Các chuyên đề môn toán Lớp 11

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[Các chuyên đề môn toán Lớp 11] Các dạng toán có yếu tố max – min trong bài toán thể tích

Các Dạng Toán Có Yếu Tố Max u2013 Min Trong Bài Toán Thể Tích

Tiêu đề Meta: Toán Max-Min Thể Tích - Lớp 11 Mô tả Meta: Khám phá các dạng toán thể tích có yếu tố cực trị (max-min). Bài học cung cấp các phương pháp giải hiệu quả, từ hình học đến đại số, giúp học sinh nâng cao kỹ năng giải quyết bài toán về thể tích cực đại hoặc cực tiểu. 1. Tổng quan về bài học

Bài học này tập trung vào việc giải quyết các bài toán về thể tích có yếu tố cực trị (max u2013 min). Học sinh sẽ được làm quen với các dạng toán liên quan đến việc tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của thể tích hình học (chủ yếu là hình hộp chữ nhật, hình chóp, hình nón, hình trụ). Bài học sẽ hướng dẫn các phương pháp giải quyết bài toán này, từ việc vận dụng kiến thức về hình học đến sử dụng các công cụ đại số như đạo hàm. Mục tiêu chính là trang bị cho học sinh khả năng phân tích, sử dụng kiến thức linh hoạt và tìm ra lời giải tối ưu cho các bài toán.

2. Kiến thức và kỹ năng

Học sinh sẽ học được:

Các công thức tính thể tích: Củng cố và nhớ lại các công thức tính thể tích của các hình học cơ bản. Phương pháp tìm cực trị: Học sinh sẽ nắm vững các phương pháp tìm giá trị cực trị của một hàm số, bao gồm đạo hàm, khảo sát hàm số, bất đẳng thức, u2026 Ứng dụng đạo hàm vào hình học: Học sinh sẽ biết cách ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị trong bài toán hình học, tìm mối quan hệ giữa các đại lượng để tối ưu hóa thể tích. Sử dụng bất đẳng thức để giải quyết bài toán: Biết cách vận dụng các bất đẳng thức (như bất đẳng thức Cô-si) để tìm giá trị cực đại hoặc cực tiểu trong bài toán thể tích. Phân tích bài toán: Rèn luyện kỹ năng phân tích bài toán, xác định các đại lượng liên quan và mối quan hệ giữa chúng. Vẽ hình và phân tích hình học: Rèn kỹ năng vẽ hình chính xác, phân tích hình học để tìm ra các mối quan hệ cần thiết trong bài toán. 3. Phương pháp tiếp cận

Bài học sẽ được tổ chức theo các bước sau:

1. Giới thiệu: Giải thích rõ ràng về khái niệm và ý nghĩa của bài toán thể tích có yếu tố cực trị.
2. Phân tích các ví dụ: Phân tích từng bước giải các bài toán minh họa có độ khó khác nhau. Học sinh sẽ được tham gia vào quá trình phân tích và tìm lời giải.
3. Thảo luận nhóm: Đưa ra các bài tập nhóm để học sinh cùng nhau thảo luận, trao đổi ý tưởng và tìm ra giải pháp.
4. Bài tập thực hành: Cung cấp một loạt các bài tập thực hành để học sinh tự luyện tập và củng cố kiến thức.
5. Đánh giá và phản hồi: Đánh giá kết quả học tập của học sinh và đưa ra phản hồi kịp thời để giúp học sinh cải thiện.

4. Ứng dụng thực tế

Kiến thức về tìm giá trị cực trị của thể tích có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, ví dụ như:

Thiết kế: Tối ưu hóa thiết kế hình dạng vật thể để đạt hiệu quả sử dụng vật liệu tối đa. Kiến trúc: Xây dựng công trình với thể tích lớn nhất hoặc chi phí nhỏ nhất. Kỹ thuật: Thiết kế các bộ phận máy móc có thể tích tối ưu. 5. Kết nối với chương trình học
Bài học này là một phần quan trọng trong việc áp dụng các kiến thức đã học về hình học, đại số và bất đẳng thức. Nó kết nối với các bài học trước về hình học không gian và các phương pháp giải bài toán cực trị. Bài học này chuẩn bị cho việc học các bài toán hình học phức tạp hơn ở các lớp sau.
6. Hướng dẫn học tập

Chuẩn bị bài học: Học sinh cần ôn lại các kiến thức liên quan về hình học không gian, đạo hàm, bất đẳng thức trước khi bắt đầu bài học.
Tập trung nghe giảng: Theo dõi kỹ các ví dụ và phân tích chi tiết.
Tham gia thảo luận: Chủ động tham gia thảo luận trong nhóm, chia sẻ ý tưởng và học hỏi từ bạn bè.
Làm bài tập: Làm đầy đủ các bài tập được cung cấp để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng.
Kiên trì luyện tập: Bài toán max-min cần thời gian để làm quen, nên kiên trì luyện tập đều đặn để nâng cao kỹ năng.

