[SGK Toán Lớp 7 Chân Trời Sáng Tạo] Bài 3. Đại lượng tỉ lệ nghịch
Bài học này giới thiệu khái niệm về đại lượng tỉ lệ nghịch, một khái niệm quan trọng trong toán học, giúp học sinh hiểu về mối quan hệ giữa hai đại lượng có sự thay đổi theo chiều ngược lại. Mục tiêu chính là giúp học sinh:
Hiểu được định nghĩa đại lượng tỉ lệ nghịch. Nhận biết được đặc điểm và tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch. Biểu diễn đại lượng tỉ lệ nghịch trên hệ trục tọa độ. Giải quyết các bài toán liên quan đến đại lượng tỉ lệ nghịch. Kiến thức và kỹ năngHọc sinh sẽ học được:
Định nghĩa: Khái niệm về đại lượng tỉ lệ nghịch, mối quan hệ giữa hai đại lượng khi một đại lượng tăng thì đại lượng kia giảm. Tính chất: Các tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch, cách tìm giá trị của một đại lượng khi biết giá trị của đại lượng kia. Biểu diễn: Cách biểu diễn đại lượng tỉ lệ nghịch trên đồ thị, hiểu ý nghĩa của đồ thị. Giải toán: Kỹ năng giải quyết các bài toán đại lượng tỉ lệ nghịch trong thực tế. Ứng dụng: Nhận biết và phân tích các tình huống thực tế liên quan đến đại lượng tỉ lệ nghịch. Phương pháp tiếp cậnBài học sử dụng phương pháp kết hợp giữa lý thuyết và thực hành.
1. Giải thích lý thuyết:
Giáo viên sẽ trình bày rõ ràng định nghĩa, tính chất và đặc điểm của đại lượng tỉ lệ nghịch.
2. Ví dụ minh họa:
Các ví dụ cụ thể, minh họa rõ ràng về mối quan hệ tỉ lệ nghịch trong thực tế sẽ được đưa ra.
3. Bài tập thực hành:
Các bài tập được thiết kế từ dễ đến khó, giúp học sinh làm quen và vận dụng kiến thức vào giải quyết vấn đề.
4. Thảo luận nhóm:
Học sinh sẽ được làm việc nhóm để thảo luận, phân tích các bài toán, từ đó tăng cường khả năng tư duy logic và hợp tác.
5. Đánh giá:
Giáo viên sẽ theo dõi và đánh giá quá trình học tập của học sinh để kịp thời hỗ trợ và điều chỉnh.
Kiến thức về đại lượng tỉ lệ nghịch được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực đời sống, chẳng hạn:
Vận tốc và thời gian:
Khi vận tốc tăng thì thời gian cần thiết để đi một quãng đường nhất định giảm xuống.
Số người và thời gian hoàn thành công việc:
Số người làm việc càng nhiều thì thời gian hoàn thành công việc càng ngắn.
Diện tích và chiều cao của hình thang:
Với diện tích không đổi, chiều cao và đáy hình thang có mối quan hệ tỉ lệ nghịch.
Bài học này là một phần quan trọng trong chương trình toán học lớp 7, giúp học sinh làm nền tảng cho việc học các khái niệm nâng cao về hàm số và phương trình sau này. Nó kết nối với các bài học trước về đại lượng tỉ lệ thuận, giúp học sinh so sánh và phân biệt hai khái niệm này.
