70 câu trắc nghiệm bài Tích của một vectơ với một số giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 8 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
DẠNG 1: ĐẲNG THỨC VECTƠ CHỨA TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ
Câu 1. Khẳng định nào sai?
A. $1 \cdot \vec a = \vec a$
B. $k\vec a$ và $\vec a$ cùng hướng khi $k > 0$
C. $k\vec a$ và $\vec a$ cùng hướng khi $k < 0$
D. Hai vectơ $\vec a$ và $\vec b \ne \vec 0$ cùng phương khi có một số $k$ để $\vec a = k\vec b$
Lời giải
Chọn C
(Dựa vào định nghĩa tích của một số với một vectơ)
Câu 2. Cho tam giác $ABC$. Gọi I là trung điểm của $BC$. Khẳng định nào sau đây đúng
A. $\overrightarrow {{\text{BI}}} = \overrightarrow {{\text{IC}}} $
B. $3\overrightarrow {{\text{BI}}} = 2\overrightarrow {{\text{IC}}} $
C. $\overrightarrow {{\text{BI}}} = \overrightarrow {2{\text{IC}}} $
D. $\overrightarrow {2{\text{BI}}} = \overrightarrow {{\text{IC}}} $
Lời giải
Chọn A
Vì I là trung điểm của ${\text{BC}}$ nên ${\text{BI}} = {\text{CI}}$ và $\overrightarrow {{\text{BI}}} $ cùng hướng với $\overrightarrow {{\text{IC}}} $ do đó hai vectơ $\overrightarrow {{\text{BI}}} ,\overrightarrow {{\text{IC}}} $ bằng nhau hay $\overrightarrow {{\text{BI}}} = \overrightarrow {{\text{IC}}} $.
Câu 3. Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai?
A. $\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AM} $
B. $\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {CN} $
C. $\overrightarrow {BC} = – 2\overrightarrow {NM} $
D. $\overrightarrow {CN} = – \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} $
Lời giải
Chọn B
Câu 4. Cho $\vec a \ne \vec 0$ và điểm $O$. Gọi $M,N$ lần lượt là hai điểm thỏa mãn $\overrightarrow {OM} = 3\vec a$ và $\overrightarrow {ON} = – 4\vec a$. Khi đó:
A. $\overrightarrow {MN} = 7\vec a$
B. $\overrightarrow {MN} = – 5\vec a$
C. $\overrightarrow {MN} = – 7\vec a$
D. $\overrightarrow {MN} = – 5\vec a$
Lời giải
Chọn C
Ta có: $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} – \overrightarrow {OM} = – 4\vec a – 3\vec a = – 7\vec a$.
Câu 5. Cho ngũ giác $ABCDE$. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,BC,CD,DE$. Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm các đoạn $MP$ và $NQ$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AE} $
B. $\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AE} $
C. $\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AE} $
D. $\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AE} $
Lời giải
Chọn C
Ta có: $2\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {IN} = \overrightarrow {IM} + \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {IP} + \overrightarrow {PN} = \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {PN} $
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EQ} } \\
{\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DQ} }
\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow 2\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} $$ \Leftrightarrow \overrightarrow {MQ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} } \right).\overrightarrow {PN} = – \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} $
Suy ra: $2\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} } \right) – \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AE} \Rightarrow \overrightarrow {IJ} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AE} $.
Câu 6. Ba trung tuyến $AM,BN,CP$ của tam giác $ABC$ dồng quy tại $G$. Hỏi vectơ $\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} $ bằng vectơ nào?
A. $\frac{3}{2}\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {CG} } \right)$
B. $3\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {NG} + \overrightarrow {GP} } \right)$
C. $\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} } \right)$
D. $\vec 0$
Lời giải
Chọn D
Ta có: $\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AG} + \frac{3}{2}\overrightarrow {BG} + \frac{3}{2}\overrightarrow {CG} = \frac{3}{2}\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} } \right) = \vec 0$.
Câu 7. Cho $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Với điểm $M$ bất kỳ, ta luôn có:
A. $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MI} $
B. $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} $
C. $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MI} $
D. $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {MI} $
Lời giải
Chọn B
Áp dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng: Với điểm $M$ bất kỳ, ta luôn có $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} $
Câu 8. Cho $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Với mọi điểm $M$, ta luôn có:
A. $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MG} $
B. $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MG} $
C. $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} $
D. $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 4\overrightarrow {MG} $
Lời giải
Chon C
Áp dụng tính chất trọng tâm của tam giác: Với mọi điểm $M$, ta luôn có $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} $.
Câu 9. Cho $\vartriangle ABC$ có $G$ là trọng tâm, $I$ là trung điểm $BC$. Đẳng thức nào đúng?
A. $\overrightarrow {GA} = 2\overrightarrow {GI} $
B. $\overrightarrow {IG} = – \frac{1}{3}\overrightarrow {IA} $
C. $\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GI} $
D. $\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GA} $
Lời giải
Chọn C
Áp dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng, ta có: $\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GI} $.
Câu 10. Cho hình vuông $ABCD$ có tâm là $O$. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai?
A. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AO} $
B. $\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DO} = – \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} $
C. $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CB} $
D. $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DB} = 4\overrightarrow {AB} $
Lời giải
Chọn D
$\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {AB} $
Câu 11. Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Khi đó $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} $ bằng:
A. $\overrightarrow {MN} $
B. $2\overrightarrow {MN} $
C. $3\overrightarrow {MN} $
Lời giải
Chọn B
Ta có: $ + \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} } \\
{\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DN} }
\end{array} \Rightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right.$.
Câu 12. Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$ và điểm $M$ bất kì. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MO} $
B. $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 2\overrightarrow {MO} $
C. $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 3\overrightarrow {MO} $
D. $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO} $
Lời giải
Chọn D
Ta có: $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} } \right) + \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} } \right) = 2\overrightarrow {MO} + 2\overrightarrow {MO} = 4\overrightarrow {MO} $
Câu 13. Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABD,I$ là điểm trên $GC$ sao cho $IC = 3IG$. Với mọi điểm $M$ ta luôn có $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} $ bằng:
A. $2\overrightarrow {MI} $
B. $3\overrightarrow {MI} $
C. $4\overrightarrow {MI} $
D. $5\overrightarrow {MI} $
Lời giải
Chọn C
Ta có: $3\overrightarrow {IG} = – \overrightarrow {IC} $.
Do $G$ là trọng tâm của tam giác $ABD$ nên
$\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {ID} = 3\overrightarrow {IG} \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {ID} = – \overrightarrow {IC} \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \vec 0$
Khi đó:
$\begin{array}{*{20}{r}}
{}&{\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {ID} } \\
{}&{\; = 4\overrightarrow {MI} + \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right) = 4\overrightarrow {MI} + \vec 0 = 4\overrightarrow {MI} }
\end{array}$
Câu 14. Cho $\vartriangle ABC$ với $H,O,G$ lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm. Hệ thức nào sau đây là đúng?
A. $\overrightarrow {OH} = \frac{3}{2}\overrightarrow {OG} $
B. $\overrightarrow {HO} = 3\overrightarrow {OG} $
C. $\overrightarrow {OG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {GH} $
D. $2\overrightarrow {GO} = – 3\overrightarrow {OH} $
Lời giải
Chọn C.
