30 câu trắc nghiệm xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Để xác định một điểm $M$ ta cần phải chỉ rõ vị trí của điểm đó đối với hình vẽ. Thông thường ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng $\overrightarrow {OM} = \vec a$, trong đó $O$ và $a$ đã được xác định. Ta thường sử dụng các tính chất về:
• Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số $k$.
• Hình bình hành.
• Trung điểm của đoạn thẳng.
• Trọng tâm tam giác, …
Câu 1: Cho $\overrightarrow {AB} $ khác $\vec 0$ và cho điểm $C$.Có bao nhiêu điểm $D$ thỏa $\left| {\overrightarrow {AB} \left| = \right|\overrightarrow {CD} } \right|$ ?
A. Vô số.
B. 1 điểm.
C. 2 điểm.
D. Không có điểm nào.
Lời giải
Chọn A
Ta có $\left| {\overrightarrow {AB} \left| = \right|\overrightarrow {CD} } \right| \Leftrightarrow AB = CD$.
Suy ra tập hợp các điểm $D$ là đường tròn tâm $C$ bán kính $AB$.
Câu 2: Cho đoạn thẳng $AB,M$ là điểm thỏa $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {BA} = \vec O$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $M$ là trung điểm $AB$.
B. $M$ trùng $A$.
C. $M$ trùng $B$.
D. A là trung điểm $MB$.
Lời giải
Chọn D
$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {BA} = \vec O \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AB} = \vec O \Leftrightarrow A$ là trung điểm $MB$.
Câu 3: Cho 2 điểm phân biệt $A,B$. Tìm điểm $I$ thỏa $\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {BI} $. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Ilà trung điểm $AB$.
B. I thuộc đường trung trực của $AB$.
C. Không có điểm $I$.
D. Có vô số điểm $I$.
Lời giải
Chọn A
$\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {BI} \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \vec O \Leftrightarrow I$ là trung điểm $AB$.
Câu 4: Cho $\vartriangle ABC,B$. Tìm điểm $I$ để $\overrightarrow {IA} $ và $\overrightarrow {CB} $ cùng phương. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $I$ là trung điểm $AB$.
B. $I$ thuộc đường trung trực của $AB$.
C. Không có điểm $I$.
D. Có vô số điểm $I$.
Lời giải
Chọn D
$\overrightarrow {IA} $ và $\overrightarrow {CB} $ cùng phương nên $AI//CB$. Suy ra có vô số điểm $I$.
Câu 5: Cho 2 điểm phân biệt $A,B$. Tìm điểm $M$ thỏa $\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} = \vec O$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. M là trung điểm $AB$.
B. Mthuộc đường trung trực của $AB$.
C. Không có điểm $M$.
D. Có vô số điểm $M$.
Lời giải
Chọn C
$\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} = \vec O \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} = \vec O$ (vô lý).
Câu 6: Cho tam giác $ABC,M$ là điểm thỏa $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \vec O$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Mlà trung điểm $AB$.
B. $M$ là trọng tâm $\vartriangle ABC$.
C. $M$ trùng $B$.
D. A là trung điểm $MB$.
Lời giải
Chọn B
$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \vec O$ nên $M$ là trọng tâm $\vartriangle ABC$.
Câu 7: Cho tứ giác $ABCD,M$ là điểm thỏa $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} $. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $M$ trùng $D$.
B. $M$ trùng $A$.
C. $M$ trùng $B$.
D. $M$ trùng $C$.
Lời giải
Chọn D
$\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AC} $
Câu 8: Cho $ABCD$ là hình bình hành, $M$ là điểm thỏa $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} $. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $M$ trùng $D$.
B. $M$ trùng $A$.
C. $M$ trùng $B$.
D. $M$ trùng $C$.
Lời giải
Chọn D
$\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} $.
Câu 9: Cho $ABCD$ là hình bình hành tâm $O,M$ là điểm thỏa $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {OC} $. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $M$ trùng $O$.
B. $M$ trùng $A$.
C. $M$ trùng $B$.
D. $M$ trùng $C$.
Lời giải
Chọn A
$\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {OC} $ suy ra $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AO} $ ( $O$ là trung điểm $AC$ ) nên $M$ trùng $O$.
Câu 10: Cho tứ giác $PQRN$ có $O$ là giao điểm 2 đường chéo, $M$ là điểm thỏa $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} = \overrightarrow {ON} $. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $M$ trùng $P$.
B. $M$ trùng $Q$.
C. $M$ trùng $O$.
D. $M$ trùng $R$.
Lời giải
Chọn C
$\overrightarrow {ON} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} \Leftrightarrow \overrightarrow {NM} = \overrightarrow {NO} $.