Hướng dẫn học tập Đọc kỹ lý thuyết: Hiểu rõ định nghĩa, tính chất và các ví dụ minh họa. Làm bài tập: Thực hành giải các bài tập khác nhau để nắm vững kiến thức. Tìm hiểu ví dụ thực tế: Áp dụng kiến thức vào các tình huống thực tế để thấy rõ ứng dụng của đại lượng tỉ lệ nghịch. Trao đổi nhóm: Làm việc nhóm để thảo luận và giải quyết bài tập cùng nhau. * Hỏi đáp: Không ngại đặt câu hỏi cho giáo viên hoặc bạn bè khi gặp khó khăn. Từ khóa:1. Đại lượng tỉ lệ nghịch
2. Định nghĩa đại lượng tỉ lệ nghịch
3. Tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch
4. Biểu đồ đại lượng tỉ lệ nghịch
5. Bài toán đại lượng tỉ lệ nghịch
6. Phương trình tỉ lệ nghịch
7. Giải bài toán đại lượng tỉ lệ nghịch
8. Hệ số tỉ lệ nghịch
9. Đồ thị đại lượng tỉ lệ nghịch
10. Vận tốc, thời gian
11. Công việc, số người
12. Diện tích, chiều cao
13. Tỉ lệ nghịch trong thực tế
14. Đại lượng
15. Tỉ lệ
16. Nghịch
17. Phương pháp giải
18. Toán học lớp 7
19. Phương trình
20. Hệ trục tọa độ
21. Hàm số
22. Phương trình tuyến tính
23. Phương trình bậc nhất
24. Biến
25. Hằng số
26. Hệ số
27. Biến đổi
28. Phương pháp đồ thị
29. Đồ thị hàm số
30. Giá trị
31. Tương quan
32. Phân tích
33. Phép tính
34. Bài tập thực tế
35. Ví dụ minh họa
36. Cách giải
37. Tìm x
38. Tìm y
39. Liên hệ thực tế
40. Ứng dụng toán học
Đề bài
Lan muốn cắt một hình chữ nhật có diện tích 24\(c{m^2}\). Gọi n (cm) và d (cm) là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật. Hãy chứng tỏ n và d tỉ lệ nghịch với nhau và tính n theo d.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu hai đại lượng a và b liên hệ với nhau theo công thức a . b = k không đổi thì a và b là hai đại lượng tỉ lệ nghịch theo hệ số tỉ lệ k.
Lời giải chi tiết
Vì diện tích hình chữ nhật bằng tích chiều dài và chiều rộng nên ta có :
n.d = 24 \( \Rightarrow \) n tỉ lệ nghịch với d có hệ số tỉ lệ là 24
\( \Rightarrow n= \dfrac{{24}}{d}\)
Đề bài
Một nông trường có 2 máy gặt (có cùng năng suất) đã gặt xong một cánh đồng hết 4 giờ. Hỏi nếu có 4 máy gặt như thế sẽ gặt xong cánh đồng đó hết bao nhiêu thời gian?
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sô máy gặt và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch
Lời giải chi tiết
Vì khối lượng công việc không đổi và các máy có cùng năng suất nên số máy gặt tỉ lệ nghịch với thời gian.
Ta có: Số máy gặt . thời gian = 2.4 = 8
Nếu có 4 máy gặt thì thời gian gặt = 8 : 4 = 2 (giờ)
Vậy nếu có 4 máy gặt như thế sẽ gặt xong cánh đồng đó hết 2 giờ.
Đề bài
Một đoàn tàu lửa chuyển động đều trên quãng đường 200 km với vận tốc v (km/h) trong thời gian t (h). Hãy chứng tỏ v,t tỉ lệ nghịch với nhau và tính t theo v.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Thời gian(h) . vận tốc(km/h) = quãng đường (km)
Lời giải chi tiết
Công thức tính quãng đường là :
S = v.t
Theo đề bài S = 200km nên ta có 200 = v.t
Vì v.t = 200 không đổi nên v tỉ lệ nghịch với t theo hệ số tỉ lệ là 200.
\( \Rightarrow t=\dfrac{{200}}{v}\)
Đề bài
Dựa theo bảng giá trị tương ứng của hai đại lượng trong mỗi trường hợp sau, hãy cho biết hai đại lượng có tỉ lệ nghịch với nhau hay không.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xét các tích a.b tương ứng:
+) Nếu các tích này đều bằng nhau thì a và b là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
+) Nếu các tích này khác nhau thì a và b không là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Lời giải chi tiết
a) Xét a.b ta có :
a.b = 1.60 = 2.30 = 3.20 = 4.15 = 5.12 vì cùng bằng 60
Vậy a tỉ lệ nghịch với b
b) Xét m.n ta có :
m.n = (-2).(-12) = (-1).(-24) = 1.24 = 2.12 ≠ 3.9
Ta thấy khi m = 3 và n = 9 thì hệ số tỉ lệ là khác với các giá trị còn lại nên m không tỉ lệ nghịch với n.
Đề bài
Cho hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau:
x
5
4
-8
?
6
12
y
?
?
-5
9
?
?
a) Tìm hệ số tỉ lệ
b) Tìm các giá trị chưa biết trong bảng trên
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Nếu đại lượng x và y liên hệ với nhau bởi công thức x.y = a không đổi thì x, y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ a.
b) Thay giá trị x ( hoặc y) đã biết vào công thức ở câu a để tính giá trị y ( hoặc x) tương ứng.
