SGK Toán Lớp 7 Chân Trời Sáng Tạo

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SGK Toán Lớp 7 Chân Trời Sáng Tạo] Bài tập cuối chương 8

Hướng dẫn học bài: Bài tập cuối chương 8 - Môn Toán học Lớp 7 Lớp 7. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'SGK Toán Lớp 7 Chân Trời Sáng Tạo Lớp 7' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.

Đề bài

Trên đường thẳng a lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K). Kẻ đường thẳng b vuông góc với a tại J, trên b lấy điểm M khác điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt b tại N. Chứng minh rằng KN vuông góc với MI.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta chứng minh N là trực tâm của tam giác MIK

Lời giải chi tiết

Vì b vuông góc với a tại J (theo giả thiết) và M thuộc b

\( \Rightarrow MJ \bot IK\)(1)

Vì đường thẳng qua I vuông góc với MK và cắt b tại N (gọi C là giao của MK và đường thẳng qua I vuông góc với MK)

\( \Rightarrow MK \bot IC\)(2)

Từ (1) và (2)\( \Rightarrow \)N là trực tâm ΔMIK

\( \Rightarrow \)NK là đường cao của ΔMIK (Các đường cao trong tam giác đi qua trực tâm)

\( \Rightarrow \)KN \( \bot \)MI

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc C cắt AB ở M. Từ B kẻ BH vuông góc với đường thẳng CM (H ∈ CM). Trên tia đối của tia HC lấy điểm E sao cho HE = HM.

a) Chứng minh rằng tam giác MBE cân.

b) Chứng minh rằng \(\widehat {EBH} = \widehat {ACM}\)

c) Chứng minh rằng \(EB \bot BC\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a)Ta chứng minh \(\Delta \)BME có 2 cạnh bên hoặc 2 góc đáy bằng nhau thông qua việc chứng minh 2 tam giác EHB và MHB bằng nhau.

b)Ta chứng minh \(\widehat {EBH} = \widehat {ACM}\)do cùng = \(\widehat {MBH}\)

c)Ta chứng minh\(\widehat {EBH} + \widehat {BCE} = {90^o}\)

Lời giải chi tiết

a)Xét \(\Delta \)BHE và \(\Delta \)BHM có :

BH là cạnh chung

EH = HM (do M đối xứng E qua H)

\(\widehat {BHE} = \widehat {BHM} = {90^o}\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta \)BHE = \(\Delta \)BHM (c-g-c)

\( \Rightarrow \)BM = BE (cạnh tương ứng)

và \(\widehat {EBH} = \widehat {MBH}\)(góc tương ứng) (1)

\( \Rightarrow \)\(\Delta \)BEM cân tại B (2 cạnh bên bằng nhau)

b)Xét \(\Delta \)BHM vuông tại H \( \Rightarrow \widehat {BMH} + \widehat {MBH} = {90^o}\)

Xét \(\Delta \)AMC vuông tại A \( \Rightarrow \widehat {AMC} + \widehat {MCA} = {90^o}\)

Mà \(\widehat {HMB} = \widehat {AMC}\)(2 góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \widehat {MCA} = \widehat {MBH} = {90^o} - \widehat {AMC} = {90^o} - \widehat {HMB}\)(2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {EBH} = \widehat {ACM}\)

c)Vì \(\widehat {BCM} = \widehat {ACM}\) (do CM là phân giác góc C)

\( \Rightarrow \widehat {EBH} = \widehat {BCM}\)(cùng bằng \(\widehat {AMC}\)) (3)

Xét \(\Delta \)EHB vuông tại H có \(\widehat {EBH} + \widehat {BEH} = {90^o}\)(4)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \widehat {BCM} + \widehat {BEH} = {90^o}\)

\( \Rightarrow \widehat {EBC} = {90^o} \Rightarrow EB \bot BC\)

Đề bài

Ở Hình 1, cho biết AE = AF và \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\). Chứng minh AH là đường trung trực của BC.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta chứng minh A và H cùng thuộc đường trung trực của đoạn BC thông qua chứng minh chúng cách đều 2 đầu mút của đoạn BC.

