - 1).4(a - 1) - (4{a^2} - a).4}}{{16{{(a - 1)}^2}}}} \right] = \frac{{2p}}{{\pi {d^2}}}.\frac{{4{a^2} - 8a + 1}}{{{{(a - 1)}^2}}}.\)

do đó \(s'(a) = 0 \leftrightarrow 4{a^2} - 8a + 1 = 0 \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}\\a = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\)

ta có bảng biến thiên:

căn cứ vào bảng biến thiên, ta có \(\mathop {\min }\limits_{(0; + \infty )} s(a) = s\left( {\frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}} \right)\) tại \(a = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}\) hay \(\frac{d}{d} = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}\) suy ra \(d = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}d.\)

b) với \(d > 0\) ta có:

\(s(d) = \frac{{8pd}}{{\pi {d^2}}}\left[ {\frac{{4\frac{d}{d} - 1}}{{4\left( {\frac{d}{d} - 1} \right)}} + \frac{{0,615d}}{d}} \right] = \frac{{8p}}{{\pi {d^2}}}.{\left( {\frac{d}{d}} \right)^3}.\left[ {\frac{{4\frac{d}{d} - 1}}{{4\left( {\frac{d}{d} - 1} \right)}} + \frac{{0,615d}}{d}} \right]\)

đặt \(a = \frac{d}{d}(a > 0).\)

khi đó ta có hàm số \(s(a) = \frac{{8p{a^3}}}{{\pi {d^2}}}.\left[ {\frac{{4a - 1}}{{4\left( {a - 1} \right)}} + \frac{{0,615}}{a}} \right] = \frac{{8p}}{{\pi {d^2}}}.\left[ {\frac{{4{a^4} - {a^3}}}{{4\left( {a - 1} \right)}} + 0,615{a^2}} \right]\)

ta có \(s'(a) = \frac{{8p}}{{\pi {d^2}}}.\left[ {\frac{{(16{a^3} - 3{a^2}).4(a - 1) - (4{a^4} - {a^3}).4}}{{16{{\left( {a - 1} \right)}^2}}} + 1,23a} \right]\)

\(s'(a) = \frac{{8p}}{{\pi {d^2}}}.\left[ {\frac{{12{a^4} - 18{a^3} + 3{a^2}}}{{4{{\left( {a - 1} \right)}^2}}} + 1,23a} \right] = \frac{{8p}}{{\pi {d^2}}}.\left[ {\frac{{12{a^4} - 18{a^3} + 3{a^2} + 1,23a.4{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{4{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}} \right]\)

\(s'(a) = \frac{{2p}}{{\pi {d^2}}}.\frac{{12{a^4} - 13,08{a^3} - 6,84{a^2} + 4,92a}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}.\)

do đó \(s'(a) = 0 \leftrightarrow 12{a^4} - 13,08{a^3} - 6,84{a^2} + 4,92a = 0 \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0(ktm)\\x \approx 1,285\\x \approx 0,476\end{array} \right.\)

ta có bảng biến thiên của hàm số:

căn cứ vào bảng biến thiên ta có \(\mathop {\min }\limits_{(0; + \infty )} s(a) = s(1,285)\) tại \(a \approx 1,285\) hay \(\frac{d}{d} \approx 1,285\) suy ra \(d \approx \frac{d}{{1,285}}.\)