Lời giải chi tiết
a) Khi x = -8 thì y = -5
Theo công thức tỉ lệ nghịch ta có : x.y = (-5).(-8) = 40
Vậy hệ số tỉ lệ là 40
b) Khi x = 5 ta có : 5.y = 40 \( \Rightarrow \) y = 8
Khi x = 4 ta có : 4.y = 40 \( \Rightarrow \) y = 10
Khi y = 9 ta có : 9.x = 40 \( \Rightarrow x = \dfrac{{40}}{9}\)
Khi x = 6 ta có : 6.y = 40 \( \Rightarrow y = \dfrac{{40}}{6} = \dfrac{{20}}{3}\)
Khi x = 12 ta có 12.y = 40 \( \Rightarrow y = \dfrac{{40}}{{12}} = \dfrac{{10}}{3}\)
Đề bài
Cho biết a (m) là chu vi của bánh xe, b là số vòng quay được của bánh xe trên đoạn đường xe đi từ A đến B. Hỏi a và b có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau không?
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu hai đại lượng x và y liên hệ với nhau bởi công thức x.y = a không đổi thì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.
Lời giải chi tiết
Chu vi bánh xe . số vòng quay được của bánh xe = Quãng đường xe đi từ A đến B ( không đổi) nên ta được:
a . b = s ( s không đổi).
Do đó, a và b là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.
Đề bài
Đội sản xuất Quyết Tiến dùng x máy gặt (có cùng năng suất) để gặt xong một cánh đồng hết y giờ. Hai đại lượng x và y có tỉ lệ nghịch với nhau hay không?
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định nghĩa về tỉ lệ nghịch
Lời giải chi tiết
Hai đại lượng x và y có tỉ lệ nghịch với nhau vì tích x.y luôn không đổi
Đề bài
Có 20 công nhân với năng suất làm việc như nhau đóng xong một chiếc tàu trong 60 ngày. Hỏi nếu chỉ còn 12 công nhân thì họ đóng xong chiếc tàu đó trong bao nhiêu ngày?
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Số công nhân và số ngày hoàn thành là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Lời giải chi tiết
Gọi thời gian mà 12 người cần để đóng xong chiếc tàu là x ( ngày) (x > 0)
Vì số công nhân tỉ lệ nghịch với số ngày hoàn thành nên theo tính chất 2 đại lượng tỉ lệ nghịch, ta được:
\(20.60=12.x \Rightarrow x = \dfrac{20.60}{12}=100\)
Vậy nếu chỉ còn 12 công nhân thì họ đóng xong chiếc tàu đó trong 100 ngày.
Đề bài
Cho biết hai đại lượng a và b tỉ lệ nghịch với nhau và khi a = 3 thì b = -10
a) Tìm hệ số tỉ lệ
b) Hãy biểu diễn a theo b
c) Tính giá trị của a khi b = 2, b = 14
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hai đại lượng a và b tỉ lệ nghịch theo hệ số k nếu a.b = k ( k là hằng số)
Lời giải chi tiết
a) Vì a tỉ lệ nghịch với b và a = 3, b = -10
Áp dụng công thức tỉ lệ nghịch ta có :
a.b = 3 . (-10) = -30
Vậy hệ số tỉ lệ là -30
b) Ta có a.b = -30
\( \Rightarrow a = \dfrac{-30}{b}\)
c) Theo công thức \(a = \dfrac{-30}{b}\)
Khi b = 2 thì \(a = \dfrac{-30}{2}=-15\)
Khi b = 14 thì \(a = \dfrac{-30}{14}=\dfrac{-15}{7}\)
Video hướng dẫn giải
HĐ 1
a) Mẹ của Mai nhập về 20 kg đậu xanh để bán. Mai giúp mẹ chia đậu thành các gói nhỏ bằng nhau để dễ bán. Gọi s là số gói, m (kg) là khối lượng của mỗi gói.
Em hãy tính tích s.m và tìm s khi:
m = 0,5 m = 1 m = 2b) Một vòi nước chảy vào bể cạn có dung tích là 100 l. Gọi V là số lít nước chảy được từ vòi vào bể trong một giờ và gọi t là thời gian để vòi chảy đầy bể.
