Tài liệu số phức do thầy Trần Văn Toàn biên soạn gồm 37 trang với nội dung chủ đạo là các bài toán liên quan đến tập hợp biểu diễn số phức. Tài liệu nêu rõ các tính chất cần nắm để giải quyết các bài toán tìm tập hợp biểu diễn số phức, cùng với các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết đi kèm. Ngoài ra, tài liệu còn trình bày một số kiến thức bổ trợ có liên quan.
Khái quát nội dung tài liệu tập hợp biểu diễn số phức – Trần Văn Toàn:
Chương 1. Số phức
1.1 Tập hợp biểu diễn số phức.
• Tính chất 1.1. Cho hai số phức z và z1. Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z, A là điểm biểu diễn cho số phức z1. Đại lượng |z − z1| là độ dài đoạn thẳng AM.
• Tính chất 1.2. Cho số phức z1 = a + bi, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả |z − z1| = R là đường tròn tâm I(a;b), bán kính R.
• Tính chất 1.3. Cho các số phức z, z1, z2 thoả |z − z1| = R. Tập hợp biểu diễn của số phức w = z + z2 là đường tròn có tâm là điểm biểu diễn cho số phức z1 + z2 và bán kính bằng R.
• Tính chất 1.4. Cho các số phức z, z1, z2 (z2 khác 0), z3 với |z − z1| = R. Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w = z.z2 + z3 là đường tròn có tâm là điểm biểu diễn cho số phức z1.z2 + z3, bán kính bằng |z2|R.
• Tính chất 1.5. Cho các số phức z, z1, z2 (z2 khác 0), z3 với |z − z1| = R. Tìm tập hợp biểu diễn của số phức w = z/z2 + z3 là đường tròn có tâm là điểm biểu diễn cho số phức z1/z2 + z3, bán kính đường tròn bằng R/|z2|.
• Tính chất 1.6. Cho hai số phức z, z1 thoả |z − z1| = R. Giá trị lớn nhất của |z| là |z1| + R và giá trị nhỏ nhất của |z| là ||z1| − R|.
• Tính chất 1.7. Cho hai số phức z, z1 thoả |z − z1| = R. Giá trị lớn nhất của |z + z2| là |z1 + z2| + R và giá trị nhỏ nhất của |z + z2| là ||z1 + z2| − R|.
• Tính chất 1.8. Cho các số phức z, z1 (z1 khác 0), z2 thoả |z.z1 + z2| = R. Giá trị lớn nhất của |z| là (R + |z2|)/|z1|, giá trị nhỏ nhất của |z| là |R −|z2||/|z1|.
• Tính chất 1.9. Cho các số phức z, z1 (z1 khác 0), z2 thoả |z.z1 + z2| = R. Giá trị lớn nhất của |z + z3| là R/|z1| + |z4|, giá trị nhỏ nhất của |R/|z1| − |z4||, ở đây z4 = z3 − z2/z1.
[ads]
• Tính chất 1.10. Cho các số phức z, z1, z2, z3 thoả |z − z1| = |z − z2|. Tìm giá trị nhỏ nhất của môđun số phức w = z + z3.
• Tính chất 1.11. Cho đường thẳng ∆ có phương trình ax + by + c = 0 và hai điểm C(x1, y1), D(x2, y2). Đặt f (x, y) = ax + by + c. Ta có:
1) C và D ở cùng phía của ∆ khi và chỉ khi (ax1 + by1 + c)(ax2 + by2 + c) > 0.
2) C và D ở khác phía của ∆ khi và chỉ khi (ax1 + by1 + c)(ax2 + by2 + c) < 0.
• Tính chất 1.12. Cho các số phức z, z1, z2, z3, z4 thoả |z − z1| = |z − z2|. Tìm giá trị nhỏ nhất của w = |z − z3| + |z − z4|.
• Tính chất 1.13. Cho đường tròn (C) và hai điểm A, B cố định thuộc (C). Điểm M trên (C) sao cho MA + MB:
1) nhỏ nhất khi và chỉ khi M trùng với A hay M trùng với B.
2) lớn nhất khi M là một trong hai giao điểm của đường trung trực đoạn AB với đường tròn (C).
• Tính chất 1.14. Cho hai số phức z, z1 thoả |z − z1| + |z + z1| = k. Giá trị lớn nhất của |z| là k/2 và giá trị nhỏ nhất của |z| là √(k^2/4 − |z1|^2).
• Tính chất 1.15. Cho hai số phức z, z1 thoả m|z − z1| + n|z + z1| = k. Tìm giá trị lớn nhất của và giá trị nhỏ nhất |z|.
• Tính chất 1.16. Cho (C) là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD và M là điểm trên (C). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tổng S = AM + BM + CM + DM.
• Tính chất 1.17. Với hai số phức z1, z2 tuỳ ý, ta có:
1) |z1 + z2|^2 +|z1 − z2|^2 = 2(|z1|^2 + |z2|^2).
2) (|z1| + |z2|)^2 ≤ |z1 + z2|^2 + |z1 − z2|^2. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi |z1| = |z2|.
1.2 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.
Chương 2. Tiếp tuyến
2.1 Hàm phân thức.
2.2 Hàm bậc ba.
