Cách xác định một tập hợp Toán 10 giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
I. PHƯƠNG PHÁP
Để xác định một tập hợp, ta có 2 cách sau:
⬩ Liệt kê các phần tử của tập hợp.
⬩ Chỉ ra tính chất đặc trưng của tập hợp.
II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
1. MỨC ĐỘ 1
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1. Viết lại tập hợp $A = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {\,{x^2} – 9x + 10 = 0} \right.} \right\}$ bằng cách liệt kê các phần tử của nó.
Lời giải
Ta có ${x^2} – 9x + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 1 \in \mathbb{R} \hfill \\
x = 10 \in \mathbb{R} \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Vậy, $A = \left\{ {1;10} \right\}$.
Bài 2. Viết lại tập hợp $A = \left\{ {x \in \mathbb{N}\left| {\,{x^2} + 5x – 6 = 0} \right.} \right\}$ bằng cách liệt kê các phần tử của nó.
Lời giải
Ta có ${x^2} + 5x – 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 1\,(nhận) \hfill \\
x = – 6\,(loại) \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Vậy, $A = \left\{ 1 \right\}$.
Bài 3. Liệt kê các phần tử của tập hợp $A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}\left| {\,2{x^2} – 7x – 9 = 0} \right.} \right\}$.
Lời giải
Ta có $2{x^2} – 7x – 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = – 1\,(nhận) \hfill \\
x = \frac{9}{2}\,(loại) \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Vậy, $A = \left\{ { – 1} \right\}$.
Bài 4. Viết lại tập hợp $A = \left\{ {x \in \mathbb{N}\left| {\left( {2{x^2} – 5x + 3} \right)\left( {{x^2} – 4x + 3} \right) = 0} \right.} \right\}$ bằng cách liệt kê các phần tử của nó.
Lời giải
Ta có $\left( {2{x^2} – 5x + 3} \right)\left( {{x^2} – 4x + 3} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
2{x^2} – 5x + 3 = 0 \hfill \\
{x^2} – 4x + 3 = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 1\,(nhận) \hfill \\
x = \frac{3}{2}\,(loại) \hfill \\
x = 1\,(nhận) \hfill \\
x = 3\,(nhận) \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Vậy, $A = \left\{ {1;3} \right\}$.
Bài 5. Viết lại tập hợp $A = \left\{ {x \in \mathbb{N}\left| {x < 5} \right.} \right\}$ bằng cách liệt kê các phần tử của nó.
Lời giải
Ta có $x < 5$và $x \in \mathbb{N}$nên $x \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}$
Vậy $A = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}$
Bài 6. Viết lại tập hợp $A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}\left| { – 3 \leqslant x < 5} \right.} \right\}$ bằng cách liệt kê các phần tử của nó.
Lời giải
Ta có $ – 3 \leqslant x < 5$ và $x \in \mathbb{Z}$nên $x \in \left\{ { – 3; – 2; – 1;0;1;2;3;4} \right\}$
Vậy, $A = \left\{ { – 3; – 2; – 1;0;1;2;3;4} \right\}$
Bài 7. Viết lại tập hợp $A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}\left| {\left| x \right| < 5} \right.} \right\}$ bằng cách liệt kê các phần tử của nó.
Lời giải
Ta có: $\left| x \right| < 5$ và $x \in \mathbb{Z}$nên $x \in \left\{ { – 4; – 3; – 2; – 1;0;1;2;3;4} \right\}$
Vậy, $A = \left\{ { – 4; – 3; – 2; – 1;0;1;2;3;4} \right\}$
Bài 8. Viết lại tập hợp $A = \left\{ {x \in {\mathbb{N}^*}\left| {\,7 – x \geqslant 0} \right.} \right\}$ bằng cách liệt kê các phần tử của nó.
Lời giải
Ta có: $7 – x \geqslant 0 \Leftrightarrow x \leqslant 7$và $x \in {\mathbb{N}^*}$nên $x \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}$
Vậy, $A = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}$
Câu 9. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp $M = \left\{ {x \in \mathbb{N}} \right.$sao cho $x$ là ước của $\left. {12} \right\}$
Lời giải
Ta có: $x \in \mathbb{N}$ và $x$ là ước của $12$ nên $x \in \left\{ {1;2;3;4;6;12} \right\}$.
