[SGK Toán Lớp 7 Chân Trời Sáng Tạo] Bài 7. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Bài học này tập trung vào nghiên cứu tính chất quan trọng của ba đường trung tuyến trong một tam giác. Chúng ta sẽ khám phá mối quan hệ giữa ba đường trung tuyến này, từ đó rút ra những kết luận hữu ích trong việc giải quyết các bài toán hình học. Mục tiêu chính là giúp học sinh hiểu rõ và vận dụng thành thạo tính chất này để giải quyết các bài tập liên quan.
2. Kiến thức và kỹ năngSau khi hoàn thành bài học, học sinh sẽ:
Hiểu rõ khái niệm: Đường trung tuyến của tam giác, điểm trọng tâm. Nhận biết và mô tả được tính chất: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm, điểm này gọi là trọng tâm của tam giác. Vận dụng thành thạo: Công thức tính độ dài đoạn thẳng liên quan đến các đường trung tuyến. Chứng minh được tính chất: Các tính chất trên thông qua các bài tập minh họa. Áp dụng: Giải quyết các bài tập về tính toán, chứng minh liên quan đến đường trung tuyến và trọng tâm. Nắm vững: Khái niệm và tính chất của tam giác, đường trung tuyến. 3. Phương pháp tiếp cậnBài học được thiết kế dựa trên phương pháp kết hợp lý thuyết với thực hành. Các bước sẽ được triển khai như sau:
1. Giới thiệu khái niệm:
Giải thích rõ ràng về đường trung tuyến và trọng tâm của tam giác.
2. Phân tích tính chất:
Đưa ra các ví dụ minh họa và phân tích chi tiết tính chất của ba đường trung tuyến.
3. Chứng minh:
Cùng học sinh phân tích các bước chứng minh tính chất quan trọng.
4. Bài tập áp dụng:
Đưa ra nhiều bài tập khác nhau từ dễ đến khó để học sinh có cơ hội thực hành.
5. Giải đáp thắc mắc:
Tạo không gian cho học sinh đặt câu hỏi và được giải đáp.
Kiến thức về đường trung tuyến và trọng tâm có nhiều ứng dụng trong thực tế, mặc dù không trực tiếp. Ví dụ, trong thiết kế kiến trúc, các kỹ sư có thể sử dụng kiến thức về trọng tâm để đảm bảo sự cân bằng và ổn định của các cấu trúc. Ngoài ra, kiến thức này còn đóng vai trò quan trọng trong các lĩnh vực liên quan đến hình học và toán học ứng dụng.
5. Kết nối với chương trình họcBài học này là một phần quan trọng trong chương trình hình học lớp 7. Nó liên quan đến các khái niệm đã học trước đó như tam giác, đường trung tuyến và hình học phẳng. Đồng thời, nó cũng tạo nền tảng cho việc học các bài học về hình học phức tạp hơn ở các lớp học tiếp theo.