Ta có $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} $
Gọi $I$ là trung điểm $BC,A’$ đối xứng với $A$ qua $O$.
Dễ thấy $HBA’C$ là hình bình hành
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HA’} \Leftrightarrow \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HA’} = 2\overrightarrow {HO} $
$ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {HO} \Leftrightarrow \overrightarrow {OH} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} $
Từ (1) và (2) $ \Rightarrow \overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG} \Leftrightarrow \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GH} = 3\overrightarrow {OG} \Leftrightarrow \overrightarrow {GH} = 2\overrightarrow {OG} \Leftrightarrow \overrightarrow {OG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {GH} $.
Câu 15. Cho $\vartriangle ABC$ và một điểm $M$ tùy ý. Chọn hệ thức đúng?
A. $2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} – 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AC} + 2\overrightarrow {BC} $
B. $2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} – 3\overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} $
C. $2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} – 3\overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} $
D. $2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} – 3\overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {CB} – \overrightarrow {CA} $
Lời giải
Chọn C.
$\begin{array}{*{20}{r}}
{}&{2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} – 3\overrightarrow {MC} } \\
{}&{\; = 2\overrightarrow {MC} + 2\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CB} – 3\overrightarrow {MC} } \\
{}&{\; = 2\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} }
\end{array}$
Câu 16. Cho hình chữ nhật $ABCD,I,K$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $CD$. Chọn đẳng thức đúng.
A. $\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {AK} = 2\overrightarrow {AC} $
B. $\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {AK} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} $
C. $\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {AK} = \overrightarrow {IK} $
D. $\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {AK} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} $
Lời giải
Chọn D.
$\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {AK} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} $
Câu 17. Cho tam giác $ABC$, có $AM$ là trung tuyến; $I$ là trung điểm của $AM$. Ta có:
A. $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \vec 0$.
B. $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \vec 0$.
C. $2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = 4\overrightarrow {IA} $.
D. $2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \vec 0$.
Lời giải
Chọn D.
Theo tính chất hình bình hành ta có: $\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = 2\overrightarrow {IM} $
$ \Rightarrow 2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = 2\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IM} = 2\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IM} } \right) = \vec 0$
Câu 18. Cho tứ giác $ABCD$. $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $DC$. $G$ là trung điểm của $IJ$. Xét các mệnh đề:
(I) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 4\overrightarrow {AG} $
(II) $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} = 2\overrightarrow {IG} $
(III) $\overrightarrow {JB} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow {JI} $
Mệnh đề sai là:
A. (I) và (II)
B. (II) và (III)
C. Chỉ (I)
D. Tất cả đều sai
Lời giải
Chọn B.
$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} $
$ = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} + \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GD} } \right)$
$ = 3\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} $
$ = 4\overrightarrow {GA} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} } \right)$
$ = 4\overrightarrow {AG} + 2I + 2\overrightarrow {GJ} = 4\overrightarrow {AG} $
(II) và (III) sai vì $G$ không phải là trung điểm của $AC$ và $BD$.
Câu 19. Cho tam giác đều $ABC$ có tâm $O$. Gọi $I$ là một điểm tùy ý bên trong tam giác $ABC$. Hạ $ID,IE,IF$ tương ứng vuông góc với $BC,CA,AB$. Giả sử $\overrightarrow {ID} + \overrightarrow {IE} + \overrightarrow {IF} = \frac{a}{b}\overrightarrow {IO} $ (với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Khi đó $a + b$ bằng:
A. 5
B. 4 C. 6
D. 7
Lời giải
Chọn A
Qua điểm $I$ dựng các đoạn $MQ//AB,PS//BC,NR//CA$.
Vì $ABC$ là tam giác đều nên các tam giác $IMN,IPQ,IRS$ cũng là tam giác đều.
Suy ra $D,E,F$ lần lượt là trung điểm của $MN,PQ,RS$.
Khi đó:
Câu 20. ${^*}$ Cho $\vartriangle ABC$ với $BC = a,AC = b,AB = c.I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\vartriangle ABC$, đường tròn nội tiếp $\left( I \right)$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $M,N,P$. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. $a \cdot \overrightarrow {IM} + b \cdot \overrightarrow {IN} + c \cdot \overrightarrow {IP} = \vec 0$
B. $a \cdot \overrightarrow {MA} + b \cdot \overrightarrow {NB} + c \cdot \overrightarrow {PC} = \vec 0$
C. $a \cdot \overrightarrow {AM} + b \cdot \overrightarrow {BN} + c \cdot \overrightarrow {CP} = \vec 0$
D. $a \cdot \overrightarrow {AB} + b \cdot \overrightarrow {BC} + c \cdot \overrightarrow {CA} = \vec 0$
Lời giải
Chọn A.
Gọi $p$ là nửa chu vi $\vartriangle ABC$, ta có:
$AP = AN = p – a$
$BM = BP = p – b$
$CN = CM = p – c$
Ta có $\overrightarrow {IM} = \frac{{MB}}{{BC}} \cdot \overrightarrow {IB} + \frac{{MB}}{{BC}} \cdot \overrightarrow {IC} $
$ \Leftrightarrow a\overrightarrow {IM} = \left( {p – c} \right)\overrightarrow {IB} + \left( {p – b} \right)\overrightarrow {IC} \left( 1 \right)$
Tương tự:
$b\overrightarrow {IN} = \left( {p – a} \right)\overrightarrow {IC} + \left( {p – c} \right)\overrightarrow {IA} \left( 2 \right)$
$c\overrightarrow {IP} = \left( {p – b} \right)\overrightarrow {IA} + \left( {p – a} \right)\overrightarrow {IB} \left( 3 \right)$
Cộng từng vế (1), (2), (3) ta được:
$a\overrightarrow {IM} + b\overrightarrow {IN} + c\overrightarrow {IC} $
$ = \left( {2p – b – c} \right)\overrightarrow {IA} + \left( {2p – a – c} \right)\overrightarrow {IB} + \left( {2p – a – b} \right)\overrightarrow {IC} $
$ = a\overrightarrow {IA} + b\overrightarrow {IB} + c\overrightarrow {IC} = \vec 0$
Nhận xét: Áp dụng kết quả nếu $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\vartriangle ABC$ thì $ \Leftrightarrow a\overrightarrow {IA} + b\overrightarrow {BI} + c\overrightarrow {CI} = 0$
DẠNG 2: XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH ĐỘ LỚN VECTƠ
• Vẽ hình xác định các vectơ thông qua các quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành.
• Áp dụng các công thức hình học để tính độ dài vectơ.
• Để tính độ dài $\left| {\vec a \pm \vec b \pm \vec c \pm \vec d} \right|$ thì ta đi rút gọn biểu thức vectơ $\vec a \pm \vec b \pm \vec c \pm \vec d$ rồi tính độ dài.
Câu 21. Tìm giá trị của $m$ sao cho $\vec a = m\vec b$, biết rằng $\vec a,\vec b$ ngược hướng và $\left| {\vec a\left| { = 5,} \right|\vec b} \right| = 15$
A. $m = 3$
B. $m = – \frac{1}{3}$
C. $m = \frac{1}{3}$
D. $m = – 3$
Lời giải
Chọn B
Do $\vec a,\vec b$ ngược hướng nên $m = – \frac{{\left| {\vec a} \right|}}{{\left| {\vec b} \right|}} = – \frac{5}{{15}} = – \frac{1}{3}$.
