Đề thi giữa học kì 2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới giải chi tiết-Đề 1 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thi sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Có bao nhiêu cách xếp 8 học sinh thành một hàng dọc?
A. 8 . B. 1 . C. 40320 . D. 64 .
Câu 2: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 học sinh (mỗi em một ghế) ngồi vào 5 ghế trong một dãy 8 ghé?
A. 5 !. B. $A_8^5$. C. $C_8^5$. D. ${5^8}$.
Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $M\left( {1; – 3} \right)$ và $N\left( {0;4} \right)$. Tọa độ $\overrightarrow {NM} $ là:
A. $\left( {1; – 7} \right)$. B. $\left( { – 1;7} \right)$. C. $\left( {1; – 1} \right)$. D. $\left( {0; – 12} \right)$.
Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho điểm $A\left( {3; – 2} \right)$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $\overrightarrow {OA} = 3\vec i – 2\vec j$. B. $\overrightarrow {OA} = 3\vec i + 2\vec j$. C. $\overrightarrow {OA} = 2\vec i – 3\vec j$. D. $\overrightarrow {OA} = 3\vec i \cdot \left( { – 2\vec j} \right)$.
Câu 5: Số tập con có 2 phần tử của tập hợp gồm 10 phần tử là
A. 45 . B. 90 . C. 100 . D. 20 .
Câu 6: Vec tơ nào sau đây là một vec tơ pháp tuyến của đường thẳng $d:2x – 3y – 9 = 0$ ?
A. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;3} \right)$. B. $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; – 3} \right)$. C. $\overrightarrow {{n_3}} = \left( {3;2} \right)$. D. $\overrightarrow {{n_4}} = \left( { – 2; – 3} \right)$.
Câu 7: Tính góc giữa hai đường thẳng ${d_1}:3x – y + 1 = 0$ và ${d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2t} \\
{y = 3 + t}
\end{array}} \right.$.
A. ${60^ \circ }$. B. ${45^0}$. C. ${135^0}$. D. ${120^ \circ }$.
Câu 8: Cho đường tròn đi qua điểm $M\left( { – 3;4} \right)$ và có tâm là gốc toạ độ có đường kính bằng
A. 10 . B. 7 . C. 14 . D. 5 .
Câu 9: Có bao nhiêu cách chọn một học sinh từ một nhóm gồm 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ?
A. 11 . B. 30 . C. 6 . D. 5 .
Câu 10: Một lớp học có 18 nam và 12 nữ. Số cách chọn hai bạn từ lớp học đó, trong đó có một nam và một nữ tham gia đội xung kích của nhà trường là
A. 30 . B. $C_{18}^2 \cdot C_{12}^2$. C. $C_{20}^2$. D. 216 .
Câu 11: Cho khai triển ${(2 – x)^8} = {a_0} + {a_1}x + \ldots + {a_5}{x^5} + \ldots + {a_8}{x^8}$. Tìm hệ số ${a_5}$.
A. ${a_5} = – 448$. B. ${a_5} = 448$. C. ${a_5} = – 56$. D. ${a_5} = 56$.
Câu 12: Với giá trị nào của $m$ thì hai đường thẳng ${d_1}:\left( {2m – 1} \right)x + my – 10 = 0$ và ${d_2}:3x + 2y + 6 = 0$ vuông góc nhau?
A. $m = \frac{3}{2}$. B. $m = – \frac{3}{8}$. C. $m = \frac{3}{8}$. D. $m \in \emptyset $.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4 . Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13: Cho $\vartriangle ABC$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$ và $G$ là trọng tâm của $\vartriangle ABC$ Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0$
b) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} $.
c) $\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {MG} $.
d) $\overrightarrow {AB} = – \frac{4}{3}\overrightarrow {BN} – \frac{2}{3}\overrightarrow {CP} $.
Câu 14: Điểm kiểm tra toán của một nhóm bạn được ghi lại như sau:
| 2 | 4 | 5 | 5 | 6 | 7 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là 8 .
b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là 2,5 .
c) Phương sai của mẫu số liệu trên là 5,21.
d) Độ lệch chuẩn (làm tròn đến hai chữ số thập phân sau dấu phẩy) của mẫu số liệu trên là 2,29 .
