Bài viết hướng dẫn phương pháp giải và biện luận phương trình đối xứng đối với tanx và cotx.
I. PHƯƠNG PHÁP
Bài toán 1: Giải phương trình: $a\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right)$ $ + b(\tan x + \cot x) + c = 0$ $(1).$
PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x \ne 0}\\
{\cos x \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$
Bước 2: Đặt $\tan x + \cot x = t$, điều kiện $|t| \ge 2$ $ \Rightarrow {\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} – 2.$
Khi đó phương trình có dạng:
$a\left( {{t^2} – 2} \right) + bt + c = 0$ $ \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c – 2a = 0$ $(2).$
Bước 3: Giải phương trình $(2)$ theo $t$ và chọn nghiệm ${t_0}$ thoả mãn điều kiện $|t| \ge 2.$
Bước 4: Với $t = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \tan x + \cot x = {t_0}$, khi đó ta có thể lựa chọn một trong hai hướng biến đổi sau:
+ Hướng 1: Ta có:
$\tan x + \frac{1}{{\tan x}} = {t_0}$ $ \Leftrightarrow {\tan ^2}x – {t_0}\tan x + 1 = 0.$
Đây là phương trình bậc hai theo $\tan x.$
+ Hướng 2: Ta có:
$\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{1}{{2{t_0}}}.$
Đây là phương trình cơ bản của sin.
Chú ý: Cũng có thể lựa chọn phép đổi biến $t = \tan x$, tuy nhiên khi đó ta sẽ thu được một phương trình bậc cao.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
$(\tan x + 7)\tan x$ $ + (\cot x + 7)\cot x + 14 = 0.$
Điều kiện:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x \ne 0}\\
{\cos x \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$
Biến đổi phương trình về dạng:
$\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right)$ $ + 7(\tan x + \cot x) + 14 = 0.$
Đặt $\tan x + \cot x = t$, điều kiện $|t| \ge 2$, suy ra ${\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} – 2.$
Khi đó phương trình có dạng:
${t^2} – 2 + 7t + 14 = 0$ $ \Leftrightarrow {t^2} + 7t + 12 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = – 3}\\
{t = – 4}
\end{array}} \right..$
+ Với $t=-3$ ta được:
$\tan x + \cot x = – 3$ $ \Leftrightarrow \tan x + \frac{1}{{\tan x}} = – 3$ $ \Leftrightarrow {\tan ^2}x + 3\tan x + 1 = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\tan x = \frac{{ – 3 – \sqrt 5 }}{2} = \tan \alpha }\\
{\tan x = \frac{{ – 3 + \sqrt 5 }}{2} = \tan \beta }
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \alpha + k\pi }\\
{x = \beta + k\pi }
\end{array}} \right.$, $k \in Z.$
+ Với $t = – 4$ ta được:
$\tan x + \cot x = – 4$ $ \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = – 4$ $ \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = – 4.$
$ \Leftrightarrow \sin 2x = – \frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x = – \frac{\pi }{6} + 2k\pi }\\
{2x = \frac{{7\pi }}{6} + 2k\pi }
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{\pi }{{12}} + k\pi }\\
{x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi }
\end{array}} \right.$, $k \in Z.$
Vậy phương trình có bốn họ nghiệm.
Nhận xét: Qua việc lựa chọn hai phương pháp giải để tìm ra nghiệm $x$ khi biết ${t_0}$ các em hãy lựa chọn cho mình một phương pháp phù hợp.
Ví dụ 2: Cho phương trình:
${\tan ^2}x + {\cot ^2}x$ $ + m(\tan x + \cot x) + 2m = 0$ $(1).$
a. Giải phương trình với $m = – \frac{1}{2}.$
b. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.
