70 câu trắc nghiệm vectơ trong mặt phẳng tọa độ theo dạng giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 6 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
DẠNG 1: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ-CÁC PHÉP TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN VECTƠ
Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Cho điểm $M\left( {x;y} \right)$. Tìm tọa độ của các điểm ${M_1}$ đối xứng với $M$ qua trục hoành?
A. ${M_1}\left( {x; – y} \right)$.
B. ${M_1}\left( { – x;y} \right)$.
C. ${M_1}\left( { – x; – y} \right)$.
D. ${M_1}\left( {x;y} \right)$.
Lời giải
Chọn A.
${M_1}$ đối xứng với $M$ qua trục hoành suy ra ${M_1}\left( {x; – y} \right)$.
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Cho điểm $M\left( {2; – 3} \right)$. Tìm tọa độ của các điểm ${M_1}$ đối xứng với $M$ qua trục tung?
A. ${M_1}\left( { – 3;2} \right)$.
B. ${M_1}\left( { – 2;3} \right)$.
C. ${M_1}\left( { – 2; – 3} \right)$.
D. ${M_1}\left( {2;3} \right)$.
Lời giải
Chọn C.
${M_1}$ đối xứng với $M\left( {2; – 3} \right)$ qua trục tung, suy ra ${M_1}\left( { – 2; – 3} \right)$.
Câu 3: Vectơ $\vec a = \left( { – 4;0} \right)$ được phân tích theo hai vectơ đơn vị như thế nào?
A. $\vec a = – 4\vec i + \vec j$.
B. $\vec a = – \vec i + 4\vec j$.
C. $\vec a = – 4\vec j$.
D. $\vec a = – 4\vec i$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: $\vec a = \left( { – 4;0} \right) \Rightarrow \vec a = – 4\vec i + 0\vec j = – 4\vec i$.
Câu 4: Cho $\vec u = \left( {{m^2} + 3;2m} \right),\vec v = \left( {5m – 3;{m^2}} \right)$. Vectơ $\vec u = \vec v$ khi và chỉ khi
A. $m = 2$
B. $m = 0$
C. $m = 1$
D. $m = 3$
Lời giải
Chọn A.
Theo bài ra $\vec u = \vec v$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{m^2} + 3 = 5m – 3} \\
{2m = {m^2}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{m^2} – 5m + 6 = 0 \hfill \\
– {m^2} + 2m = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\left[ \begin{gathered}
m = 2 \hfill \\
m = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\left[ \begin{gathered}
m = 2 \hfill \\
m = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = 2$
Câu 5: Cho điểm $A\left( { – 2;3} \right)$ và vectơ $\overrightarrow {AM} = 3\vec i – 2\vec j$. Vectơ nào trong hình là vectơ $\overrightarrow {AM} $ ?
A. ${\vec V_1}$
B. $\overrightarrow {{V_2}} $
C. ${\vec V_3}$
D. $\overrightarrow {{V_4}} $
Lời giải
Chọn D.
Ta có: $\overrightarrow {{V_4}} = 3\vec i – 2\vec j$
Câu 6: Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hai vectơ $\vec u = \left( {2; – 1} \right)$ và $\vec v = \left( { – 1;2} \right)$ đối nhau.
B. Hai vectơ $\vec u = \left( {2; – 1} \right)$ và $\vec v = \left( { – 2; – 1} \right)$ đối nhau.
C. Hai vectơ $\vec u = \left( {2; – 1} \right)$ và $\vec v = \left( { – 2;1} \right)$ đối nhau.
D. Hai vectơ $\vec u = \left( {2; – 1} \right)$ và $\vec v = \left( {2;1} \right)$ đối nhau.
Lời giải
Chọn C
Ta có: $\vec u = \left( {2; – 1} \right) = – \left( { – 2;1} \right) = – \vec v \Rightarrow \vec u$ và $\vec v$ đối nhau.
Câu 7: Trong hệ trục $\left( {O;\vec i;\vec j} \right)$, tọa độ của vec tơ $\vec i + \vec j$ là:
A. $\left( { – 1;1} \right)$.
B. $\left( {1;0} \right)$.
C. $\left( {0;1} \right)$.
D. $\left( {1;1} \right)$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có: $\vec i + \vec j = \left( {1;0} \right) + \left( {0;1} \right) = \left( {1;1} \right)$.
Câu 8: Cho $\vec a = \left( { – 1;2} \right),\vec b = \left( {5; – 7} \right)$. Tọa độ của vec tơ $\vec a – \vec b$ là:
A. $\left( {6; – 9} \right)$.
B. $\left( {4; – 5} \right)$.
C. $\left( { – 6;9} \right)$.
D. $\left( { – 5; – 14} \right)$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: $\vec a – \vec b = \left( { – 1 – 5;2 + 7} \right) = \left( { – 6;9} \right)$.
Câu 9: Cho $\vec a = \left( { – 4,1} \right)$ và $\vec b = \left( { – 3, – 2} \right)$. Tọa độ $\vec c = \vec a – 2\vec b$ là:
A. $\vec c = \left( {1; – 3} \right)$.
B. $\vec C = \left( {2;5} \right)$.
C. $\vec c = \left( { – 7; – 1} \right)$.
D. $\vec c = \left( { – 10; – 3} \right)$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $\vec c = \vec a – 2\vec b = \left( { – 4 – 2.\left( { – 3} \right);1 – 2.\left( { – 2} \right)} \right) = \left( {2;5} \right)$.
Câu 10: Cho $\vec a = \left( {x;2} \right),\vec b = \left( { – 5;\frac{1}{3}} \right),\vec c = \left( {x;7} \right)$. Vectơ $\vec c = \overrightarrow {4a} – 3\vec b$ nếu
A. $x = 15$.
B. $x = 3$.
C. $x = – 15$.
D. $x = – 5$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có: $\vec c = \overrightarrow {4a} – 3\vec b \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 4x – 3 \cdot \left( { – 5} \right)} \\
{7 = 4 \cdot 2 – 3 \cdot \frac{1}{3}}
\end{array} \Leftrightarrow x = – 5} \right.$.
Câu 11: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $\vec a = \left( {m – 2;2n + 1} \right),\vec b = \left( {3; – 2} \right)$. Nếu $\vec a = \vec b$ thì
A. $m = 5,n = – 3$.
B. $m = 5,n = – \frac{3}{2}$.
C. $m = 5,n = – 2$.
D. $m = 5,n = 2$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $\vec a = \vec b \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m – 2 = 3} \\
{2n + 1 = – 2}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 5} \\
{n = – \frac{3}{2}}
\end{array}} \right.} \right.$.
Câu 12: Trong hệ trục tọa độ $\left( {O;\vec i;\vec j} \right)$ cho hai véc tơ $\vec a = 2\vec i – 4\vec j;\vec b = – 5\vec i + 3\vec j$. Tọa độ của vectơ $\vec u = 2\vec a – \vec b$ là
A. $\vec u = \left( {9; – 5} \right)$.
B. $\vec u = \left( { – 1;5} \right)$.
C. $\vec u = \left( {7; – 7} \right)$.
D. $\vec u = \left( {9; – 11} \right)$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có $\vec a = \left( {2; – 4} \right)$ và $\vec b = \left( { – 5;3} \right) \Rightarrow \vec u = 2\vec a – \vec b = \left( {9; – 11} \right)$.