Câu 15: Một hộp có 21 viên bi màu xanh và 17 viên bi màu vàng, các viên bi là khác nhau. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Số cách chọn 3 viên bi trong hộp là 3648 .
b) Số cách chọn 8 viên bi trong hộp có ít nhất 1 viên bi màu xanh là $C_{38}^8$.
c) Số cách chọn 8 viên bi trong hộp có ít nhất 1 viên bi màu vàng là: 24310 .
d) Số cách chọn 4 viên bi trong hộp có cả viên bi màu xanh và viên bi màu vàng là 72468 .
Câu 16: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho điểm $A\left( {1; – 3} \right)$ và đường thẳng $d:2x – 3y + 5 = 0$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua điểm $A$ và tạo với đường thẳng $d$ một góc ${45^ \circ }$.
a) Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow {{n_d}} = \left( {2;3} \right)$
b) Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $d$ bằng $\frac{{\sqrt {13} }}{{13}}$
c) Đường thẳng $\Delta $ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {1;5} \right)$
d) Có hai đường thẳng $\Delta $ thỏa mãn yêu cầu bài toán đặt ra.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 17: Biết rằng số trung vị trong mẫu số liệu sau ( đã sắp xếp theo thứ tự) bằng 14 .
| 1 | 3 | 4 | 13 | x2-1 | 18 | 19 | 21 |
Tìm số nguyên dương $x$.
Đáp án:
Câu 18: Từ các chữ số $0,1,2,3,4,5$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho mỗi số tự nhiên đó chia hết cho 3 ?
Đáp án:
Câu 19: Cho tứ giác $ABCD$. Trên mỗi cạnh $AB,BC,CD,DA$ lấy 7 điểm phân biệt và không có điểm nào trùng với 4 đỉnh $A,B,C,D$. Hỏi từ 32 điểm đã cho (tính cả các điểm $A,B,C,D$ ) lập được bao nhiêu tam giác?
Đáp án:
Câu 20: Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức Newton ${\left( {{x^2} + \frac{1}{x}} \right)^{15}}$
Đáp án:
Câu 21: Cho tam giác $ABC$ với $A\left( { – 1; – 2} \right)$ và phương trình đường thẳng chứa cạnh $BC$ là $x – y + 4 = 0$ Phương trình đường trung bình ứng với cạnh đáy $BC$ của tam giác có dạng $ax + by + c = 0$. Hãy tính giá trị của biểu thức $T = a + b + c$.
Đáp án:
Câu 22: Một ao cá có dạng hình chữ nhật $ABCD$ với chiều dài $AD = 17\;m$, chiều rộng $AB = 13\;m$. Phần tam giác $DEF$ người ta để nuôi vịt, biết $AE = 6\;m,CF = 6,5\;m$ (minh họa như hình vẽ). Tính khoảng cách từ vị trí người đứng ở vị trí $B$ câu cá đến vách ngăn nuôi vịt là đường thẳng $EF$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án:………………………………………..
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
PHẦN I.
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Chọn | C | B | A | A | A | B | B | A | A | D | A | C |
PHẦN II.
| Câu 1 | Câu 2 | Câu 3 | Câu 4 |
| a) Đ | a) Đ | a) S | a) S |
| b) Đ | b) S | b) S | b) S |
| c) S | c) Đ | c) Đ | c) Đ |
| d) Đ | d) S | d) Đ | d) Đ |
PHẦN III.
| Câu | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
| Chọn | 4 | 216 | 4624 | 3003 | 3 | 14,24 |
LỜI GIẢI CHI TIẾT
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Có bao nhiêu cách xếp 8 học sinh thành một hàng dọc?
A. 8 .
B. 1 .
C. 40320
D. 64 .
Lời giải
Số cách xếp 8 học sinh thành một hàng là hoán vị của 8 phần tử. Đáp số: $8! = 40320$ cách.
Câu 2: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 học sinh (mỗi em một ghế) ngồi vào 5 ghế trong một dãy 8 ghế?
A. 5 !.
B. $A_8^5$.
C. $C_8^5$.
D. ${5^8}$.
Lời giải
Số cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 học sinh (mỗi em một ghế) ngồi vào 5 ghế trong một dãy 8 ghế là $A_8^5$.
Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $M\left( {1; – 3} \right)$ và $N\left( {0;4} \right)$. Tọa độ $\overrightarrow {NM} $ là:
A. $\left( {1; – 7} \right)$.
B. $\left( { – 1;7} \right)$.
C. $\left( {1; – 1} \right)$.
D. $\left( {0; – 12} \right)$.
Lời giải
Với $M\left( {1; – 3} \right)$ và $N\left( {0;4} \right)$;
Ta có: $\overrightarrow {NM} = \left( {1 – 0; – 3 – 4} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {NM} = \left( {1; – 7} \right)$.
Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho điểm $A\left( {3; – 2} \right)$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $\overrightarrow {OA} = 3\vec i – 2\vec j$.
B. $\overrightarrow {OA} = 3\vec i + 2\vec j$.
C. $\overrightarrow {OA} = 2\vec i – 3\vec j$.
D. $\overrightarrow {OA} = 3\vec i \cdot \left( { – 2\vec j} \right)$.
Lời giải
Áp dụng kiến thức: Nếu $\vec u = \left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thì $\vec u = {x_0}\vec i + {y_0}\vec j$.
Ta có $A\left( {3; – 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA} = \left( {3; – 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA} = 3\vec i – 2\vec j$.
Câu 5: Số tập con có 2 phần tử của tập hợp gồm 10 phần tử là
A. 45 .
B. 90 .
C. 100 .
D. 20 .
Lời giải
Số tập con có hai phần tử của tập hợp gồm 10 phần tử là số tổ hợp chập 2 của 10 phần tử hay $C_{10}^2 = 45$ (tập con).
Câu 6: Vec tơ nào sau đây là một vec tơ pháp tuyến của đường thẳng $d:2x – 3y – 9 = 0$ ?
A. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;3} \right)$.
B. $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; – 3} \right)$.
C. $\overrightarrow {{n_3}} = \left( {3;2} \right)$.
D. $\overrightarrow {{n_4}} = \left( { – 2; – 3} \right)$.
Lời giải
Từ phương trình đường thẳng $d:2x – 3y – 9 = 0$
Ta có $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; – 3} \right)$ là một vec tơ pháp tuyến của đường thẳng $d$.
Câu 7: Tính góc giữa hai đường thẳng ${d_1}:3x – y + 1 = 0$ và ${d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2t} \\
{y = 3 + t}
\end{array}} \right.$.
A. ${60^ \circ }$.
B. ${45^0}$.
C. ${135^ \circ }$.
D. ${120^ \circ }$.
Lời giải
Đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ có VTPT $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3; – 1} \right)$.
Đường thẳng $\left( {{d_2}} \right)$ có VTCP $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;1} \right) \Rightarrow $ VTPT $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; – 2} \right)$.
Ta có $cos\left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot } \right|\overrightarrow {{n_2}} ||}} = \frac{{\left| {3 + 2} \right|}}{{\sqrt {10} \cdot \sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
$ \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) = {45^0}$.
Câu 8: Cho đường tròn đi qua điểm $M\left( { – 3;4} \right)$ và có tâm là gốc toạ độ có đường kính bằng
A. 10 .
B. 7 .
C. 14 .
D. 5 .
Ta có $OM = \sqrt {9 + 16} = 5$.
Lời giải
Vậy đường kính của đường tròn là 10 .
Câu 9: Có bao nhiêu cách chọn một học sinh từ một nhóm gồm 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ?
A. 11 .
B. 30 .
C. 6 .
D. 5 .
Lời giải
Phương án 1: Chọn một bạn nam có 5 cách.
Phương án 2: Chọn một bạn nữ có 6 cách.
Theo quy tắc cộng ta có: $5 + 6 = 11$ cách.
Câu 10: Một lớp học có 18 nam và 12 nữ. Số cách chọn hai bạn từ lớp học đó, trong đó có một nam và một nữ tham gia đội xung kích của nhà trường là
A. 30 .
B. $C_{18}^2 \cdot C_{12}^2$.
C. $C_{20}^2$.
D. 216 .
Lời giải
Số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là $18.12 = 216$.
CÂU 11: Cho khai triển ${(2 – x)^8} = {a_0} + {a_1}x + \ldots + {a_5}{x^5} + \ldots + {a_8}{x^8}$. Tìm hệ số ${a_5}$.
A. ${a_5} = – 448$.
B. ${a_5} = 448$.
C. ${a_5} = – 56$.
D. ${a_5} = 56$.
Lời giải
Số hạng tổng quát trong khai triển của ${(2 – x)^8}$ là $C_8^k \cdot {2^{8 – k}} \cdot {( – x)^k} = C_8^k \cdot {2^{8 – k}} \cdot {( – 1)^k}{x^k}$ với $\left( {k \in {\mathbb{N}^*},k \leqslant 8} \right)$.