6. Hướng dẫn học tậpĐể học hiệu quả bài học này, học sinh nên:
Đọc kỹ lý thuyết: Hiểu rõ các khái niệm và tính chất được trình bày trong bài. Vẽ hình minh họa: Vẽ hình để hình dung rõ hơn về tính chất của đường trung tuyến. Làm các bài tập: Thực hành giải các bài tập để vận dụng kiến thức đã học. Tìm hiểu thêm: Tìm hiểu thêm các tài liệu khác liên quan đến chủ đề. Hỏi đáp: Không ngại đặt câu hỏi khi gặp khó khăn. Làm việc nhóm: Thảo luận với bạn bè để cùng nhau hiểu rõ hơn. Danh sách 40 keywords:1. Đường trung tuyến
2. Tam giác
3. Trọng tâm
4. Hình học
5. Điểm
6. Tính chất
7. Chứng minh
8. Giải toán
9. Áp dụng
10. Phân tích
11. Hình học phẳng
12. Khái niệm
13. Lớp 7
14. Toán học
15. Hệ thống
16. Phương pháp
17. Bài tập
18. Lý thuyết
19. Ví dụ minh họa
20. Ứng dụng thực tế
21. Cân bằng
22. Thiết kế
23. Kiến trúc
24. Kỹ thuật
25. Công thức
26. Độ dài
27. Hệ thống
28. Vẽ hình
29. Học tập
30. Học sinh
31. Bài học
32. Bài giảng
33. Phương pháp học hiệu quả
34. Thực hành
35. Tính toán
36. Mô tả
37. Xác định
38. Đo lường
39. Hệ thống kiến thức
40. Học tốt
Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A có BD và CE là hai đường trung tuyến cắt nhau tại F (Hình 10). Biết BE = 9 cm, tính độ dài đoạn thẳng DF.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Ta chứng minh F là trọng tâm tam giác ABC
- Sau đó chứng minh CD = BE
- Áp dụng định lí về trọng tâm tam giác ta tính các đoạn DF, EF
Lời giải chi tiết
Vì BE, CD là 2 trung tuyến của tam giác ABC nên E, D lần lượt là trung tuyến của AB và AC
\( \Rightarrow AD = AE = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}AC\)
Xét tam giác ADC và tam giác AEB có :
AD = AE (gt)
\(\widehat{A}\) chung
AB = AC (do \(\Delta ABC\) cân tại A )
\( \Rightarrow \Delta ADC = \Delta AEB(c - g - c)\)
\( \Rightarrow BE = CD\)(cạnh tương ứng)
Tam giác ABC có F là giao điểm của 2 trung tuyến BE, CD nên F là trọng tâm tam giác ABC
\( \Rightarrow CF = BF = \dfrac{2}{3}BE = \dfrac{2}{3}CD\) ( định lí về trung tuyến đi qua trọng tâm tam giác )
\( \Rightarrow \dfrac{1}{3}BE = \dfrac{1}{3}CD \Rightarrow DF = FE = \dfrac{1}{3}.9cm = 3cm\)
\( \Rightarrow \) DF = 3 cm
Đề bài
Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BM bằng đường trung tuyến CN. Chứng minh rằng tam giác ABC cân.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Ta chứng minh AB = AC bằng cách chứng minh 2 tam giác bằng nhau
Lời giải chi tiết
Gọi D là giao điểm của CN và BM
\( \Rightarrow \) D là trọng tâm tam giác ABC
\( \Rightarrow CD = \dfrac{2}{3}CN = BD = \dfrac{2}{3}BM\) ( do BM = CN )
\( \Rightarrow \) tam giác DBC cân tại D do BD = CD
\( \Rightarrow \) \(\widehat {DBC} = \widehat {DCB}\)(2 góc đáy trong tam giác cân) (1)
Xét \(\Delta NDB\) và \(\Delta MDC\) có :
BD = CD
\(\widehat {NDB} = \widehat {MDC}\) (2 góc đối đỉnh)
ND = DM (do cùng \( = \dfrac{1}{3}CN = \dfrac{1}{3}BM\) (tính chất của trung trực đi qua trọng tâm tam giác ))
\( \Rightarrow \Delta NDB=\Delta MDC\) (c.g.c)
\( \Rightarrow \,\widehat {NBD} = \widehat {MCD}\)(2 góc tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) do \(\widehat {ABC} = \widehat {NBD} + \widehat {DBC}\) và \(\widehat {ACB} = \widehat {MCD} + \widehat {DCB}\)
\( \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại A (do 2 góc bằng nhau)
Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A có BM và CN là hai đường trung tuyến.
a) Chứng minh rằng BM = CN
b) Gọi I là giao điểm của BM và CN, đường thẳng AI cắt BC tại H. Chứng minh H là trung điểm của BC
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Ta chứng minh 2 tam giác bằng nhau để từ đó chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau
- Ta chứng minh I là trọng tâm tam giác ABC và chứng minh AH là trung tuyến của tam giác ABC và H là trung điểm của BC
Lời giải chi tiết
a) Vì tam giác ABC cân tại A theo giả thiết. BM và CN là 2 đường trung tuyến nên M, N là 2 trung điểm của AC, AB.
