Các dạng toán bài Tích của một vectơ với một số giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ
Để chứng minh một đẳng thức vectơ, ta thường:
• Chứng minh vế trái bằng vế phải hoặc ngược lại.
• Sử dụng giả thiết suy ra đẳng thức vectơ.
• Dùng các hệ thức như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác.
• Tính chất của các hình (tam giác đều, tam giác vuông, hình vuông, hình chữ nhật …).
Bài 1. Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $M,N$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $AB,CD$. Chứng minh rằng $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} $.
Lời giải
Ta có: $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} $
$ = 2\overrightarrow {MN} + \left( {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {AM} } \right) + \left( {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right)$
$ = 2\overrightarrow {MN} + \vec 0 + \vec 0 = 2\overrightarrow {MN} $ (1)
Lại có,$\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} $
$ = \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \vec 0 + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} $ (2)
Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM
Bài 2. Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$.
a) Chứng minh rằng: $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {EF} $
b) Gọi $G$ là trung điểm của $EF$. Chứng minh rằng $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0$
Lời giải
a) $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {FC} } \right) + \left( {\overrightarrow {BE} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {FD} } \right)$
$ = 2\overrightarrow {EF} + \left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BE} } \right) + \left( {\overrightarrow {FC} + \overrightarrow {FD} } \right)$
$ = 2\overrightarrow {EF} + \vec 0 + \vec 0 = 2\overrightarrow {EF} $ (1)
$\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {FD} } \right) + \left( {\overrightarrow {BE} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {FC} } \right)$
$ = 2\overrightarrow {EF} + \vec 0 + \vec 0 = 2\overrightarrow {EF} $ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {EF} $
b) $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GE} + 2\overrightarrow {GF} = 2\left( {\overrightarrow {GE} + \overrightarrow {GF} } \right) = 2\vec 0 = \vec 0$
Bài 3. Cho hình bình hành $ABCD$. Chứng minh rằng: $\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AC} $
Lời giải
$VT = \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) + 2\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} + 2\overrightarrow {AC} = 3\overrightarrow {AC} = VP$
Bài 4. Chứng minh rằng nếu $G$ và $G’$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ thì $3\overrightarrow {GG’} = \overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {BB’} + \overrightarrow {CC’} $.
Lời giải
$VP = \overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {BB’} + \overrightarrow {CC’} $
$ = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {G’} + \overrightarrow {G’A’} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GG’} + \overrightarrow {G’B’} + \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GG’} + \overrightarrow {G’C’} $
$ = 3\overrightarrow {GG’} + \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {G’A’} + \overrightarrow {G’B’} + \overrightarrow {G’C’} $
$ = 3\overrightarrow {GG’} – \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \overrightarrow {G’A’} + \overrightarrow {G’B’} + \overrightarrow {G’C’} = 3\overrightarrow {GG’} = VP$.
Bài 5. Cho tam giác $ABC$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng $\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} = \vec 0$.
Lời giải
Ta có
$\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right)$
$ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CB} } \right) = \vec 0$
Bài 6. Cho tứ giác $ABCD,O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Gọi $G,G’$ theo thứ tự là trọng tâm của tam giác $OAB$ và $OCD$. Chứng minh rằng $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 3\overrightarrow {GG’} $.
Lời giải
Vì $G’$ là trọng tâm của tam giác $OCD$ nên ta có:
$\overrightarrow {GG’} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} } \right)\left( 1 \right)$
Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $OAB$ nên ta có:
$\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {GO} = – \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} } \right)\left( 2 \right)$
Từ (1) và $\left( 2 \right) \Rightarrow \overrightarrow {GG’} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {GC} – \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GD} – \overrightarrow {GB} } \right) = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right)$
$ \Rightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 3\overrightarrow {GG’} $
Bài 7. Cho tam giác $ABC$ với $H,O,G$ lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm của tam giác. Chứng minh $\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG} $.
Lời giải
Gọi $D$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$, ta có
$BH//DC$ (cùng vuông góc với $AC$ ) (1) . $CH$ // $BD$ (cùng vuông góc với $AB$ ) (2).