Vậy, $M = \left\{ {1;2;3;4;6;12} \right\}$.
Câu 10. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp $M = \left\{ {x \in \mathbb{N}} \right.,\,x \leqslant 15$ sao cho $x$ là bội của $\left. 3 \right\}$
Lời giải
Ta có: $x \in \mathbb{N},\,x \leqslant 15$ và $x$ là bội của $3$ nên $x \in \left\{ {3;6;9;12;15} \right\}$.
Vậy, $M = \left\{ {3;6;9;12;15} \right\}$
Bài 11. Viết mỗi tập hợp $A = \left\{ {0;{\text{1}};{\text{2}};{\text{3}};{\text{4;5;6;7}}} \right\}$ bằng cách chỉ rõ tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.
Lời giải
Ta nhận thấy các phần tử của tập hợp $A$ là các số tự nhiên và nhỏ hơn $8$. Do đó $A = \left\{ {x \in \mathbb{N}\left| {x < 8} \right.} \right\}$.
Bài 12. Viết mỗi tập hợp $A = \left\{ {4;9;16;25} \right\}$ bằng cách chỉ rõ tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.
Lời giải
Ta có $4 = {2^2}$, $9 = {3^2}$, $16 = {4^2}$, $25 = {5^2}$ và các số $2,3,4,5$ là các số tự nhiên lớn hơn 1 và nhỏ hơn 6.
Do đó ta viết lại tập hợp $A$ bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng là $A = \left\{ {\left. {{k^2}} \right|k \in \mathbb{N},\,1 < k < 6} \right\}$
Bài 13. Viết mỗi tập hợp $A = \left\{ {{\text{9}};{\text{36}};{\text{81}};{\text{144}}} \right\}$ bằng cách chỉ rõ tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.
Lời giải
Ta có $9 = {3^2}$, $36 = {6^2}$, $81 = {9^2}$, $144 = {12^2}$ và các số $3,6,9,12$ đều là bội của 3.
Do đó ta viết lại tập hợp $A$bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng là $A = \left\{ {\left. {{{\left( {3k} \right)}^2}} \right|k \in {\mathbb{N}^*},k \leqslant 4} \right\}$
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho tập hợp $A = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {{x^2} + x + 1 = 0} \right.} \right\}$.Các phần tử của tập $A$ là:
A. $A = 0$ B. $A = \left\{ 0 \right\}$ C. $A = \emptyset $ D. $A = \left\{ \emptyset \right\}$
Lời giải
Chọn C
Ta có:$A = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {{x^2} + x + 1 = 0} \right.} \right\}$.
Vì phương trình ${x^2} + x + 1 = 0$vô nghiệm nên $A = \emptyset $.
Câu 2. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp $M = \left\{ {x \in \mathbb{N}} \right.$ sao cho $\sqrt x $ là ước của $\left. 8 \right\}$.
A. $M = \left\{ {1;4;16;64} \right\}$. B. $M = \left\{ {0;1;4;16;64} \right\}$.
C. $M = \left\{ {1;2;4;8} \right\}$. D. $M = \left\{ {0;1;2;4;8} \right\}$.
Lời giải
Chọn A
Câu 3. Cho tập hợp $A = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {\left( {{x^2}–1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right) = 0} \right.} \right\}$. Các phần tử của tập $A$ là:
A. $A = \left\{ {–1;1} \right\}$ B. $A = \{ –\sqrt 2 ;–1;1;\sqrt 2 \} $
C. $A = \{ –1\} $ D. $A = \{ 1\} $
Lời giải
Chọn A
$A = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {\left( {{x^2}–1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right) = 0} \right.} \right\}$.
Ta có $\left( {{x^2}–1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
{x^2}–1 = 0 \hfill \\
{x^2} + 2 = 0\,\;\left( {vn} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 1 \hfill \\
x = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Rightarrow A = \left\{ { – 1;\,1} \right\}.$
Câu 4. Cho $A = \left\{ {\left. {x \in \mathbb{R}} \right|{x^2} + 4 > 0} \right\}$. Tập hợp A viết lại dạng liệt kê là
A. $\mathbb{R}$. B. $\left\{ 0 \right\}$. C. $ \in $. D. $ – 4,7 \in M \cap N$.
Lời giải
Chọn A
Ta có: ${x^2} + 4 > 0 \Leftrightarrow {x^2} > – 4 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}$( Vì ${x^2} \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}$).
