Đề kiểm tra HK2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới giải chi tiết-Đề 4 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thi sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.
Câu 1. Từ các chữ số $0,1,2,3,4,5$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số khác nhau và chia hết cho 5 ?
A. 25 . B. 10 . C. 9 . D. 20 .
Câu 2. Từ một nhóm 5 người, chọn ra các nhóm ít nhất 2 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
A. 25 . B. 26 . C. 31 . D. 32 .
Câu 3. Sai số tương đối ${\delta _a}$ của số gần đúng $a$ được cho bởi công thức nào sau đây? (Biết ${\Delta _a}$ là sai số tuyệt đối của số gần đúng $a$ ).
A. ${\delta _a} = \frac{{{\Delta _a}}}{a}$. B. ${\delta _a} = \frac{{{\Delta _a}}}{{\left| a \right|}}$. C. ${\delta _a} \leqslant \frac{{{\Delta _a}}}{a}$ . D. ${\delta _a} = \left| {{\Delta _a} – a} \right|$.
Câu 4. Cho các số liệu thống kê về sản lượng chè thu được trong 1 năm (kg/sào) của 20 hộ gia đình.
Tìm số trung bình của mẫu số liệu trên?
A. 111 . B. 113,8 . C. 113,6 . D. 113,9 .
Câu 5. Số nào sau đây mà giá trị của nó có tỉ lệ xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu?
A. Số trung bình. B. Trung vị.
C. Mốt. D. Một trong ba số của tứ phân vị.
Câu 6. Trong một chiếc hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính số phần tử củabiến cố $C$ : ” 4 viên bi lấy ra có đủ 3 màu”?
A. $n\left( C \right) = 4859$. B. $n\left( C \right) = 58552$. C. $n\left( C \right) = 5859$. D. $n\left( C \right) = 8859$.
Câu 7. Rút ngẫu nhiên một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác suất để được lá bích là:
A. $\frac{1}{{13}}$. B. $\frac{1}{4}$. C. $\frac{{12}}{{13}}$. D. $\frac{3}{4}$.
Câu 8. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$ và $C\left( {{x_C};{y_C}} \right)$. Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là:
A. $G\left( {\frac{{{x_A} – {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)$. B. $G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{2}} \right)$.
C. $G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)$. D. $G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)$.
Câu 9. Hệ số góc của đường thẳng đi qua $O\left( {0;0} \right);A\left( {2; – 3} \right)$ là:
A. -3 B. -2 C. $\frac{{ – 3}}{2}$ D. $\frac{{ – 2}}{3}$
Câu 10. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 + \sqrt 2 t} \\
{y = 1 – \sqrt 3 t}
\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + \sqrt 3 t} \\
{y = 1 + \sqrt 2 t}
\end{array}} \right.$.
A. Song song. B. Cắt nhau nhưng không vuông góc
C. Trùng nhau. D. Vuông góc.
Câu 11. Cho đường tròn ${x^2} + {y^2} + 5x + 7y – 3 = 0$. Tìm khoảng cách $d$ từ tâm đường tròn tới trục $Ox$.
A. $d = 5$. B. $d = \frac{7}{2}$. C. $d = \frac{5}{2}$. D. $d = 7$.
Câu 12. Trong mặt phẳng $Oxy$, tìm tiêu cự của elip $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$.
A. 3 . B. 6 . C. 4 . D. 5 .
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai
Câu 1. Cho elip $\left( E \right)$ có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1(a > b > 0)$, đi qua các điểm $A\left( {7;0} \right)$ và $B\left( {0;5} \right)$. Khi đó:
a) ${a^2} = 7$
b) ${a^2} – {b^2} = 6$
c) Điểm $C\left( {1;1} \right)$ nằm bên trong elip $\left( E \right)$
d) Tiêu cự của elip bằng $2\sqrt 6 $
Câu 2. Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Khi đó:
a) Xác suất để “Số chấm xuất hiện trên hai mặt bằng nhau” bằng: $\frac{1}{6}$
b) Xác suất để “Có đúng một mặt 6 chấm xuất hiện” bằng: $\frac{5}{8}$
c) Xác suất để “Có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện” bằng: $\frac{{11}}{{36}}$
d) Xác suất để “Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 9” bằng: $\frac{3}{{14}}$.