Câu 13: Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $\vec a = \left( {2; – 4} \right),\vec b = \left( { – 5;3} \right)$. Véc tơ $2\vec a – \vec b$ có tọa độ là
A. $\left( {7; – 7} \right)$.
B. $\left( {9; – 5} \right)$.
C. $\left( { – 1;5} \right)$.
D. $\left( {9; – 11} \right)$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có $2\vec a – \vec b = 2\left( {2; – 4} \right) – \left( { – 5;3} \right) = \left( {4 + 5; – 8 – 3} \right) = \left( {9; – 11} \right)$.
Câu 14: Cho $\vec a = \left( {1;2} \right)$ và $\vec b = \left( {3;4} \right)$. Vectơ $\vec m = 2\vec a + 3\vec b$ có tọa độ là
A. $\vec m = \left( {10;12} \right)$.
B. $\vec m = \left( {11;16} \right)$.
C. $\vec m = \left( {12;15} \right)$.
D. $\vec m = \left( {13;14} \right)$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có $\vec m = 2\vec a + 3\vec b = \left( {11;16} \right)$.
Câu 15: Cho $\vec a = \left( {3; – 1} \right),\vec b = \left( {0;4} \right),\vec c = \left( {5;3} \right)$. Tìm vectơ $\vec x$ sao cho $\vec x – \vec a + 2\vec b – 3\vec c = \vec 0$.
A. $\left( {18;0} \right)$
B. $\left( { – 8;18} \right)$
C. $\left( {8;18} \right)$
D. $\left( {8; – 18} \right)$
Lời giải
Chọn A.
$\vec x – \vec a + 2\vec b – 3\vec c = \vec 0$
$ \Leftrightarrow \vec x = \vec a – 2\vec b + 3\vec c = \left( {18;0} \right)$
Câu 16: Cho vectơ $\vec a = \left( {2;1} \right),\vec b = \left( {3;4} \right),\vec c = \left( {7;2} \right)$. Khi đó $\vec c = m\vec a + n\vec c$. Tính tổng $m + n$ bằng:
A. 5
B. 3,8
C. -5
D. $ – 3,8$
Lời giải
Chọn B.
$\vec c = m\vec a + n\vec b \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{7 = 2m + 3n} \\
{2 = m + 4n}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 4,4} \\
{n = – 0}
\end{array} \Rightarrow m + n = 3,8} \right.$
Câu 17: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ và $B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow {AB} $ là
A. $\overrightarrow {AB} = \left( {{y_A} – {x_A};{y_B} – {x_B}} \right)$.
B. $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_A} + {x_B};{y_A} + {y_B}} \right)$.
C. $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_A} – {x_B};{y_A} – {y_B}} \right)$.
D. $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} – {x_A};{y_B} – {y_A}} \right)$.
Lời giải
Chọn D.
Theo công thức tọa độ vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} – {x_A};{y_B} – {y_A}} \right)$.
Câu 18: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $A\left( {5;2} \right),B\left( {10;8} \right)$. Tọa độ của vec tơ $\overrightarrow {AB} $ là:
A. $\left( {2;4} \right)$.
B. $\left( {5;6} \right)$.
C. $\left( {15;10} \right)$.
D. $\left( {50;6} \right)$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {10 – 5;8 – 2} \right) = \left( {5;6} \right)$.
Câu 19: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $M\left( {1; – 3} \right)$. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục hoành là $H\left( {1;0} \right)$.
B. Điểm đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ là $P\left( {3; – 1} \right)$.
C. Điểm đối xứng với $M$ qua trục hoành là $N\left( {1;3} \right)$.
D. Hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục tung là $K\left( {0; – 3} \right)$.
Lời giải
Chọn B.
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$
• Hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục hoành là $H\left( {1;0} \right)$. Đáp án A đúng.
• Điểm đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ là $P\left( { – 1;3} \right)$. Đáp án $B$ sai.
• Điểm đối xứng với $M$ qua trục hoành là $N\left( {1;3} \right)$. Đáp án $C$ đúng.
• Hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục tung là $K\left( {0; – 3} \right)$. Đáp án $D$ đúng.
Câu 20: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A\left( { – 4;0} \right)$ và $B\left( {0;3} \right)$. Xác định tọa độ của vectơ $\vec u = 2\overrightarrow {AB} $
A. $\vec u = \left( { – 8; – 6} \right)$.
B. $\vec u = \left( {8;6} \right)$.
C. $\vec u = \left( { – 4; – 3} \right)$.
D. $\vec u = \left( {4;3} \right)$.
Lời giải
Chọn B.
$\overrightarrow {AB} = \left( {4;3} \right) \Rightarrow \vec u = 2\overrightarrow {AB} = \left( {8;6} \right)$.
Câu 21: Trong mặt phẳng $Oxy$ cho $A\left( {2;3} \right),B\left( {4; – 1} \right)$. Tọa độ của $\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} $ là
A. $\left( { – 2;4} \right)$.
B. $\left( {2; – 4} \right)$.
C. $\left( {3;1} \right)$.
D. $\left( {6;2} \right)$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có $\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA} $ và $\overrightarrow {BA} = \left( { – 2;4} \right)$ nên tọa độ của $\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} $ là $\left( { – 2;4} \right)$.
Câu 22: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho các điểm $A\left( {1;2} \right),B\left( {3; – 1} \right),C\left( {0;1} \right)$. Tọa độ của véctơ $\vec u = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} $ là
A. $\vec u = \left( {2;2} \right)$.
B. $\vec u = \left( { – 4;1} \right)$.
C. $\vec u = \left( {1; – 4} \right)$.
D. $\vec u = \left( { – 1;4} \right)$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {2; – 3} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow {AB} = \left( {4; – 6} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { – 3;2} \right)$.
Nên $\vec u = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \left( {1; – 4} \right)$.
Câu 23: Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $A\left( { – 2;5} \right),B\left( {1; – 1} \right)$. Tìm toạ độ $M$ sao cho $\overrightarrow {MA} = – 2\overrightarrow {MB} $.
A. $M\left( {1;0} \right)$.
B. $M\left( {0; – 1} \right)$.
C. $M\left( { – 1;0} \right)$.
D. $M\left( {0;1} \right)$.
Lời giải:
Chọn D.
$M\left( {x;y} \right)$.
$\overrightarrow {MA} = – 2\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 2 – x = – 2\left( {1 – x} \right)} \\
{5 – y = – 2\left( { – 1 – y} \right)}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{y = 1}
\end{array} \Rightarrow M\left( {0;1} \right)} \right.} \right.$.
Câu 24: Cho $A\left( {0;3} \right),B\left( {4;2} \right)$. Điểm $D$ thỏa $\overrightarrow {OD} + 2\overrightarrow {DA} – 2\overrightarrow {DB} = \vec 0$, tọa độ $D$ là:
A. $\left( { – 3;3} \right)$.
B. $\left( {8; – 2} \right)$.
C. $\left( { – 8;2} \right)$.
D. $\left( {2;\frac{5}{2}} \right)$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $\overrightarrow {OD} + 2\overrightarrow {DA} – 2\overrightarrow {DB} = \vec 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_D} – 0 + 2\left( {0 – {x_D}} \right) – 2\left( {4 – {x_D}} \right) = 0} \\
{{y_D} – 0 + 2\left( {3 – {y_D}} \right) – 2\left( {2 – {y_D}} \right) = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_D} = 8} \\
{{y_D} = – 2}
\end{array}} \right.} \right.$.