Em hãy lập công thức tính t theo V và tìm t khi:
V = 50 V = 100 V = 200Phương pháp giải:
Lấy tổng số đậu xanh chia cho khối lượng mỗi gói để tìm ra số gói Lấy dung tích của bể chia cho lượng nước bơm vào mỗi giờ để tính thời gianLời giải chi tiết:
a) Khi m = 0,5 ta có s = 20 : 0,5 = 40
Vậy khi m = 0,5 thì s = 40
Khi m = 1 ta có s = 20 : 1 = 20
Vậy khi m = 1 thì s = 20
Khi m = 2 ta có s = 20 : 2 = 10
Vậy khi m = 2 thì s = 10
b) Ta có: V . t = 100 nên t = 100 : V
Khi V = 50 ta có t = 100 : 50 = 2
Khi V = 100 ta có t = 100 : 50 = 1
Khi V = 200 ta có t = 100 : 200 = 0,5
Thực hành
Tìm các đại lượng tỉ lệ nghịch trong mỗi công thức sau
STT
Công thức
1
\(s = \dfrac{{50}}{m}\)
2
x = 7y
3
\(t = \dfrac{{12}}{v}\)
4
\(a = \dfrac{{ - 5}}{b}\)
Phương pháp giải:
Nếu hai đại lượng y và x liên hệ với nhau bởi công thức \(y = \dfrac{a}{x}\) hay \(xy = a\) ( với a là hằng số) thì y và x là hai đại lượng tỉ lệ nghịch theo hệ số tỉ lệ a.
Lời giải chi tiết:
Xét công thức : \(s = \dfrac{{50}}{m}\) ta thấy s tỉ lệ nghịch với m theo hệ số tỉ lệ 50
Xét công thức : x = 7y ta thấy y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ 7
Xét công thức : \(t = \dfrac{{12}}{v}\) ta thấy t tỉ lệ nghịch với v theo hệ số tỉ lệ là 12
Xét công thức : \(a = \dfrac{{ - 5}}{b}\) ta thấy a tỉ lệ nghịch với b theo hệ số tỉ lệ -5
Vận dụng 1
Lan muốn cắt một hình chữ nhật có diện tích là 12 \(c{m^2}\). Gọi a (cm) và b (cm) là hai kích thước của hình chữ nhật đó. Em hãy viết công thức thể hiện mối quan hệ giữa hai đại lượng a và b.
Phương pháp giải:
Chiều dài . Chiều rộng = Diện tích hình chữ nhật
Lời giải chi tiết:
Vì a và b là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật nên diện tích = a.b =12
\( \Rightarrow \) b tỉ lệ nghịch với a theo hệ số tỉ lệ là 12.
Video hướng dẫn giải
HĐ 2
Cho biết hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau:
x
\({x_1}\) = 1
\({x_2}\) = 2
\({x_3}\) = 3
\({x_4}\) = 4
\({x_5}\) = 5
y
\({y_1}\) = 10
\({y_2}\) = ?
\({y_3}\) = ?
\({y_4}\) = ?
\({y_5}\) = ?
a) Tìm hệ số tỉ lệ
b) Tìm mỗi giá trị thích hợp cho mỗi dấu ? trong bảng trên
c) Em có nhận xét gì về tích hai giá trị tương ứng \({x_1}{y_1}\);\({x_2}{y_2}\);\({x_3}{y_3}\);\({x_4}{y_4}\);\({x_5}{y_5}\) của x và y
Lời giải chi tiết:
a) Xét \({x_1};{y_1}\) vì y tỉ lệ nghịch với x nên ta có công thức :
\({x_1}.{y_1} = 1.10 = 10\)\( \Rightarrow \) Hệ số tỉ lệ = 10
b) Vì x.y = 10 nên ta có :
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x_2}.{y_2} = 2.? = 10 \Rightarrow ? = 5\\ \Rightarrow {x_3}.{y_3} = 3.? = 10 \Rightarrow ? = \dfrac{{10}}{3}\\ \Rightarrow {x_4}.{y_4} = 4.? = 10 \Rightarrow ? = 2,5\\ \Rightarrow {x_5}{y_5} = 5.? = 10 \Rightarrow ? = 2\end{array}\)
c) Ta thấy tích hai giá trị tương ứng \({x_1}{y_1}\);\({x_2}{y_2}\);\({x_3}{y_3}\);\({x_4}{y_4}\);\({x_5}{y_5}\) không đổi ( luôn bằng 10).
Vận dụng 2
Bạn Quỳnh vừa học được phương pháp đọc sách mới, làm tăng gấp đôi số từ đọc được trong một phút. Hãy cho biết tỉ số giữa thời gian đọc xong cùng một quyển sách theo phương pháp mới và cũ của bạn Quỳnh.