Câu 5. Tập hợp nào là tập hợp rỗng, trong các tập hợp sau?
A. $\left\{ {x \in \mathbb{R}|6{x^2}–7x + 1 = 0} \right\}$. B. $\left\{ {x \in \mathbb{Z}|\left| x \right| < 1} \right\}$.
C. $\left\{ {x \in \mathbb{Q}|{x^2} – 4x + 2 = 0} \right\}$. D. $\left\{ {x \in \mathbb{R}|{x^2} – 4x + 3 = 0} \right\}$.
Lời giải
Chọn C
Ta có ${x^2} – 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 2 + \sqrt 2 \hfill \\
x = 2 – \sqrt 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$. Vì $x \in \mathbb{Q}$nên $x \in \emptyset $.
Câu A sai là phương trình có 2 nghiệm hữu tỉ.
Câu B sai là bất phương trình có 1 nghiệm nguyên $x = 0$.
Câu D sai là phương trình có 2 nghiệm là $x = 1$và $x = 3$.
2. MỨC ĐỘ 2
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1. Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp $A$ gồm các số tự nhiên chia hết cho 3 và nhỏ hơn 25.
Lời giải
Ta có $A = \left\{ {0\,;3\,;6\,;9\,;12\,;15\,;18\,;21\,;23} \right\}$.
Bài 2. Liệt kê các phần tử của tập hợp $X = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {\,2{x^2} – 5x + 3 = 0} \right.} \right\}$.
Lời giải
Ta có $2{x^2} – 5x + 3 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 1 \in \mathbb{R} \hfill \\
x = \frac{3}{2} \in \mathbb{R} \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Rightarrow X = \left\{ {1\,;\,\frac{3}{2}} \right\}$.
Bài 3. Viết tập hợp $B = \left\{ {x \in \mathbb{N}\left| {\,\left( {9 – {x^2}} \right)\left( {{x^2} – 3x + 2} \right) = 0} \right.} \right\}$dưới dạng liệt kê các phần tử.
Lời giải
Ta có $\left( {9 – {x^2}} \right)\left( {{x^2} – 3x + 2} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
9 – {x^2} = 0 \hfill \\
{x^2} – 3x + 2 = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = – 3 \notin \mathbb{N} \hfill \\
x = 3 \in \mathbb{N} \hfill \\
x = 1 \in \mathbb{N} \hfill \\
x = 2 \in \mathbb{N} \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Vậy $B = \left\{ {3\,;1\,;2} \right\}$.
Bài 4. Viết tập hợp $A = \left\{ {x \in \mathbb{Q}\left| {\,\left( {5 – {x^2}} \right)\left( {{x^2} – 5x + 6} \right) = 0} \right.} \right\}$dưới dạng liệt kê các phần tử.
Lời giải
Ta có $\left( {5 – {x^2}} \right)\left( {{x^2} – 5x + 6} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
5 – {x^2} = 0 \hfill \\
{x^2} – 5x + 6 = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = \pm \sqrt 5 \notin \mathbb{Q} \hfill \\
x = 3 \in \mathbb{Q} \hfill \\
x = 2 \in \mathbb{Q} \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Vậy $A = \left\{ {2\,;3} \right\}$.
Bài 5. Tính tổng tất cả các phần tử của tập hợp $A = \left\{ {x \in \mathbb{N}\left| {\,\frac{3}{{x – 2}} \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$.
Lời giải
Ta có $\frac{3}{{x – 2}} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow 3 \vdots \left( {x – 2} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x – 2 = 1 \hfill \\
x – 2 = – 1 \hfill \\
x – 2 = 3 \hfill \\
x – 2 = – 3 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 3 \hfill \\
x = 1 \hfill \\
x = 5 \hfill \\
x = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Vì $x \in \mathbb{N}$ nên loại $x = – 1$.