Câu 25: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho các điểm $A\left( {1;3} \right),B\left( {4;0} \right)$. Tọa độ điểm $M$ thỏa $3\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AB} = \vec 0$ là
A. $M\left( {4;0} \right)$.
B. $M\left( {5;3} \right)$.
C. $M\left( {0;4} \right)$.
D. $M\left( {0; – 4} \right)$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: $3\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AB} = \vec 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3\left( {{x_M} – 1} \right) + \left( {4 – 1} \right) = 0} \\
{3\left( {{y_M} – 3} \right) + \left( {0 – 3} \right) = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_M} = 0} \\
{{y_M} = 4}
\end{array} \Rightarrow M\left( {0;4} \right)} \right.} \right.$.
Câu 26: Trong mặt phẳng $Oxy$, Cho $A\left( {\frac{7}{2}; – 3} \right);B\left( { – 2;5} \right)$. Khi đó $\vec a = – 4\overrightarrow {AB} = $ ?
A. $\vec a = \left( {22; – 32} \right)$.
B. $\vec a = \left( {22;32} \right)$.
C. $\vec a = \left( { – 22;32} \right)$.
D. $\vec a = \left( {\frac{{ – 11}}{2};8} \right)$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: $\vec a = – 4\overrightarrow {AB} = – 4\left( { – 2 – \frac{7}{2};5 + 3} \right) = \left( {22; – 32} \right)$.
Câu 27: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $B\left( {2;3} \right),C\left( { – 1; – 2} \right)$. Điểm $M$ thỏa mãn $2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \vec 0$. Tọa độ điểm $M$ là
A. $M\left( {\frac{1}{5};0} \right)$.
B. $M\left( { – \frac{1}{5};0} \right)$.
C. $M\left( {0;\frac{1}{5}} \right)$.
D. $M\left( {0; – \frac{1}{5}} \right)$.
Lời giải
Chọn A.
Gọi $M\left( {x;y} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {MB} = \left( {2 – x;3 – y} \right)} \\
{\overrightarrow {MC} = \left( { – 1 – x; – 2 – y} \right)}
\end{array} \Rightarrow 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \left( { – 5x + 1; – 5y} \right)} \right.$.
Khi đó $2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
– 5x + 1 = 0 \hfill \\
– 5y = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x = – \frac{1}{5} \hfill \\
y = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy $M\left( {\frac{1}{5};0} \right)$
DẠNG 2: HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG-BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG
• $\vec a$ và $\vec b$ cùng phương $ \Leftrightarrow {a_1} \cdot {b_1} – {a_2} \cdot {b_2} = 0$
• Cho $A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right),C\left( {{x_C};{y_C}} \right)$. Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng khi vectơ $\overrightarrow {AB} $ không cùng phương vectơ $\overrightarrow {AC} $.
• Để phân tích $\vec c\left( {{c_1};{c_2}} \right)$ qua hai vectơ $\vec a = \left( {{a_1};{a_2}} \right),\vec b = \left( {{b_1};{b_2}} \right)$ không cùng phương, ta giả sử $\vec c = n \cdot \vec a + m \cdot \vec b$. Khi đó ta quy về giải hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{a_1}n + {b_1}m = {c_1}} \\
{{a_2}n + {b_2}m = {c_2}}
\end{array}} \right.$ Tìm $n,m$.
Câu 28: Cho $\vec u = \left( {3; – 2} \right),\vec v = \left( {1;6} \right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $\vec u + \vec v$ và $\vec a = \left( { – 4;4} \right)$ ngược hướng.
B. $\vec u,\vec v$ cùng phương.
C. $\vec u – \vec v$ và $\vec b = \left( {6; – 24} \right)$ cùng hướng.
D. $2\vec u + \vec v,\vec v$ cùng phương.
Lời giải
Chọn C.
Ta có $\vec u + \vec v = \left( {4;4} \right)$ và $\vec u – \vec v = \left( {2; – 8} \right)$.
Xét tỉ số $\frac{4}{{ – 4}} \ne \frac{4}{4} \Rightarrow \vec u + \vec v$ và $\vec a = \left( { – 4;4} \right)$ không cùng phương. Loại $A$
Xét tỉ số $\frac{3}{1} \ne \frac{{ – 2}}{6} \Rightarrow \vec u,\vec v$ không cùng phương. Loại $B$
Xét tỉ số $\frac{2}{6} = \frac{{ – 8}}{{ – 24}} = \frac{1}{3} > 0 \Rightarrow \vec u – \vec v$ và $\vec b = \left( {6; – 24} \right)$ cùng hướng.
Câu 29: Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho $\vec u = 2\vec i – \vec j$ và $\vec v = \vec i + x\vec j$. Tìm $x$ sao cho $\vec u$ và $\vec v$ cùng phương.
A. $x = – \frac{1}{2}$.
B. $x = \frac{1}{4}$.
C. $x = 2$.
D. $x = – 1$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có $\vec u = \left( {2; – 1} \right)$ và $\vec v = \left( {1;x} \right)$.
Do $\vec u$ và $\vec v$ cùng phương nên $\frac{1}{2} = \frac{x}{{ – 1}} \Leftrightarrow x = – \frac{1}{2}$.
Câu 30: Cho $\vec a = \left( { – 3;4} \right),\vec b = \left( {4;3} \right)$. Kết luận nào sau đây sai.
A. $\left| {\vec a\left| = \right|\vec b} \right|$.
B. $\vec a$ cùng phương $\vec b$.
C. $\vec a \bot \vec b$.
D. $\vec a \cdot \vec b = 0$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $\vec a = \left( { – 3;4} \right) \Rightarrow \left| {\vec a} \right| = 5;\vec b = \left( {4;3} \right) \Rightarrow \left| {\vec b} \right| = 5$.
$\vec a \cdot \vec b = – 3.4 + 4.3 = 0 \Rightarrow \vec a \bot \vec b$.
Câu 31: Biết rằng hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ không cùng phương nhưng hai vectơ $2\vec a – 3\vec b$ và $\vec a + \left( {x – 1} \right)\vec b$ cùng phương. Khi đó giá trị của $x$ là
A. $\frac{1}{2}$.
B. $ – \frac{3}{2}$.
C. $ – \frac{1}{2}$.
D. $\frac{3}{2}$.
Lời giải
Chọn C.
Do hai vectơ $2\vec a – 3\vec b$ và $\vec a + \left( {x – 1} \right)\vec b$ cùng phương.
Suy ra $2\vec a – 3\vec b = k\left[ {\vec a + \left( {x – 1} \right)\vec b} \right]\left( {k \ne 0,k \in \mathbb{R}} \right)$
$ \Rightarrow 2\vec a – 3\vec b = k\vec a + k\left( {x – 1} \right)\vec b \Rightarrow \left( {k – 2} \right)\vec a + \left[ {k\left( {x – 1} \right) + 3} \right]\vec b = \vec 0$
Theo đầu bài hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ không cùng phương.
$\left( 1 \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k = 2} \\
{k\left( {x – 1} \right) = – 3}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k = 2} \\
{x – 1 = – \frac{3}{2}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k = 2} \\
{x = – \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$
Vậy $x = – \frac{1}{2}$.
Câu 32: Trong các cặp vectơ sau, cặp vectơ nào không cùng phương?
A. $\vec a = \left( {2;3} \right),\vec b = \left( {6;9} \right)$
B. $\vec u = \left( {0;5} \right),\vec v = \left( {0; – 1} \right)$
C. $\vec m = \left( { – 2;1} \right),\vec b = \left( {1;2} \right)$
D. $\vec c = \left( {3;4} \right),\vec d = \left( { – 6; – 8} \right)$
Lời giải
Chọn C.