Keywords (40):

toán, thể tích, max-min, cực trị, hình học, hình hộp chữ nhật, hình chóp, hình nón, hình trụ, đạo hàm, bất đẳng thức, Cô-si, hàm số, khảo sát hàm số, phương trình, bất phương trình, hình không gian, toán lớp 11, giải toán, phương pháp giải, ứng dụng, tối ưu hóa, thiết kế, kiến trúc, kỹ thuật, bài tập, bài toán, ví dụ, công thức, luyện tập, hình học không gian, đại số, rèn luyện, phân tích, thảo luận, nhóm, đánh giá, phản hồi, lời giải, cực đại, cực tiểu.

Tài liệu gồm 33 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Hoàng Xuân Bính (giáo viên tiếp sức chinh phục kỳ thi tốt nghiệp THPT 2021 môn Toán trên kênh truyền hình Giáo dục Quốc gia VTV7), hướng dẫn giải các dạng toán có yếu tố max – min trong bài toán thể tích khối đa diện (cực trị thể tích / GTLN – GTNN thể tích) – một dạng toán xuất hiện nhiều trong trong đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán nhiều năm gần đây; đây cũng là dạng bài tập mà khiến nhiều học sinh gặp khó khăn về việc tiếp cận và tìm lời giải.

1. Lý thuyết
a) Một số phương pháp chung để giải quyết các bài toán cực trị về thể tích:
– Thông thường để giải quyết một bài toán cực trị về thể tích thì mục tiêu đầu tiên của chúng ta chính là thiết lập được các yếu tố cơ bản của công thức tính thể tích là tìm được chiều cao, diện tích đáy của khối chóp hoặc lăng trụ ấy.
– Sau khi đã xác định được công thức của thể tích thì ta có thể sử dụng một trong ba phương pháp sau đây:
+ Phương pháp 1: Khảo sát hàm số một biến số.
+ Phương pháp 2: Sử dụng đánh giá bằng bất đẳng thức cổ điển: Cauchy, Cauchy Schwarz ….
+ Phương pháp 3: Có thể sử dụng đánh giá bằng hình học (ví dụ so sánh hình chiếu với hình xiên …).
b) Một số kết quả thường được sử dụng trong các bài toán cực trị.
c) Bất đẳng thức Cauchy.

2. Bài tập minh họa
2.1 Dạng 1: Các bài toán cực trị về tứ diện hoặc hình chóp tam giác.
+ Dạng 1: Tứ diện có 5 cạnh độ dài bằng nhau và 1 cạnh còn lại có dộ dài thay đổi hoặc tứ diện có 1 cặp cạnh chéo nhau có độ dài thay đổi và 4 cạnh còn lại có độ dài bằng nhau.
+ Dạng 2: Tứ diện có một cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau hoặc có một cạnh bên chính là đoạn vuông góc chung của 1 cặp cạnh chéo nhau.
+ Dạng 3: Tứ diện có 1 đỉnh mà tại đỉnh đó độ dài 3 cạnh chung đỉnh không đổi và hai góc có số đo cố định, góc còn lại có số đo chưa xác định.
+ Dạng 4: Tứ diện được phân tích thành hai tứ diện nhỏ có chung mặt đáy và có 1 cạnh bên vuông góc với mặt đáy chung đó.
+ Dạng 5: Sử dụng tính chất đồng phẳng của 4 điểm.
+ Dạng 6: Tứ diện gần đều.
2.2 Các bài toán cực trị về hình chóp tứ giác.
+ Dạng 1: Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau.
+ Dạng 2: Sử dụng tỉ số thể tích để xác định cực trị.
+ Dạng 3: Chóp có chiều cao không đổi.
+ Dạng 4: Các bài toán liên quan đến khoảng cách, góc.
2.3 Các bài toán cực trị về hình hộp.
Trong dạng bài tập này thì cách thức để giải quyết bài toán vẫn tương tự như trong dạng bài toán cực trị về hình chóp. Từ giả thiết bài toán, ta xác định mối quan hệ của đường cao và diện tích đáy của hình hộp theo các đại lượng cho trước và thiết lập công thức tính thể tích về theo 1 đại lượng biến nào đó. Sau đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy hoặc sử dụng phương pháp hàm số để xác định đáp số của bài toán.
2.4 Các bài toán thực tế.
Với các bài toán thực tế liên quan đến cực trị thể tích của các khối đa diện thường dẫn đến yêu cầu xác định đúng được các điều kiện về chiều cao, diện tích đáy theo đại lượng biến cần tìm của bài toán. Sau đó dựa vào đánh giá bất đẳng thức Cauchy hoặc sử dụng phương pháp hàm số là sẽ giải quyết được bài toán.