Suy ra $A = \left\{ {1\,;3\,;5} \right\}$.
Vậy tổng tất cả các phần tử của tập hợp $A$ là $1 + 3 + 5 = 9$.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho tập hợp $B = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {\,\left( {{x^2} – 9} \right)\left( {{x^2} – 3x} \right) = 0} \right.} \right\}$. Tập hợp $B$ được viết dưới dạng liệt kê là
A. $B = \left\{ {3\,;9\,;1\,;2} \right\}$. B. $B = \left\{ {3\,; – 9\,;0} \right\}$. C. $B = \left\{ { – 9\,;9\,;0} \right\}$. D. $B = \left\{ { – 3\,;3\,;0} \right\}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có $\left[ \begin{gathered}
{x^2} – 9 = 0 \hfill \\
{x^2} – 3x = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = – 3 \hfill \\
x = 3 \hfill \\
x = 3 \hfill \\
x = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$. Vậy $B = \left\{ { – 3\,;3\,;0} \right\}$.
Câu 2: Cho tập hợp $H = \left\{ {x \in \mathbb{N}\left| {\,{x^3} – 9x = 0} \right.} \right\}$. Tập hợp $H$ là tập con của tập hợp nào dưới đây ?
A. $A = \left\{ { – 3\,;0\,;1\,;2} \right\}$. B. $B = \left\{ { – 3\,;1\,;2\,;3} \right\}$. C. $C = \left\{ {0\,;1\,;2} \right\}$. D. $D = \left\{ { – 3\,;0\,;2;3} \right\}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có ${x^3} – 9x = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} – 9} \right) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0} \\
{x = \pm 3}
\end{array}} \right.$ . Suy ra $H = \left\{ {0\,;3} \right\}$ (vì $x \in \mathbb{N}$ ).
Câu 3: Tập hợp $A = \left\{ {x \in \mathbb{N}\,\left| {\,\left( {{x^2} + x – 2} \right)\left( {{x^3} + 4x} \right) = 0} \right.} \right\}$ có bao nhiêu phần tử?
A. $1$. B. $3$. C. $5$. D. $2$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $\left( {{x^2} + x – 2} \right)\left( {{x^3} + 4x} \right) = 0 \Leftrightarrow x\left( {x – 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + 4} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x – 1 = 0 \hfill \\
x + 2 = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 1 \hfill \\
x = – 2 \hfill \\
x = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ (do ${x^2} + 4 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$).
Vì $x \in \mathbb{N}$ nên loại $x = – 2$. Suy ra $A = \left\{ {0\,;1} \right\}$. Vậy tập hợp $A$ có 2 phần tử.
Câu 4: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng?
A. $\left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {\,{x^2} + 5x – 6 = 0} \right.} \right\}$. B. $\left\{ {x \in \mathbb{Q}\left| {\,3{x^2} – 5x + 2 = 0} \right.} \right\}$.
C. $\left\{ {x \in \mathbb{Z}\left| {\,{x^2} + x – 1 = 0} \right.} \right\}$. D. $\left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {\,{x^2} + 5x – 1 = 0} \right.} \right\}$.
Lời giải
Chọn C
Ta có ${x^2} + x – 1 = 0$$ \Leftrightarrow x = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2} \notin \mathbb{Z}$ nên $\left\{ {x \in \mathbb{Z}\left| {\,{x^2} + x – 1 = 0} \right.} \right\} = \emptyset $.
Câu 5: Cho tập hợp $P = \left\{ {{n^2} + 1\left| {\,n \in \mathbb{N}} \right.} \right.$ và $\left. { – 3 < n < 3} \right\}$. Viết tập hợp $P$ dưới dạng liệt liệt kê các phần tử.
A. $P = \left\{ { – 3\,; – 2\,; – 1\,;0\,;1\,;2\,;3} \right\}$. B. $P = \left\{ { – 2\,; – 1\,;0\,;1\,;2} \right\}$. C. $P = \left\{ {1\,;2\,;5} \right\}$. D. $P = \left\{ {0\,;1\,;4} \right\}$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $\left\{ \begin{gathered}
– 3 < n < 3 \hfill \\
n \in \mathbb{N} \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
n = – 2 \Rightarrow {n^2} + 1 = 5 \hfill \\
n = – 1 \Rightarrow {n^2} + 1 = 2 \hfill \\
n = 0 \Rightarrow {n^2} + 1 = 1 \hfill \\
n = 1 \Rightarrow {n^2} + 1 = 2 \hfill \\
n = 2 \Rightarrow {n^2} + 1 = 5 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Suy ra $P = \left\{ {1\,;2\,;5} \right\}$.