Vì AB = AC (tính chất tam giác cân)
\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{AC}}{2} = AN = AM\)
Xét tam giác AMB và tam giác ANC ta có :
AM = AN (cmt)
AB = AC
Góc A chung
\( \Rightarrow \Delta AMB =\Delta ANC\)
\( \Rightarrow BM = CN\) ( 2 cạnh tương ứng )
b) Vì BM và CN là các đường trung tuyến
Mà I là giao điểm của BM và CN
\( \Rightarrow \) I là trọng tâm của tam giác ABC
\( \Rightarrow \) AI là đường trung tuyến của tam giác ABC hay AH đường là trung tuyến của tam giác ABC
\( \Rightarrow \) H là trung điểm của BC
Đề bài
Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và CN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia AM lấy điểm E sao cho ME = MG.
a) Chứng minh rằng BG song song với EC.
b) Gọi I là trung điểm của BE, AI cắt BG tại F. Chứng minh rằng AF = 2FI
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Ta dựa vào định lí ba đường trung tuyến cắt nhau tại 1 điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\)độ dài trung tuyến đi qua đỉnh ấy
- Câu a ta sẽ chứng minh 2 góc so le trong bằng nhau thông qua các tam giác bằng nhau
- Câu b ta sẽ chứng minh F là trọng tâm tam giác ABE
Lời giải chi tiết
a) Xét tam giác BGM và tam giác CEM có :
\(\widehat {GMB} = \widehat {EMC}\)(2 góc đối đỉnh)
GM = ME (do G đối xứng E qua M)
MB = MC (do M là trung điểm của BC)
\( \Rightarrow \Delta BGM = \Delta CEM(c - g - c)\)
\( \Rightarrow \widehat {GBM} = \widehat {MCE}\)(2 góc tương ứng bằng nhau)
Mà 2 góc trên ở vị trí so le trong nên BG⫽CE
b) Vì I là trung điểm BE nên AI sẽ là trung tuyến của tam giác ABE
Và BG cũng là trung tuyến của tam giác ABE do G là trung điểm AE
Vì BG cắt AI tại F nên F sẽ là trọng tâm của tam giác ABE
\(\, \Rightarrow AF = \dfrac{2}{3}AI\)(định lí về trọng tâm tam giác)
Mà AI = AF + FI \( \Rightarrow \) FI = AI – AF
\( \Rightarrow FI = AI - \dfrac{2}{3}AI = \dfrac{1}{3}AI\)
\( \Rightarrow 2FI = AF = \dfrac{2}{3}AI\)
\( \Rightarrow \) AF = 2 FI
Đề bài
Quan sát Hình 9
a) Biết AM = 15 cm, tính AG
b) Biết GN = 6 cm, tính CN
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Ta dựa vào định lí ba đường trung tuyến cắt nhau tại 1 điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\)độ dài trung tuyến đi qua đỉnh ấy
- Ta áp dụng các tỉ lệ giữa các đoạn thẳng và độ dài của chúng
Lời giải chi tiết
a) Theo đề bài ta có AM = 15 cm
Mà CN và AM là 2 trung tuyến của tam giác ABC
AM cắt CN tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC
\( \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AM\)(định lí về trọng tâm tam giác)
\( \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}\,15cm = 10cm\)
b) Vì G là trọng tâm tam giác ABC
\( \Rightarrow CG = \dfrac{2}{3}CN\)(theo tính chất của trung tuyến đi qua trọng tâm)
Mà \(CG + GN = CN\) nên ta có \(GN = CN - CG = CN - \dfrac{2}{3}CN = \dfrac{1}{3}CN\)
Theo giả thiết GN = 6cm ta có
\( \Rightarrow CN = 3GN = 3.6cm = 18cm\)
Đề bài
Quan sát Hình 8.