${a_5}$ là hệ số ${x^5}$ ứng với $k = 5$.
Vậy hệ số ${a_5} = C_8^5 \cdot {2^3} \cdot {( – 1)^5} = – 448$.
Câu 12: Với giá trị nào của $m$ thì hai đường thẳng ${d_1}:\left( {2m – 1} \right)x + my – 10 = 0$ và ${d_2}:3x + 2y + 6 = 0$ vuông góc nhau?
A. $m = \frac{3}{2}$.
B. $m = – \frac{3}{8}$.
C. $m = \frac{3}{8}$.
D. $m \in \emptyset $.
Lời giải
Đường thẳng ${d_1}:\left( {2m – 1} \right)x + my – 10 = 0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec n_1} = \left( {2m – 1;m} \right)$
Đường thẳng ${d_2}:3x + 2y + 6 = 0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec n_2} = \left( {3;2} \right)$
${d_1} \bot {d_2} \Rightarrow {\vec n_1} \cdot {\vec n_2} = 0 \Leftrightarrow \left( {2m – 1} \right) \cdot \left( 3 \right) + \left( m \right) \cdot \left( 2 \right) = 0 \Leftrightarrow m = \frac{3}{8}$.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4 . Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho $\vartriangle ABC$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$ và $G$ là trọng tâm của $\vartriangle ABC$ Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0$.
b) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} $.
c) $\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {MG} $.
d) $\overrightarrow {AB} = – \frac{4}{3}\overrightarrow {BN} – \frac{2}{3}\overrightarrow {CP} $.
Lời giải
a) Đúng: Vì $G$ là trọng tâm $\vartriangle ABC$ nên $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0$.
b) Đúng: Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} $.
c) Sai: Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GM} $.
d) Đúng: $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {GM} + \left( {\overrightarrow {GB} – \overrightarrow {GM} } \right) = 2\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GB} = \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GB} = 2\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} $ $ = – \frac{4}{3}\overrightarrow {BN} – \frac{2}{3}\overrightarrow {CP} $.
Câu 2: Điểm kiểm tra toán của một nhóm bạn được ghi lại như sau:
| 2 | 4 | 5 | 5 | 6 | 7 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là 8 .
b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là 2,5 .
c) Phương sai của mẫu số liệu trên là 5,21 .
d) Độ lệch chuẩn (làm tròn đến hai chữ số thập phân sau dấu phẩy) của mẫu số liệu trên là 2,29.
Lời giải
a) Đúng: Khoảng biến thiên là $10 – 2 = 8$.
b) Sai: ${Q_1} = 5,{Q_3} = 8$. Khoảng tứ phân vị là $\Delta Q = 8 – 5 = 3$.
c) Đúng: $\overline x = 6,3$. Phương sai ${s^2} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^{10} {{{\left( {{x_i} – 6,3} \right)}^2}} }}{{10}} = 5,21$.
d) Sai: Độ lệch chuẩn $s = \sqrt {5,21} \approx 5,28$.
Câu 3: Một hộp có 21 viên bi màu xanh và 17 viên bi màu vàng, các viên bi là khác nhau. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Số cách chọn 3 viên bi trong hộp là 3648 .
b) Số cách chọn 8 viên bi trong hộp có ít nhất 1 viên bi màu xanh là $C_{38}^8$.
c) Số cách chọn 8 viên bi trong hộp có ít nhất 1 viên bi màu vàng là: 24310 .
d) Số cách chọn 4 viên bi trong hộp có cả viên bi màu xanh và viên bi màu vàng là 72468 .
Lời giải
a) Sai: Số cách chọn 3 viên bi trong hộp là $C_{17}^3 = 8436$.
b) Sai: Số cách chọn 8 viên bi trong hộp có ít nhất 1 viên bi màu xanh là:
$C_{38}^8 – C_{17}^8 = 48879182$
c) Đúng: Số cách chọn 8 viên bi trong hộp có ít nhất 1 viên bi màu vàng là:
$C_{38}^8 – C_{21}^8 = 48700002.$
d) Đúng: Số cách chọn 4 viên bi trong hộp có cả viên bi màu xanh và viên bi màu vàng là:
$C_{38}^4 – C_{21}^3 – C_{17}^1 = 72468.$
Câu 4: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho điểm $A\left( {1; – 3} \right)$ và đường thẳng $d:2x – 3y + 5 = 0$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua điểm $A$ và tạo với đường thẳng $d$ một góc ${45^ \circ }$.
a) Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow {{n_d}} = \left( {2;3} \right)$
b) Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $d$ bằng $\frac{{\sqrt {13} }}{{13}}$
c) Đường thẳng $\Delta $ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {1;5} \right)$
d) Có hai đường thẳng $\Delta $ thỏa mãn yêu cầu bài toán đặt ra.