Câu 22. Cho tam giác $ABC$ đều có cạnh bằng $2a$. Độ dài của $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} $ bằng:
A. $2a$
B. $a\sqrt 3 $
C. $2a\sqrt 3 $
D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
Lời giải
Chọn C
Gọi $H$ là trung điểm của $BC$. Khi đó: $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \left| = \right|2 \cdot \overrightarrow {AH} } \right| = 2 \cdot AH = 2 \cdot \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = 2a\sqrt 3 $.
Câu 23. Cho hình thoi $ABCD$ tâm $O$, cạnh $2a$. Góc $\widehat {BAD} = {60^ \circ }$. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} $.
A. $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = 2a\sqrt 3 $
B. $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = a\sqrt 3 $
C. $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = 3a$
D. $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = 3a\sqrt 3 $
Lời giải
Chọn A
Tam giác $ABD$ cân tại $A$ và có góc $\widehat {BAD} = {60^ \circ }$ nên $\vartriangle ABD$ đều $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \left| = \right|\overrightarrow {AC} \left| = \right|2\overrightarrow {AO} } \right| = 2 \cdot AO = 2 \cdot \sqrt {A{B^2} – B{O^2}} = 2 \cdot \sqrt {4{a^2} – {a^2}} = 2a\sqrt 3 $
Câu 24. Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có $AB = a$. Tính $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right|$.
A. $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = a\sqrt 2 $.
B. $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
C. $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2a$.
D. $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = a$.
Lời giải
Chọn A.
Gọi $M$ là trung điểm $BC$ thì $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \left| = \right|2\overrightarrow {AM} } \right| = 2AM = BC = a\sqrt 2 $.
Câu 25. Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh là 3 . Tính độ dài $\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right|$ :
A. 6
B. $6\sqrt 2 $
C. 12
D. 0
Lời giải
Chọn A.
$\begin{array}{*{20}{r}}
{\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right|}&{\; = \left| {2\overrightarrow {AO} + 2\overrightarrow {OD} } \right|} \\
{}&{\; = 2\left| {\overrightarrow {AD} } \right| = 6}
\end{array}$
$\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AO} + 2\overrightarrow {OD} } \right|$$ = 2\left| {\overrightarrow {AD} } \right| = 6$
Câu 26. Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $2a$ có $G$ là trọng tâm. Khi đó $\left| {\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {GC} } \right|$ là
A. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
B. $\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$.
C. $\frac{{4a\sqrt 3 }}{3}$.
D. $\frac{{2a}}{3}$.
Lời giải
Chọn C.
Gọi $M$ là trung điểm $BC$, dựng điểm $N$ sao cho $\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AG} $. Ta có : $\left| {\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {GC} \left| = \right|\overrightarrow {GB} – \overrightarrow {GA} – \overrightarrow {GC} \left| = \right|\overrightarrow {GB} – \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} } \right)\left| = \right|2\overrightarrow {GB} } \right| = 2 \cdot GB = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{4a\sqrt 3 }}{3}$
Câu 27. Cho hình thang $ABCD$ có đáy $AB = a,CD = 2a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AD$ và $BC$. Tính độ dài của véctơ $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CA} $.
A. $\frac{{5a}}{2}$.
B. $\frac{{7a}}{2}$.
C. $\frac{{3a}}{2}$.
D. $\frac{a}{2}$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có $M,N$ là trung điểm của $AD$ và $BC$ nên $\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MA} = \vec 0$ và $\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CN} = \vec 0$.
Khi đó: $\left| {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CA} \left| = \right|\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {MA} } \right|$
$ = \left| {\overrightarrow {MN} + 2\overrightarrow {NM} \left| = \right|\overrightarrow {NM} } \right| = NM = \frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right) = \frac{{3a}}{2}.$
Câu 28. Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Tính độ dài vectơ $\vec u = 4\overrightarrow {MA} – 3\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} – 2\overrightarrow {MD} $.
A. $\left| {\vec u} \right| = a\sqrt 5 $
B. $\left| {\vec u} \right| = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$
C. $\left| {\vec u} \right| = 3a\sqrt 5 $
D. $\left| {\vec u} \right| = 2a\sqrt 5 $
Lời giải
Chọn A.
$\vec u = 4\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right) – 3\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} } \right) – 2\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OD} } \right) = 3\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} $
Trên $OA$ lấy $A’$ sao cho $OA’ = 3OA$
$ \Rightarrow \vec u = \overrightarrow {OA’} – \overrightarrow {OB’} $
$ \Rightarrow BA’ = \sqrt {O{B^2} + O{A^2}} = a\sqrt 5 $
Câu 29. Cho tam giác $OAB$ vuông cân tại $O$ với $OA = OB = a$. Độ dài của véc tơ $\vec u = \frac{{21}}{4}\overrightarrow {OA} – \frac{5}{2}\overrightarrow {OB} $ là:
A. $\frac{{a\sqrt {140} }}{4}$
B. $\frac{{a\sqrt {321} }}{4}$
C. $\frac{{a\sqrt {520} }}{4}$
D. $\frac{{a\sqrt {541} }}{4}$
Lời giải
Chọn D
Dựng điểm $M,N$ sao cho: $\overrightarrow {OM} = \frac{{21}}{4}\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {ON} = \frac{5}{2}\overrightarrow {OB} $.
Khi đó: $\left| {\vec u\left| = \right|\overrightarrow {OM} – \overrightarrow {ON} \left| = \right|\overrightarrow {NM} } \right| = MN = \sqrt {O{M^2} + O{N^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{21a}}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{5a}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {541} }}{4}$.
Câu 30. Cho 2 vectơ $\vec a$ và $\vec b$ tạo với nhau góc ${60^ \circ }$. Biết $\left| {\vec a} \right| = 6$; $\left| {\vec b} \right| = 3$. Tính $\left| {\vec a + \vec b\left| + \right|\vec a – \vec b} \right|$
A. $3\left( {\sqrt 7 + \sqrt 5 } \right)$
B. $3\left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)$
C. $6\left( {\sqrt 5 + 3} \right)$
D. $\frac{1}{2}\left( {2\sqrt 3 + \sqrt {51} } \right)$
Lời giải
Dựng $\overrightarrow {OA} = \vec a;\overrightarrow {OB} = \vec b$
Dựng hình bình hành $OACB \Rightarrow \vec a + \vec b = \overrightarrow {OC} ;\vec a – \vec b = \overrightarrow {BA} $
$ \Rightarrow \vartriangle OAB$ vuông tại $B \Rightarrow IB = \frac{{AB}}{2} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$
$OI = \sqrt {O{B^2} + I{B^2}} = \frac{{\sqrt {63} }}{2} \Rightarrow OC = \sqrt {63} \Rightarrow \left| {\vec a + \vec b\left| + \right|\vec a – \vec b} \right| = \sqrt {63} + 3\sqrt 3 $
DẠNG 3: BIỂU THỊ MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG
Để phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương, ta thường sử dụng:
• Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ.
• Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác.
• Tính chất của các hình (tam giác đều, tam giác vuông, hình vuông, hình chữ nhật …).
Câu 31. Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, vectơ $\vec u = 3\overrightarrow {AB} – 4\overrightarrow {AC} $ đưuọc vẽ đúng ở hình nào dưới đây?