Từ (1) và $\left( 2 \right)$ suy ra tứ giác $BHCD$ là hình bình hành $ \Rightarrow $ ba điểm $H,M,D$ thẳng hàng.
$ \Rightarrow \overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} $.
Ta có $\overrightarrow {OH} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AH} = \overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} $.
Do $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} $. Suy ra $\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG} $.
Bài 8. Cho $\vartriangle ABC$ vuông tại $B$ có $\hat A = {30^ \circ },AB = a$. Gọi $I$ là trung điểm của $AC$. Hãy tính:
a) $\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right|$
b) $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right|$
Lời giải
Ta có: $BC = ABtanA = atan{30^ \circ } = \frac{{a\sqrt 3 }}{3},AC = \frac{{AB}}{{cosA}} = \frac{a}{{cos{{30}^ \circ }}} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$
a) $\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \left| = \right|2\overrightarrow {BI} \left| { = 2} \right|\overrightarrow {BI} } \right| = 2BI = 2 \cdot \frac{{AC}}{2} = AC = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$.
b) $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \left| = \right|2\overrightarrow {AM} \left| { = 2} \right|\overrightarrow {AM} } \right| = 2AM = 2\sqrt {A{B^2} + B{M^2}} = 2\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {39} }}{3}$.
Bài 9. Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a$. Tính
a) $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} } \right|$
b) $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right|$
Lời giải
a) $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} \left| = \right|\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {AC} \left| = \right|\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} \left| = \right|2\overrightarrow {AC} \left| { = 2} \right|\overrightarrow {AC} } \right| = 2AC = 2a$ b) Gọi $H$ là trung điểm của $BC$. Ta có:
$\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \left| = \right|2\overrightarrow {AH} \left| { = 2} \right|\overrightarrow {AH} } \right| = 2AH = 2\sqrt {A{B^2} – B{H^2}} = 2\sqrt {{a^2} – {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = a\sqrt 3 $
DẠNG 2: BIỂU THỊ MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG
Để phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương, ta thường sử dụng:
• Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ.
• Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác.
• Tính chất của các hình (tam giác đều, tam giác vuông, hình vuông, hình chữ nhật …).
Bài 1. Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ là một điểm trên cạnh $BC$ sao cho $MB = 2MC$. Hãy phân tích vecto $\overrightarrow {AM} $ theo hai vectơ $\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} $.
Lời giải
Ta có: $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {AC} – \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} – \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} $
$ \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} $
Bài 2. Cho $\vartriangle ABC$ có trọng tâm $G$. Cho các điểm $D,E,F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$ và $I$ là giao điểm của $AD$ và $EF$. Đặt $\vec u = \overrightarrow {AE} ,\vec v = \overrightarrow {AF} $. Hãy phân tích các vectơ $\overrightarrow {AI} $, $\overrightarrow {AG} ,\overrightarrow {DE} ,\overrightarrow {DC} $ theo hai vectơ $\vec u$ và $\vec v$.
Lời giải
Ta có: $AEDF$ là hình bình hành $ \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} $
Ta có $\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\vec u + \vec v} \right)$
$\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} } \right) = \frac{2}{3}\left( {\vec u + \vec v} \right)$
$\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {FA} = – \overrightarrow {AF} = 0 \cdot \vec u + \left( { – 1} \right)\vec v$
$\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {FE} = \overrightarrow {AE} – \overrightarrow {AF} = \vec u – \vec v$
Bài 3. Cho $AK$ và $BM$ là hai trung tuyến của tam giác $ABC$, trọng tâm $G$. Hãy phân tích các vectơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} $ theo hai vectơ $\vec u = \overrightarrow {AK} ,\vec v = \overrightarrow {BM} $
Lời giải
$*\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AK} – \frac{2}{3}\overrightarrow {BM} $
$*\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BK} = 2\left( {\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GK} } \right) = 2 \cdot \frac{2}{3}\overrightarrow {BM} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AK} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AK} + \frac{4}{3}\overrightarrow {BM} $
$*\overrightarrow {CA} = – \overrightarrow {AC} = – \left( {\overrightarrow {AK} + \overrightarrow {KC} } \right) = – \left( {\overrightarrow {AK} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right)$
Bài 4. Cho tam giác $ABC$. Điểm $M$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $MB = 2MC$. Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow {AM} $ theo hai vector $\vec u = \overrightarrow {AB} ,\;\vec v = \overrightarrow {AC} $.