Điều kiện:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x \ne 0}\\
{\cos x \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$
Đặt $\tan x + \cot x = t$ với $|t| \ge 2$, suy ra ${\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} – 2.$
Khi đó phương trình có dạng:
${t^2} – 2 + mt + 2m = 0$ $ \Leftrightarrow f(t) = {t^2} + mt + 2m – 2 = 0$ $(2).$
a. Với $m = – \frac{1}{2}$ ta được:
${t^2} – \frac{1}{2}t – 3 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 2}\\
{t = – 3/2\:{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \tan x + \cot x = 2.$
$ \Leftrightarrow \tan x = 1$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi $, $k \in Z.$
Vậy với $m = – \frac{1}{2}$ phương trình có một họ nghiệm.
b. Để tìm $m$ sao cho phương trình có nghiệm ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Phương trình $(1)$ có nghiệm $ \Leftrightarrow $ phương trình $(2)$ có nghiệm $|t| \ge 2.$
Xét bài toán ngược: “Tìm điều kiện để phương trình đã cho vô nghiệm”.
Phương trình đã cho vô nghiệm:
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
(2){\rm{\:vô\:nghiệm}}\\
(2){\rm{\:có\:hai\:nghiệm\:thuộc\:}}( – 2,2)
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta < 0}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta \ge 0}\\
{af( – 2) > 0}\\
{af(2) > 0}\\
{ – 2 < \frac{S}{2} < 2}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{m^2} – 8m – 8 < 0\\
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{m^2} – 8m – 8 \ge 0}\\
{2 > 0}\\
{4m + 2 > 0}\\
{ – 2 < – \frac{m}{2} < 2}
\end{array}} \right.
\end{array} \right..$
$ \Leftrightarrow – \frac{1}{2} < m < 4 + 2\sqrt 2 .$
Vậy với $m \le – \frac{1}{2}$ hoặc $m \ge 4 + 2\sqrt 2 $ phương trình đã cho có nghiệm.
Cách 2: Vì $t = – 2$ không phải là nghiệm của phương trình, nên viết lại $(2)$ dưới dạng:
$\frac{{ – {t^2} + 2}}{{t + 2}} = m.$
Vậy phương trình $(1)$ có nghiệm $ \Leftrightarrow $ đường thẳng $y = m$ cắt phần đồ thị hàm số $y = \frac{{ – {t^2} + 2}}{{t + 2}}$ trên $( – \infty , – 2] \cup [2, + \infty ).$
Xét hàm số $y = \frac{{ – {t^2} + 2}}{{t + 2}}$ trên $(-\infty,-2] \cup[2,+\infty)$
Đạo hàm:
$y’ = \frac{{ – {t^2} – 4t – 2}}{{{{(t + 2)}^2}}}.$
$y’ = 0$ $ \Leftrightarrow – {t^2} – 4t – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow t = – 2 \pm \sqrt 2 .$
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta được điều kiện là: $m \le – \frac{1}{2}$ hoặc $m \ge 4 + 2\sqrt 2 .$
Chú ý: Phương pháp được mở rộng tự nhiên cho các phương trình đối xứng bậc cao hơn $2.$
Ví dụ 3: Cho phương trình:
$2\tan x + {\tan ^2}x + {\tan ^3}x$ $ + 2\cot x + {\cot ^2}x + {\cot ^3}x = m$ $(1).$
a. Giải phương trình với $m = 8.$
b. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.
Điều kiện:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x \ne 0}\\
{\cos x \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$
Đặt $\tan x + \cot x = t$, điều kiện $|t| \ge 2$, suy ra:
${\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} – 2.$
${\tan ^3}x + {\cot ^3}x$ $ = {(\tan x + \cot x)^3}$ $ – 3\tan x\cot x(\tan x + \cot x)$ $ = {t^3} – 3t.$
Khi đó phương trình có dạng:
$2t + {t^2} – 2 + {t^3} – 3t = m$ $ \Leftrightarrow {t^3} + {t^2} – t – 2 = m$ $(2).$
a. Với $m = 8$ ta được:
${t^3} + {t^2} – t – 10 = 0$ $ \Leftrightarrow (t – 2)\left( {{t^2} + 3t + 5} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow t = 2$ $ \Leftrightarrow \tan x + \cot x = 2.$
$ \Leftrightarrow \tan x = 1$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi $, $k \in Z.$
Vậy với $m = 10$ phương trình có một họ nghiệm.