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A.
Câu 32. Cho $AK$ và $BM$ là hai trung tuyến của $\vartriangle ABC$. Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow {AB} $ theo hai vectơ $\overrightarrow {AK} $ và $\overrightarrow {BM} $.
A. $\overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AK} – \overrightarrow {BM} } \right)$
B. $\overrightarrow {AB} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AK} – \overrightarrow {BM} } \right)$
C. $\overrightarrow {AB} = \frac{3}{2}\left( {\overrightarrow {AK} – \overrightarrow {BM} } \right)$
D. $\overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AK} + \overrightarrow {BM} } \right)$
Lời giải
Chọn A.
Cách 1:
Ta có: $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AK} + \overrightarrow {KB} = \overrightarrow {AK} + \overrightarrow {KM} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AK} – \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {BM} $ (vì $KM = \frac{1}{2}AB$ )
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AK} – \overrightarrow {BM} \Leftrightarrow \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AK} – \overrightarrow {BM} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AK} – \overrightarrow {BM} } \right)$
Cách 2: Giả sử có cặp số $m,n$ sao cho $\overrightarrow {AB} = m\overrightarrow {AK} + n\overrightarrow {BM} $, với $G = AK \cap BM$
Ta có $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} ,\overrightarrow {AK} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AG} ,\overrightarrow {BM} = \frac{3}{2}\overrightarrow {BG} $
$ \Rightarrow \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} = \frac{3}{2}m\overrightarrow {AG} – \frac{3}{2}n\overrightarrow {GB} \Leftrightarrow \left( {\frac{3}{2}m – 1} \right)\overrightarrow {AG} = \left( { – \frac{3}{2}n – 1} \right)\overrightarrow {BG} $
Do $\overrightarrow {AG} ,\overrightarrow {BG} $ không cùng phương $ \Rightarrow \left( {{\;^*}} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{3}{2}m – 1 = 0} \\
{ – \frac{2}{2}n – 1 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = \frac{2}{3}} \\
{n = – \frac{2}{3}}
\end{array}} \right.} \right.$
$ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AK} – \overrightarrow {BM} } \right)$.
Câu 33. Cho hình bình hành $ABCD$ có $N$ là trung điểm $AB$ và $G$ là trọng tâm $\vartriangle ABC$. Phân tích $\overrightarrow {GA} $ theo $\overrightarrow {BD} $ và $\overrightarrow {NC} $
A. $\overrightarrow {GA} = – \frac{1}{3}\overrightarrow {BD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {NC} $.
B. $\overrightarrow {GA} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BD} – \frac{4}{3}\overrightarrow {NC} $.
C. $\overrightarrow {GA} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {NC} $.
D. $\overrightarrow {GA} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BD} – \frac{2}{3}\overrightarrow {NC} $.
Lời giải
Chọn D.
Vì $G$ là trọng tâm $\vartriangle ABC$ nên
$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} = – \left( {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right)$
Suy ra $\overrightarrow {GA} = – \left( { – \frac{1}{3}\overrightarrow {BD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {NC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {BD} – \frac{2}{3}\overrightarrow {NC} $.
Câu 34. Cho $\vartriangle ABC$ và $I$ thỏa mãn $\overrightarrow {IA} = 3\overrightarrow {IB} $. Phân tích $\overrightarrow {CI} $ theo $\overrightarrow {CA} $ và $\overrightarrow {CB} $.
A. $\overrightarrow {CI} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} – 3\overrightarrow {CB} } \right)$.
B. $\overrightarrow {CI} = \overrightarrow {CA} – 3\overrightarrow {CB} $.
C. $\overrightarrow {CI} = \frac{1}{2}\left( {3\overrightarrow {CB} – \overrightarrow {CA} } \right)$.
D. $\overrightarrow {CI} = 3\overrightarrow {CB} – \overrightarrow {CA} $.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: $\overrightarrow {CI} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AI} $
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {CI} = \overrightarrow {CA} – 3\overrightarrow {IB} $
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {CI} = \overrightarrow {CA} – 3\left( {\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {CB} } \right)$
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {CI} = \overrightarrow {CA} + 3\overrightarrow {CI} – 3\overrightarrow {CB} $
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {CI} = – \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} – 3\overrightarrow {CB} } \right)$
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {CI} = \frac{1}{2}\left( {3\overrightarrow {CB} – \overrightarrow {CA} } \right)$
Câu 35. Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $M,N$ là các điểm nằm trên các cạnh $AB$ và $CD$ sao cho $AM = \frac{1}{3}AB,CN = \frac{1}{2}CD$. Gọi $G$ là trọng tâm của $\vartriangle BMN$. Hãy phân tích $\overrightarrow {AG} $ theo hai vectơ $\overrightarrow {AB} = \vec a,\overrightarrow {AC} = \vec b$.
A. $\overrightarrow {AG} = \frac{1}{{18}}\vec a + \frac{5}{3}\vec b$
B. $\overrightarrow {AG} = \frac{1}{{18}}\vec a + \frac{1}{5}\vec b$
C. $\overrightarrow {AG} = \frac{5}{{18}}\vec a + \frac{1}{3}\vec b$
D. $\overrightarrow {AG} = \frac{5}{{18}}\vec a – \frac{1}{3}\vec b$
Lời giải
Chọn C.
Ta có $\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow {AG} $ mà $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} $
$\begin{array}{*{20}{r}}
{}&{\overrightarrow {AN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} } \right) = – \frac{1}{2}\vec a + \vec b} \\
{}&{\; \Rightarrow 3\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} – \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} = \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \\
{}&{\; \Leftrightarrow \overrightarrow {AG} = \frac{5}{{18}}\vec a + \frac{1}{3}\vec b.}
\end{array}$
Câu 36. Cho $\vartriangle ABC$. Gọi $I$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $2CI = 3BI$ và $J$ là điểm trên tia đối của $BC$ sao cho $5JB = 2JC$. Tính $\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {AJ} $ theo $\vec a = \overrightarrow {AB} ,\vec b = \overrightarrow {AC} $.
A. $\overrightarrow {AI} = \frac{3}{5}\vec a + \frac{2}{5}\vec b,\overrightarrow {AJ} = \frac{5}{3}\vec a – \frac{2}{3}\vec b$
B. $\overrightarrow {AI} = \frac{3}{5}\vec a – \frac{2}{5}\vec b,\overrightarrow {AJ} = \frac{5}{3}\overrightarrow {a – \frac{2}{3}\vec b} $
C. $\overrightarrow {AI} = \frac{2}{5}\vec a + \frac{3}{5}\vec b,\overrightarrow {AJ} = \frac{5}{3}\vec a – \frac{2}{3}\vec b$
D. $\overrightarrow {AI} = \frac{3}{5}\vec a + \frac{2}{5}\vec b,\overrightarrow {AJ} = \frac{5}{3}\vec a + \frac{2}{3}\vec b$
Lời giải
Chọn A.
Ta có: $2\overrightarrow {IC} = – 3\overrightarrow {IB} \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AI} } \right) = – 3\left( {\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AI} } \right)$
$ \Leftrightarrow 5\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} .$
Ta lại có: $5\overrightarrow {JB} = 2\overrightarrow {JC} \Leftrightarrow 5\left( {\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AJ} } \right) = 2\left( {\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AJ} } \right)$
$ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {AJ} = 5\overrightarrow {AB} – 2\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AJ} = \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} – \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} $
Câu 37. Cho hình bình hành $ABCD$ có $E,N$ lần lượt là trung điểm của $BC,AE$. Tìm các số $p$ và $q$ sao cho $\overrightarrow {DN} = p\overrightarrow {AB} + q\overrightarrow {AC} $.