Lời giải
Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $d$ là: $d\left( {A;d} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 1 – 3 \cdot \left( { – 3} \right) + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( – 3)}^2}} }} = \frac{{16\sqrt {13} }}{{13}}$
Đường thẳng $d$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_d}} = \left( {2; – 3} \right)$.
Đường thẳng $\Delta $ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {a;b} \right),{a^2} + {b^2} > 0$.
Do $\Delta $ tạo với đường thẳng $d$ một góc ${45^ \circ }$ nên $\frac{1}{{\sqrt 2 }} = cos{45^ \circ } = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_d}} ,\overrightarrow {{n_\Delta }} } \right)} \right|$
Hay $\frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_d}} \cdot \overrightarrow {{n_\Delta }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_d}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} } \right|}} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {2a – 3b} \right|}}{{\sqrt {4 + 9} \cdot \sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow 13{a^2} + 13{b^2} = 8{a^2} – 24ab + 18{b^2}$
$ \Leftrightarrow 5{a^2} + 24ab – 5{b^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {5a – b} \right)\left( {a + 5b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{b = 5a} \\
{a = – 5b}
\end{array}} \right.$.
Với $b = 5a$, chọn $a = 1 \Rightarrow b = 5 \Rightarrow \overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {1;5} \right) \Rightarrow \Delta :1\left( {x – 1} \right) + 5\left( {y + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 5y + 14 = 0$.
Với $a = – 5b$, chọn $a = 5 \Rightarrow b = – 1 \Rightarrow \overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {5; – 1} \right) \Rightarrow \Delta :5\left( {x – 1} \right) – 1\left( {y + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x – y – 8 = 0$
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn bài toán có phương trình là: $x + 5y + 14 = 0;5x – y – 8 = 0$.
a) Sai: Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow {{n_d}} = \left( {2; – 3} \right)$
b) Sai: Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $d$ bằng $\frac{{16\sqrt {13} }}{{13}}$
c) Đúng: Đường thẳng $\Delta $ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {1;5} \right)$
d) Đúng: Có hai đường thẳng $\Delta $ thỏa mãn yêu cầu bài toán đặt ra.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1: Biết rằng số trung vị trong mẫu số liệu sau ( đã sắp xếp theo thứ tự) bằng 14.
| 1 | 3 | 4 | 13 | x2-1 | 18 | 19 | 21 |
Tìm số nguyên dương $x$.
Lời giải
Số trung vị trong mẫu số liệu trên là $\frac{{{x^2} – 1 + 13}}{2} = \frac{{{x^2} + 12}}{2}$
Từ giả thiết suy ra $\frac{{{x^2} + 12}}{2} = 14 \Leftrightarrow {x^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{}&{x = 4\;\left( {\;lm} \right)} \\
{x = – 4}&{\left( {\;loai\;} \right)}
\end{array}} \right.$.
Vậy $x = 4$.
Câu 2: Từ các chữ số $0,1,2,3,4,5$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho mỗi số tự nhiên đó chia hết cho 3 ?
Lời giải
Một số tự nhiên $\overline {abcde} $ có 5 chữ số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 .
Nhận thấy một số tự nhiên thoả yêu cầu bài toán sẽ không đồng thời có mặt các chữ số 0 và 3 .
Do đó ta chia làm 2 trường hợp:
Trường hợp 1: $\overline {abcde} $ không có chữ số 0 .
Khi đó 5 chữ số còn lại có tổng của chúng chia hết cho 3 nên số số tự nhiên thoả mãn là 5 ! số.
Trường hợp 2: $\overline {abcde} $ không có chữ số 3 .
Bước 1: Chọn chữ số $a$ có 4 cách.
Bước 2: Chọn $\overline {bcde} $ có 4 ! cách.
Suy ra trường hợp này ta có 4.4 ! số.
Vậy theo quy tắc cộng ta có tất cả $5! + 4.4! = 216$ số.