b. Phương trình $(1)$ có nghiệm $ \Leftrightarrow $ đường thẳng $y = m$ cắt phần đồ thị hàm số $y = {t^3} + {t^2} – t – 2$ trên $(-\infty,-2] \cup[2,+\infty)$
Xét hàm số $y = {t^3} + {t^2} – t – 2$ trên $D = ( – \infty , – 2] \cup [2, + \infty ).$
Đạo hàm:
$y’ = 3{t^2} + 2t – 1 > 0$, $\forall t \in D$ $ \Leftrightarrow $ hàm số đồng biến trên $D.$
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta được điều kiện là $m \le – 4$ hoặc $m \ge 8.$
Bài toán 2: Giải phương trình: $a\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right)$ $ + b(\tan x – \cot x) + c = 0$ $(1).$
PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x \ne 0}\\
{\cos x \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$
Bước 2: Đặt $\tan x – \cot x = t$ $ \Rightarrow {\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} + 2.$
Khi đó phương trình có dạng:
$a\left( {{t^2} + 2} \right) + bt + c = 0$ $ \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c + 2a = 0$ $(2).$
Bước 3: Giải phương trình $(2)$ theo $t.$
Bước 4: Với $t = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \tan x – \cot x = {t_0}$, khi đó ta có thể lựa chọn một trong hai hướng biến đổi sau:
+ Hướng 1: Ta có:
$\tan x – \frac{1}{{\tan x}} = {t_0}$ $ \Leftrightarrow {\tan ^2}x – {t_0}\tan x – 1 = 0.$
Đây là phương trình bậc hai theo $\tan x.$
+ Hướng 2: Ta có:
$\frac{{\sin x}}{{\cos x}} – \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x – {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \frac{{ – 2\cos 2x}}{{\sin 2x}} = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \cot 2x = – \frac{{{t_0}}}{2}.$
Đây là phương trình cơ bản của cotan.
Chú ý: Cũng có thể lựa chọn phép đổi biến $t = \tan x$, tuy nhiên khi đó ta sẽ thu được một phương trình bậc cao.
Ví dụ 4: Giải phương trình:
$\sqrt 3 \left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right)$ $ + 2(\sqrt 3 – 1)(\tan x – \cot x)$ $ – 4 – 2\sqrt 3 = 0.$
Điều kiện:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x \ne 0}\\
{\cos x \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$
Đặt $\tan x – \cot x = t$, suy ra ${\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} + 2.$
Khi đó phương trình có dạng:
$\sqrt 3 \left( {{t^2} + 2} \right) + 2(\sqrt 3 – 1)t – 4 – 2\sqrt 3 = 0$ $ \Leftrightarrow \sqrt 3 {t^2} + 2(\sqrt 3 – 1)t – 4 = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = – 2}\\
{t = 2/\sqrt 3 }
\end{array}} \right..$
+ Với $t = \frac{2}{{\sqrt 3 }}$ ta được:
$\tan x – \cot x = \frac{2}{{\sqrt 3 }}$ $ \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} – \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}$ $ \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x – {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}.$
$ \Leftrightarrow \cot 2x = – \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ $ \Leftrightarrow 2x = – \frac{\pi }{3} + k\pi $ $ \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$
+ Với $t =-2$ ta được:
$\tan x – \cot x = – 2$ $ \Leftrightarrow \tan x – \frac{1}{{\tan x}} = – 2$ $ \Leftrightarrow {\tan ^2}x + 2\tan x – 1 = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\tan x = – 1 – \sqrt 2 = \tan \alpha }\\
{\tan x = – 1 + \sqrt 2 = \tan \beta }
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \alpha + k\pi }\\
{x = \beta + k\pi }
\end{array}} \right.$, $k \in Z.$
Vậy phương trình có ba họ nghiệm.