Câu 11: Cho $\vartriangle ABC$, tìm điểm $M$ thỏa $\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {CM} – \overrightarrow {CA} $. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $M$ là trung điểm $AB$.
B. $M$ là trung điểm $BC$.
C. $M$ là trung điểm $CA$.
D. $M$ là trọng tâm $\vartriangle ABC$.
Lời giải
Chọn D
$\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {CM} – \overrightarrow {CA} \Leftrightarrow \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AM} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \vec O$
Suy ra $M$ là trọng tâm $\vartriangle ABC$.
Câu 12: Cho $\vartriangle DEF$, tìm $M$ thỏa $\overrightarrow {MD} – \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \vec O$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow {MF} = \overrightarrow {ED} $.
B. $\overrightarrow {FM} = \overrightarrow {ED} $.
C. $\overrightarrow {EM} = \overrightarrow {DF} $.
D. $\overrightarrow {FM} = \overrightarrow {DE} $.
Lời giải
Chọn B
$\overrightarrow {MD} – \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \vec O \Leftrightarrow \overrightarrow {ED} + \overrightarrow {MF} = \vec O \Leftrightarrow \overrightarrow {FM} = \overrightarrow {ED} $.
Suy ra $M$ là điểm cuối của vec tơ có điểm đầu là $F$ sao cho $\overrightarrow {FM} = \overrightarrow {ED} $.
Câu 13: Cho $\vartriangle ABC$, tìm điểm $M$ thỏa $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {BC} – \overrightarrow {BM} – \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA} $. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $M$ là trung điểm $AB$.
B. $M$ là trung điểm $BC$.
C. $M$ là trung điểm $CA$.
D. $M$ là trọng tâm $\vartriangle ABC$.
Lời giải
Chọn C
$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {BC} – \overrightarrow {BM} – \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \vec O$
Suy ra $M$ là trung điểm $AC$.
Câu 14: Cho $\vartriangle ABC,D$ là trung điểm $AB,E$ là trung điểm $BC$, điểm $M$ thỏa $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {BC} – \overrightarrow {BM} – \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA} $. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {CM} $.
B. $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {ED} $.
C. $M$ là trung điểm $BC$.
D. $\overrightarrow {EM} = \overrightarrow {BD} $.
Lời giải
Chon D
$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {BC} – \overrightarrow {BM} – \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \vec O$
Suy ra $M$ là trung điểm $AC$. Suy ra $BEMD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {EM} = \overrightarrow {BD} $.
Câu 15: Trên đường thẳng $MN$ lấy điểm $P$ sao cho $\overrightarrow {MN} = – 3\overrightarrow {MP} $. Điểm $P$ được xác định đúng trong hình vẽ nào sau đây:
Hình 1
Hinh 3
Hình 2
Hình 4
A. Hình 3
B. Hình 4
C. Hình 1
D. Hình 2
Lời giải
Chọn A
$\overrightarrow {MN} = – 3\overrightarrow {MP} \Rightarrow \overrightarrow {MN} $ ngược hướng với $\overrightarrow {MP} $ và $\left| {\overrightarrow {MN} \left| { = 3} \right|\overrightarrow {MP} } \right|$.
Câu 16: Cho ba điểm phân biệt $A,B,C$. Nếu $\overrightarrow {AB} = – 3\overrightarrow {AC} $ thì đẳng thức nào dưới đây đúng?
A. $\overrightarrow {BC} = – 4\overrightarrow {AC} $
B. $\overrightarrow {BC} = – 2\overrightarrow {AC} $
C. $\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {AC} $
D. $\overrightarrow {BC} = 4\overrightarrow {AC} $
Lời giải
Chọn D
Câu 17: Cho hình bình hành $ABCD$, điểm $M$ thõa mãn $4\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} $. Khi đó điểm $M$ là:
A. Trung điểm của $AC$
B. Điểm $C$
C. Trung điểm của $AB$
D. Trung điểm của $AD$
Lời giải
Chọn A
Theo quy tắc hình bình hành, ta có: $4\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow 4\overrightarrow {AM} = 2 \cdot \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow {AC} \Rightarrow M$ là trung điểm của $AC$.
Câu 18: Cho tam giác $ABC$ có điểm $O$ thỏa mãn: $\left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} – 2\overrightarrow {OC} \left| = \right|\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} } \right| \cdot $ Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Tam giác $ABC$ dều
B. Tam giác $ABC$ cân tại $C$
C. Tam giác $ABC$ vuông tại $C$
D. Tam giác $ABC$ cân tại $B$
Lời giải
Chọn C
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Ta có:
$\left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} – 2\overrightarrow {OC} \left| = \right|\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} \left| \Leftrightarrow \right|\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OB} – \overrightarrow {OC} \left| = \right|\overrightarrow {BA} \left| \Leftrightarrow \right|\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| = AB$
$ \Leftrightarrow \left| {2 \cdot \overrightarrow {CI} } \right| = AB \Leftrightarrow 2CI = AB \Leftrightarrow CI = \frac{1}{2}AB \Rightarrow $ Tam giác $ABC$ vuông tại $C$.