Tìm số thích hợp để ghi vào chỗ chấm trong các đẳng thức sau:
\(\begin{array}{l}EG = ...EM;\,\,\,GM = ...EM;\,\,\,\,GM = ...EG\\FG = ...GN;\,\,\,\,\,FN = ...GN;\,\,\,\,\,FN = ...FG\end{array}\)
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Ta dựa vào định lí ba đường trung tuyến cắt nhau tại 1 điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\) độ dài trung tuyến đi qua đỉnh ấy .
Lời giải chi tiết
\(\begin{array}{l}EG = \dfrac{2}{3}EM;\,\,\,GM = \dfrac{1}{3}EM;\,\,\,\,GM = \dfrac{1}{2}EG\\FG = 2GN;\,\,\,\,\,FN = 3GN;\,\,\,\,\,\,\,FN = \dfrac{3}{2}FG\end{array}\)
Video hướng dẫn giải
HĐ 2
a) Cắt một tam giác bằng giấy. Gấp lại để xác định trung điểm một cạnh của nó. Kẻ đoạn thẳng nối trung điểm này với đỉnh đối diện (Hình 4). Bằng cách tương tự, hãy vẽ tiếp hai đường trung tuyến còn lại.
Quan sát tam giác trên hình, em thấy ba đường trung tuyến vừa vẽ có cùng đi qua một điểm hay không.
b) Em hãy đếm ô rồi vẽ lại tam giác ABC trong Hình 5 vào giấy kẻ ô vuông. Vẽ hai đường trung tuyến BE và CF của tam giác ABC. Hai đường trung tuyến này cắt nhau tại G. Tia AG cắt BC tại D.
Em hãy quan sát vào cho biết:
- AD có phải đường trung tuyến của tam giác ABC hay không?
- Các tỉ số \(\dfrac{{BG}}{{BE}}\), \(\dfrac{{CG}}{{CF}}\), \(\dfrac{{AG}}{{AD}}\) bằng bao nhiêu ?
Lời giải chi tiết:
a)- Ta xác định trung điểm 1 cạnh bằng cách gấp sao cho 2 đỉnh của tam giác trùng nhau, khi đó giao của nét gấp đi qua 1 cạnh của tam giác sẽ là trung điểm của cạnh đó
- Rồi từ các trung điểm vừa xác định được ta kẻ các đường trung tuyến của tam giác từ các đỉnh
- Nhận xét : Ta thấy 3 đường trung tuyến trong tam giác này đều sẽ đi qua 1 điểm
b)
- Ta nối dài đoạn AG sao cho AG cắt BC tại 1 điểm
- Ta thấy điểm giao nhau giữa AG và BC chính là trung điểm của BC
- Nên AG là trung tuyến của tam giác ABC
- Ta sẽ sử dụng số đo dựa trên các ô để xét tỉ số giữa các đoạn thẳng
\(\dfrac{{BG}}{{BE}} = \dfrac{2}{3};\dfrac{{CG}}{{CF}} = \dfrac{4}{6};\dfrac{{AG}}{{AD}} = \dfrac{{4.4}}{{6.6}}\)
- Ta thấy sau khi rút gọn các tỉ số ta có :
\(\dfrac{{BG}}{{BE}} = \dfrac{{CG}}{{CF}} = \dfrac{{AG}}{{AD}} = \dfrac{2}{3}\)
Thực hành 2
Trong Hình 7, G là trọng tâm của tam giác AEF với đường trung tuyến AM.