Nhận xét: Qua việc lựa chọn hai phương pháp giải để tìm ra nghiệm $x$ khi biết ${t_0}$, lời khuyên dành cho các em học sinh là hãy lựa chọn hướng 2 để giải, bởi ngay với $t=-2$, ta được:
$\tan x – \cot x = – 2$ $ \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} – \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = – 2$ $ \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x – {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = – 2.$
$ \Leftrightarrow \cot 2x = 1$ $ \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{4} + k\pi $ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$
Chú ý: Phương pháp được mở rộng tự nhiên cho các phương trình đối xứng bậc cao hơn $2.$
Ví dụ 5: Cho phương trình:
${\tan ^3}x – {\cot ^3}x$ $ – 3\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right)$ $ – 3(\tan x – \cot x)$ $ + m + 6 = 0$ $(1).$
a. Giải phương trình với $m = 4.$
b. Biện luận theo $m$ số nghiệm thuộc $\left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$ của phương trình.
Điều kiện:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x \ne 0}\\
{\cos x \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$
Đặt $\tan x – \cot x = t.$
Suy ra:
${\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} + 2.$
${\tan ^3}x – {\cot ^3}x$ $ = {(\tan x – \cot x)^3}$ $ + 3\tan x\cot x(\tan x – \cot x)$ $ = {t^3} + 3t.$
Khi đó phương trình có dạng:
${t^3} + 3t – 3\left( {{t^2} + 2} \right) – 3t + m + 6 = 0$ $ \Leftrightarrow {t^3} – 3{t^2} + m = 0$ $(2).$
a. Với $m = 4$ ta được:
${t^3} – 3{t^2} + 4 = 0$ $ \Leftrightarrow (t + 1)\left( {{t^2} – 4t + 4} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow (t + 1){(t – 2)^2} = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = – 1}\\
{t = 2}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\tan x – \cot x = – 1}\\
{\tan x – \cot x = 2}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cot 2x = \frac{1}{2} = \cot 2\alpha }\\
{\cot 2x = – 1}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x = 2\alpha + k\pi }\\
{2x = – \frac{\pi }{4} + k\pi }
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \alpha + \frac{{k\pi }}{2}}\\
{x = – \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}}
\end{array}} \right.$, $k \in Z.$
Vậy với $m = 4$ phương trình có hai họ nghiệm.
b. Với mỗi nghiệm ${t_0}$ của phương trình $(2)$ ta được:
$\tan x – \cot x = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \cot 2x = – \frac{{{t_0}}}{2}.$
Mặt khác vì $x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$ $ \Leftrightarrow 2x \in (0,\pi ).$
Do đó với mỗi nghiệm ${t_0}$ của $(2)$ ta có được $1$ nghiệm ${x_0} \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$ của $(1).$
Số nghiệm của $(2)$ bằng số giao điểm của đường thẳng $y = -m$ với đồ thị hàm số $y = {t^3} – 3{t^2}.$
Xét hàm số $y = {t^3} – 3{t^2}.$
Đạo hàm:
$y’ = 3{t^2} – 6t.$
$y’ = 0$ $ \Leftrightarrow 3{t^2} – 6t = 0$ $ \Leftrightarrow t = 0$ hoặc $t = 2.$
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có kết luận (bạn đọc tự đưa ra lời kết luận).
II. CÁC BÀI TOÁN THI
Bài 1: Cho phương trình:
$\frac{3}{{{{\sin }^2}x}} + 3{\tan ^2}x$ $ + m(\tan x + \cot x) – 1 = 0$ $(1).$
Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.