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết ta có tam giác ABC cân tại A do có 2 góc đáy bằng nhau

\( \Rightarrow \)A cách đều 2 đều B, C

\( \Rightarrow \) A thuộc trung trực đoạn thẳng BC (1) (Tính chất điểm cách đều 2 đầu mút đoạn thẳng)

Xét \(\Delta \)AEC và \(\Delta \)AFB ta có :

AE = AF

Góc A chung

AC = AB

\( \Rightarrow \Delta AEC = \Delta AFB\)(c-g-c)

\( \Rightarrow \widehat {ECA} = \widehat {FBA}\)(góc tương ứng)

Ta có: \(\widehat {ABC} = \widehat {ABF} + \widehat {FBC}\)

\(\widehat {ACB} = \widehat {ACE} + \widehat {ECB}\)

Mà \(\widehat {ACB} = \widehat {ABC}\)(giả thiết) và \(\widehat {ECA} = \widehat {FBA}\)(chứng minh trên)

\( \Rightarrow \widehat {ECB} = \widehat {FBC}\)\( \Rightarrow \)\(\Delta \)HBC cân tại H do có 2 góc đáy bằng nhau

\( \Rightarrow \) H cách đều BC \( \Rightarrow \) H thuộc trung trực BC (2) (Tính chất điểm cách đều 2 đầu mút đoạn thẳng)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) AH là trung trực của BC

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = \(\dfrac{1}{2}\)AC, AD là tia phân giác \(\widehat {BAC}\)(D ∈ BC). Gọi E là trung điểm của AC.

a) Chứng minh rằng DE = DB

b) AB cắt DE tại K. Chứng minh rằng tam giác DCK cân và B là trung điểm của đoạn thẳng AK.

c) AD cắt CK tại H. Chứng minh rằng AH\( \bot \)KC.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh BD = DE thông qua việc chứng minh 2 tam giác BAD và EAD bằng nhau

b) Chứng minh \(\Delta \)CDK cân tại D do có 2 cạnh bên DK = DC

c) Chứng minh \(\Delta \)KAC vuông cân tại A và AD là phân giác nên cũng là đường cao của \(\Delta \)KAC \( \Rightarrow \)AH\( \bot \)KC

Lời giải chi tiết

a) Xét \(\Delta \)BAD và \(\Delta \)EAD có :

AD là cạnh chung

AB = AE =\(\dfrac{1}{2}\)AC

\(\widehat {BAD} = \widehat {EAD}\)(do AD là phân giác góc A)

\( \Rightarrow \Delta BAD = \Delta EAD\)(c-g-c)

\( \Rightarrow \)DE = DB (cạnh tương ứng) và \(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\)(góc tương ứng)

b) Xét \(\Delta \)KAE và \(\Delta \)CAB có :

AE = AB

\(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\)(chứng minh a)

Góc A chung

\( \Rightarrow \Delta KAE = \Delta CAB\)(g-c-g)

\( \Rightarrow \)KE = CB (cạnh tương ứng)

Mà KE = ED + DK và CB = BD + DC

\( \Rightarrow \)KE – ED = CB – BD \( \Rightarrow \)DK = DC

\( \Rightarrow \)\(\Delta DCK\)cân tại D

+) Xét \(\Delta \)KDB và \(\Delta \)CDE có :

DB = DE

DK = DC

\(\widehat {KDB} = \widehat {CDE}\)(2 góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \Delta KDB = \Delta CDE\)(c-g-c)

\( \Rightarrow \)KB = EC \( \Rightarrow \) KB = AB (do cùng = EC) \( \Rightarrow \)B là trung điểm AK

c) Vì \(\Delta KAE\) = \(\Delta CAB\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \)AK = AC (cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow \)\(\Delta \)AKC vuông cân tại A

Mà AD là phân giác góc A nên AD sẽ vừa là phân giác vừa là đường cao của \(\Delta \)AKC

\( \Rightarrow \)AD\( \bot \)KC

\( \Rightarrow \)AH\( \bot \)KC (do H \(in\) AD)

Đề bài

Cho tam giác nhọn MNP. Các trung tuyến ME và NF cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia FN lấy điểm D sao cho FN = FD.

a) Chứng minh rằng \(\Delta \)MFN = \(\Delta \)PFD

b) Trên đoạn thẳng FD lấy điểm H sao cho F là trung điểm của GH. Gọi K là trung điểm của GK. Chứng minh rằng ba điểm M, H, K thẳng hàng.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh \(\Delta \)MFN = \(\Delta \)PFD theo trường họp cạnh góc cạnh

Sử dụng tính chất của điểm đối xứng qua một điểm, trung điểm của 1 đoạn thẳng và 2 góc đối đỉnh

b) Chứng minh H là trọng tâm của tam giác MPD sau đó dựa vào tính chất ta suy ra M, H, K thẳng hàng

Lời giải chi tiết

a) Vì N đối xứng với D qua F (theo giả thiết)

Nên NF = DF (1)

Vì F là trung điểm của MP (theo giả thiết)

Nên MF = PF (2)

Vì góc NFM và góc PFD ở vị trí đối đỉnh nên 2 góc bằng nhau (3)

Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow \)\(\Delta \)MFN = \(\Delta \)PFD (c-g-c)

b) Xét tam giác MPD có :

F là trung điểm MD,

K là trung điểm DP (theo giả thiết)