Câu 3. Hàm lượng Natri (đơn vị miligam, $1mg = 0,001\;g$ ) trong $100\;g$ một số loại ngũ cốc được cho như sau :
Khi đó:
a) $n = 20$
b) ${Q_2} = 179$
c) ${Q_3} = 205$
d) ${Q_1} = 135$
Câu 4. Đường tròn $\left( C \right)$ đi qua hai điểm $A\left( {2;3} \right),B\left( { – 1;1} \right)$ có tâm thuộc $\Delta : x – 3y – 11 = 0$. Khi đó:
a) Tâm của đường tròn $\left( C \right)$ là $I\left( {7; – \frac{4}{3}} \right)$
b) Điểm $O\left( {0;0} \right)$ nằm bên trong đường tròn $\left( C \right)$
c) Đường kính của đường tròn $\left( C \right)$ bằng 65
d) Đường tròn $\left( C \right)$ đi qua điểm $N\left( {0;2} \right)$
Phần 3. Câu trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Với giá trị nào của $m$ thì hai đường thẳng ${\Delta _1}:2x – 3my + 10 = 0$ và ${\Delta _2}:mx + 4y + 1 = 0$ cắt nhau?
Câu 2. Cho Parabol $\left( P \right):{y^2} = 16x$ và đường thẳng $\left( d \right):x = a(a > 0)$. Tìm $a$ để $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ sao cho $\widehat {AOB} = {120^ \circ }$.
Câu 3. Tính tổng sau $S = C_{10}^0 + C_{10}^1 + \ldots + C_{10}^{10}$.
Câu 4. Gieo đồng thời hai viên xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai viên xúc xắc bằng: 12 .
Câu 5. Mẫu số liệu sau là thống kê số tiền (triệu đồng) mua phân bón $XYZ$ trong một vụ mùa của 15 hộ nông dân ở một khu vực nông thôn được khảo sát:
2,4 1,2 1,1 0,8 3,5 1,6 1,8 1,2 1,3 0,7 4,1 4,8 3,6 2,9 2,6
Tìm độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đã cho?
Câu 6. Cho $A\left( { – 1;0} \right),B\left( {2;4} \right)$ và $C\left( {4;1} \right)$. Biết rằng tập hợp các điểm $M$ thoả mãn $3M{A^2} + M{B^2} = 2M{C^2}$ là một đường tròn $\left( C \right)$. Tìm tính bán kính của $\left( C \right)$.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI THAM KHẢO
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.
| 1C | 2B | 3B | 4D | 5C | 6C |
| 7B | 8C | 9C | 10D | 11B | 12B |
Câu 1. Từ các chữ số $0,1,2,3,4,5$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số khác nhau và chia hết cho 5 ?
A. 25 .
B. 10 .
C. 9 .
D. 20 .
Chọn C
Lời giải
Số tự nhiên có hai chữ số có dạng $\overline {ab} $.
Do $\overline {ab} :5$ nên $b = 0$ hoặc $b = 5$.
Với $b = 0$ thì có 5 cách chọn $a$ (vì $a \ne b$ ).
Với $b = 5$ thì có 4 cách chọn $a$ (vì $a \ne b,a \ne 0$ ).
Theo quy tắc cộng, có tất cả $5 + 4 = 9$ số tự nhiên cần tìm.
Câu 2. Từ một nhóm 5 người, chọn ra các nhóm ít nhất 2 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
A. 25 .
B. 26 .
C. 31 .
D. 32 .
Chọn B
Lời giải
Chọn nhóm có $2,3,4,5$ người, ta lần lượt có $C_5^2,C_5^3,C_5^4,C_5^5$ cách chọn.
Vậy số cách chọn thỏa mãn là: $C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = 26$.
Câu 3. Sai số tương đối ${\delta _a}$ của số gần đúng $a$ được cho bởi công thức nào sau đây? (Biết ${\Delta _a}$ là sai số tuyệt đối của số gần đúng $a$ ).
A. ${\delta _a} = \frac{{{\Delta _a}}}{a}$.
B. ${\delta _a} = \frac{{{\Delta _a}}}{{\left| a \right|}}$.
C. ${\delta _a} \leqslant \frac{{{\Delta _a}}}{a}$ .
D. ${\delta _a} = \left| {{\Delta _a} – a} \right|$.
Chọn B
Lời giải
Câu 4. Cho các số liệu thống kê về sản lượng chè thu được trong 1 năm (kg/sào) của 20 hộ gia đình.