Điều kiện:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x \ne 0}\\
{\cos x \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$
Biến đổi phương trình về dạng:
$3\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) + 3{\tan ^2}x$ $ + m(\tan x + \cot x) – 1 = 0.$
$ \Leftrightarrow 3\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right)$ $ + m(\tan x + \cot x) + 2 = 0.$
Đặt $\tan x + \cot x = t$, điều kiện $|t| \ge 2$, suy ra ${\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} – 2.$
Khi đó phương trình có dạng:
$3\left( {{t^2} – 2} \right) + mt + 2 = 0$ $ \Leftrightarrow f(t) = 3{t^2} + mt – 4 = 0$ $(2).$
Để tìm $m$ sao cho phương trình có nghiệm ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Ta đi xét bài toán ngược: “Tìm $m$ để phương trình vô nghiệm”.
Phương trình $(1)$ vô nghiệm $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
(2){\rm{\:vô\:nghiệm\:}}\\
(2){\rm{\:có\:2\:nghiệm\:thuộc\:}}\left( { – 2,2} \right)
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta < 0}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta \ge 0}\\
{af(2) > 0}\\
{af( – 2) > 0}\\
{ – 2 < S/2 < 2}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow – 4 < m < 4.$
Vậy phương trình có nghiệm khi $m \in R\backslash ( – 4,4).$
Cách 2: Viết lại $(2)$ dưới dạng:
$\frac{{ – 3{t^2} + 4}}{t} = m.$
Vậy phương trình $(1)$ có nghiệm $ \Leftrightarrow $ đường thẳng $y = m$ cắt phần đồ thị hàm số $y = \frac{{ – 3{t^2} + 4}}{t}$ trên $D = ( – \infty , – 2] \cup [2, + \infty ).$
Xét hàm số $y = \frac{{ – 3{t^2} + 4}}{t}$ trên $D = ( – \infty , – 2] \cup [2, + \infty ).$
Đạo hàm: $y’ = \frac{{ – 3{t^2} – 4}}{{{t^2}}} < 0$, $\forall t \in D.$ Do đó hàm số nghịch biến trên $D.$
Từ đó ta được điều kiện là:
$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m \le y(2)}\\
{m \ge y( – 2)}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m \le – 4}\\
{m \ge 4}
\end{array}} \right..$
Vậy phương trình có nghiệm khi $|m| \ge 4.$
Bài 2: Cho phương trình:
${\tan ^3}x – {\cot ^3}x$ $ – 3\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right)$ $ – 12(\tan x – \cot x)$ $ + m + 6 = 0$ $(1).$
a. Giải phương trình với $m = 2.$
b. Tìm $m$ để $(1)$ có $3$ nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$, ${x_3} \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$ và thoả mãn:
$\frac{{\sin 2\left( {{x_1} – {x_2}} \right)}}{{\sin 2{x_1}}} – \frac{{\sin 2\left( {{x_2} – {x_3}} \right)}}{{\sin 2{x_3}}} = 0.$
Điều kiện:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x \ne 0}\\
{\cos x \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$
Đặt $\tan x – \cot x = t$.
Suy ra:
${\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} + 2.$
${\tan ^3}x – {\cot ^3}x$ $ = {(\tan x – \cot x)^3}$ $ + 3\tan x\cot x(\tan x – \cot x)$ $ = {t^3} + 3t.$
Khi đó phương trình có dạng:
${t^3} + 3t – 3\left( {{t^2} + 2} \right)$ $ – 12t + m + 6 = 0$ $ \Leftrightarrow {t^3} – 3{t^2} – 9t + m = 0$ $(2).$
a. Với $m = 2$ ta được:
${t^3} – 3{t^2} – 9t + 2 = 0$ $ \Leftrightarrow (t + 2)\left( {{t^2} – 5t + 1} \right) = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = \frac{{5 \pm \sqrt {21} }}{2}}\\
{t = – 2}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\tan x – \cot x = \frac{{5 \pm \sqrt {21} }}{2}}\\
{\tan x – \cot x = – 2}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cot 2x = – \frac{{5 \pm \sqrt {21} }}{2} = \cot 2{\alpha _{1,2}}}\\
{\cot 2x = 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {\alpha _{1,2}} + \frac{{k\pi }}{2}}\\
{x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}}
\end{array}} \right.$, $k \in Z.$
Vậy với $m = 2$ phương trình có ba họ nghiệm.