Câu 33: Cho $\vec u = 2\vec i – \vec j$ và $\vec v = \vec i + x\vec j$. Xác định $x$ sao cho $\vec u$ và $\vec v$ cùng phương.
A. $x = – 1$
B. $x = – \frac{1}{2}$
C. $x = \frac{1}{4}$
D. $x = 2$
Lời giải
Chọn B.
Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\vec u = 2\vec i – \vec j \Rightarrow \vec u = \left( {2; – 1} \right)} \\
{\vec v = \vec i – x\vec j \Rightarrow \vec v = \left( {1;x} \right)}
\end{array}} \right.$
Để $\vec u$ và $\vec v$ cùng phương thì $\vec v = k\vec u \Leftrightarrow x = – \frac{1}{2}$
Câu 34: Cho $\vec a = \left( {2;1} \right),\vec b = \left( { – 3;4} \right),\vec c = \left( { – 4;9} \right)$. Hai số thực $m,n$ thỏa mãn $m\vec a + n\vec b = \vec c$. Tính ${m^2} + {n^2}$.
A. 5 .
B. 3.C. 4 .
D. 1 .
Lời giải
Chọn A.
Ta có: $m\vec a + n\vec b = \vec c \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2m – 3n = – 4} \\
{m + 4n = 9}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 1} \\
{n = 2}
\end{array}} \right.} \right.$.
Câu 35: Cho $A\left( {1;2} \right),B\left( { – 2;6} \right)$. Điểm $M$ trên trục $Oy$ sao cho ba điểm $A,B,M$ thẳng hàng thì tọa độ điểm $M$ là:
A. $\left( {0;10} \right)$.
B. $\left( {0; – 10} \right)$.
C. $\left( {10;0} \right)$.
D. $\left( { – 10;0} \right)$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: $M$ trên trục $Oy \Rightarrow M\left( {0;y} \right)$
Ba điểm $A,B,M$ thẳng hàng khi $\overrightarrow {AB} $ cùng phương với $\overrightarrow {AM} $
Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { – 3;4} \right),\overrightarrow {AM} = \left( { – 1;y – 2} \right)$. Do đó, $\overrightarrow {AB} $ cùng phương với $\overrightarrow {AM} \Leftrightarrow \frac{{ – 1}}{{ – 3}} = \frac{{y – 2}}{4} \Rightarrow y = 10$.
Vậy $M\left( {0;10} \right)$
Câu 36: Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho $A\left( {2; – 3} \right),B\left( {3;4} \right)$. Tìm tọa độ điểm $M$ trên trục hoành sao cho $A,B,M$ thẳng hàng.
A. $M\left( {1;0} \right)$
B. $M\left( {4;0} \right)$
C. $M\left( { – \frac{5}{3};0} \right)$
D. $M\left( {\frac{{17}}{7};0} \right)$
Lời giải
Chọn D.
$M \in Ox \Rightarrow M\left( {x;0} \right)$,
$\overrightarrow {AB} = \left( {1;7} \right),\overrightarrow {AM} = \left( {m – 2;3} \right)$
Để $A,B,M$ thẳng hàng $ \Leftrightarrow \frac{{m – 2}}{1} = \frac{3}{7} \Leftrightarrow m = \frac{{17}}{7}$
Câu 37: Gọi điểm $M$ là giao điểm của đường thẳng $AB$ và trục hoành biết $A\left( {1;2} \right)$ và $B\left( {2;5} \right)$. Biết hoành độ điểm $M$ có dạng $\frac{m}{n}$ trong đó $\frac{m}{n}$ tối giản và $m,n \in \mathbb{N}$. Tính ${m^2} + {n^2}$.
A. 34
B. 41
C. 25
D. 10
Lời giải
Chọn D.
Vì $M$ thuộc $Ox$ nên $M\left( {x;0} \right)$
$A,B,M$ thẳng hàng nên $\overrightarrow {AB} $ cùng phương $\overrightarrow {AM} $
Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1;3} \right),\overrightarrow {AM} = \left( {x – 1; – 2} \right)$
$\overrightarrow {AB} $ cùng phương $\overrightarrow {AM} \Rightarrow \frac{{x – 1}}{1} = \frac{{ – 2}}{3} \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow m = 1;n = 3$ nên ${m^2} + {n^2} = 10$
Câu 38: Cho các vectơ $\vec a = \left( {4; – 2} \right),\vec b = \left( { – 1; – 1} \right),\vec c = \left( {2;5} \right)$. Phân tích vectơ $\vec b$ theo hai vectơ $\vec a$ và $\vec c$, ta được:
A. $\vec b = – \frac{1}{8}\vec a – \frac{1}{4}\vec c$.
B. $\vec b = \frac{1}{8}\vec a – \frac{1}{4}\vec c$.
C. $\vec b = – \frac{1}{2}\vec a – 4\vec c$.
D. $\vec b = – \frac{1}{8}\vec a + \frac{1}{4}\vec c$.
Lời giải
Chọn A.
Giả sử $\vec b = m\vec a + n\vec c \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 1 = 4m + 2n} \\
{ – 1 = – 2m + 5n}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = – \frac{1}{8}} \\
{n = – \frac{1}{4}}
\end{array}} \right.} \right.$.
Vậy $\vec b = – \frac{1}{8}\vec a – \frac{1}{4}\vec c$.
Câu 39: Cho $A\left( { – 1;1} \right),B\left( {1;3} \right),C\left( { – 2;0} \right)$. Tìm $x$ sao cho $\overrightarrow {AB} = x\overrightarrow {BC} $
A. $x = \frac{2}{3}$
B. $x = – \frac{2}{3}$
C. $x = \frac{3}{2}$
D. $x = – \frac{3}{2}$
Lời giải
Chọn D.
Ta có:
$\overrightarrow {AB} = \left( {2;2} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { – 3; – 3} \right)$
$ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = – \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \Rightarrow x = – \frac{2}{3}$
Câu 40: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho ba điểm $A\left( {6;3} \right),B\left( { – 3;6} \right),C\left( {1; – 2} \right)$. Xác định điểm $D$ trên trục hoành sao cho ba điểm $A,B,D$ thẳng hàng.
A. $E\left( {5; – 10} \right)$.
B. $E\left( { – \frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)$
C. $E\left( { – \frac{1}{3}; – \frac{2}{3}} \right)$.
D. $E\left( {5;10} \right)$.
Lời giải
Chọn B.
Vì $E$ thuộc đoạn $BC$ và $BE = 2EC$ suy ra $\overrightarrow {BE} = 2\overrightarrow {EC} $
Gọi $E\left( {x;y} \right)$ khi đó $\overrightarrow {BE} \left( {x + 3;y – 6} \right),\overrightarrow {EC} \left( {1 – x; – 2 – y} \right)$
Do đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + 3 = 2\left( {1 – x} \right)} \\
{y – 6 = 2\left( { – 2 – y} \right)}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = – \frac{1}{3}} \\
{y = \frac{2}{3}}
\end{array}} \right.} \right.$
Vậy $E\left( { – \frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)$.
