SBT Toán Lớp 12 Chân trời sáng tạo

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SBT Toán Lớp 12 Chân trời sáng tạo] Giải bài 8 trang 32 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

{"metatitle":"Giải bài tập BEHDF | Học tốt mọi môn","metadescription":"Hướng dẫn chi tiết cách giải bài tập GIECA với phương pháp dễ hiểu và đầy đủ. Tài liệu học tập giúp học sinh nắm vững kiến thức và cải thiện kỹ năng làm bài."}

đề bài

khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 2}}{{{\rm{x}} - 1}}$;

b) $y = - 2{\rm{x}} + \frac{1}{{2{\rm{x}} + 1}}$.

phương pháp giải - xem chi tiết

sơ đồ khảo sát hàm số:

bước 1. tìm tập xác định của hàm số.

bước 2. xét sự biến thiên của hàm số

‒ tìm đạo hàm $y'$, xét dấu $y'$, xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.

‒ tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

‒ lập bảng biến thiên của hàm số.

bước 3. vẽ đồ thị hàm số

‒ xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (nếu có và dễ tìm),…

‒ vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

‒ vẽ đồ thị hàm số.

lời giải chi tiết

1. tập xác định: $d = \mathbb{r}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

2. sự biến thiên:

• chiều biến thiên:

đạo hàm

$y' = \frac{{{{\left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 2} \right)}^\prime }\left( {{\rm{x}} - 1} \right) - \left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 2} \right){{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {2{\rm{x}} - 2} \right)\left( {{\rm{x}} - 1} \right) - \left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 2} \right)}}{{{{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}}}}{{{{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}$.

$y' = 0 \leftrightarrow x = 0$ hoặc ${\rm{x}} = 2$

trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$, $y' > 0$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

trên khoảng $\left( {0;2} \right)$, $y' < 0$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

• cực trị:

hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và ${{y}_{cđ}}=-2$.

hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ và ${y_{ct}} = 2$.

• tiệm cận:

ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 2}}{{{\rm{x}} - 1}}} \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 2}}{{{\rm{x}} - 1}}} \right) = + \infty $

vậy $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

ta có: $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 2}}{{x\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}} = 1$ và

$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 2}}{{{\rm{x}} - 1}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x + 2}}{{x - 1}} = - 1$

vậy đường thẳng $y = {\rm{x}} - 1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

• bảng biến thiên:

3. đồ thị

ta có $y = 0 \leftrightarrow {x^2} - 2{\rm{x}} + 2 = 0$ (phương trình vô nghiệm).

vậy đồ thị hàm số không có giao điểm với trục $ox$.

đồ thị hàm số giao với trục $oy$ tại điểm $\left( {0; - 2} \right)$.

vậy đồ thị hàm số được biểu diễn như hình vẽ.

đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm $i\left( {1;0} \right)$.

b) $y = - 2{\rm{x}} + \frac{1}{{2{\rm{x}} + 1}} = \frac{{ - 4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 1}}{{2{\rm{x}} + 1}}$

1. tập xác định: $d = \mathbb{r}\backslash \left\{ { - \frac{1}{2}} \right\}$.

2. sự biến thiên:

• chiều biến thiên:

đạo hàm $y' = - 2 - \frac{2}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}}$.

vì $y' < 0$ với mọi $x \ne - \frac{1}{2}$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right)$ và $\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)$.

• tiệm cận:

ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{2}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{2}}^ - }} \left( {\frac{{ - 4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 1}}{{2{\rm{x}} + 1}}} \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{2}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{2}}^ + }} \left( {\frac{{ - 4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 1}}{{2{\rm{x}} + 1}}} \right) = + \infty $

vậy $x = - \frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

ta có: $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 1}}{{x\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}} = - 2$ và

$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) + 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - 2{\rm{x}} + \frac{1}{{2{\rm{x}} + 1}} + 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{2{\rm{x}} + 1}} = 0$

vậy đường thẳng $y = 2{\rm{x}}$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

• bảng biến thiên:

3. đồ thị

ta có $y = 0 \leftrightarrow - 4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 1 = 0 \leftrightarrow x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{4}$ hoặc $x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4}$.

vậy đồ thị hàm số giao với trục $ox$ tại hai điểm $\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{4};0} \right)$ và $\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4};0} \right)$.

đồ thị hàm số giao với trục $oy$ tại điểm $\left( {0;1} \right)$.

vậy đồ thị hàm số được biểu diễn như hình vẽ.