Phương pháp giải:
Tìm số lần tăng lên của số từ mỗi phút đọc được
Từ đó tìm tỉ lệ thời gian đọc mới và cũ
Lời giải chi tiết:
Vì số trang đọc được 1 phút tăng gấp đôi nên thời gian đọc mới = \(\dfrac{1}{2}\). thời gian đọc cũ.
Ta có tỉ số giữa thời gian đọc xong cùng một quyển sách theo phương pháp mới và cũ của bạn Quỳnh là: \(\dfrac{1}{2}\)
Vận dụng 3
Hãy giải bài toán ở hoạt động khởi động ( trang 16 )
Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc không đổi là 20 km/h mất 6 giờ. Hỏi nếu người đó đi bằng xe gắn máy với vận tốc không đổi là 40 km/h thì mất bao nhiêu thời gian.
Phương pháp giải:
Tính độ dài quãng đường AB
Từ độ dài AB vừa tính được ta tính thời gian dựa vào vận tốc
Chú ý: Quãng đường = vận tốc . thời gian
Lời giải chi tiết:
Độ dài quãng đường AB là : 20.6 = 120km
Người đó đi với vận tốc 40km trên quãng đường AB mất : 120 : 40 = 3 giờ
1. Các kiến thức cần nhớ
Định nghĩa tỉ lệ nghịch
+ Nếu đại lượng $y$ liên hệ với đại lượng $x$ theo công thức \(y = \dfrac{a}{x}\) hay \(xy = a\) (với $a$ là hằng số khác $0$) thì ta nói $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a.$
+ Khi đại lượng $y$ tỉ lệ nghịch với đại lượng $x$ thì $x$ cũng tỉ lệ nghịch với $y$ và ta nói hai đại lượng đó tỉ lệ nghịch với nhau.
Ví dụ: Nếu \(y = \dfrac{2}{x}\) thì $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ là $2.$
Chú ý: Khi \(y\) tỉ lệ nghịch với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(a\), ta cũng nói \(x\) tỉ lệ nghịch với \(y\) theo hệ số tỉ lệ \(a\)
Tính chất
* Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau thì:
+ Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn luôn không đổi.
+ Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.
* Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ \(a\) thì:
\({x_1}{y_1} = {x_2}{y_2} = {x_3}{y_3} = ... = a\)
\(\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \dfrac{{{y_2}}}{{{y_1}}};\dfrac{{{x_1}}}{{{x_3}}} = \dfrac{{{y_3}}}{{{y_1}}};...\)
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Bảng giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ nghịch
Phương pháp:
+ Xác định hệ số tỉ lệ \(a.\)
+ Dùng công thức \(y = \dfrac{a}{x}\) hoặc \(x = \dfrac{a}{y}\) để tìm các giá trị tương ứng của $x$ và \(y.\)
Dạng 2: Xét tương quan tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng khi biết bảng các giá trị tương ứng của chúng
Phương pháp:
Xét xem tất cả các tích các giá trị tương ứng của hai đại lượng có bằng nhau không?
Nếu bằng nhau thì hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Nếu không bằng nhau thì hai đại lượng không tỉ lệ nghịch.
Dạng 3: Bài toán về các đại lượng tỉ lệ nghịch
Phương pháp:
+ Xác định rõ các đại lượng có trên đề bài.
+ Xác định tương quan tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng.
+ Áp dụng tính chất về tỉ số các giá trị của hai đại lượng tỉ lệ nghịch và tính chất tỉ lệ thức để giải bài toán.
Dạng 4: Chia một số thành những phần tỉ lệ nghịch với các số cho trước
Phương pháp:
Giả sử chia số $M$ thành ba phần \(x;y;z\) tỉ lệ nghịch với các số \(a,b,c\) cho trước. Ta có
\(ax = by = cz\) hay \(\dfrac{x}{{\dfrac{1}{a}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{1}{b}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{1}{c}}}.\)
Như vậy để chia số $M$ thành các phần tỉ lệ nghịch với các số \(a,b,c\) (khác \(0\)), ta chỉ cần chia số $M$ thành các phần tỉ lệ thuận với các số \(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}\) (đã biết cách làm).
Giải bài tập những môn khác
Môn Toán học Lớp 7
Môn Ngữ văn Lớp 7
Môn Khoa học tự nhiên Lớp 7
Môn Tiếng Anh Lớp 7
Môn Lịch sử và Địa lí Lớp 7
Lời giải và bài tập Lớp 7 đang được quan tâm
