[SGK Toán Lớp 7 Chân Trời Sáng Tạo] Bài 8. Tính chất ba đường cao của tam giác
Bài 8. Tính chất ba đường cao của tam giác
Tiêu đề Meta: Đường cao tam giác - Tính chất Mô tả Meta: Bài học này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức chi tiết về tính chất của ba đường cao trong một tam giác. Học sinh sẽ tìm hiểu về giao điểm của các đường cao, điều kiện cần và đủ để xác định tam giác, cũng như cách áp dụng kiến thức này vào giải toán hình học. 1. Tổng quan về bài họcBài học này tập trung vào việc nghiên cứu tính chất của ba đường cao trong một tam giác. Mục tiêu chính là giúp học sinh hiểu rõ về giao điểm của ba đường cao, chứng minh tính chất đó và ứng dụng vào giải bài tập hình học. Hiểu rõ tính chất này sẽ giúp mở rộng tầm nhìn về hình học tam giác, nâng cao khả năng phân tích và giải quyết các bài toán phức tạp hơn về sau.
2. Kiến thức và kỹ năngSau khi học xong bài này, học sinh sẽ có khả năng:
Hiểu rõ: Khái niệm đường cao của tam giác, các tính chất liên quan. Vận dụng: Định lý và tính chất của đường cao trong tam giác vào các bài toán. Chứng minh: Các tính chất liên quan đến giao điểm ba đường cao. Phân tích: Các bài toán hình học phức tạp liên quan đến đường cao. Vẽ hình: Biểu diễn các đường cao và giao điểm trên hình vẽ chính xác. 3. Phương pháp tiếp cậnBài học sẽ được trình bày theo phương pháp kết hợp giữa lý thuyết và thực hành:
Giảng giải:
Giáo viên sẽ trình bày lý thuyết về đường cao của tam giác, tính chất của chúng, và chứng minh các định lý.
Minh họa:
Sử dụng hình vẽ, đồ thị để minh họa các khái niệm và tính chất.
Thảo luận:
Học sinh sẽ được khuyến khích tham gia thảo luận và đặt câu hỏi.
Bài tập:
Các bài tập được thiết kế từ dễ đến khó, giúp học sinh làm quen với các dạng bài tập khác nhau. Sẽ có hướng dẫn chi tiết từng bước giải quyết các bài tập.
Bài tập nhóm:
Các bài tập nhóm sẽ giúp học sinh làm việc nhóm, thảo luận, và học hỏi lẫn nhau.
Kiến thức về tính chất ba đường cao của tam giác được ứng dụng rộng rãi trong:
Kiến trúc: Thiết kế và tính toán các cấu trúc hình học. Đo đạc: Xác định chiều cao của vật thể. Kỹ thuật: Thiết kế các hệ thống cơ khí. Giải toán hình học: Giải quyết các bài toán hình học phức tạp. 5. Kết nối với chương trình họcBài học này kết nối với các bài học khác trong chương trình:
Bài trước: Khái niệm về tam giác, các đường thẳng quan trọng trong tam giác. Bài sau: Ứng dụng tính chất đường cao vào chứng minh các định lý và giải toán hình học phức tạp hơn. 6. Hướng dẫn học tậpĐể học tốt bài học này, học sinh cần:
Làm quen với các khái niệm: Đường cao, trọng tâm, trung tuyến. Đọc kỹ các định lý và chứng minh: Hiểu rõ nội dung và cách chứng minh. Vẽ hình chính xác: Mô tả rõ ràng hình vẽ để dễ dàng phân tích và chứng minh. Phân tích bài toán: Phân tích kĩ đề bài và tìm cách vận dụng các định lý vào giải quyết vấn đề. Làm thật nhiều bài tập: Thực hành là cách tốt nhất để hiểu và nhớ bài. Hỏi đáp: Không ngại hỏi giáo viên và các bạn nếu có thắc mắc. * Tham gia thảo luận nhóm: Trao đổi và học hỏi kinh nghiệm từ các bạn khác. Từ khóa liên quan:1. Đường cao tam giác
2. Giao điểm ba đường cao
