Đề thi HK2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới giải chi tiết-Đề 3 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phuơng án đúng nhất.
Câu 1. Số cách chọn 1 quyển sách là: $5 + 6 + 8 = 19$. Một lớp có 23 học sinh nữ và 17 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi tìm hiểu môi trường?
A. 23 . B. 17 . C. 40 . D. 391 .
Câu 2. Khai triển nhị thức ${(a – 2b)^5}$ thành tồng các đơn thức:
A. ${a^5} – 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} – 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} – {b^5}$. B. ${a^5} + 10{a^4}b – 40{a^3}{b^2} + 80{a^2}{b^3} – 80a{b^4} + 32{b^5}$.
C. ${a^5} – 10{a^4}b + 40{a^3}{b^2} – 80{a^2}{b^3} + 40a{b^4} – {b^5}$. D. ${a^5} – 10{a^4}b + 40{a^3}{b^2} – 80{a^2}{b^3} + 80a{b^4} – 32{b^5}$.
Câu 3. Cho $a$ là số gần đúng của $\overline a $, sai số tuyệt đối của $a$ là:
A. $\frac{{\overline a }}{a}$. B. $\overline a – a$. C. $\left| {\overline a – a} \right|$. D. $a – \overline a $.
Câu 4. Bảng sau đây cho biết điểm thi môn Toán kì thi học sinh giỏi lớp 12 cấp thành phố (thang điểm 20) của bốn trường Trung học phổ thông trên địa bàn quận:
| Trường A | 12 | 15 | 13 | 9 | 8 |
| Trường B | 13 | 11 | 17 | 5 | 14 |
| Trường C | 8 | 8 | 10 | 12 | 13 |
| Trường D | 6 | 9 | 13 | 15 | 18 |
Điểm số của trường nào có mức độ phân tán cao nhất?
A. Trường A B. Trường B C. Trường C D. Trường D
Câu 5. Cho các số liệu thống kê về sản lượng chè thu được trong 1 năm (kg/sào) của 20 hộ gia đình.
Tìm số trung vị của mẫu số liệu trên?
A. 111 . B. 116 . C. 114 . D. 117 .
Câu 6. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc. Xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện là
A. $\frac{1}{6}$. B. $\frac{5}{6}$. C. $\frac{1}{2}$. D. $\frac{1}{3}$.
Câu 7. Một lớp học có 30 học sinh gồm có cả nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia hoạt động của Đoàn trường. Xác suất chọn được 2 nam và 1 nữ là $\frac{{12}}{{29}}$. Tính số học sinh nữ của lớp.
A. 16 . B. 14 . C. 13 . D. 17 .
Câu 8. Vectơ $\vec a = \left( { – 4;0} \right)$ được phân tích theo hai vectơ đơn vị như thế nào?
A. $\vec a = – 4\vec i + \vec j$. B. $\vec a = – \vec i + 4\vec j$. C. $\vec a = – 4\vec j$. D. $\vec a = – 4\vec i$.
Câu 9. Đường thẳng $51x – 30y + 11 = 0$ đi qua điểm nào sau đây?
A. $\left( { – 1;\frac{3}{4}} \right)$. B. $\left( { – 1; – \frac{4}{3}} \right)$ C. $\left( {1;\frac{3}{4}} \right)$. D. $\left( { – 1; – \frac{3}{4}} \right)$
Câu 10. Góc tạo bởi trục $Ox$ và đường thẳng $y = \sqrt 3 x$ là:
A. ${30^ \circ }$. B. ${45^ \circ }$. C. ${60^ \circ }$. D. ${90^ \circ }$.
Câu 11. Phương trình đường tròn tâm $I\left( {a;b} \right)$, bán kính $R$ có dạng:
A. ${(x + a)^2} + {(y + b)^2} = {R^2}$. B. ${(x – a)^2} + {(y – b)^2} = {R^2}$.
C. ${(x – a)^2} + {(y + b)^2} = {R^2}$. D. ${(x + a)^2} + {(y – b)^2} = {R^2}$.
Câu 12. Elip $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1$ có hai đỉnh thuộc trục $Oy$ là:
A. ${B_1}\left( { – 25;0} \right),{B_2}\left( {25;0} \right)$. B. ${B_1}\left( {0; – 5} \right),{B_2}\left( {0;5} \right)$. C. ${B_1}\left( { – 5;0} \right),{B_2}\left( {5;0} \right)$. D. ${B_1}\left( { – 5;0} \right),{B_2}\left( {5;0} \right)$.