Lời giải
Từ giả thiết $MB = 2MC$ ta dễ dàng chứng minh được $\overrightarrow {BM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} $.
Do đó $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} $ mà $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{3}\vec u + \frac{2}{3}\vec v$.
Bài 5. Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Hãy biểu thị $\overrightarrow {AM} $ theo hai vectơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AD} $.
Lời giải
$\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} $
DẠNG 3: HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG-BA ĐIỂM THẲNG HÀNG-HAI ĐIỂM TRÙNG NHAU
Để chứng minh ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó thoả mãn đẳng thức $\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} $, với $k \ne 0$.
• Để chứng minh hai điểm $M,N$ trùng nhau ta chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức $\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {ON} $, với O là một điểm nào đó hoặc $\overrightarrow {MN} = \vec 0$.
Bài 1. Cho tam giác $ABC$ có trung tuyến $AM$. Gọi $I$ là trung điểm $AM$ và $K$ là điểm thuộc $AC$ sao cho $AK = \frac{1}{3}AC$. Chứng minh ba điểm $B,I,K$ thẳng hàng.
Lời giải
Ta có $I$ là trung điểm của $AM \Rightarrow 2\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BM} $.
Mặt khác $M$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} $.
Do đó $2\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \Leftrightarrow 4\overrightarrow {BI} = 2\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} $
$\overrightarrow {BK} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AK} = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BC} – \overrightarrow {BA} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} $
$ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {BK} = 2\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \left( 2 \right)$.
Từ (1) và $\left( 2 \right) \Rightarrow 3\overrightarrow {BK} = 4\overrightarrow {BI} \Rightarrow \overrightarrow {BK} = \frac{4}{3}\overrightarrow {BI} $.
Suy ra 3 điểm $B,I,K$ thẳng hàng.
Bài 2. Cho tam giác $ABC$. Hai điểm $M,N$ được xác định bởi hệ thức: $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MA} = \vec 0$ và $\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {NA} – 3\overrightarrow {AC} = \vec 0$. Chứng minh $MN//AC$.
Lời giải
Ta có
$\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} – \overrightarrow {NA} – 3\overrightarrow {AC} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {MN} – 3\overrightarrow {AC} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {AC} \left( 1 \right).$
Mặt khác, $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MA} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AM} $.
Do ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng nên bốn điểm $A,B,C,M$ là bốn đỉnh của hình bình hành $BCMA \Rightarrow $ ba điểm $A,M,C$ không thẳng hàng $\left( 2 \right)$.
Từ (1) và (2) suy ra $MN//AC$.
DẠNG 4: XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ
Để xác định một điểm $M$ ta cần phải chỉ rõ vị trí của điểm đó đối với hình vẽ. Thông thường ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng $\overrightarrow {OM} = \vec a$, trong đó $O$ và $\vec a$ đã được xác định. Ta thường sử dụng các tính chất về:
• Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số $k$.
• Hình bình hành.
• Trung điểm của đoạn thẳng.
• Trọng tâm tam giác, …
Bài 1. Cho tam giác $ABC$. Xác định vị trí của điểm $M$ sao cho $\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \vec 0$
Lời giải
$\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {MC} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {BA} $.
Vậy $M$ thỏa mãn $CBAM$ là hình bình hành.
Bài 2. Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$ và $N$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {GC} $. Hãy xác định vị trí điểm $N$.
Lời giải
Do $\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {GC} $ và $A,C,G$ không thẳng hàng nên $AGCN$ là hình bình hành.
Vậy $N$ đối xứng với $G$ qua trung điểm $M$ của $AC$.
Bài 3. Cho tam giác $ABC$. Gọi $M,P,Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,BC,CA$ và $N$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {CN} $. Hãy xác định vị trí điểm $N$.
Lời giải
Do $\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {CN} $ nên $MP = CN$ và $\overrightarrow {MP} ,\overrightarrow {CN} $ cùng hướng.