DẠNG 3: TÌM TỌA ĐỘ CÁC ĐIỂM CỦA MỘT HÌNH
Dựa vào tính chất của hình và sử dụng công thức
• $M$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ suy ra ${x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2},{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}$
• Tọa độ điểm $M$ chia đoạn $AB$ theo tỉ lệ $k \ne 1:\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow {x_M} = \frac{{{x_A} – k{x_B}}}{{1 – k}};{y_A} = \frac{{{y_A} – k{y_B}}}{{1 – k}}$
• $G$ trọng tâm tam giác $ABC$ suy ra ${x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3},{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{2}$
$\vec a\left( {x;y} \right) = \vec b\left( {x’;y’} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = x’} \\
{y = y’}
\end{array}} \right.$
• Cho $A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right),C\left( {{x_C};{y_C}} \right),D\left( {{x_D};{y_D}} \right)$. Nếu $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} $ thì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_B} – {x_A} = {x_D} – {x_C}} \\
{{y_B} – {y_A} = {y_D} – {y_C}}
\end{array}} \right.$
• $ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} $
Câu 41: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ và $B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$. Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ là:
A. $I\left( {\frac{{{x_A} – {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} – {y_B}}}{2}} \right)$.
B. $I\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)$.
C. $I\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{3}} \right)$.
D. $I\left( {\frac{{{x_A} + {y_A}}}{2};\frac{{{x_B} + {y_B}}}{2}} \right)$.
Lời giải
Chọn B.
Câu 42: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A\left( {2; – 5} \right)$ và $B\left( {4;1} \right)$. Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ là
A. $I\left( {1;3} \right)$.
B. $I\left( { – 1; – 3} \right)$.
C. $I\left( {3;2} \right)$.
D. $I\left( {3; – 2} \right)$.
Lời giải
Chọn D.
Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}} \\
{{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_I} = 3} \\
{{y_I} = – 2}
\end{array} \Rightarrow I\left( {3; – 2} \right)} \right.} \right.$.
Câu 43: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A\left( {1;0} \right)$ và $B\left( {0; – 2} \right)$. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là
A. $\left( {\frac{1}{2}; – 1} \right)$.
B. $\left( { – 1;\frac{1}{2}} \right)$.
C. $\left( {\frac{1}{2}; – 2} \right)$.
D. $\left( {1; – 1} \right)$.
Lời giải
Chọn A.
Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là $I\left( {\frac{{1 + 0}}{2};\frac{{0 – 2}}{2}} \right)$ hay $I\left( {\frac{1}{2}; – 1} \right)$.
Câu 44: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A\left( {1; – 5} \right),B\left( {3;0} \right),C\left( { – 3;4} \right)$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$. Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow {MN} $.
A. $\overrightarrow {MN} = \left( { – 3;2} \right)$.
B. $\overrightarrow {MN} = \left( {3; – 2} \right)$.
C. $\overrightarrow {MN} = \left( { – 6;4} \right)$.
D. $\overrightarrow {MN} = \left( {1;0} \right)$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có $\overrightarrow {BC} = \left( { – 6;4} \right)$ suy ra $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \left( { – 3;2} \right)$.
Câu 45: Cho $K\left( {1; – 3} \right)$. Điểm $A \in Ox,B \in Oy$ sao cho $A$ là trung điểm $KB$. Tọa độ điểm $B$ là:
A. $\left( {0;3} \right)$.
B. $\left( {\frac{1}{3};0} \right)$.
C. $\left( {0;2} \right)$.
D. $\left( {4;2} \right)$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: $A \in Ox,B \in Oy \Rightarrow A\left( {x;0} \right),B\left( {0;y} \right)$
$A$ là trung điểm $KB$$ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
x = \frac{{1 + 0}}{2} \hfill \\
0 = \frac{{ – 3 + y}}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x = \frac{1}{2} \hfill \\
y = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy $B(0;3)$
Câu 46: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $A\left( {2; – 1} \right)$. Điểm $B$ là điểm đối xứng của $A$ qua trục hoành. Tọa độ điểm $B$ là:
A. $B\left( {2;1} \right)$.
B. $B\left( { – 2; – 1} \right)$.
C. $B\left( {1;2} \right)$.
D. $B\left( {1; – 2} \right)$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: $B$ là điểm đối xứng của $A$ qua trục hoành $ \Rightarrow B\left( {2;1} \right)$.
Câu 47: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A\left( { – 1;2} \right),B\left( {1; – 3} \right)$. Gọi $D$ đối xứng với $A$ qua $B$. Khi đó tọa độ điểm $D$ là
A. $D\left( {3, – 8} \right)$.
B. $D\left( { – 3;8} \right)$.
C. $D\left( { – 1;4} \right)$.
D. $D\left( {3; – 4} \right)$.
Lời giải
Chọn A.
Vì $D$ đối xứng với $A$ qua $B$ nên $B$ là trung điểm của $AD$.
Suy ra : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_D} = 2{x_B} – {x_A}} \\
{{y_D} = 2{y_B} – {y_A}}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_D} = 3} \\
{{y_D} = – 8}
\end{array} \Rightarrow D\left( {3; – 8} \right)} \right.} \right.$.
Câu 48: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$ và $C\left( {{x_C};{y_C}} \right)$. Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là:
A. $G\left( {\frac{{{x_A} – {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)$.
B. $G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{2}} \right)$.
C. $G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)$.
D. $G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)$.
Lời giải
Chọn C.
Câu 49: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $\vartriangle ABC$ với trọng tâm $G$. Biết rằng $A\left( { – 1;4} \right),B\left( {2;5} \right),G\left( {0;7} \right)$. Tọa độ đỉnh $C$ là
A. $\left( {2;12} \right)$.
B. $\left( { – 1;12} \right)$.
C. $\left( {3;1} \right)$.
D. $\left( {1;12} \right)$.
Lời giải
Chọn B.
Vì $G$ là trọng tâm $\vartriangle ABC$ nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3{x_G} = {x_A} + {x_B} + {x_C}} \\
{3{y_G} = {y_A} + {y_B} + {y_C}}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_C} = 3{x_G} – {x_B} – {x_A} = – 1} \\
{{y_C} = 3{y_G} – {y_B} – {y_A} = 12}
\end{array}} \right.} \right.$.
Vậy $C\left( { – 1;12} \right)$.
Câu 50: Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $A\left( {0;3} \right),D\left( {2;1} \right),I\left( { – 1;0} \right)$ là tâm của hình chữ nhật. Tọa độ trung điểm $BC$ là:
A. $M\left( { – 3; – 2} \right)$
B. $M\left( { – 4; – 1} \right)$
B. $M\left( { – 2; – 3} \right)$
D. $M\left( {1;2} \right)$
Lời giải
Chọn A.
Ta có $I$ là trung điểm $AC$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_A} + {x_C} = 2{x_1}} \\
{{y_A} + {y_C} = 2{y_1}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{0 + {x_C} = – 2} \\
{3 + {y_C} = 0}
\end{array}} \right.} \right.$.
Vậy $C\left( { – 2; – 3} \right)$
Ta có $AB = DC \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_B} = – 4} \\
{{y_B} – 3 = – 4}
\end{array}} \right.$.
Vậy $B\left( { – 4; – 1} \right)$.
Tọa độ trung điểm của $BC$ là $\left( { – 3; – 2} \right)$
Câu 51: Trong hệ tọa độ $Oxy$,cho tam giác $ABC$ có $A\left( { – 2;2} \right),B\left( {3;5} \right)$ và trọng tâm là gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right)$. Tìm tọa độ đỉnh $C$ ?
A. $C\left( { – 1; – 7} \right)$.
B. $C\left( {2; – 2} \right)$.
C. $C\left( { – 3; – 5} \right)$.
D. $C\left( {1;7} \right)$.
Lời giải
Chọn A.