A. $p = \frac{5}{4};q = \frac{3}{4}$
B. $p = – \frac{4}{3};q = \frac{2}{3}$
C. $p = – \frac{4}{3};q = – \frac{2}{3}$
D. $p = \frac{5}{4};q = – \frac{3}{4}$
Lời giải
Chọn D.
$\overrightarrow {DN} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {CB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AE} $
$ = \overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AC} + \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)$
$ = \frac{5}{4}\overrightarrow {AB} – \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} $
Vậy $p = \frac{5}{4},q = – \frac{3}{4}$
Câu 38. Cho hình chữ nhật $ABCD$ tâm $O$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $OA$ và $CD$. Biết $\overrightarrow {MN} = a \cdot \overrightarrow {AB} + b \cdot \overrightarrow {AD} $. Tính $a + b$.
A. $a + b = 1$.
B. $a + b = \frac{1}{2}$.
C. $a + b = \frac{3}{4}$.
D. $a + b = \frac{1}{4}$.
Lời giải
Chọn A.
$\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {ON} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} $
$ \Rightarrow a = \frac{1}{4};b = \frac{3}{4}$. Vậy $a + b = 1$.
Câu 39. Cho tứ giác $ABCD$, trên cạnh $AB,CD$ lấy lần lượt các điểm $M,N$ sao cho $3\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AB} $ và $3\overrightarrow {DN} = 2\overrightarrow {DC} $. Tính vectơ $\overrightarrow {MN} $ theo hai vectơ $\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} $.
A. $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} $.
B. $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} – \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} $.
C. $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} $.
D. $\overrightarrow {MN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} $.
Lời giải
Chọn C.
Ta có $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {DC} $
$ = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right) + \overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} – \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} .\;$
Câu 40. Trên đường thẳng chứa cạnh $BC$ của tam giác $ABC$ lấy một điểm $M$ sao cho $\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} $. Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow {AM} = – \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} $
B. $\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} $
C. $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AC} $
D. $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)$
Lời giải
Chọn A
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$. Khi đó $C$ là trung điểm của $MI$. Ta có:
$\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AI} = 2\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = – \overrightarrow {AI} + 2\overrightarrow {AC} = – \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) + 2\overrightarrow {AC} = – \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} .$
Câu 41. Cho tam giác $ABC$ biết $AB = 8,AC = 9,BC = 11$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $N$ là điểm trên đoạn $AC$ sao cho $AN = x(0 < x < 9)$. Hệ thức nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{1}{2} – \frac{x}{9}} \right)\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} $
B. $\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{x}{9} – \frac{1}{2}} \right)\overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} $
C. $\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{x}{9} + \frac{1}{2}} \right)\overrightarrow {AC} – \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} $
D. $\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{x}{9} – \frac{1}{2}} \right)\overrightarrow {AC} – \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} $
Lời giải
Chọn D
Ta có: $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} – \overrightarrow {AM} = \frac{x}{9}\overrightarrow {AC} – \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \left( {\frac{x}{9} – \frac{1}{2}} \right)\overrightarrow {AC} – \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} $.
Câu 42. Cho tam giác $ABC$. Gọi $G$ là trọng tâm và $H$ là điểm đối xứng với $B$ qua $G$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. $\overrightarrow {AH} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} – \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} $
B. $\overrightarrow {AH} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} – \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} $
C. $\overrightarrow {AH} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} $
D. $\overrightarrow {AH} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} – \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} $
Lời giải
Chọn A
Gọi $M,I$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AC$.
Ta thấy $AHCG$ là hình bình hành nên
$\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AC} $
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AC} – \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} – \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} $
Câu 43. Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB,N$ là điểm thuộc $AC$ sao cho $\overrightarrow {CN} = 2\overrightarrow {NA} $. K là trung điểm của $MN$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. $\overrightarrow {AK} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} $.
B. $\overrightarrow {AK} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} $.
C. $\overrightarrow {AK} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} $.
D. $\overrightarrow {AK} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} $.
Lời giải
Chọn A
Ta có $M$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CN} = 2\overrightarrow {NA} \Rightarrow \overrightarrow {AN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} $.
Do đó $\overrightarrow {AK} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} } \right) = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} $.
Câu 44. Cho tứ giác $ABCD,O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Gọi $G$ theo thứ tự là trọng tâm của tam giác $OAB$ và $OCD$. Khi đó $\overrightarrow {GG’} $ bằng:
A. $\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right)$.
B. $\frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right)$.
C. $3\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right)$.
D. $\frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right)$.
Lời giải
Chọn D
Vì $G’$ là trọng tâm của tam giác $OCD$ nên $\overrightarrow {GG’} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} } \right)$.
Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $OAB$ nên: $\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {GO} = – \overrightarrow {GA} – \overrightarrow {GB} $ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $\overrightarrow {GG’} = \frac{1}{3}\left( { – \overrightarrow {GA} – \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} } \right) = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right)$.
Câu 45. Cho tam giác $ABC$ với phân giác trong $AD$. Biết $AB = 5,BC = 6,CA = 7$. Khi đó $\overrightarrow {AD} $ bằng:
A. $\frac{5}{{12}}\overrightarrow {AB} + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} $.
B. $\frac{7}{{12}}\overrightarrow {AB} – \frac{5}{{12}}\overrightarrow {AC} $.
C. $\frac{7}{{12}}\overrightarrow {AB} + \frac{5}{{12}}\overrightarrow {AC} $.
D. $\frac{5}{{12}}\overrightarrow {AB} – \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} $.
Lời giải
Chọn C
Vì $AD$ là phân giác trong của tam giác $ABC$ nên:
$\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{7} \Rightarrow \overrightarrow {BD} = \frac{5}{7}\overrightarrow {DC} $
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AB} = \frac{5}{7}\left( {\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AD} } \right)$
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AB} + \frac{5}{{12}}\overrightarrow {AC} $.
Câu 46. Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là một điểm trên cạnh $AC$ sao cho $NC = 2NA$. Gọi $K$ là trung điểm của $MN$. Khi đó:
A. $\overrightarrow {AK} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} $
B. $\overrightarrow {AK} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} – \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} $
C. $\overrightarrow {AK} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} $
D. $\overrightarrow {AK} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} – \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} $
Lời giải
Chọn C
Câu 47. Cho tam giác $ABC,N$ là điểm xác định bởi $\overrightarrow {CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} ,G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Hệ thức tính $\overrightarrow {AC} $ theo $\overrightarrow {AG} ,\overrightarrow {AN} $ là:
A. $\overrightarrow {AC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AG} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AN} $
B. $\overrightarrow {AC} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AG} – \frac{1}{2}\overrightarrow {AN} $
C. $\overrightarrow {AC} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AG} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AN} $
D. $\overrightarrow {AC} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AG} – \frac{1}{2}\overrightarrow {AN} $
Lời giải
Chọn C
Câu 48. Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $MB = 2MC$. Khi đó:
A. $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} $.
B. $\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} $.
C. $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} $.
D. $\overrightarrow {AM} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AC} $.
Lời giải
Chọn A.