Mà 2 đường trung tuyến của tam giác MPD là DF và MK cắt nhau tại H

\( \Rightarrow \) H là trọng tâm \(\Delta \)MPD

\( \Rightarrow \) M, H, K thẳng hàng

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), vẽ đường cao AH. Đường trung trực của BC cắt AC tại M, cắt BC tại N.

a) Chứng minh rằng \(\widehat {BMN} = \widehat {HAC}\)

b) Kẻ \(MI \bot AH\)(I ∈ AH), gọi K là giao điểm của AH và BM. Chứng minh rằng I là trung điểm của AK.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Ta xét tam giác BMC cân tại M nên \(\widehat {MBC} = \widehat {MCB}\)

Nên \(\widehat {BMN} = \widehat {HAC} = {90^o} - \widehat {MBC} = {90^o} - \widehat {MBC}\)

b) Ta chứng minh I là trung điểm của AK do \(\Delta MAI = \Delta MKI\)(g-c-g)

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác BMC cân tại M (Do M thuộc đường trung trực của BC nên MB = MC) có : \(\widehat {MBC} = \widehat {MCB}\) (góc tương ứng)

Mà \(\widehat {BMN} = {90^o} - \widehat {MBC}\) và \(\widehat {HAC} = {90^o} - \widehat {BCM}\)

\( \Rightarrow \)\(\widehat {BMN} = \widehat {HAC}\)

b) Ta có MN⫽AH (do cùng vuông góc với BC)

\( \Rightarrow \widehat {AKM} = \widehat {KMN}\) (2 góc so le trong)

Mà \(\widehat {BMN} = \widehat {HAC}\)( chứng minh a)

\( \Rightarrow \widehat {KAM} = \widehat {AKM}\) (do cùng =\(\widehat {BMN}\))

Xét \(\Delta MIA\) và \(\Delta MIK\) có :

IM cạnh chung

\(\widehat {KAM} = \widehat {AKM}\)

\(\widehat {AIM} = \widehat {MIK} = {90^o}\)

\( \Rightarrow \Delta MIA = \Delta MIK\) (cạnh góc vuông-góc nhọn)

\( \Rightarrow \)AI = IK (cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow \) I là trung điểm AK

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BA = BN. Kẻ \(BE \bot AN\)(E ∈ AN).

a) Chứng minh rằng BE là tia phân giác của giác ABN.

b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của BH với CE. Chứng minh rằng NK // CA.

c) Đường thẳng BK cắt AC tại F. Gọi G là giao điểm của đường thẳng AB với NF. Chứng minh rằng tam giác GBC cân.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Ta chứng minh \(\widehat {ABE} = \widehat {NBE}\) bằng cách chứng minh 2 tam giác BAF và BNF bằng nhau .

b) Ta chứng minh NK song song với CA do có 2 góc so le trong bằng nhau

c) Ta chứng minh góc BGC bằng góc BCG

Lời giải chi tiết

a) Xét \(\Delta BAE\) và \(\Delta BNE\) có :

BA = BN (giả thiết)

BF cạnh chung

\(\widehat {BEA} = \widehat {BEN}\)

\( \Rightarrow \Delta BAE = \Delta BNE\)(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow \widehat {ABF} = \widehat {NBF}\)(góc tương ứng)

\( \Rightarrow \) BE là phân giác của góc ABN

b) Vì K là giao của 2 đường cao \( \Rightarrow \)K là trực tâm tam giác ABN

\( \Rightarrow \) KN vuông góc với AB(1)

Vì CA vuông góc với AB ( tam giác ABC vuông tại A)(2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) KN song song với CA (quan hệ cùng vuông góc với 1 đường)

c) Ta có \(\Delta BAF = \Delta BNF(c - g - c)\)do có :

\(\widehat {BEA} = \widehat {BEN}\)

BF cạnh chung

BN = BA

\( \Rightarrow \widehat {BNF} = \widehat {BAF}\) (2 góc tương ứng).

Mà \(\widehat {BAF} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {BNF} = \widehat {BAF} = {90^o}\)

\( \Rightarrow GN \bot BC\)

Ta có CA và GN là 2 đường cao của tam giác GBC

\( \Rightarrow \)F là trực tâm của tam giác GBC

\( \Rightarrow \)BF vuông góc với GC tại P

Xét \(\Delta BGP\) và \(\Delta BCP\) ta có :

BP cạnh chung

\(\widehat {BPC} = \widehat {BPG} = {90^o}\)

\(\widehat {PBC} = \widehat {PBG}\)

\( \Rightarrow \Delta BGP = \Delta BCP(c - g - c)\)

\( \Rightarrow BC = BG\)(2 cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow \)Tam giác GBC cân tại B

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), vẽ đường cao AH. Trên tia đối của HC lấy điểm D sao cho HD = HC.

a) Chứng minh rằng AD = AC.