3. Định lý đường cao
4. Hình học tam giác
5. Tam giác
6. Đường thẳng
7. Tính chất
8. Định lý
9. Chứng minh
10. Giải toán
11. Bài tập
12. Lớp 7
13. Hình học
14. Phương pháp học
15. Học toán
16. Kiến thức hình học
17. Vẽ hình
18. Thảo luận nhóm
19. Bài tập nhóm
20. Học hiệu quả
21. Kỹ năng giải toán
22. Ứng dụng thực tế
23. Kiến trúc
24. Đo đạc
25. Kỹ thuật
26. Giao điểm
27. Tam giác cân
28. Tam giác đều
29. Tam giác vuông
30. Đường trung trực
31. Trọng tâm
32. Trung tuyến
33. Đường phân giác
34. Tính chất đường cao
35. Tam giác nhọn
36. Tam giác tù
37. Định lý Thales
38. Định lý Pitago
39. Hình học không gian
40. Phương pháp giải bài tập hình học
Đề bài
Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AD, BE, CF. Biết AD = BE = CF. Chứng minh rằng tam giác ABC đều.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Ta chứng tam giác BFC = tam giác BEC
- Từ đó suy ra góc B = góc C
- Chứng minh tương tự suy ra được góc A = góc B = góc C
Lời giải chi tiết
Xét tam giác BFC và tam giác CEB có:
BC chung
FC = BE
\(\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = {90^o}\)
\(\Delta BFC = \Delta CEB\) ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)
\( \Rightarrow \widehat C = \widehat B\) (2 góc tương ứng) (1)
Xét tam giác CFA và tam giác ADC ta có:
CF = AD
AC chung
\(\widehat {ADC} = \widehat {AFC} = {90^o}\)
\(\Delta CFA = \Delta ADC\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
\( \Rightarrow \widehat C = \widehat A\) (2 góc tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat C = \widehat A = \widehat B\) \( \Rightarrow \) Tam giác ABC là tam giác đều do có 3 góc bằng nhau
Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia BA lấy điểm M sao cho BM = BC. Tia phân giác của góc B cắt AC tại H. Chứng minh rằng MH vuông góc với BC.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Ta chứng minh H là trực tâm của tam giác AMC
- Từ đó ta chứng minh MH vuông góc với BC
Lời giải chi tiết
Gọi D giao điểm của tia phân giác của góc B và MC
Xét tam giác BDM và tam giác BDC có :
BD chung
\(\widehat {MBD} = \widehat {CBD}\) ( BD là phân giác của góc B)
BM = BC ( giả thiết )
\( \Rightarrow \Delta BDM=\Delta BDC\)(c.g.c)
\( \Rightarrow \widehat {BDM} = \widehat {BDC}\)(2 góc tương ứng)
Mà 2 góc ở vị trí kề bù \( \Rightarrow \widehat {BDM} = \widehat {BDC} = {90^o} \Rightarrow BD \bot CM\)
Mà AC cắt BD tại H \( \Rightarrow \) H là trực tâm tam giác BMC
\( \Rightarrow \) MH là đường cao của tam giác BMC (định lí 3 đường cao đi qua trực tâm tam giác)
\( \Rightarrow \) MH vuông góc với BC
Đề bài
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm E thuộc cạnh AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AE. Chứng minh rằng:
a) DE vuông góc với BC b) BE vuông góc với DC
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Ta chứng minh vuông góc qua các tam giác vuông cân
- Ta chứng minh E là trực tâm của tam giác BCD
- Từ đó ta chứng minh DE vuông góc với BC và BE vuông góc DC
Lời giải chi tiết
a) Vì tam giác ABC vuông cân tại A
\( \Rightarrow \) \(\widehat B = \widehat C = {45^o}\)(2 góc ở đáy bằng nhau)