Cách 1: Ta có $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} $.
Cách 2: Ta có $MB = 2MC \Leftrightarrow \overrightarrow {MB} = – 2\overrightarrow {MC} $ (vì $\overrightarrow {MB} $ và $\overrightarrow {MC} $ ngược hướng)
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AM} = – 2\left( {\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AM} } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} $.
Câu 49. Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ là điểm được xác định: $4\overrightarrow {BM} – 3\overrightarrow {BC} = \vec 0$. Khi đó vectơ $\overrightarrow {AM} $ bằng
A. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} $.
B. $\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} $.
C. $\overrightarrow {\frac{1}{3}AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} $.
D. $\frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} $.
Lời giải
Chọn D.
Ta có: $4\overrightarrow {BM} – 3\overrightarrow {BC} = \vec 0 \Leftrightarrow 4\left( {\overrightarrow {AM} – \overrightarrow {AB} } \right) – 3\left( {\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} } \right) = \vec 0$
$ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {AM} – 4\overrightarrow {AB} – 3\overrightarrow {AC} + 3\overrightarrow {AB} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} $.
Câu 50. Cho tam giác $ABC$ có $I,D$ lần lượt là trung điểm $AB,CI$. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} – \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} $.
B. $\overrightarrow {BD} = – \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} $.
C. $\overrightarrow {BD} = – \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} $.
D. $\overrightarrow {BD} = – \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} – \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} $.
Lời giải
Chọn B.
Vì $I,D$ lần lượt là trung điểm $AB,CI$ nên ta có
$\overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BI} + \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right) = – \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} $
Câu 51. Cho tam giác $ABC$. Gọi $I,J$ là hai điểm xác định bởi $\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IB} ,3\overrightarrow {JA} + 2\overrightarrow {JC} = \vec 0$. Hệ thức nào đúng?
A. $\overrightarrow {IJ} = \frac{5}{2}\overrightarrow {AC} – 2\overrightarrow {AB} $.
B. $\overrightarrow {IJ} = \frac{5}{2}\overrightarrow {AB} – 2\overrightarrow {AC} $.
C. $\overrightarrow {IJ} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AB} – 2\overrightarrow {AC} $.
D. $\overrightarrow {IJ} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} – 2\overrightarrow {AB} $.
Lời giải
Chọn D.
Ta có: $\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AJ} = – 2\overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} – 2\overrightarrow {AB} $.
Câu 52. Cho $\vartriangle ABC$. Diểm $M$ nằm trên đường thẳng $BC$ sao cho $\overrightarrow {MB} = k\overrightarrow {MC} \left( {k \ne 1} \right)$. Phân tích $\overrightarrow {AM} $ theo $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} $.
A. $\overrightarrow {AM} = \frac{{\overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {AC} }}{{1 – k}}$
B. $\overrightarrow {AM} = \frac{{\overrightarrow {AB} – k\overrightarrow {AC} }}{{1 + k}}$
C. $\overrightarrow {AM} = \frac{{\overrightarrow {AB} – k\overrightarrow {AC} }}{{1 – k}}$
D. $\overrightarrow {AM} = \frac{{\overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {AC} }}{{1 – k}}$
Lời giải
Chọn C.
$\begin{array}{*{20}{r}}
{}&{\overrightarrow {MB} = k\overrightarrow {MC} } \\
{}&{\; \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AM} = k\left( {\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AM} } \right)} \\
{}&{\; \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{{\overrightarrow {AB} – k\overrightarrow {AC} }}{{1 – k}}}
\end{array}$
Câu 53. Cho $\vartriangle OAB$ với $M,N$ lần lượt là trung điểm của $OA,OB$. Tìm số $m,n$ thích hợp để $\overrightarrow {NA} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} $
A. $m = – 1,n = \frac{1}{2}$
B. $m = 1,n = – \frac{1}{2}$
C. $m = 1,n = \frac{1}{2}$
D. $m = – 1,n = – \frac{1}{2}$
Lời giải
Chọn B.
$\overrightarrow {NA} = \overrightarrow {OA} – \overrightarrow {ON} = \overrightarrow {OA} – \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} $
Câu 54. Một đường thẳng cắt các cạnh $DA,DC$ và đường chép $DB$ của hình bình hành $ABCD$ lần lượt tại các điểm $E,F$ và $M$. Biết rẳng $\overrightarrow {DE} = m\overrightarrow {DA} ,\overrightarrow {DF} = n\overrightarrow {DC} (m,n > 0)$. Hãy biểu diễn $\overrightarrow {DM} $ qua $\overrightarrow {DB} $ và $m,n$.
A. $\overrightarrow {DM} = \frac{{m \cdot n}}{{m + n}}\overrightarrow {DB} $
B. $\overrightarrow {DM} = \frac{m}{{m + n}}\overrightarrow {DB} $
C. $\overrightarrow {DM} = \frac{n}{{m + n}}\overrightarrow {DB} $
D. $\overrightarrow {DM} = \frac{{m \cdot n}}{{m – n}}\overrightarrow {DB} $
Lời giải
Chọn A.
Đặt $\overrightarrow {DM} = x\overrightarrow {DB} ,\overrightarrow {EM} = y\overrightarrow {FM} $
$ \Rightarrow \overrightarrow {DM} = x\overrightarrow {DA} + x\overrightarrow {DC} $
Nên: $\overrightarrow {EM} = \overrightarrow {DM} – \overrightarrow {DE} = x\overrightarrow {DA} + x\overrightarrow {DC} – m\overrightarrow {DA} = \left( {x – m} \right)\overrightarrow {DA} + x\overrightarrow {DC} $
Ta có: $\overrightarrow {EM} = y\overrightarrow {FM} \Leftrightarrow \left( {x – m} \right)\overrightarrow {DA} + x\overrightarrow {DC} – xy\overrightarrow {DA} + y\left( {x – m} \right)\overrightarrow {DC} $
Do $DA$ và $DC$ không cùng phương nên: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – m = xy} \\
{x = y\left( {x – n} \right)}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{m \cdot n}}{{m + n}}} \\
{y = – \frac{m}{n}}
\end{array} \Leftrightarrow \overrightarrow {DM} = \frac{{m \cdot n}}{{m + n}}\overrightarrow {DB} } \right.} \right.$
Câu 55. Cho tam giác $ABC$, hai điểm $M,N$ thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} – \overrightarrow {MC} = \vec 0$ và $2\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \vec 0$. Tìm hai số $p,q$ sao cho $\overrightarrow {MN} = p\overrightarrow {AB} + q\overrightarrow {AC} $.
A. $p = q = – \frac{3}{4}$
B. $p = 2,q = 0$
C. $p = – \frac{1}{2},q = – \frac{1}{2}$
D. $p = – \frac{3}{4},q = \frac{5}{4}$
Lời giải
Chọn D.
Từ giả thiết: $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} $
$ \Rightarrow M$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ACBM$.
Từ giả thiết: $2\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \vec 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {NA} + 2\overrightarrow {NK} = \vec 0$
$N$ là trung điểm $AK$, với $K$ là trung điểm $BC$.