3. MỨC ĐỘ 3
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1. Lớp 10A có $12$ học sinh giỏi Toán, $10$ học sinh giỏi Văn, $8$ học sinh giỏi cả Toán và Văn.
a) Tính số học sinh giỏi ít nhất một trong hai môn (Toán, Văn).
b) Tính số học sinh chỉ giỏi môn Toán.
c) Tính số học sinh chỉ giỏi môn Văn.
Lời giải
a) Gọi A là tập hợp tất cả học sinh giỏi môn Toán.
Gọi B là tập hợp tất cả học sinh giỏi môn Văn.
Ta có:
Số học sinh giỏi ít nhất một trong hai môn (Toán, Văn) là
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B) = 12 + 10 – 8 = 14$ (học sinh).
b) Số học sinh chỉ giỏi môn Toán là: $12 – 8 = 4$ (học sinh)
c) Số học sinh chỉ giỏi môn Văn là: $10 – 8 = 2$ (học sinh)
Bài 2. Lớp 10A có $40$ học sinh, trong đó có $20$ học sinh giỏi Toán, $18$ học sinh giỏi Văn, $15$ học sinh giỏi cả Toán và Văn. Hỏi
a) Có bao nhiêu học sinh giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Văn.
b) Có bao nhiêu học sinh không giỏi cả hai môn Toán và Văn.
c) Có bao nhiêu học sinh chỉ giỏi một trong hai môn Toán hoặc Văn.
Lời giải
a) Gọi A là tập hợp tất cả học sinh giỏi môn Toán
Gọi B là tập hợp tất cả học sinh giỏi môn Văn
Ta có:
Số học sinh giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Văn là
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B) = 20 + 18 – 15 = 23$ (học sinh).
b) Số học sinh không giỏi cả hai môn Toán và Văn là: $40 – 23 = 17$ (học sinh)
c) Số học sinh chỉ giỏi môn Toán là: $20 – 15 = 5$ (học sinh)
Số học sinh chỉ giỏi môn Văn là: $18 – 15 = 3$ (học sinh)
Vậy, số học sinh chỉ giỏi một trong hai môn Toán hoặc Văn là: $5 + 3 = 8$ (học sinh)
Bài 3. Cho $A = \left( {2; + \infty } \right)$, $B = \left( {m; + \infty } \right)$. Tìm điều kiện cần và đủ của $m$ để $B$ là tập con của $A$?
Lời giải
Ta có: $B \subset A$ khi và chỉ khi $\forall x \in B \Rightarrow x \in A$$ \Rightarrow m \geqslant 2$.
Bài 4. Xác định số phần tử của tập hợp $X = \left\{ {n \in \mathbb{N}|n\, \vdots \,4\,,\,n < 2025} \right\}$.
Lời giải
Tập hợp $X$ gồm các phần tử là những số tự nhiên nhỏ hơn $2025$ và chia hết cho $4$.
+ Từ $0$ đến $2023$ có $2024$ số tự nhiên, ta thấy cứ $4$ số tự nhiên liên tiếp sẽ có duy nhất một số chia hết cho $4$. Suy ra có $\frac{{2024}}{4} = 506$ số tự nhiên chia hết cho $4$ từ $0$ đến $2023$.
+ $2024$ chia hết cho 4.
Vậy có tất cả $507$ số tự nhiên nhỏ hơn $2025$ và chia hết cho $4$.
Bài 5. Cho hai tập hợp $A = \left[ {1;3} \right]$ và $B = \left[ {m;m + 1} \right]$. Tìm tất cả giá trị của tham số $m$ để $B \subset A$.