Hãy tính các tỉ số:
a) \(\dfrac{{GM}}{{AM}}\)
b) \(\dfrac{{GM}}{{AG}}\)
c) \(\dfrac{{AG}}{{GM}}\)
Phương pháp giải:
- Ta dựa vào định lí ba đường trung tuyến cắt nhau tại 1 điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\)độ dài trung tuyến đi qua đỉnh ấy
Lời giải chi tiết:
a) Vì G là trọng tâm của tam giác AEF với đường trung tuyến AM nên theo định lí 3 đường trung tuyến cắt nhau tại trọng tâm ta có :
\(\dfrac{{AG}}{{AM}} = \dfrac{2}{3}\)\( \Rightarrow \dfrac{{GM}}{{AM}} = 1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}\)
b) Vì \(\dfrac{{AG}}{{AM}} = \dfrac{2}{3}\) và \(\dfrac{{GM}}{{AM}} = \dfrac{1}{3}\)(theo câu a)
\( \Rightarrow \dfrac{{GM}}{{AG}} = \dfrac{1}{2}\)
c) Vì \(\dfrac{{GM}}{{AG}} = \dfrac{1}{2}\)(chứng minh b)
\( \Rightarrow \dfrac{{AG}}{{GM}} = 2\)
Vận dụng 2
Cho tam giác ABC có O là trung điểm của BC, trên tia đối của tia OA, lấy điểm D sao cho OA = OD. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và BCD. Chứng minh rằng AI = IJ = JD.
Phương pháp giải:
- Ta dựa vào định lí ba đường trung tuyến cắt nhau tại 1 điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\)độ dài trung tuyến đi qua đỉnh ấy .
- Ta sẽ chứng minh AI = IJ = JD = \(\dfrac{2}{3}\)AO = \(\dfrac{2}{3}\)OD
Lời giải chi tiết:
Vì I là trọng tâm tam giác ABC theo giả thiết nên ta có
\(AI = \dfrac{2}{3}AO = 2IO\)(định lí về trọng tâm trong tam giác)
Tương tự J là trọng tâm tam giác BCD nên ta có :
\(DJ = \dfrac{2}{3}OD = 2OJ\) (định lí về trọng tâm trong tam giác)
Mà OA = OD (giả thiết)
\( \Rightarrow AI = DJ = \dfrac{2}{3}OA = \dfrac{2}{3}OD = 2OI = 2OJ\)
Mà OI = OJ do cùng \( = \dfrac{1}{3}OA = \dfrac{1}{3}OD\)(tính chất trọng tâm trong tam giác)
\( \Rightarrow 2OI = 2OJ = 2\dfrac{1}{3}AO = 2\dfrac{1}{3}OD = IJ\)
\( \Rightarrow AI = DJ = IJ = \dfrac{2}{3}OA = \dfrac{2}{3}OD\)(điều phải chứng minh)
Video hướng dẫn giải
HĐ 1
Vẽ tam giác ABC, xác định trung điểm D của cạnh BC và vẽ đoạn thẳng nối hai điểm A và D.
Phương pháp giải:
Vẽ theo yêu cầu đề bài
Lời giải chi tiết:
Thực hành 1
Em hãy viết tiếp các đường trung tuyến còn lại của tam giác ABC (Hình 1).
Phương pháp giải:
- Xác định các trung điểm của các cạnh tam giác và vẽ các đường trung tuyến
Lời giải chi tiết:
Vận dụng 1
a) Vẽ đường trung tuyến DH của tam giác DEF (Hình 2).
b) Vẽ đường trung tuyến MK của tam giác MNP (Hình 3).
c) Vẽ tam giác nhọn IJK và tất cả các đường trung tuyến của nó.
Phương pháp giải:
- Xác định các trung điểm và vẽ các trung tuyến
Lời giải chi tiết:
Giải bài tập những môn khác
Môn Toán học Lớp 7
Môn Ngữ văn Lớp 7
Môn Khoa học tự nhiên Lớp 7
Môn Tiếng Anh Lớp 7
Môn Lịch sử và Địa lí Lớp 7
Lời giải và bài tập Lớp 7 đang được quan tâm