Câu 3: Cho tứ giác $ABCD$. Trên mỗi cạnh $AB,BC,CD,DA$ lấy 7 điểm phân biệt và không có điểm nào trùng với 4 đỉnh $A,B,C,D$. Hỏi từ 32 điểm đã cho (tính cả các điểm $A,B,C,D$ ) lập được bao nhiêu tam giác?
Lời giải
Số tam giác lập được là số cách chọn 3 điểm trong 32 điểm đã cho sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng.
Số cách chọn 3 điểm như trên là $C_{32}^3 – 4C_9^3 = 4624$
Số tam giác lập được thoả mãn đề bài là 4624 .
Câu 4: Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức Newton ${\left( {{x^2} + \frac{1}{x}} \right)^{15}}$
Lời giải
Ta có số hạng tổng quát của khai triển là:
${T_{k + 1}} = C_{15}^k \cdot {\left( {{x^2}} \right)^{15 – k}} \cdot {\left( {\frac{1}{x}} \right)^k} = C_{15}^k \cdot {x^{30 – 2k}} \cdot \frac{1}{{{x^k}}} = C_{15}^k \cdot {x^{30 – 3k}}$ với $k \in \mathbb{N},k \leqslant 15.$
Khi đó, số hạng không chứa $x$ tương ứng với $30 – 3k = 0 \Leftrightarrow k = 10$.
Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển trên là $C_{15}^{10} = 3003$.
Câu 5: Cho tam giác $ABC$ với $A\left( { – 1; – 2} \right)$ và phương trình đường thẳng chứa cạnh $BC$ là $x – y + 4 = 0$ Phương trình đường trung bình ứng với cạnh đáy $BC$ của tam giác có dạng $ax + by + c = 0$. Hãy tính giá trị của biểu thức $T = a + b + c$.
Lời giải
Chọn điểm $K\left( {0;4} \right)$ thuộc $BC$ và gọi $E$ là trung điểm đoạn $AK$ nên $E\left( { – \frac{1}{2};1} \right)$.
Gọi $d$ là đường trung bình ứng với cạnh đáy $BC$ của tam giác $ABC$, suy ra $d$ qua $E$ và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {n’} = \left( {1; – 1} \right)$.
Phương trình tổng quát $d:1\left( {x + \frac{1}{2}} \right) – 1\left( {y – 1} \right) = 0$ hay $2x – 2y + 3 = 0$.
Vậy $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 2} \\
{b = – 2} \\
{c = 3}
\end{array} \Rightarrow T = a + b + c = 2 – 2 + 3 = 3} \right.$.
Câu 6: Một ao cá có dạng hình chữ nhật $ABCD$ với chiều dài $AD = 17\;m$, chiều rộng $AB = 13\;m$. Phần tam giác $DEF$ người ta để nuôi vịt, biết $AE = 6\;m,CF = 6,5\;m$ (minh họa như hình vẽ). Tính khoảng cách từ vị trí người đứng ở vị trí $B$ câu cá đến vách ngăn nuôi vịt là đường thẳng $EF$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$, có điểm $O$ trùng với điểm $B$, các tia $Ox,Oy$ tương ứng trùng với các tia $BC,BA$. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng toạ độ tương ứng với $1\;m$ trong thực tế.
Khi đó $A\left( {0;13} \right),B\left( {0;0} \right),C\left( {17;0} \right),D\left( {17;13} \right),E\left( {6;13} \right),F\left( {17;6,5} \right)$.
$\overrightarrow {EF} \left( {11; – 6,5} \right)$.
Đường thẳng $EF$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {EF} \left( {11; – 6,5} \right)$ nên có vectơ pháp tuyến $\vec n = \left( {6,5;11} \right)$ và đi qua điểm $E\left( {6;13} \right)$.
Suy ra phương trình tổng quát của đường thẳng $EF$ là: $6,5\left( {x – 6} \right) + 11\left( {y – 13} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow 6,5x + 11y – 182 = 0$.
Khoảng cách từ $B$ đến đường thẳng $EF$ là $d\left( {B,EF} \right) = \frac{{\left| { – 182} \right|}}{{\sqrt {6,{5^2} + {{11}^2}} }} \approx 14,24$.
Vậy khoảng cách từ vị trí người đứng ở vị trí $B$ câu cá đến vách ngăn nuôi vịt là đường thẳng EF bằng 14,24 mét.