Lời giải
Ta có: $B \subset A \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m \geqslant 1 \hfill \\
m + 1 \leqslant 3 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m \geqslant 1 \hfill \\
m \leqslant 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$. Vậy $1 \leqslant m \leqslant 2$.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho tập hợp $A = {\text{\{ }}x \in \mathbb{N}\left| x \right.$ là ước chung của $36\;{\text{và }}\;{\text{120\} }}$. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp $A$.
A. $A = \left\{ {1;2;3;4;6;12} \right\}.$ B. $A = \left\{ {1;2;4;6;8;12} \right\}.$
C. $A = \left\{ {2;4;6;8;10;12} \right\}.$ D. $A = \left\{ {2;3;4;6;12} \right\}.$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $\left\{ \begin{gathered}
36 = {2^2}{.3^2} \hfill \\
120 = {2^3}.3.5 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Do đó $A = \left\{ {1;2;3;4;6;12} \right\}$.
Câu 2. Số phần tử của tập hợp $A = \left\{ {{k^2} + 1\left| {k \in \mathbb{Z},\;\left| k \right| \leqslant 2} \right.} \right\}$ là:
A. $1.$ B. $2.$ C. $3.$ D. $5.$
Lời giải
Chọn D
Vì $k \in \mathbb{Z}$ và $\left| k \right| \leqslant 2$ nên $k \in \left\{ { – 2; – 1;0;1;2} \right\}$ do đó $\left( {{k^2} + 1} \right) \in \left\{ {1;2;5} \right\}.$
Vậy $A$ có $3$ phần tử.
Câu 3. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào rỗng?
A. $A = \left\{ {x \in \mathbb{N}\left| {{x^2} – 4 = 0} \right.} \right\}.$ B. $B = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {{x^2} + 2x + 3 = 0} \right.} \right\}.$
C. $C = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {{x^2} – 5 = 0} \right.} \right\}.$ D. $D = \left\{ {x \in \mathbb{Q}\left| {{x^2} + x – 12 = 0} \right.} \right\}.$
Lời giải
Chọn B
Xét các đáp án:
• Đáp án A. Ta có ${x^2} – 4 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x = 2 \in \mathbb{N} \hfill \\
x = – 2 \notin \mathbb{N} \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow A = \left\{ 2 \right\}$.
• Đáp án B. Ta có ${x^2} + 2x + 3 = 0$ (phương trình vô nghiệm) $ \Rightarrow B = \emptyset $.
• Đáp án C. Ta có ${x^2} – 5 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 5 \in \mathbb{R} \Rightarrow C = \left\{ { – \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right\}$.
• Đáp án D. Ta có ${x^2} + x – 12 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x = 3 \in \mathbb{Q} \hfill \\
x = – 4 \in \mathbb{Q} \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow D = \left\{ { – 4;3} \right\}$.
Câu 4. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập hợp rỗng?
A. $A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}\left| {\left| x \right| < 1} \right.} \right\}.$ B. $B = \left\{ {x \in \mathbb{Z}\left| {6{x^2} – 7x + 1 = 0} \right.} \right\}.$
C. $C = \left\{ {x \in \mathbb{Q}\left| {{x^{\text{2}}} – 4x + 2 = 0} \right.} \right\}.$ D. $D = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {{x^2} – 4x + 3 = 0} \right.} \right\}.$
Lời giải
Chọn C
Xét các đáp án:
• Đáp án A. Ta có $\left| x \right| < 1 \Leftrightarrow – 1 < x < 1 \Rightarrow A = \left\{ 0 \right\}$.
• Đáp án B. Ta có $6{x^2} – 7x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 1 \in \mathbb{Z} \hfill \\
x = \frac{1}{6} \notin \mathbb{Z} \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow B = \left\{ 1 \right\}$.
• Đáp án C. Ta có ${x^{\text{2}}} – 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt 2 \notin \mathbb{Q} \Rightarrow C = \emptyset $.
• Đáp án D. Ta có ${x^2} – 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x = 3 \in \mathbb{R} \hfill \\
x = 1 \in \mathbb{R} \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow D = \left\{ {1;3} \right\}$.
Câu 5. Cho hai tập hợp $A = \left\{ {0;2} \right\}$ và $B = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}.$ Có bao nhiêu tập hợp $X$ thỏa mãn $A \subset X \subset B$.