Tìm số trung bình của mẫu số liệu trên?
A. 111 .
B. 113,8 .
C. 113,6 .
D. 113,9.
Chọn D
Lời giải
Số trung bình:
$\overline x = \frac{{1.111 + 3.112 + 4.113 + 5.114 + 4.115 + 2.116 + 1.117}}{{20}}$$ = \frac{{1139}}{{10}} = 113,9$.
Câu 5. Số nào sau đây mà giá trị của nó có tỉ lệ xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu?
A. Số trung bình.
B. Trung vị.
C. Mốt.
D. Một trong ba số của tứ phân vị.
Chọn C
Lời giải
Câu 6. Trong một chiếc hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính số phần tử củabiến cố $C$ : ” 4 viên bi lấy ra có đủ 3 màu”?
A. $n\left( C \right) = 4859$.
B. $n\left( C \right) = 58552$.
C. $n\left( C \right) = 5859$.
D. $n\left( C \right) = 8859$.
Chọn C
Lời giải
Số cách lấy 4 viên bi chỉ có một màu là: $C_6^4 + C_8^4 + C_{10}^4$.
Số cách lấy 4 viên bi có đúng hai màu là: $C_{14}^4 + C_{18}^4 + C_{14}^4 – 2\left( {C_6^4 + C_8^4 + C_{10}^4} \right)$.
Số cách lấy 4 viên bi có đủ ba màu là: $C_{24}^4 – \left( {C_{14}^4 + C_{18}^4 + C_{14}^4} \right) + \left( {C_6^4 + C_8^4 + C_{10}^4} \right) = 5859$.
Suy ra $n\left( C \right) = 5859$.
Câu 7. Rút ngẫu nhiên một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác suất để được lá bích là:
A. $\frac{1}{{13}}$.
B. $\frac{1}{4}$.
C. $\frac{{12}}{{13}}$.
D. $\frac{3}{4}$.
Chọn B
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = C_{52}^1$.
Một bộ bài gồm có 13 lá bài bích. Biến cố xuất hiện có số phần tử $n\left( A \right) = C_{13}^1$.
Vậy xác suất cần tính là $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_{13}^1}}{{C_{52}^1}} = \frac{1}{4}$.
Câu 8. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$ và $C\left( {{x_C};{y_C}} \right)$. Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là:
A. $G\left( {\frac{{{x_A} – {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)$.
B. $G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{2}} \right)$.
C. $G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)$.
D. $G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)$.
Chọn C
Lời giải
Câu 9. Hệ số góc của đường thẳng đi qua $O\left( {0;0} \right);A\left( {2; – 3} \right)$ là:
A. -3
B. -2
C. $\frac{{ – 3}}{2}$
D. $\frac{{ – 2}}{3}$
Lời giải
Chọn C. VTCP của đường thẳng $OA$ là $\overrightarrow {OA} = \left( {2; – 3} \right) \Rightarrow $ hệ số góc là $\frac{{ – 3}}{2}$.
Câu 10. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 + \sqrt 2 t} \\
{y = 1 – \sqrt 3 t}
\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + \sqrt 3 t} \\
{y = 1 + \sqrt 2 t}
\end{array}} \right.$.
A. Song song.
B. Cắt nhau nhưng không vuông góc
C. Trùng nhau.
D. Vuông góc.
Chọn D
Lời giải
Hai đường thẳng có cặp vectơ chỉ phương ${\vec u_1} = \left( {\sqrt 2 ; – \sqrt 3 } \right),{\vec u_2} = \left( {\sqrt 3 ;\sqrt 2 } \right)$
Ta có: $\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_2}} = \sqrt 2 \cdot \sqrt 3 – \sqrt 3 \cdot \sqrt 2 = 0$ nên hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ vuông góc nhau.
Câu 11. Cho đường tròn ${x^2} + {y^2} + 5x + 7y – 3 = 0$. Tìm khoảng cách $d$ từ tâm đường tròn tới trục $Ox$.