b. Với mỗi nghiệm ${t_0}$ của phương trình $(2)$ ta được:
$\tan x – \cot x = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \cot 2x = – \frac{{{t_0}}}{2}.$
Mặt khác vì $x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$ $ \Leftrightarrow 2x \in (0,\pi ).$
Do đó với mỗi nghiệm ${t_0}$ của $(2)$ ta có được $1$ nghiệm ${x_0} \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$ của $(1).$
Từ biểu thức điều kiện, ta được:
$\frac{{\sin 2\left( {{x_1} – {x_2}} \right)}}{{\sin 2{x_1}}} = \frac{{\sin 2\left( {{x_2} – {x_3}} \right)}}{{\sin 2{x_3}}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{\sin 2\left( {{x_1} – {x_2}} \right)}}{{\sin 2{x_1}\sin 2{x_2}}} = \frac{{\sin 2\left( {{x_2} – {x_3}} \right)}}{{\sin 2{x_2}\sin 2{x_3}}}.$
$ \Leftrightarrow \cot 2{x_1} – \cot 2{x_2}$ $ = \cot 2{x_2} – \cot 2{x_3}$ $ \Leftrightarrow \cot 2{x_1} + \cot 2{x_3} = 2\cot 2{x_2}.$
$ \Leftrightarrow – \frac{{{t_1}}}{2} – \frac{{{t_3}}}{2} = – 2\frac{{{t_2}}}{2}$ $ \Leftrightarrow {t_1} + {t_3} = 2{t_2}.$
$ \Leftrightarrow (2)$ có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Để phương trình có ba nghiệm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng thì điểm uốn $U(1, – 11)$ của đồ thị hàm số $y = {t^3} – 3{t^2} – 9t$ thuộc đường thẳng $y =-m.$
$ \Leftrightarrow – m = – 11$ $ \Leftrightarrow m = 11.$
Thử lại: với $m = 11$ phương trình $(2)$ có dạng:
${t^3} – 3{t^2} – 9t + 11 = 0$ $ \Leftrightarrow (t – 1)\left( {{t^2} – 2t – 11} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{t_1} = 1 – 2\sqrt 3 }\\
{{t_2} = 1}\\
{{t_3} = 1 + 2\sqrt 3 }
\end{array}} \right.$ (thoả mãn).
Vậy với $m = 11$ thoả mãn điều kiện đầu bài.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài tập 1. Giải các phương trình:
a. $\cot x – \tan x = \sin x – \cos x.$
b. $\tan x + {\tan ^2}x + \cot x + {\cot ^2}x = 6.$
Bài tập 2. Cho phương trình:
$3\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right)$ $ + 4(\tan x + \cot x) + m = 0.$
a. (CĐHQ – 2000): Giải phương trình với $m = 2.$
b. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.
Bài tập 3. Cho phương trình:
$\tan x + {\tan ^2}x + {\tan ^3}x$ $ + \cot x + {\cot ^2}x + {\cot ^3}x = m.$
a. Giải phương trình với $m = 6.$
b. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.
Bài tập 4. Cho phương trình:
$\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + {\cot ^2}x$ $ + m(\tan x + \cot x) + 2 = 0.$
a. Giải phương trình khi $m = \frac{5}{2}.$
b. Xác định $m$ để phương trình có nghiệm.
Bài tập 5. Với giá trị nào của $m$ thì phương trình sau đây có nghiệm:
$\frac{3}{{{{\sin }^2}x}} + {\tan ^3}x$ $ + m(\tan x + \cot x) – 1 = 0.$
Bài tập 6. Giải và biện luận phương trình:
$(m – 2)\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right)$ $ – 2m(\tan x – \cot x) – m + 5 = 0.$