Câu 19: Cho đoạn thẳng $AB$ và $M$ là một điểm trên đoạn $AB$ sao cho $MA = \frac{1}{5}AB$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
A. $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} $
B. $\overrightarrow {MA} = – \frac{1}{4}\overrightarrow {MB} $
C. $\overrightarrow {MB} = – 4\overrightarrow {MA} $
D. $\overrightarrow {MB} = – \frac{4}{5}\overrightarrow {AB} $
Lời giải
Chọn D
Ta thấy $\overrightarrow {MB} $ và $\overrightarrow {AB} $ cùng hướng nên $\overrightarrow {MB} = – \frac{4}{5}\overrightarrow {AB} $ là sai.
Câu 20: Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ tùy ý. Chứng minh rằng vectơ $\vec v = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} – 2\overrightarrow {MC} $. Hãy xác định vị trí của điểm $D$ sao cho $\overrightarrow {CD} = \vec v$.
A. $D$ là điểm thứ tư của hình bình hành $ABCD$
B. $D$ là điểm thứ tư của hình bình hành $ACBD$
C. $D$ là trọng tâm của tam giác $ABC$
D. $D$ là trực tâm của tam giác $ABC$
Lời giải
Chọn B
Ta có: $\vec v = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} – 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MB} – \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {CI} $ (Với $I$ là trung điểm của $AB$ )
Vậy vectơ $\vec v$ không phụ thuộc vào vị trú điểm $M$. Khi đó: $\overrightarrow {CD} = \vec v = 2\overrightarrow {CI} \Rightarrow I$ là trung điểm của $CD$ Vậy $DD$ là điểm thứ tư của hình bình hành $ACBD$.
Câu 21: Cho $\vartriangle ABC,I$ là trung điểm của $AC$. Vị trí điểm $N$ thỏa mãn $\overrightarrow {NA} + 2\overrightarrow {NB} = \overrightarrow {CB} $ xác định bởi hệ thức:
A. $\overrightarrow {BN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BI} $
B. $\overrightarrow {BN} = 2\overrightarrow {BI} $
C. $\overrightarrow {BN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BI} $
D. $\overrightarrow {BN} = 3\overrightarrow {BI} $
Lời giải
Chọn C.
Ta có: $\overrightarrow {NA} + 2\overrightarrow {NB} = \overrightarrow {CB} \Leftrightarrow \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NB} = \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {NB} $
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NC} = – \overrightarrow {NB} \Leftrightarrow 2\overrightarrow {NI} = – \overrightarrow {NB} \Rightarrow \overrightarrow {BN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BI} $
Câu 22: Cho $\vartriangle ABC$. Xác định điểm $I$ sao cho: $2\overrightarrow {IA} – 3\overrightarrow {IB} = 3\overrightarrow {BC} $.
A. Điểm $I$ là trung điểm của cạnh $AC$
B. Điểm $C$ là trung điểm của cạnh $IA$
C. Điểm $C$ chia đoạn $IA$ theo tỉ số -2
D. Điểm $I$ chia đoạn $AC$ theo tỉ số 2
Lời giải
Chọn C.
$2\overrightarrow {IA} – 3\overrightarrow {IB} = 3\overrightarrow {BC} $
$\; \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA} – 2\overrightarrow {IB} – \overrightarrow {IB} = 3\overrightarrow {BC} $
$ \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {IA} – \overrightarrow {IB} } \right) = 2\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {BC} $
$ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {BA} = 2\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {IC} $
$ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {BA} – 2\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {IC} $
$ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {IC} \Leftrightarrow \overrightarrow {CI} = – 2\overrightarrow {CA} $
Câu 23: Cho $\vartriangle ABC$ có $M$ là trung điểm $AB$ và $N$ trên cạnh $AC$ sao cho $NC = 2NA$. Xác định điểm $K$ sao cho $3\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} – 12\overrightarrow {AK} = \vec 0$.
A. Điểm $K$ là trung điểm cạnh $AM$
B. Điểm $K$ là trung điểm cạnh $BN$
C. Điểm $K$ là trung điểm cạnh $BC$
D. Điểm $K$ là trung điểm cạnh $MN$
Lời giải
Chọn D.
$M$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AM} $
$\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AN} $
$ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} – 12\overrightarrow {AK} = \vec 0$
$ \Leftrightarrow 6\overrightarrow {AM} + 6\overrightarrow {AN} – 12\overrightarrow {AK} = \vec 0$
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {AK} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} } \right)$
$ \Rightarrow K$ là trung điểm của $MN$.