A. $d = 5$.
B. $d = \frac{7}{2}$.
C. $d = \frac{5}{2}$.
D. $d = 7$.
Chọn B
Lời giải
Đường tròn có tâm $I\left( { – \frac{5}{2}; – \frac{7}{2}} \right)$; khoảng cách từ $I$ đến trục $Ox$ là $d = \frac{7}{2}$.
Câu 12. Trong mặt phẳng $Oxy$, tìm tiêu cự của elip $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$.
A. 3 .
B. 6 .
C. 4 .
D. 5 .
Chọn B
Lời giải
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{a^2} = 25} \\
{{b^2} = 16}
\end{array} \Rightarrow {c^2} = {a^2} – {b^2} = 9 \Rightarrow c = 3} \right.$. Vậy tiêu cự $2c = 6$.
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong môi ý a), b), c), d) ở môi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai
Câu 1. Cho elip $\left( E \right)$ có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1(a > b > 0)$, đi qua các điểm $A\left( {7;0} \right)$ và $B\left( {0;5} \right)$. Khi đó:
a) ${a^2} = 7$
b) ${a^2} – {b^2} = 6$
c) Điểm $C\left( {1;1} \right)$ nằm bên trong elip $\left( E \right)$
d) Tiêu cự của elip bằng $2\sqrt 6 $
| a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Vì elip $\left( E \right)$ đi qua các điểm $A\left( {7;0} \right)$ và $B\left( {0;5} \right)$ nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{7^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1} \\
{\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{5^2}}}{{{b^2}}} = 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{a^2} = 49} \\
{{b^2} = 25}
\end{array}} \right.} \right.$
Vậy phương trình chính tắc của đường elip $\left( E \right)$ là: $\frac{{{x^2}}}{{49}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1$.
Câu 2. Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Khi đó:
a) Xác suất để “Số chấm xuất hiện trên hai mặt bằng nhau” bằng: $\frac{1}{6}$
b) Xác suất để “Có đúng một mặt 6 chấm xuất hiện” bằng: $\frac{5}{8}$
c) Xác suất để “Có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện” bằng: $\frac{{11}}{{36}}$
d) Xác suất để “Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 9” bằng: $\frac{3}{{14}}$.
Lời giải
| a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Không gian mẫu $\Omega = \left\{ {\left( {i;j} \right)\mid i,j = 1,2, \ldots ,6} \right\}$
Số phần tử của không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36$.
a) Biến cố $A$ : “Số chấm xuất hiện trên hai mặt bằng nhau”.
A ={(1;1); (2;2);(3;3); (4;4);(5;5);(6;6)}.
$n\left( A \right) = 6$. Xác suất của biến cố $A:P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{6}$.
b) Biến cố B: “Có đúng một mặt 6 chấm xuất hiện”.
B ={(1;6); (2;6);(3;6); (4;6);(5;6);(6;1);(6;2);(6;3);(6;4);(6;5)}.
$n\left( B \right) = 10$. Xác suất của biến cố $B:P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{{18}}$.
c) Biến cố C: “Có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện”.
C ={(1;6);(2;6);(3;6); (4;6);(5;6);(6;1);(6;2);(6;3);(6;4);(6;5);(6;6)}.
$n\left( C \right) = 11$.
Xác suất của biến cố $C:P\left( C \right) = \frac{{n\left( C \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{11}}{{36}}$.
d) Biến cố $D$ : “Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 9 “.
Biến cố đối $\overline D $ : “Tổng số chấm xuất hiện không nhỏ hơn 9”.
D={(4;5);(4;6);(5;4);(5;5);(5;6);(6;3)(6;4);(6;5);(6;6)}.
$n\left( {\overline D } \right) = 9$.Xác suất của biến cố $\overline D :P\left( {\overline D } \right) = \frac{{n\left( {\overline D } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{4}$.
$P\left( D \right) + P\left( {\,\overline D } \right) = 1 \Rightarrow P\left( D \right) = 1 – P\left( {\overline D } \right) = \frac{3}{4}$.
Câu 3. Hàm lượng Natri (đơn vị miligam, $1mg = 0,001\;g$) trong $100\;g$ một số loại ngũ cốc được cho như sau:
Khi đó:
a) $n = 20$
b) ${Q_2} = 179$
c) ${Q_3} = 205$
d) ${Q_1} = 135$
a) Đúng
b) Sai
Lời giải
Sắp xếp các giá trị của mẫu theo thứ tự không giảm:
0 50 70 100 130 140 140 150 160 180 180 180 190 200 200 210 210 220 290 340;(n =20) .