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai
Câu 1. Trước một tòa nhà, người ta làm một cái hồ bơi có dạng hình elip với độ dài hai bán trục lần lượt là $3m$ và $5m$. Xét hệ trục tọa độ $Oxy$ (đơn vị trên các trục là mét) có hai trục tọa độ chứa hai trục của elip, gốc tọa độ $O$ là tâm của elip (hình)
Khi đó:
a) Phương trình chính tác của đường elip là: $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$.
b) Xét các điểm $M,N$ cùng thuộc trục lớn của elip và đều cách $O$ một khoảng bằng $4m$ về hai phía của $O$. Tổng khoảng cách từ mọi điểm trên đường elip đến $M$ và $N$ luôn bằng $10\;m$
c) Một người đứng ở vị trí $P$ cách $O$ một khoảng bằng $6\;m$. Người đó đứng ở trong hồ
d) Xét vị trí $C$ trên mép hồ cách trục lớn một khoảng bằng $2m$. Khi đó vị trí $C$ cách trục nhỏ một khoảng bằng $\frac{5}{3}m$
Câu 2. Trong hộp có chứa 7 bi xanh, 5 bi đo, 2 bi vàng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên từ trong hộp 6 viên bi. Khi đó:
a) Xác suất để có đúng một màu bằng: $\frac{1}{{429}}$
b) Xác suất để có đúng hai màu đỏ và vàng bằng: $\frac{1}{{429}}$
c) Xác suất để có ít nhất 1 bi đỏ bằng: $\frac{{139}}{{143}}$
d) Xác suất để có ít nhất 2 bi xanh bằng: $\frac{{32}}{{39}}$
Câu 3. Số liệu sau đây cho ta lãi (quy tròn) hàng tháng của một cửa hàng trong năm 2022. Đơn vị: triệu đồng.
Khi đó:
a) Lãi thấp nhất của cửa hàng là 13
b) Sắp xếp các số trong mẫu theo thứ tự không giảm:
$\begin{array}{*{20}{l}}
{12}&{13}&{13}&{14}&{15}&{15}&{16}&{17}&{17}&{18}&{18}&{20}
\end{array}$
c) Số trung bình của mẫu: $\overline x \approx 13,67$ (triệu đồng).
d) Số trung vị là: 16 .
Câu 4. Cho đường tròn $\left( C \right)$ có phương trình ${x^2} + {y^2} – 6x + 2y + 6 = 0$ và hai điểm $A\left( {1; – 1} \right),B\left( {1;3} \right)$. Khi đó:
a) Điểm $A$ thuộc đường tròn
b) Điểm $B$ nằm trong đường tròn
c) $x = 1$ phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $A$.
d) Qua $B$ kẻ được hai tiếp tuyến với $\left( C \right)$ có phương trình là: $x = 1;3x + 4y – 12 = 0$.
Phần 3. Câu trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để khoảng cách từ điểm $A\left( { – 1;2} \right)$ đến đường thẳng $\Delta : mx + y – m + 4 = 0$ bằng $2\sqrt 5 $.
Câu 2. Một mảnh đất hình Elip có độ dài trục lớn bằng $120\;m$, độ dài trục bé bằng $90\;m$. Tập đoàn VinGroup dự định xây dựng một trung tâm thương mại Vincom trong một hình chữ nhật nội tiếp của Eip như hình vẽ. Tính diện tích xây dựng Vincom lớn nhất.
Câu 3. Số dân ở thời điểm hiện tại của một tỉnh là 1 triệu người. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của tỉnh đó là $5\% $. Sử dụng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa ${(a + b)^n}$, hỏi sau bao nhiêu năm thì số dân của tỉnh đó là 1,2 triệu người?
Câu 4. Từ bộ bài tây gồm 52 quân bài, người ta rút ra ngẫu nhiên 2 quân bài. Tính xác suất để rút được 2 quân bài khác màu.
Câu 5. Mẫu số liệu sau cho biết số ghế trống tại một rạp chiếu phim trong 9 ngày
| 12 | 7 | 10 | 9 | 12 | 9 | 10 | 11 | 10 | 14 |
Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu này
Câu 6. Cho họ đường tròn $\left( {{C_m}} \right):{x^2} + {y^2} + 4mx + 2\left( {m + 1} \right)y – 1 = 0$.
Tìm bán kính bé nhất của đường tròn $\left( {{C_m}} \right)$.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI THAM KHẢO
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.
| 1C | 2D | 3C | 4D | 5C | 6A |
| 7B | 8D | 9B | 10C | 11B | 12B |
Câu 1. Số cách chọn 1 quyển sách là: $5 + 6 + 8 = 19$. Một lớp có 23 học sinh nữ và 17 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi tìm hiểu môi trường?
A. 23 .
B. 17 .
C. 40 .
D. 391 .
Chọn C
Lời giải
Theo quy tắc cộng, có $23 + 17 = 40$ cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi tìm hiểu môi trường.
Câu 2. Khai triển nhị thức ${(a – 2b)^5}$ thành tồng các đơn thức:
A. ${a^5} – 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} – 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} – {b^5}$.