Gọi $C\left( {x;y} \right)$.
Vì $O$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{ – 2 + 3 + x}}{3} = 0} \\
{\frac{{2 + 5 + y}}{3} = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1} \\
{y = – 7}
\end{array}} \right.} \right.$.
Câu 52: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $A\left( {3; – 1} \right),B\left( { – 1;2} \right)$ và $I\left( {1; – 1} \right)$. Tìm tọa độ điểm $C$ để $I$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
A. $C\left( {1; – 4} \right)$.
B. $C\left( {1;0} \right)$.
C. $C\left( {1;4} \right)$.
D. $C\left( {9; – 4} \right)$.
Lời giải
Chọn A.
Điểm I là trọng tâm tam giác $ABC \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}} \\
{{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_C} = 3{x_I} – {x_A} – {x_B}} \\
{{y_C} = 3{y_I} – {y_A} – {y_B}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_C} = 3 – 3 – \left( { – 1} \right) = 1} \\
{{y_C} = – 3 – \left( { – 1} \right) – 2 = – 4}
\end{array}} \right.} \right.$.
Vậy điểm $C\left( {1; – 4} \right)$.
Câu 53: Cho $M\left( {2;0} \right),N\left( {2;2} \right),P\left( { – 1;3} \right)$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$ của $\vartriangle ABC$. Tọa độ $B$ là:
A. $\left( {1;1} \right)$.
B. $\left( { – 1; – 1} \right)$.
C. $\left( { – 1;1} \right)$.
D. $\left( {1; – 1} \right)$.
Lời giải
Chọn C
Ta có: $BPNM$ là hình bình hành nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_B} + {x_N} = {x_P} + {x_M}} \\
{{y_B} + {y_N} = {y_P} + {y_M}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_B} + 2 = 2 + \left( { – 1} \right)} \\
{{y_B} + 2 = 0 + 3}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_B} = – 1} \\
{{y_B} = 1}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$.
Câu 54: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $MNP$ có $M\left( {1; – 1} \right),N\left( {5; – 3} \right)$ và $P$ thuộc trục $Oy$, trọng tâm $G$ của tam giác nằm trên trục $Ox$.Toạ độ của điểm $P$ là
A. $\left( {0;4} \right)$.
B. $\left( {2;0} \right)$.
C. $\left( {2;4} \right)$.
D. $\left( {0;2} \right)$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: $P$ thuộc trục $Oy \Rightarrow P\left( {0;y} \right),G$ nằm trên trục $Ox \Rightarrow G\left( {x;0} \right)$
$G$ là trọng tâm tam giác $MNP$ nên ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{1 + 5 + 0}}{3}} \\
{0 = \frac{{\left( { – 1} \right) + \left( { – 3} \right) + y}}{3}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2} \\
{y = 4}
\end{array}} \right.} \right.$
Vậy $P\left( {0;4} \right)$.
Câu 55: Cho tam giác $ABC$ với $AB = 5$ và $AC = 1$. Tính toạ độ điểm $D$ là của chân đường phân giác trong góc $A$, biết $B\left( {7; – 2} \right),C\left( {1;4} \right)$.
A. $\left( { – \frac{1}{2};\frac{{11}}{2}} \right)$.
B. $\left( {2;3} \right)$.
C. $\left( {2;0} \right)$.
D. $\left( {\frac{{11}}{2};\frac{1}{2}} \right)$.
Lời giải
Chọn B.
Theo tính chất đường phân giác: $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = 5 \Rightarrow DB = 5DC \Rightarrow \overrightarrow {DB} = – 5\overrightarrow {DC} $.
Gọi $D\left( {x;y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {DB} = \left( {7 – x; – 2 – y} \right);\overrightarrow {DC} = \left( {1 – x;4 – y} \right)$.
Suy ra: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{7 – x = – 5\left( {1 – x} \right)} \\
{ – 2 – y = – 5\left( {4 – y} \right)}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2} \\
{y = 3}
\end{array}} \right.} \right.$.
Vậy $D\left( {2;3} \right)$.
Câu 56: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A\left( { – 2;0} \right),B\left( {5; – 4} \right),C\left( { – 5;1} \right)$. Tọa độ điểm $D$ để tứ giác $BCAD$ là hình bình hành là:
A. $D\left( { – 8; – 5} \right)$.
B. $D\left( {8;5} \right)$.
C. $D\left( { – 8;5} \right)$.
D. $D\left( {8; – 5} \right)$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có: tứ giác $BCAD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {DA} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 5 – 5 = – 2 – {x_D}} \\
{1 + 4 = 0 – {y_D}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_D} = 8} \\
{{y_D} = – 5}
\end{array}} \right.} \right.$.
Câu 57: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hình bình hành $ABCD$ có $A\left( { – 2;3} \right),B\left( {0;4} \right),C\left( {5; – 4} \right)$. Toạ độ đỉnh $D$ là:
A. $\left( {3; – 5} \right)$.
B. $\left( {3;7} \right)$.
C. $\left( {3;\sqrt 2 } \right)$.
D. $\left( {\sqrt 7 ;2} \right)$.
Lời giải
Chọn A.
$ABCD$ là hình bình hành $ \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_D} + 2 = 5 – 0} \\
{{y_D} – 3 = – 4 – 4}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_D} = 3} \\
{{y_D} = – 5}
\end{array} \Rightarrow D\left( {3; – 5} \right)} \right.} \right.$.
Câu 58: Cho hình bình hành $ABCD$ có tọa độ tâm $I\left( {3;2} \right)$ và hai đỉnh $B\left( { – 1;3} \right);C\left( {8; – 1} \right)$. Tìm tọa độ hai đinh $A,D$.
A. $A\left( {7;1} \right),D\left( { – 2;5} \right)$.
B. $A\left( { – 2;5} \right),D\left( {7;1} \right)$.
C. $A\left( {7;5} \right),D\left( { – 2;1} \right)$.
D. $A\left( { – 2;1} \right),D\left( {7;5} \right)$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có:
$I$ là trung điểm $BD \Rightarrow D = \left( {2{x_I} – {x_B};2{y_I} – {y_B}} \right) \Rightarrow D\left( {7;1} \right)$.
$I$ là trung điểm $AC \Rightarrow C = \left( {2{x_I} – {x_C};2{y_I} – {y_C}} \right) \Rightarrow A\left( { – 2;5} \right)$.
Câu 59: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $\Delta MNP$ có $M\left( {1; – 1} \right);N\left( {5; – 3} \right)$ và $P$ thuộc trục $Oy$. Trọng tâm $G$ của tam giác nằm trên trục $Ox$. Tọa độ của điểm $P$ là:
A. $P\left( {0;4} \right)$
B. $P\left( {2;0} \right)$
C. $P\left( {2;4} \right)$
D. $P\left( {0;2} \right)$
Lời giải
Chọn C.
Ta có $P$ thuộc $Oy \Rightarrow \left( {0;y} \right)$
$G$ thuộc trục $Ox \Rightarrow G\left( {x;0} \right)$
Vì $G$ là trọng tâm $\Delta MNP \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{1 + 5 + 0}}{3}} \\
{0 = \frac{{ – 1 – 3 + y}}{3}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2} \\
{y = 4}
\end{array}} \right.} \right.$
Câu 60: Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho 4 điểm $A\left( {0;1} \right);B\left( {1;3} \right);C\left( {2;7} \right);D\left( {0;3} \right)$. Tìm giao điểm của 2 đường thẳng $AC$ và $BD$.