Tứ phân vị thứ hai chính là trung vị của mẫu: ${Q_2} = \frac{{180 + 180}}{2} = 180$.
Xét nửa mẫu bên trái : 050 70 100 130 140 140 150 160 180
Tứ phân vị thứ nhất chính là trung vị nửa mẫu này: ${Q_1} = \frac{{130 + 140}}{2} = 135$.
Xét nửa mẫu bên phải: 180 1 80 1 90 200 200 210 210 220 290 340.
Tứ phân vị thứ ba chính là trung vị nửa mẫu này: ${Q_3} = \frac{{200 + 210}}{2} = 205$.
Biểu diễn tứ phân vị trên trục số:
Các tứ phân vị cho ta hình ảnh phân bố của mẫu số liệu. Khoảng cách từ ${Q_1}$ đến ${Q_2}$ là 45 trong khi khoảng cách từ ${Q_2}$ đến ${Q_3}$ là 25 . Điều này cho thấy mẫu số liệu tập trung với mật độ cao ở bên phải ${Q_2}$ và mật độ thấp ở bên trái ${Q_2}$.
Câu 4. Đường tròn $\left( C \right)$ đi qua hai điểm $A\left( {2;3} \right),B\left( { – 1;1} \right)$ có tâm thuộc $\Delta : x – 3y – 11 = 0$. Khi đó:
a) Tâm của đường tròn $\left( C \right)$ là $I\left( {7; – \frac{4}{3}} \right)$
b) Điểm $O\left( {0;0} \right)$ nằm bên trong đường tròn $\left( C \right)$
c) Đường kính của đường tròn $\left( C \right)$ bằng 65
d) Đường tròn $\left( C \right)$ đi qua điểm $N\left( {0;2} \right)$
Lời giải
a) Sai
b) Đúng
c) Đúng
d) Đúng
Gọi tâm đường tròn là $I\left( {3t + 11;t} \right) \in \Delta $. Ta có: $IA = IB \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2}$
$ \Leftrightarrow {(3t + 11 – 2)^2} + {(t – 3)^2} = {(3t + 11 + 1)^2} + {(t – 1)^2}$$ \Leftrightarrow 22t = – 55 \Leftrightarrow t = – \frac{5}{2}$.
Suy ra $I\left( {\frac{7}{2}; – \frac{5}{2}} \right)$; bán kính đường tròn $R = IA = \sqrt {{{\left( {2 – \frac{7}{2}} \right)}^2} + {{\left( {3 + \frac{5}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{65}}{2}} $.
Phương trình đường tròn $\left( C \right):{\left( {x – \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{5}{2}} \right)^2} = \frac{{65}}{2}$.
Phần 3. Câu trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Với giá trị nào của $m$ thì hai đường thẳng ${\Delta _1}:2x – 3my + 10 = 0$ và ${\Delta _2}:mx + 4y + 1 = 0$ cắt nhau?
Trả lời: $m \in \mathbb{R}$
Lời giải
Hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ có cặp vectơ pháp tuyến ${\vec n_1} = \left( {2; – 3m} \right),{\vec n_2} = \left( {m;4} \right)$.
Điều kiện để ${\Delta _1}$ cắt ${\Delta _2}$ là ${\vec n_1},{\vec n_2}$ không cùng phương
$ \Leftrightarrow 2.4 \ne – 3m.m \Leftrightarrow {m^2} \ne – \frac{8}{3}$ (đúng với mọi $m \in \mathbb{R}$ ).
Vậy với mọi số thực $m$ thì ${\Delta _1},{\Delta _2}$ luôn cắt nhau tại một điểm.
Câu 2. Cho Parabol $\left( P \right):{y^2} = 16x$ và đường thẳng $\left( d \right):x = a(a > 0)$. Tìm $a$ để $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ sao cho $\widehat {AOB} = {120^ \circ }$.
Trả lời: $a = \frac{{16}}{3}$
Lời giải
Tìm $a$ để $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ sao cho $\widehat {AOB} = {120^ \circ }$.