Vậy $N$ đối xứng với $Q$ qua $C$.
Bài 4. Cho hình bình hành $ABCD$. Hãy tìm điểm $M$ để $\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} $. Tìm mối quan hệ giữa hai vec tơ $\overrightarrow {CD} $ và $\overrightarrow {CM} $.
Lời giải
Ta có thep quy tắc hình bình hành $\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \Leftrightarrow \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AC} $ nên $M$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành BACM ( như hình vẽ).
Bài 5. Cho đoạn thẳng $AB$ và $M$ là một điểm nằm trên đoạn $AB$ sao cho $AM = \frac{1}{5}AB$. Tìm $k$ trong các đẳng thức sau:
a) $\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB} $
b) $\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} $
c) $\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {AB} $
Lời giải
a) $\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB} \Rightarrow \left| k \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {AM} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{5}$, mà $\overrightarrow {AM} $ cùng hướng $\overrightarrow {AB} \Rightarrow k = \frac{1}{5}$.
b) $\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} \Rightarrow \left| k \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {MA} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MB} } \right|}} = \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{1}{4}$, mà $\overrightarrow {MA} $ ngược hướng $\overrightarrow {MB} \Rightarrow k = – \frac{1}{4}$.
c) $\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {AB} \Rightarrow \left| k \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {MA} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \frac{{MA}}{{AB}} = \frac{1}{5}$, mà $\overrightarrow {MA} $ ngược hướng $\overrightarrow {AB} \Rightarrow k = – \frac{1}{5}$.
Bài 6. Cho $\vec a = \overrightarrow {AB} $ và điểm $O$. Xác định hai điểm $M$ và $N$ sao cho: $\overrightarrow {OM} = 3\vec a;\overrightarrow {ON} = – 4\vec a$.
Lời giải
Vẽ $d$ đi qua $O$ và song song với giá của $\vec a$ (nếu $O$ thuộc giá của $\vec a$ thì $d$ là giá của $\vec a$ ).
• Trên $d$ lấy điểm $M$ sao cho $OM = 3\left| {\vec a} \right|,\overrightarrow {OM} $ và $\vec a$ cùng hướng. Khi đó $\overrightarrow {OM} = 3\vec a$.
• Trên $d$ lấy điểm $N$ sao cho $ON = 4\left| {\vec a} \right|,\overrightarrow {ON} $ và $\vec a$ ngược hướng nên $\overrightarrow {ON} = – 4\vec a$.
Bài 7. Cho hai điểm phân biệt $A,B$. Xác định điểm $M$ biết $2\overrightarrow {MA} – 3\overrightarrow {MB} = \vec 0$
Lời giải
Ta có:
$2\overrightarrow {MA} – 3\overrightarrow {MB} = \vec 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MA} – 3\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} } \right) = \vec 0 \Leftrightarrow – \overrightarrow {MA} – 3\overrightarrow {AB} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AB} $
$ \Rightarrow \overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} $ cùng hướng và $AM = 3AB$.
Bài 8. Cho tam giác $ABC$.
a) Tìm điểm $K$ sao cho $\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow {CB} $
b) Tìm điểm $M$ sao cho $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \vec 0$
Lời giải
a) Ta có: $\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow {CB} \Leftrightarrow \overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow {KB} – \overrightarrow {KC} \Leftrightarrow \overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KB} + \overrightarrow {KC} = \vec 0$
$ \Rightarrow K$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.
b) Gọi $I$ là trung điểm của $AB$.
Ta có: $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \vec 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {MC} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MC} = \vec 0$ $ \Rightarrow M$ là trung điểm của $IC$.
Bài 9. Cho hai điểm phân biệt $A$ và $B$.
a) Hãy xác định điểm $K$ sao cho $\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \vec 0$.
b) Chứng minh rằng với mọi điểm $O$, ta có $\overrightarrow {OK} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow {OB} $.