Ta có:
$\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AK} = \overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = – \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{5}{4}\overrightarrow {AC} $
$ \Rightarrow p = – \frac{3}{4},q = \frac{5}{4}$
DẠNG 4: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG-CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG-CHỨNG MINH HAI ĐIỂM TRÙNG NHAU
Để chứng minh ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó thoả mãn đẳng thức
$ + \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} ,k \ne 0$
$ + \overrightarrow {MC} = \alpha \cdot \overrightarrow {MA} + \left( {1 – \alpha } \right) \cdot \overrightarrow {MB} $ với $\forall M,\alpha \in \mathbb{R}$
• Để chứng minh $AB//CD$ ta chứng minh: $\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {CD} ,k \ne 0$
• Để chứng minh hai điểm $M,N$ trùng nhau ta chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức
$\overrightarrow {{\text{OM}}} = \overrightarrow {{\text{ON}}} $, với ${\text{O}}$ là một điểm nào đó hoặc $\overrightarrow {{\text{MN}}} = \vec 0$.
Câu 56. Cho ba điểm $A,B,C$ phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm thẳng hàng là:
A. $AB = AC$
B. $\exists k \ne 0:\overrightarrow {AB} = k \cdot \overrightarrow {AC} $
C. $\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} $
D. $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} ,\forall $
điểm $M$
Lời giải
Chọn B
Câu 57. Cho $\vartriangle ABC$. Đặt $\vec a = \overrightarrow {BC} ,\vec b = \overrightarrow {AC} $. Các cặp vectơ nào sau đây cùng phương?
A. $2\vec a + \vec b,\vec a + 2\vec b$
B. $\vec a – 2\vec b,2\vec a – \vec b$
C. $5\vec a + \vec b, – 10\vec a – 2\vec b$
D. $\vec a + \vec b,\vec a – \vec b$
Lời giải
Chọn C
Ta có: $ – 10\vec a – 2\vec b = – 2.\left( {5\vec a + \vec b} \right) \Rightarrow 5\vec a + \vec b$ và $ – 10\vec a – 2\vec b$ cùng phương.
Câu 58. Cho hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương?
A. $ – 3\vec a + \vec b$ và $ – \frac{1}{2}\vec a + 6\vec b$
B. $ – \frac{1}{2}\vec a – \vec b$ và $2\vec a + \vec b$
C. $\frac{1}{2}\vec a – \vec b$ và $ – \frac{1}{2}\vec a + \vec b$
D. $\frac{1}{2}\vec a + \vec b$ và $\vec a – 2\vec b$
Lời giải
Chọn C
Câu 59. Cho hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây là cùng phương?
A. $\vec u = 2\vec a + 3\vec b$ và $\vec v = \frac{1}{2}\vec a – 3\vec b$
B. $\vec u = \frac{3}{5}\vec a + 3\vec b$ và $\vec v = 2\vec a – \frac{3}{5}\vec b$
C. $\vec u = \frac{2}{3}\vec a + 3\vec b$ và $\vec v = 2\vec a – 9\vec b$
D. $\vec u = 2\vec a – \frac{3}{2}\vec b$ và $\vec v = – \frac{1}{3}\vec a + \frac{1}{4}\vec b$
Lời giải
Chọn D
Câu 60. Biết rằng hai vec tơ $\vec a$ và $\vec b$ không cùng phương nhưng hai vec tơ $3\vec a – 2\vec b$ và $\left( {x + 1} \right)\vec a + 4\vec b$ cùng phương. Khi đó giá trị của $x$ là:
A. -7
B. 7
C. 5
D. 6
Lời giải
Chọn A
Điều kiện để hai vec tơ $3\vec a – 2\vec b$ và $\left( {x + 1} \right)\vec a + 4\vec b$ cùng phương là: $\frac{{x + 1}}{3} = \frac{4}{{ – 2}} \Leftrightarrow x = – 7$.
Câu 61. Cho tam giác $ABC$. Hai điểm $M,N$ được xác định bởi các hệ thức $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MA} = \vec 0$, $\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {NA} – 3\overrightarrow {AC} = \vec 0$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. $MN \bot AC$
B. $MN//AC$
C. $M$ nằm trên đường thẳng $AC$
D. Hai đường thẳng $MN$ và $AC$ trùng nhau
Lời giải
Chọn B
Ta có: $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MA} = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {BC} \Rightarrow M$ là điểm thứ tư của hình bình hành $ABCM$ nên $M \notin AC$ (1) Cộng vế theo vế hai đẳng thức $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MA} = \vec 0,\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {NA} – 3\overrightarrow {AC} = \vec 0$, ta được:
$\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} – \overrightarrow {NA} – 3\overrightarrow {AC} = \vec 0$
$ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AN} } \right) + \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) – 3\overrightarrow {AC} = \vec 0$
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {AC} – 3\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {AC} \Rightarrow \overrightarrow {MN} $cùng phương với $\overrightarrow {AC} $(2)
Từ (1) và (2) suy ra $MN//AC$.
Câu 62. Cho $\vartriangle ABC$. Lấy các điểm $M,N,P$ sao cho $\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} ,\overrightarrow {NA} + 3\overrightarrow {NC} = \vec 0,\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} = \vec 0$. Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để $M,N,P$ thẳng hàng.
A. $\overrightarrow {MP} = – 2\overrightarrow {MN} $
B. $\overrightarrow {MP} = 3\overrightarrow {MN} $
C. $\overrightarrow {MP} = 2\overrightarrow {MN} $
D. $\overrightarrow {MP} = – 3\overrightarrow {MN} $
Lời giải
Chọn C.
$\overrightarrow {AP} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AN} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} $
$\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} – \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} $
Do đó
$\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AP} – \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} – \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} \left( 1 \right)$
$\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} – \overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} – \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \left( 2 \right)$
Từ (1), (2) $ \Rightarrow \overrightarrow {MP} = 2\overrightarrow {MN} \Rightarrow M,N,P$ thẳng hàng.
Câu 63. Cho $\vartriangle ABC$ có trung tuyến $AM$. Gọi $I$ là trung điểm $AM$ và $K$ là điểm trên $AC$ sao cho $AK = \frac{1}{3}AC$. Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để ba điểm $B,I,K$ thẳng hàng.
A. $\overrightarrow {BK} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BI} $
B. $\overrightarrow {BK} = \frac{4}{3}\overrightarrow {BI} $
C. $\overrightarrow {BK} = 2\overrightarrow {BI} $
D. $\overrightarrow {BK} = \frac{3}{2}\overrightarrow {BI} $
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $2\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} $
$ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {BI} = 2\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} $
$\overrightarrow {BK} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AK} = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} $
$ = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BC} – \overrightarrow {BA} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} $
$ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {BK} = 2\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} $
Từ (1) và (2) $ \Leftrightarrow \overrightarrow {BK} = \frac{4}{3}\overrightarrow {BI} \Leftrightarrow B,I,K$ thẳng hàng.
Câu 64. Cho $\vartriangle ABC$ có trung tuyến $AD$.Xét các điểm $M,\;N,\;P\;$ cho bởi $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AN} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AP} = m\overrightarrow {AD} $. Tìm $m$ để $M,N,P$ thẳng hàng.
A. $m = \frac{1}{6}$
B. $m = \frac{1}{3}$
C. $m = \frac{1}{4}$
D. $m = \frac{2}{3}$
Lời giải
Chọn B.