Ta có: $x = a \Rightarrow {y^2} = 16a \Rightarrow y = \pm 4\sqrt a (a > 0)$$ \Rightarrow A\left( {a; – 4\sqrt a } \right),B\left( {a;4\sqrt a } \right)$.
$\widehat {AOB} = {120^ \circ } \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = {120^ \circ } \Leftrightarrow cos(\overrightarrow {OA} $,
$ \Leftrightarrow \frac{{{a^2} – 16a}}{{\sqrt {{a^2} + 16a} \cdot \sqrt {{a^2} + 16a} }} = – \frac{1}{2} \Leftrightarrow a = \frac{{16}}{3}$.
Câu 3. Tính tổng sau $S = C_{10}^0 + C_{10}^1 + \ldots + C_{10}^{10}$.
Trả lời: 1024
Xét khai triển .
Lời giải
Ta chọn $a = b = 1$, thu được ${(1 + 1)^{10}} = C_{10}^0 + C_{10}^1 + \ldots + C_{10}^{10}$.
Vậy $S = {2^{10}} = 1024$.
Câu 4. Gieo đồng thời hai viên xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số châm xuất hiện trên hai viên xúc xắc bằng: 12 .
Trả lời: $\frac{1}{{36}}$
Ta có $n\left( \Omega \right) = 36$.
Lời giải
Gọi $B$ là biến cố tổng số chấm trên hai viên xúc xắc bằng 12 .
$B = \left\{ {\left( {6;6} \right)} \right\}$. Do đó, ta có $n\left( B \right) = 1$.
Vậy xác suất của biến cố $B$ là: $P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{{36}}$.
Câu 5. Mẫu số liệu sau là thống kê số tiền (triệu đồng) mua phân bón $XYZ$ trong một vụ mùa của 15 hộ nông dân ở một khu vực nông thôn được khảo sát:
$2,4\;1,2\;1,1\;0,8$
$3,5\;1,6$
$1,8\;1,2\;1,3$
$0,7\;4,1\;4,8\;3,6$
$2,9\;2,6$
Tìm độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đã cho?
Trả lời: $s \approx 1,25$ (triệu đồng).
Lời giải
Giá trị trung bình là: $\overline x = \frac{{2,4 + 1,2 + \ldots + 2,9 + 2,6}}{{15}} = 2,24$ (triệu đồng).
Phương sai là: ${s^2} = \frac{1}{{15}}\left[ {{{\left( {{x_1} – \overline x } \right)}^2} + {{\left( {{x_2} – \overline x } \right)}^2} + \ldots + {{\left( {{x_{15}} – \overline x } \right)}^2}} \right]$$ = 1,5624$.
Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt {{s^2}} \approx 1,25$ (triệu đồng).
Câu 6. Cho $A\left( { – 1;0} \right),B\left( {2;4} \right)$ và $C\left( {4;1} \right)$. Biết rằng tập hợp các điểm $M$ thoả mãn $3M{A^2} + M{B^2} = 2M{C^2}$ là một đường tròn $\left( C \right)$. Tìm tính bán kính của $\left( C \right)$.
Trả lời: $R = \frac{{\sqrt {107} }}{2}$
Lời giải:
Gọi $M\left( {x;y} \right)$. Ta có: $3M{A^2} + M{B^2} = 2M{C^2}$
$ \Leftrightarrow 3\left[ {{{(x + 1)}^2} + {y^2}} \right] + {(x – 2)^2} + {(y – 4)^2}$ $ = 2\left[ {{{(x – 4)}^2} + {{(y – 1)}^2}} \right]$
$ \Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 6x + 3 + {x^2} + {y^2} – 4x – 8y + 20$ $ = 2{x^2} + 2{y^2} – 16x – 4y + 34$
$ \Leftrightarrow 2{x^2} + 2{y^2} + 18x – 4y – 11 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 9x – 2y – \frac{{11}}{2} = 0\left( * \right)$
Đặt $a = – \frac{9}{2},b = 1,c = – \frac{{11}}{2}$.
Ta có $a = – \frac{9}{2},b = 1,c = – \frac{{11}}{2}{a^2} + {b^2} – c = \frac{{107}}{4} > 0$ nên $\left( * \right)$ là phương trình của một đường tròn (tức đường tròn $\left( C \right)$ ).
Bán kính của $\left( C \right)$ là: $R = \frac{{\sqrt {107} }}{2}$.