Câu 24: Cho $\vartriangle ABC$. Tìm điểm $N$ sao cho: $2\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \vec 0$.
A. $N$ là trọng tâm $\vartriangle ABC$
B. $N$ là trung điểm của $BC$
C. $N$ là trung điểm của $AK$ với $K$ là trung điểm của $BC$
D. $N$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận $AB$ và $AC$ làm 2 cạnh
Lời giải
Chọn C.
Gọi $K$ là trung điểm $BC$
$ \Rightarrow \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = 2\overrightarrow {NK} $
Nên $2\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \vec 0$
$ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {NA} + 2\overrightarrow {NK} = \vec 0$
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NK} = \vec 0$
$ \Rightarrow N$ là trung điểm $AK$
Câu 25: Cho $\vartriangle ABC$. Xác định điểm $M$ sao cho: $\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {CB} $.
A. $M$ là trung điểm cạnh $AB$
B. $M$ là trung điểm cạnh $BC$
C. $M$ chia đoạn $AB$ theo tỉ số 2
D. $M$ là trọng tâm $\vartriangle ABC$
Lời giải
Chọn D.
$\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {CB} $
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {MC} $
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {0 \Rightarrow } M$ là trọng tâm $\vartriangle ABC$
Câu 26: Cho $\vartriangle ABC$ có trọng tâm $G$, điểm $M$ thỏa mãn $2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \vec 0$. Khi đó điểm $M$ thỏa mãn hệ thức nào sau đây?
A. $\overrightarrow {GM} = \frac{1}{6}\overrightarrow {BC} $
B. $\overrightarrow {GM} = \frac{1}{6}\overrightarrow {CA} $
C. $\overrightarrow {GM} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} $
D. $\overrightarrow {GM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {CB} $
Lời giải
Chọn A.
$2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} $
$ = 2\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right) + \overrightarrow {MC} – \overrightarrow {MB} $
$ = 6\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {BC} = \vec 0$
$ \Rightarrow \overrightarrow {GM} = \frac{1}{6}\overrightarrow {BC} $
Câu 27: Gọi $G$ là trọng tâm $\vartriangle ABC$. Nối điểm $M$ thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} = \vec 0$ thì $M$ ở vị trí nào trong hình vẽ:
A. Miền (1)
B. Miền (2)
C. Miền (3)
D. Ở ngoài $\vartriangle ABC$
Lời giải
Chọn B.
Ta có $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} = \vec 0$
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = – 3\overrightarrow {MC} $
$ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {MG} = – 3\overrightarrow {MC} \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} = – \overrightarrow {MC} $
Hay $M$ là trung điểm của $GC$
Câu 28: Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 4\overrightarrow {AM} $. Khi đó điểm $M$ trùng với điểm:
A. $O$
B. $I$ là trung điểm đoạn $OA$
C. $I$ là trung điểm đoạn $OC$
D. $C$
Lời giải
Chọn A.
Ta có
$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 4\overrightarrow {AM} $
$\; \Leftrightarrow 4\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AC} $
$ \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \Rightarrow M \equiv O$
Câu 29: Cho ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng. Gọi điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow {MA} = \alpha \overrightarrow {MB} + \beta \overrightarrow {MC} $; $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$. Nếu $M$ là trọng tâm $\vartriangle ABC$ thì $\alpha ,\beta $ thỏa mãn điều kiện nào sau đây?
A. ${\alpha ^2} – {\beta ^2} = 0$
B. $\alpha \cdot \beta = 1$
C. $\alpha – \beta = 0$
D. Cả A, B, C đều đúng
Lời giải
Chọn D.
Ta có $M$ là trọng tâm thì $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \vec 0$ So sánh với
$\overrightarrow {MA} = \alpha \overrightarrow {MB} + \beta \overrightarrow {MC} $
$ \Rightarrow \alpha = – 1;\beta = – 1$
Câu 30: Cho $\vartriangle ABC$. Nếu điểm $D$ thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} – 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {CD} $ với $M$ tùy ý, thì $D$ là đỉnh của hình bình hành:
A. $ABCD$
B. $ACBD$
C. $ABED$ với $E$ là trung điểm của $BC$
D. $ACED$ với $B$ là trung điểm của $EC$
Lời giải
Chọn D.
$\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} – 3\overrightarrow {MC} $
$ = \overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {CM} + \overrightarrow {CM} $
$ = \left( {\overrightarrow {CA} + 2\overrightarrow {CB} } \right) = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CE} $
Vậy $D$ là đỉnh của hình bình hành $ACED$.