A. $\left( { – \frac{2}{3};3} \right)$
B. $\left( {\frac{1}{3}; – 3} \right)$
C. $\left( {\frac{4}{3};13} \right)$
D. $\left( {\frac{2}{3};3} \right)$
Lời giải
Chọn D.
Gọi $I\left( {x;y} \right)$ là giao điểm của 2 đường thẳng $AC$ và $BD$.
$\overrightarrow {AI} = \left( {x;y – 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {2;6} \right)$
$ \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{{y – 1}}{6} \Leftrightarrow 6x – 2y = – 2\left( 1 \right)$
$\overrightarrow {BI} = \left( {x – 1;y – 3} \right),\overrightarrow {BD} = \left( { – 1;0} \right)$
$ \Rightarrow y = 3$ thế vào (1)
$ \Rightarrow x = \frac{2}{3} \Rightarrow I\left( {\frac{2}{3};3} \right)$
Câu 61: Cho tam giác $ABC$ có $A\left( {3;4} \right),B\left( {2;1} \right),C\left( { – 1; – 2} \right)$. Tìm điểm $M$ trên đường thẳng $BC$ sao cho ${S_{ABC}} = 3{S_{ABM}}$.
A. ${M_1}\left( {0;1} \right),{M_2}\left( {3;2} \right)$.
B. ${M_1}\left( {1;0} \right),{M_2}\left( {3;2} \right)$.
C. ${M_1}\left( {1;0} \right),{M_2}\left( {2;3} \right)$.
D. ${M_1}\left( {0;1} \right),{M_2}\left( {2;3} \right)$.
Lời giải
Chọn B
Ta có ${S_{ABC}} = 3{S_{ABM}} \Leftrightarrow BC = 3BM \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \pm 3\overrightarrow {BM} $
Gọi $M\left( {x;y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BM} \left( {x – 2;y – 1} \right);\overrightarrow {BC} \left( { – 3; – 3} \right)$
Suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ – 3 = 3\left( {x – 2} \right)} \\
{ – 3 = 3\left( {y – 1} \right)}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{y = 0}
\end{array}} \right.} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 3 = – 3\left( {x – 2} \right)} \\
{ – 3 = – 3\left( {y – 1} \right)}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3} \\
{y = 2}
\end{array}} \right.} \right.$
Vậy có hai điểm thỏa mãn ${M_1}\left( {1;0} \right),{M_2}\left( {3;2} \right)$.
Câu 62: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A\left( {3;4} \right),B\left( {2;1} \right),C\left( { – 1; – 2} \right)$. Cho $M\left( {x;y} \right)$ trên đoạn thẳng $BC$ sao cho ${S_{ABC}} = 4{S_{ABM}}$. Khi đó ${x^2} – {y^2}$ bằng
A. $\frac{{13}}{8}$.
B. $\frac{3}{2}$.
C. $ – \frac{3}{2}$.
D. $\frac{5}{2}$.
Lời giải
Chọn B.
Nhận xét $\vartriangle ABC$ và $\vartriangle ABM$ có chung đường cao nên ${S_{ABC}} = 4{S_{ABM}} \Leftrightarrow CB = 4MB$.
Mà $M$ thuộc đoạn $BC$ nên $\overrightarrow {CB} $ cùng hướng với $\overrightarrow {MB} $.
Vậy $ \Leftrightarrow \overrightarrow {CB} = 4\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3 = 4\left( {2 – x} \right)} \\
{3 = 4\left( {1 – y} \right)}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{5}{4}} \\
{y = \frac{1}{4}}
\end{array} \Rightarrow {x^2} – {y^2} = \frac{3}{2}} \right.} \right.$.
Câu 63: Cho hình bình hành $ABCD$ có $A\left( { – 2;3} \right)$ và tâm $I\left( {1;1} \right)$. Biết điểm $K\left( { – 1;2} \right)$ nằm trên đường thẳng $AB$ và điểm $D$ có hoành độ gấp đôi tung độ. Tìm các đỉnh $B,D$ của hình bình hành.
A. $B\left( {2;1} \right),D\left( {0;1} \right)$.
B. $B\left( {0;1} \right);D\left( {4; – 1} \right)$.
C. $B\left( {0;1} \right);D\left( {2;1} \right)$,
D. $B\left( {2;1} \right),D\left( {4; – 1} \right)$.
Lời giải
Chọn C
I là trung điểm $AC$ nên $C\left( {4; – 1} \right)$
Gọi $D\left( {2a;a} \right) \Rightarrow B\left( {2 – 2a;2 – a} \right)$
$\overrightarrow {AK} \left( {1; – 1} \right),\overrightarrow {AB} \left( {4 – 2a; – 1 – a} \right)$
Vì $\overrightarrow {AK} ,\overrightarrow {AB} $ cùng phương nên $\frac{{4 – 2a}}{1} = \frac{{ – 1 – a}}{{ – 1}} \Rightarrow a = 1 \Rightarrow D\left( {2;1} \right),B\left( {0;1} \right)$
Câu 64: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hình bình hành $ABCD$ có $A\left( {2;3} \right)$ và tâm $I\left( { – 1;1} \right)$. Biết điểm $M\left( {4;9} \right)$ nằm trên đường thẳng $AD$ và điểm $D$ có tung độ gấp đôi hoành độ. Tìm các đỉnh còn lại của hình bình hành?
A. Tọa độ các đỉnh $C\left( { – 4; – 1} \right),B\left( { – 5; – 4} \right),D\left( {3;6} \right)$.
B. Tọa độ các đỉnh $C\left( { – 4; – 1} \right),B\left( { – 4; – 2} \right),D\left( {2;4} \right)$.
C. Tọa độ các đỉnh $C\left( { – 4; – 1} \right),B\left( { – 1;4} \right),D\left( { – 1; – 2} \right)$.
D. Tọa độ các đỉnh $C\left( {4;1} \right),B\left( { – 5; – 4} \right),D\left( {3;6} \right)$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có $I$ là trung điểm của $AC \Rightarrow C\left( { – 4; – 1} \right)$.
Điểm $D$ có tung độ gấp đôi hoành độ $ \Rightarrow D\left( {{x_D};2{x_D}} \right)$. Lại có $\overrightarrow {AM} = \left( {2;6} \right),\overrightarrow {AD} = \left( {{x_D} – 2;2{x_D} – 3} \right)$.
Mà $A,M,D$ thẳng hàng $ \Rightarrow 6\left( {{x_D} – 2} \right) = 2\left( {2{x_D} – 3} \right) \Leftrightarrow {x_D} = 3 \Rightarrow D\left( {3;6} \right)$.
$I$ là trung điểm $BD \Rightarrow B\left( { – 5; – 4} \right)$.
Câu 65: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho ba điểm $A\left( {1;3} \right),B\left( { – 1; – 2} \right),C\left( {1;5} \right)$. Tọa độ $D$ trên trục $Ox$ sao cho $ABCD$ là hình thang có hai đáy $AB$ và $CD$ là
A. $\left( {1;0} \right)$.
B. $\left( {0; – 1} \right)$.
C. $\left( { – 1;0} \right)$.
D. Không tồn tại điểm $D$.
Lời giải
Chọn C.
$D\left( {x;0} \right) \in Ox.\overrightarrow {AB} = \left( { – 2; – 5} \right),\overrightarrow {CD} = \left( {x – 1; – 5} \right)$.