Gọi $E$ là trung điểm $AC$ $ \Rightarrow \overrightarrow {AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AE} \Rightarrow MN//BE$
$ \Rightarrow G$ là trọng tâm $\vartriangle ABE$
$ \Rightarrow \overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} $ nên $M,N,P$ thẳng hàng
$ \Rightarrow P$ là trung điểm $AG$.
Vậy $\overrightarrow {AP} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} $
Câu 65. Cho ngũ giác $ABCDE$. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AB,BC,CD,DE$. Gọi $I$, $J$ lần lượt là trung điểm của các đoạn $MP$ và $NQ$. Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để $IJ//AE$ ?
A. $\overrightarrow {IJ} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AE} $
B. $\overrightarrow {IJ} = \frac{5}{4}\overrightarrow {AE} $
C. $\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AE} $
D. $\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AE} $
Lời giải
Chọn C.
$\overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {IN} = 2\overrightarrow {IJ} $
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {IM} + \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {IP} + \overrightarrow {PN} = 2\overrightarrow {IJ} $
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {PN} = 2\overrightarrow {IJ} $
$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} } \right) – \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {IJ} $
$ \Leftrightarrow \frac{1}{4}\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {IJ} $
Câu 66. Cho $\vartriangle ABC$. Các điểm $I,J$ thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow {AI} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {AC} $. Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để $IC//BJ$ ?
A. $\overrightarrow {CI} = – \frac{2}{3}\overrightarrow {BJ} $
B. $\overrightarrow {CI} = 3\overrightarrow {BJ} $
C. $\overrightarrow {CI} = – \frac{1}{3}\overrightarrow {BJ} $
D. $\overrightarrow {CI} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BJ} $
Lời giải
Chọn C.
$\overrightarrow {AI} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} $
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CI} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } \right)$
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {CI} = – \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} } \right)\left( 1 \right)$
$\overrightarrow {AJ} = 3\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BJ} = 3\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} $
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {BJ} = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} \left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) $ \Rightarrow \overrightarrow {CI} = – \frac{1}{3}\overrightarrow {BJ} $
Câu 67. Cho $\vartriangle ABC$. Hai điểm $M,N$ được xác định bởi hệ thức $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MA} = \vec 0,\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {NA} – 3\overrightarrow {AC} = \vec 0$. Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để $MN//AC$.
A. $\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {AC} $
B. $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} $
C. $\overrightarrow {MN} = – 3\overrightarrow {AC} $
D. $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} $
Lời giải
Chọn A.
Ta có: $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MA} = \vec 0$ và $\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {NA} – 3\overrightarrow {AC} = \vec 0$
$ \Rightarrow \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} – \overrightarrow {NA} – 3\overrightarrow {AC} = \vec 0$
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {MN} – 3\overrightarrow {AC} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {AC} $
Ta có: $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MA} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AM} \Rightarrow ABCM$ là hình bình hành hay $M \notin AC$
$ \Rightarrow MN//AC \Rightarrow $ Chọn đáp án A.
Câu 68. Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $I,J$ lần lượt là trọng tâm của $\vartriangle ADC$ và $\vartriangle BCD$. Đẳng thức nào là điều kiện cần và đủ để $IJ//AB$.
A. $\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} $
B. $\overrightarrow {IJ} = \frac{2}{3} \cdot \overrightarrow {AB} $
C. $\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} $
D. $\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} $.
Lời giải
Chọn A.
Gọi $M$ là trung điểm .
Ta có: $\overrightarrow {MI} = \frac{1}{3}\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MJ} = \frac{1}{3}\overrightarrow {MB} $
$ \Rightarrow \overrightarrow {MJ} – \overrightarrow {MI} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {MB} – \overrightarrow {MA} } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {IJ} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} $
Câu 69. Cho $\vartriangle ABC$. Trên các cạnh $AB,BC$ lấy các điểm $M,N$ sao cho $AM = \frac{2}{5}MB,\frac{{BN}}{{NC}} = \frac{1}{3}$. Gọi $I$ là giao điểm của $AN$ và $CM$. Tính tỉ số $\frac{{AI}}{{AN}}$ và $\frac{{CI}}{{IM}}$.
A. $\frac{{AI}}{{AN}} = \frac{3}{7};\frac{{CI}}{{IM}} = \frac{{21}}{2}$
B. $\frac{{AI}}{{AN}} = \frac{4}{{11}};\frac{{CI}}{{IM}} = \frac{7}{2}$
C. $\frac{{AI}}{{AN}} = \frac{8}{{23}};\frac{{CI}}{{IM}} = \frac{7}{4}$
D. $\frac{{AI}}{{AN}} = \frac{8}{{23}};\frac{{CI}}{{IM}} = \frac{{21}}{2}$
Lời giải
Chọn D.
Đặt $\overrightarrow {AI} = x\overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {CI} = y\overrightarrow {CM} $
Ta có: $\overrightarrow {AI} = x\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} } \right)$
$ = x\overrightarrow {AB} + \frac{x}{4}\overrightarrow {AC} $
$ = \frac{{3x}}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{x}{4}\overrightarrow {AC} = \frac{{21x}}{8}\overrightarrow {AM} + \frac{x}{4}\overrightarrow {AC} $
Vì $M,C,I$ thẳng hàng $ \Rightarrow \frac{{21x}}{8} + \frac{x}{4} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{8}{{23}}$
Tương tự ta chưa tìm được $\frac{{IC}}{{IM}} = \frac{{21}}{2}$
Câu 70. Cho $\vartriangle ABC$ và trung tuyến $AM$. Một đường thẳng song song với $AB$ cắt các đoạn thẳng $AM,AC$ và $BC$ lần lượt tại $D,E$, và $F$. Một điểm $G$ nằm trên cạnh $AB$ sao cho $FG$ song song với $AC$. Tính $\frac{{ED}}{{GB}}$.
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{4}$
D. 1
Lời giải
Chọn D.
Ta đặt: $\overrightarrow {CA} = \vec a,\overrightarrow {CB} = \vec b$
Khi đó $\overrightarrow {CM} = \frac{b}{2}\overrightarrow {CE} = k\overrightarrow {CA} = k\vec a$
Vì $E$ nằm ngoài $AC$ nên có số $k$ sao cho: $\overrightarrow {CE} = k\overrightarrow {CA} = k\vec a$ với $0 < k < 1$.
Khi đó $\overrightarrow {CF} = k \cdot \overrightarrow {CB} = k\vec b$.
Điểm $D$ nằm trên $AM$ và $EF$ nên có số $x$ này:
$\overrightarrow {CD} = x\overrightarrow {CA} + \left( {1 – x} \right)\overrightarrow {CM} = y\overrightarrow {CE} + \left( {1 – y} \right)\left( {\overrightarrow {CF} } \right)$
Hay $x\vec a + \frac{{1 – x}}{2}\vec b = ky\vec a + k\left( {1 – y} \right)\vec b$
Vì $\vec a,\vec b$ không cùng phương nên: $x = ky$ và $\frac{{1 – x}}{2} = k\left( {1 – y} \right)$
Suy ra $x = 2k – 1$ do đó $\overrightarrow {CD} = \left( {2k – 1} \right)\vec a + \left( {1 – k} \right)\vec b$
$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {GB} = k\overrightarrow {AB} $
$ \Rightarrow \left( {1 – k} \right)\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {GB} \Rightarrow \frac{{ED}}{{GB}} = 1$