Xét tam giác AED có :
AE = AD
AC vuông góc với AB
\( \Rightarrow \) Tam giác AED vuông cân tại A
\( \Rightarrow \widehat {ADE} = \widehat {AED} = {45^o}\)
Mà \(\widehat {AED};\widehat {CEF}\)là 2 góc đối đỉnh \( \Rightarrow \widehat {AED} = \widehat {CEF} = {45^o}\)
Xét tam giác CEF áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác ta có :
\( \Rightarrow \widehat F + \widehat C + \widehat E = {180^o}\)
\( \Rightarrow \widehat F = {180^o} - {45^o} - {45^o} = {90^o} \Rightarrow EF \bot BC \Rightarrow DE \bot BC\)
b) Vì DE vuông góc với BC \( \Rightarrow \) DE là đường cao của tam giác BCD
Vì AC cắt DE tại E nên E là trực tâm tam giác BCD (Do AC cũng là đường cao của tam giác BCD)
\( \Rightarrow \)BE cùng là đường cao của tam giác BCD (định lí 3 đường cao trong tam giác đi qua trực tâm)
\( \Rightarrow \)BE vuông góc với DC
Video hướng dẫn giải
HĐ 2
Vẽ một tam giác rồi dùng êke vẽ ba đường cao của tam giác ấy (Hình 3). Em hãy quan sát và cho biết các đường cao vừa vẽ có cùng đi qua một điểm hay không.
Phương pháp giải:
- Ta sử dụng êke vẽ 3 đường cao của tam giác
- Sau đó nhận xét về các giao điểm của những đường cao ấy
Lời giải chi tiết:
Nhận xét: Các đường cao cùng đi qua 1 điểm
Thực hành 2
Cho tam giác LMN có hai đường cao LP và MQ cắt nhau tại S (Hình 6). Chứng minh rằng NS vuông góc với ML.
Phương pháp giải:
- Ta sử dụng định lí 3 đường cao của một tam giác cùng đi qua 1 điểm
Lời giải chi tiết:
Theo giả thiết ta có : LP và MQ là 2 đường cao của tam giác
Chúng cắt nhau tại S
Theo định lí 3 đường cao trong 1 tam giác cùng đi qua 1 điểm
\( \Rightarrow \)Đường cao từ đỉnh N cũng đi qua S
\( \Rightarrow \)NS là đường cao của tam giác MNL
\( \Rightarrow \) NS vuông góc với ML tại G (là chân đường cao)
Vận dụng 2
Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng qui tại trực tâm H. Tìm trực tâm của các tam giác HBC, HAB, HAC.
Phương pháp giải:
- Từ các đỉnh ta vẽ các đường cao của tam giác chúng giao nhau ở đâu thì đó là trực tâm
Lời giải chi tiết:
+) Xét tam giác HBC ta có :
HD vuông góc với BC \( \Rightarrow \) HD là đường cao tam giác HBC
BF vuông góc với HC tại F ( kéo dài HC ) \( \Rightarrow \)BF là đường cao của tam giác HBC
CE vuông góc với HB tại E ( kéo dài HB ) \( \Rightarrow \)CE là đường cao của tam giác HBC
Ta kéo dài HD, BF, CE sẽ cắt nhau tại A
\( \Rightarrow \) A là trực tâm tam giác HBC
+) Xét tam giác HAB ta có :
HF vuông góc với AB \( \Rightarrow \) HF là đường cao tam giác HAB
BH vuông góc với AE tại E ( kéo dài HB ) \( \Rightarrow \)AE là đường cao của tam giác HAB
BD vuông góc với AH tại D ( kéo dài AH ) \( \Rightarrow \)BD là đường cao của tam giác HAB
Ta kéo dài HF, BD, AE sẽ cắt nhau tại C
\( \Rightarrow \) C là trực tâm tam giác HAB
+) Xét tam giác HAC ta có :
HE vuông góc với AC \( \Rightarrow \) HE là đường cao tam giác HAC
AF vuông góc với HC tại F ( kéo dài HC ) \( \Rightarrow \)AF là đường cao của tam giác HAC
CD vuông góc với AH tại D ( kéo dài AH ) \( \Rightarrow \)CD là đường cao của tam giác HAC
Ta kéo dài CD, HE, AF sẽ cắt nhau tại B
\( \Rightarrow \) B là trực tâm tam giác HAC.
Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm H thuộc cạnh AB. Vẽ HM vuông góc với BC tại M. Tia MH cắt tia CA tại N. Chứng minh rằng CH vuông góc với NB.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta chứng minh H là trực tâm của tam giác NBC
Lời giải chi tiết
Vì tam giác ABC vuông tại A theo giả thiết nên BA vuông góc với AC
Vì HM cắt AC tại N mà HM vuông góc với BC (giả thiết)
\( \Rightarrow \) NM vuông góc với BC tại M
Xét tam giác NBC có NM và BA là 2 đường cao
Mà MN cắt AB tại H nên H là trực tâm của tam giác NBC
\( \Rightarrow \) CH đường cao của tam giác NBC (3 đường cao của tam giác đi qua 1 điểm)
\( \Rightarrow \) CH vuông góc với NB
Video hướng dẫn giải
HĐ 1
Em hãy dựng tam giác ABC trên giấy, sau đó dùng êke vẽ đoạn thẳng vuông góc từ đỉnh B đến cạnh AC của tam giác.
Phương pháp giải:
- Ta dùng êke với cạnh góc vuông đi qua đỉnh B
- Cạnh góc vuông còn lại của êke nằm trùng với AC
Lời giải chi tiết:
- Ta dùng êke với cạnh góc vuông đi qua đỉnh B
- Cạnh góc vuông còn lại của êke nằm trùng với AC
Thực hành 1
Vẽ ba đường cao AH, BK, CE của tam giác nhọn ABC
Phương pháp giải:
- Ta sử dụng thước êke để vẽ đường cao từ các đỉnh
- Ta đặt 1 cạnh góc vuông của êke đi qua 1 đỉnh của tam giác và cạnh góc vuông còn lại của êke trùng với cạnh đối diện với đỉnh đang vẽ .
- Sau đó ta vẽ đường cao của tam giác bằng cạnh góc vuông đi qua đỉnh cần vẽ
Lời giải chi tiết:
Vận dụng 1
Vẽ đường cao xuất phát từ đỉnh B của tam giác vuông ABC (Hình 2a)
Vẽ đường cao xuất phát từ đỉnh F của tam giác tù DEF (Hình 2b
Phương pháp giải:
- Ta sử dụng thước êke để vẽ đường cao từ các đỉnh
- Ta đặt 1 cạnh góc vuông của êke đi qua 1 đỉnh của tam giác và cạnh góc vuông còn lại của êke trùng với cạnh đối diện với đỉnh đang vẽ .
- Sau đó ta vẽ đường cao của tam giác bằng cạnh góc vuông đi qua đỉnh cần vẽ
Lời giải chi tiết:
a) Ta thấy ở tam giác ABC vuông tại A thì BA chính là đường cao từ đỉnh B của tam giác vuông ABC
b) Ta thấy đường cao tam giác tù DEF xuất phát từ đỉnh F sẽ nằm ngoài tam giác DEF và chân đường cao nằm trên đoạn kéo dài của đoạn ED.
Giải bài tập những môn khác
Môn Toán học Lớp 7
Môn Ngữ văn Lớp 7
Môn Khoa học tự nhiên Lớp 7
Môn Tiếng Anh Lớp 7
Môn Lịch sử và Địa lí Lớp 7
Lời giải và bài tập Lớp 7 đang được quan tâm