Lời giải
a) $\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {KA} + 2\left( {\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {AB} } \right) = \vec 0 \Leftrightarrow 3\overrightarrow {KA} = – 2\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \overrightarrow {AK} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} $
b) Ta có: $\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {KA} = – 2\overrightarrow {KB} $ $\frac{1}{3}\overrightarrow {OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow {OB} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OK} + \overrightarrow {KA} } \right) + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {OK} + \overrightarrow {KB} } \right) = \overrightarrow {OK} + \frac{1}{3}\overrightarrow {KA} + \frac{2}{3}\overrightarrow {KB} = \overrightarrow {OK} + \frac{1}{3}\left( { – 2\overrightarrow {KB} } \right) + \frac{2}{3}\overrightarrow {KB} = \overrightarrow {OK} $
Bài 10. Cho tam giác $ABC$.
a) Hãy xác định điểm $M$ để $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \vec 0$.
b) Chứng minh rằng với mọi điểm $O$, ta có $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OM} $.
Lời giải
a)
$\begin{array}{*{20}{r}}
{}&{\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \vec 0} \\
{}&{\; \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {AC} = \vec 0} \\
{}&{\; \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MA} = – \left( {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right)} \\
{}&{\; \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right)}
\end{array}$
b) $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {OM} + 2\overrightarrow {MC} = 4\overrightarrow {OM} $
DẠNG 5: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ
Để tìm tập hợp điểm $M$ thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đó để đưa về các tập hợp điểm cơ bản đã biết.
• Nếu $\left| {\overrightarrow {MA} \left| = \right|\overrightarrow {MB} } \right|$ với $A,B$ cố định cho trước thì $M$ nằm trên đường trung trực của $AB$.
• Nếu $|\overrightarrow {MA} \left| { = k} \right\rangle 0$ với $A$ cố định cho trước thì $M$ nằm trên đường tròn tâm $A$ bán kính $R = k$.
• Nếu $\overrightarrow {MA} = k\left| {\overrightarrow {AB} } \right|$ với $A,B$ cố định cho trước thì $M$ nằm trên đường tròn tâm $A$, bán kính $R = k \cdot AB,k \in \mathbb{R}$.
• Nếu $\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {AB} $ với $A,B$ cố định, $k$ là số thực thay đổi thì tập hợp điểm $M$ là đường thẳng $AB$.
• Nếu $\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {BC} $ với $A,B,C$ cố định, $k$ là số thực thay đổi thì tập hợp điểm $M$ là đường thẳng qua $A$ và song song với $BC$.
• Nếu $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} \left| = \right|\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right|$ với $A,B,C,D$ cố định cho trước thì tập hợp điểm $M$ nằm trên đường trung trực của $IJ$ với $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$.
Bài 1. Cho 2 điểm cố định $A,B$. Tìm tập hợp các điểm $M$ sao cho:
a) $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} \left| = \right|\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} } \right|$
b) $\left| {2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} \left| = \right|\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} } \right|$.
Bài 2. Cho $\vartriangle ABC$. Tìm tập hợp các điểm $M$ thỏa điều kiện :
a) $\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MB} $
b) $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \vec 0$
c) $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} \left| = \right|\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} } \right|$
d) $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} \left| = \right|\overrightarrow {MA} \left| + \right|\overrightarrow {MB} } \right|$
e) $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} \left| = \right|\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} } \right|$
Bài 3. Cho $\vartriangle ABC$. Tìm tập hợp các điểm $M$ sao cho:
a) $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \left| { = \frac{3}{2}} \right|\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|$
b) $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {BC} \left| = \right|\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} } \right|$
c) $\left| {2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} \left| = \right|4\overrightarrow {MB} – \overrightarrow {MC} } \right|$
d) $\left| {4\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \left| = \right|2\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} – \overrightarrow {MC} } \right|$.
Bài 4. Cho $\vartriangle ABC$.
a) Xác định điểm I sao cho: $3\overrightarrow {IA} – 2\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \vec 0$.
b) Tìm tập hợp các điểm $H$ sao cho: $\left| {3\overrightarrow {HA} – 2\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} \left| = \right|\overrightarrow {HA} – \overrightarrow {HB} } \right|$.
c) Tìm tập hợp các điểm $K$ sao cho: $2\left| {\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KB} + \overrightarrow {KC} \left| { = 3} \right|\overrightarrow {KB} + \overrightarrow {KC} } \right|$
