Với mục đích kiểm tra lại các kiến thức Toán 10 của học sinh khối 11 sau quá trình nghỉ hè kéo dài, vừa qua, trường THPT chuyên Bắc Ninh đã tổ chức kỳ thi kiểm tra chất lượng môn Toán cuối kỳ nghỉ hè năm 2019, qua đây, học sinh sẽ ôn tập lại các kiến thức Toán 10, nhằm làm nền tảng vững chắc trước khi vào học chương trình môn Toán lớp 11.
Đề kiểm tra cuối hè năm 2019 môn Toán 11 trường THPT chuyên Bắc Ninh được dành cho học sinh các lớp chuyên Toán, đề được biên soạn theo dạng đề tự luận với 05 bài toán, học sinh làm bài trong khoảng thời gian 150 phút (không kể thời gian giám thị coi thi phát đề), đề thi có lời giải chi tiết.
Trích dẫn đề kiểm tra cuối hè năm 2019 môn Toán 11 trường THPT chuyên Bắc Ninh:
+ Một công ty muốn làm một đường ống dẫn dầu từ một kho ở vị trí A ở trên bờ biển đến một vị trí B trên một hòn đảo (xem hình minh họa). Vị trí B trên hòn đảo cách bờ biển 6 km, gọi C là điểm trên bờ biển sao cho BC vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến C là 9 km. Người ta cần xác định một ví trí D trên đoạn bờ biển AC để lắp ống dẫn theo đường gấp khúc ADB. Tính khoảng cách AD để số tiền chi phí cho việc lắp đặt đường ống dẫn là thấp nhất, biết rằng giá để lắp đặt mỗi km đường ống trên bờ là 100 triệu đồng và dưới nước là 260 triệu đồng.
[ads]
+ Cho R là tập các số tự nhiên có 7 chữ số lập được từ hai chữ số 1 và 2. Ta xây dựng tập con S của R theo quy tắc sau: phần tử đầu tiên của S có thể chọn bất kì phần tử nào của R; hai phần tử phân biệt của S phải có ít nhất ba cặp chữ số ở ba hàng nào đó khác nhau. (chẳng hạn hai phần tử 1.111.111 và 1.111.222 là phân biệt vì có ba cặp chữ số ở hàng trăm, chục, đơn vị là khác nhau). Chứng tỏ rằng, theo quy tắc này, với mọi cách xây dựng tập S, số phần tử của S không vượt quá 16.
+ Cho tam giác ABC có AB < AC, đường tròn w nội tiếp tam giác ABC có tâm I và tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại các điểm D, E, F. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại hai điểm A, P đồng thời cắt đường thẳng AD tại hai điểm A, K. Hai đường thẳng PI, EF cắt nhau tại điểm H, đường tròn ngoại tiếp tam giác DKH cắt đường tròn w tại hai điểm D, N.
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng DH và EF vuông góc với nhau.
b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác BNC tiếp xúc với đường tròn w.