A. $2$ B. $4$ C. $6$ D. $8$
Lời giải
Chọn C
Ta có $A \subset X \subset B$ nên $X = A;\,X = B$, $X = \left\{ {0;\,1;\,2} \right\}$, $X = \left\{ {0;\,2;\,3} \right\}$, $X = \left\{ {0;\,2;\,4} \right\}$, $X = \left\{ {0;\,1;\,2;\,3} \right\}$, $X = \left\{ {0;\,1;\,2;\,4} \right\}$, $X = \left\{ {0;\,2;\,3;\,4} \right\}$.
Vậy có 8 tập $X$ thỏa đề bài.
4. MỨC ĐỘ 4
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1. Số phần tử của tập hợp $A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}\,\left| {\,\left| {{x^2} – 4x + 3} \right| + \left| {2x – 2} \right| = 0} \right.} \right\}$
Lời giải
Ta có $\left| {{x^2} – 4x + 3} \right| \geqslant 0$ và $\left| {2x – 2} \right| \geqslant 0$ nên
$\left| {{x^2} – 4x + 3} \right| + \left| {2x – 2} \right| = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{x^2} – 4x + 3 = 0 \hfill \\
2x – 2 = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1} \\
{x = 3}
\end{array}} \right.} \\
{x = 1}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 1$.
Vậy tập $A$ có đúng 1 phần tử.
Câu 2. Tính tổng các phần tử của tập hợp $A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}\left| {\,\frac{{4x + 3}}{{x + 2}} \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$.
Lời giải
Ta có $\frac{{4x + 3}}{{x + 2}} = 4 – \frac{5}{{x + 2}} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{5}{{x + 2}} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow 5 \vdots x + 2$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x + 2 = 5 \hfill \\
x + 2 = – 5 \hfill \\
x + 2 = 1 \hfill \\
x + 2 = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 3 \in \mathbb{Z} \hfill \\
x = – 7 \in \mathbb{Z} \hfill \\
x = – 1 \in \mathbb{Z} \hfill \\
x = – 3 \in \mathbb{Z} \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Suy ra $A = \left\{ {3\,; – 7\,; – 1\,; – 3} \right\}$.
Vậy tổng các phần tử của tập hợp $A$ là $3 + \left( { – 7} \right) + \left( { – 1} \right) + \left( { – 3} \right) = – 8$.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Tổng tất cả các phần tử của tập hợp $A = \left\{ {\left. {x \in \mathbb{Z}} \right|\,\left| {2x + 1} \right| < 6} \right\}$ bằng
A. $3$. B. $9$. C. $0$. D. $ – 3$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có $\left| {2x + 1} \right| \leqslant 5 \Leftrightarrow – 6 < 2x + 1 < 6 \Leftrightarrow – 7 < 2x < 5 \Leftrightarrow – \frac{7}{2} < x < \frac{5}{2}$.
Vì $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \left\{ { – 3\,; – 2\,; – 1\,;0;1\,;2} \right\}$. Suy ra $A = \left\{ { – 3\,; – 2\,; – 1\,;0;1\,;2} \right\}$.
Vậy tổng tất cả các phần tử của tập hợp $A$ là $\left( { – 3} \right) + \left( { – 2} \right) + \left( { – 1} \right) + 0 + 1 + 2 = – 3$.
Câu 2: Cho tập $M = \left\{ {\left. {\left( {x;y} \right)} \right|x,y \in \mathbb{R}} \right.$ và $\left. {{x^2} + {y^2} \leqslant 0} \right\}.$ Hỏi tập hợp $M$ có bao nhiêu phần tử?
A. $1$. B. $2$. C. $0$. D. Vô số.
Lời giải
Chọn A
Ta có $\left\{ \begin{gathered}
{x^2} \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\
{y^2} \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^2} \geqslant 0.$
Mà ${x^2} + {y^2} \leqslant 0$ nên chỉ xảy ra khi ${x^2} + {y^2} = 0 \Leftrightarrow x = y = 0.$
Do đó ta suy ra $M = \left\{ {\left( {0\,;0} \right)} \right\}$ nên tập hợp $M$ có $1$ phần tử.