b) Chứng minh rằng \(\widehat {ADH} = \widehat {BAH}\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Ta chứng minh tam giác ACD cân tại A sau đó suy ra AC = AD

b) Ta chứng minh \(\widehat {BAH} + \widehat {HAC} = {90^o} = \widehat {HAC} + \widehat {HCA}\) và \(\widehat D = \widehat C\)

Lời giải chi tiết

a) Xét \(\Delta AHD\) và \(\Delta AHC\) có :

AH chung

DH = HC ( C đối xứng D qua H)

\(\widehat {AHD} = \widehat {AHC} = {90^o}\)

\( \Rightarrow \Delta AHD = \Delta AHC(c - g - c)\)

\( \Rightarrow AD = AC\)(cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow \Delta ADC\)cân tại A \( \Rightarrow \widehat C = \widehat D\)(góc tương ứng)(1)

b) Ta có \(\widehat {BAH} + \widehat {HAC} = {90^o}\)và \(\widehat {HCA} + \widehat {HAC} = {90^o}\)

\( \Rightarrow \widehat {BAH} = \widehat {HCA}\)(2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {ADH} = \widehat {BAH}\)

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểm M sao cho H là trung điểm của AM.

a) Chứng minh rằng tam giác ABM cân.

b) Chứng minh rằng \(\Delta ABC = \Delta MBC\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Ta chứng minh BM = BA thông qua việc chứng minh 2 tam giác BHA và BHM bằng nhau

b) Ta chứng minh góc ABH = góc MBH sau đó chứng minh 2 tam giác đề bài yêu cầu bằng nhau theo trường hợp c-g-c

Lời giải chi tiết

a) Xét \(\Delta BHA\) và \(\Delta BHM\) có :

\(\widehat {BHA} = \widehat {BHM} = {90^o}\)

BH cạnh chung

AH = HM (do M đối xứng với A qua H)

\( \Rightarrow \Delta BHA = \Delta BHM(c - g - c)\)

\( \Rightarrow AB = BM\) (cạnh tương ứng) và \(\widehat {ABH} = \widehat {MBH}\)

\( \Rightarrow \Delta ABM\) cân tại B (2 cạnh bên bằng nhau)

b) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta MBC\) ta có :

AB = BM (câu a)

\(\widehat {ABH} = \widehat {MBH}\)(câu a)

BC cạnh chung

\( \Rightarrow \Delta ABC = \Delta MBC(c - g - c)\)

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A (\(\widehat A < {90^o}\)). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rẳng \(\Delta BFC = \Delta CEB\)

b) Chứng minh rằng \(\Delta AEH = \Delta AFH\)

c) Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh rằng ba điểm A,H,I thẳng hàng.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Ta sử dụng định lí cạnh huyền – góc nhọn trong tam giác vuông

b) Từ câu a ta chứng minh 2 tam giác AHF = tam giác AHE nhờ những cạnh của 2 tam giác chứng minh được bằng nhau từ câu trên

c) Ta chứng minh AI và AH cùng là phân giác của góc A

Lời giải chi tiết

a) Xét \(\Delta BFC\) và \(\Delta CEB\) có:

BC là cạnh chung

\(\widehat B = \widehat C\)(\(\Delta ABC\) cân tại A)

\(\widehat {BEC} = \widehat {CFB} = {90^o}\)

\( \Rightarrow \Delta BFC = \Delta CEB\)(cạnh huyền – góc nhọn )

b) Vì \(\Delta BFC = \Delta CEB \Rightarrow \) BF = EC (2 cạnh tương ứng)

Mà AB = AC (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\( \Rightarrow \) AF = AE (AB – BF = AC – EC )

Xét \(\Delta AEH\) và \(\Delta AFH\)ta có :

AF = AE (chứng minh trên)

AH cạnh chung

\(\widehat {HFA} = \widehat {HEA} = {90^o}\)

\( \Rightarrow \Delta AEH = \Delta AFH\)(cạnh huyền - cạnh góc vuông)

c) Vì CF, BE là những đường cao của tam giác ABC và H là giao điểm của chúng

\( \Rightarrow \) H là trực tâm của tam giác ABC

\( \Rightarrow \) AH vuông góc với BC (1)

Xét \(\Delta AIC\) và \(\Delta AIB\) có :

IB = IC (I là trung điểm BC)

AI là cạnh chung

AB = AC ( tam giác ABC cân tại A)

\( \Rightarrow \Delta AIC = \Delta AIB(c - c - c)\)

\( \Rightarrow \widehat {AIC} = \widehat {AIB}\) (2 góc tương ứng) Mà chúng ở vị trí kề bù \( \Rightarrow \widehat {AIC} = \widehat {AIB} = {90^o}\)\( \Rightarrow AI \bot BC\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) A, H, I thẳng hàng.