Theo đề ta có: $ABCD$ là hình thang có hai đáy là $AB,CD$ nên: $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {CD} $ cùng phương.
Suy ra: $\frac{{x – 1}}{{ – 2}} = \frac{{ – 5}}{{ – 5}} \Rightarrow x = – 1$.
Vậy $D\left( { – 1;0} \right)$.
Câu 66: Cho $M\left( { – 1; – 2} \right),N\left( {3;2} \right),P\left( {4; – 1} \right)$. Tìm $E$ trên $Ox$ sao cho $\left| {\overrightarrow {EM} + \overrightarrow {EN} + \overrightarrow {EP} } \right|$ nhỏ nhất.
A. $E\left( {4;0} \right)$.
B. $E\left( {3;0} \right)$.
C. $E\left( {1;0} \right)$.
D. $E\left( {2;0} \right)$.
Lời giải
Cách 1:
Chọn D.
Do $E \in Ox \Rightarrow E\left( {a;0} \right)$.
Ta có: $\overrightarrow {EM} = \left( { – 1 – a; – 2} \right);\overrightarrow {EN} = \left( {3 – a;2} \right);\overrightarrow {EP} = \left( {4 – a; – 1} \right)$
Suy ra $\overrightarrow {EM} + \overrightarrow {EN} + \overrightarrow {EP} = \left( {6 – 3a; – 1} \right)$.
Do đó: $\left| {\overrightarrow {EM} + \overrightarrow {EN} + \overrightarrow {EP} } \right| = \sqrt {{{(6 – 3a)}^2} + {{( – 1)}^2}} = \sqrt {{{(6 – 3a)}^2} + 1} \geqslant 1$.
Giá trị nhỏ nhất của $\left| {\overrightarrow {EM} + \overrightarrow {EN} + \overrightarrow {EP} } \right|$ bằng 1 .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $6 – 3a = 0 \Leftrightarrow a = 2$.
Vậy $E\left( {2;0} \right)$.
Cách 2:
Gọi $I\left( {x;y} \right):\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} + \overrightarrow {IP} = \vec 0 \Rightarrow I$ là trọng tâm $\Delta MNP$ (vì $M,N,P$ không thẳng hàng) $ \Rightarrow I\left( {2;1} \right)$
$T = \left| {\overrightarrow {EI} + \overrightarrow {IM} + \overrightarrow {EI} + \overrightarrow {IN} + \overrightarrow {EI} + \overrightarrow {IP} } \right|$
$ = \left| {3\overrightarrow {EI} } \right| = 3EI$
$ \Rightarrow T$ nhỏ nhất khi $E$ là hình chiếu của $I$ trên trục $Ox \Rightarrow E\left( {2;0} \right)$
Câu 67: Cho tam giác $ABC$ có $A\left( { – 1;1} \right),B\left( {3;1} \right),C\left( {2;4} \right)$. $N$ nằm trên $Ox$ và có $N{A^2} + 3N{B^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, điểm $N$ có tọa độ là:
A. $N\left( {2;0} \right)$.
B. $N\left( { – 2;0} \right)$.
C. $N\left( {1;0} \right)$.
D. $N\left( { – 1;0} \right)$.
Lời giải
Chọn A.
Gọi $K$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow {KA} + 3\overrightarrow {KB} = \vec 0 \Rightarrow K\left( {2;1} \right)$
Ta có:
$N{A^2} + 3N{B^2}$
$ = {(\overrightarrow {NK} + \overrightarrow {KA} )^2} + 3{(\overrightarrow {NK} + \overrightarrow {KB} )^2}$
$ = 4N{K^2} + 2\overrightarrow {NK} \left( {\overrightarrow {KA} + 3\overrightarrow {KB} } \right) + K{A^2} + 3K{B^2}$
$ = 4N{K^2} + K{A^2} + 3K{B^2}$
$N{A^2} + 3N{B^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $NK$ đạt giá trị nhỏ nhất. Điều này suy ra $N$ là hình chiếu của K lên Ox, hay $N\left( {2;0} \right)$
Câu 68: Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho 2 điểm $A\left( { – 3;1} \right),B\left( { – 5;5} \right)$. Tìm điểm $M$ trên trục $yOy’$ sao cho $\left| {MA – MB} \right|$ lớn nhất.
A. $M\left( {0; – 5} \right)$
B. $M\left( {0;5} \right)$
C. $M\left( {0;3} \right)$
D. $M\left( {0;6} \right)$
Lời giải
Chọn A.
Gọi $M\left( {0;y} \right) \in yOy’$
Ta có ${x_A} \cdot {x_B} = 15 > 0 \Rightarrow A,B$ nằm cùng phía trên trục $yOy’$ $\left| {MA – MB} \right| \leqslant AB$, dấu “= ” xảy ra khi $A,M,B$ thẳng hàng
$\overrightarrow {MA} = \left( { – 3;1 – y} \right),\overrightarrow {MB} = \left( { – 5;5 – y} \right)$
$ \Rightarrow \frac{3}{5} = \frac{{1 – y}}{{5 – y}} \Rightarrow y = – 5$
$ \Rightarrow M\left( {0; – 5} \right)$
Câu 69: Trong hệ tọa độ $Oxy$, tìm trên trục hoành điểm $M$ sao cho tổng khoảng cách từ $M$ tới các điểm $A\left( {1;1} \right)$ và $B\left( {2; – 4} \right)$ là nhỏ nhất.
A. $M\left( { – \frac{6}{5};0} \right)$
B. $M\left( {\frac{5}{6};0} \right)$
C. $M\left( { – \frac{5}{6};0} \right)$
D. $M\left( {\frac{6}{5};0} \right)$
Lời giải
Chọn D.
Dễ thấy $A,B$ nằm ở hai phía với trục hoành.
Ta có $MA + MB \geqslant AB$. Dấu ” = ” xảy ra khi $A,M,B$ thẳng hàng và $\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {AB} $ cùng phương
$ \Rightarrow \frac{{{x_M} – 1}}{{2 – 1}} = \frac{{0 – 1}}{{ – 4 – 1}} \Rightarrow {x_M} = \frac{6}{5}$
$ \Rightarrow M\left( {\frac{6}{5};0} \right)$
Câu 70: Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho điểm $A\left( {1;3} \right)$ và $B\left( {4,7} \right)$. Tìm điểm $M$ trên trục $Oy$ sao cho $MA + MB$ là nhỏ nhất.
A. $M\left( {0;\frac{{19}}{5}} \right)$
B. $M\left( {0;\frac{1}{5}} \right)$
C. $M\left( {0;\frac{3}{5}} \right)$
D. $M\left( {0;\frac{{11}}{5}} \right)$
Lời giải
Chọn A.
Ta có $A,B$ nằm cùng phía với trục $Oy$
Gọi $A’$ đối xứng với $A$ qua $Oy \Rightarrow A’\left( { – 1;3} \right)$
Giả sử: $M\left( {0;y} \right)$. Ta có $MA + MB = MA’ + MB \geqslant A’B$
$ \Rightarrow MA + MB$ nhỏ nhất khi $A’,M,B$ thẳnh hàng
$\overrightarrow {A’B} = \left( {5;4} \right),\overrightarrow {A’M} = \left( {1;y – 3} \right)$
$ \Rightarrow \frac{1}{5} = \frac{{y – 3}}{4} \Leftrightarrow y = \frac{{19}}{5} \Rightarrow M\left( {0;\frac{{19}}{5}} \right)$