B. ${a^5} + 10{a^4}b – 40{a^3}{b^2} + 80{a^2}{b^3} – 80a{b^4} + 32{b^5}$.
C. ${a^5} – 10{a^4}b + 40{a^3}{b^2} – 80{a^2}{b^3} + 40a{b^4} – {b^5}$.
D. ${a^5} – 10{a^4}b + 40{a^3}{b^2} – 80{a^2}{b^3} + 80a{b^4} – 32{b^5}$.
Chọn D
Lời giải
Ta có: ${(a – 2b)^5} = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}\left( { – 2b} \right) + C_5^2{a^3}{( – 2b)^2} + C_5^3{a^2}{( – 2b)^3} + C_5^4a{( – 2b)^4} + C_5^5{( – 2b)^5}$ $ = {a^5} – 10{a^4}b + 40{a^3}{b^2} – 80{a^2}{b^3} + 80a{b^4} – 32{b^5}$.
Câu 3. Cho $a$ là số gần đúng của $\overline a $, sai số tuyệt đối của $a$ là:
A. $\frac{{\overline a }}{a}$.
B. $\overline a – a$.
C. $\left| {\overline a – a} \right|$.
D. $a – \overline a $.
Chọn C
Lời giải
Câu 4. Bảng sau đây cho biết điểm thi môn Toán kì thi học sinh giỏi lớp 12 cấp thành phố (thang điểm 20) của bốn trường Trung học phổ thông trên địa bàn quận:
| Trường A | 12 | 15 | 13 | 9 | 8 |
| Trường B | 13 | 11 | 17 | 5 | 14 |
| Trường C | 8 | 8 | 10 | 12 | 13 |
| Trường D | 6 | 9 | 13 | 15 | 18 |
Điểm số của trường nào có mức độ phân tán cao nhất?
A. Trường A
B. Trường B
C. Trường C
D. Trường D
Chọn D
Lời giải
Độ lệch chuẩn điểm số của bốn trường $A,B,C,D$ lần lượt là: ${s_1} \approx 2,577$, ${s_2} = 4,{s_3} = 2,04,{s_4} \approx 4,261$.
Vì độ lệch chuẩn điểm số của trường $D$ là lớn nhất $\left( {{s_4} \approx 4,261} \right)$ nên mẫu số liệu trường $D$ có mức độ phân tán cao nhất.
Câu 5. Cho các số liệu thống kê về sản lượng chè thu được trong 1 năm (kg/sào) của 20 hộ gia đình.
Tìm số trung vị của mẫu số liệu trên?
A. 111 .
B. 116 .
C. 114 .
D. 117 .
Chọn C
Lời giải
Sắp xếp mẫu theo thứ tự không giảm: $\begin{array}{*{20}{l}}
{111}&{112}&{112}&{112}&{113}&{113}&{113}&{113}
\end{array}$
$\begin{array}{*{20}{l}}
{114}&{114}&{114}&{114}&{114}&{115}&{115}&{115}&{115}&{116}&{116}&{117.}
\end{array}$
Do kích thước mẫu $n = 20$ là một số chẵn nên số trung vị là số trung bình cộng của hai giá trị đứng thứ 10 và 11 (hai vị trí chính giữa dãy số vừa ghi). Vậy trung vị là: $\frac{{114 + 114}}{2} = 114$.
Câu 6. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc. Xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện là
A. $\frac{1}{6}$.
B. $\frac{5}{6}$.
C. $\frac{1}{2}$.
D. $\frac{1}{3}$.
Chọn A
Lời giải
Không gian mẫu là $\Omega = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\} \Rightarrow n\left( \Omega \right) = 6$.
Biến cố xuất hiện là $A = \left\{ 6 \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = 1$. Suy ra $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{6}$.
Câu 7. Một lớp học có 30 học sinh gồm có cả nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia hoạt động của Đoàn trường. Xác suất chọn được 2 nam và 1 nữ là $\frac{{12}}{{29}}$. Tính số học sinh nữ của lớp.
A. 16 .
B. 14 .
C. 13 .
D. 17 .
Chọn B
Lời giải
Gọi số học sinh nữ của lớp là $n\left( {n \in {\mathbb{N}^*},n \leqslant 28} \right)$. Số học sinh nam là $30 – n$.
Số phần tử không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = C_{30}^3$.
Gọi $A$ là biến cố “Chọn được 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ”.
Chọn 2 học sinh nam trong $30 – n$ em, có $C_{30 – n}^2$ cách.
Chọn 1 học sinh nữ trong $n$ em, có $C_n^1$ cách.
Suy ra $n\left( A \right) = C_{30 – n}^2C_n^1$. Ta có: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_{30 – n}^2C_n^1}}{{C_{30}^3}} = \frac{{12}}{{29}} \Rightarrow n = 14$.
Câu 8. Vectơ $\vec a = \left( { – 4;0} \right)$ được phân tích theo hai vectơ đơn vị như thế nào?
A. $\vec a = – 4\vec i + \vec j$.
B. $\vec a = – \vec i + 4\vec j$.
C. $\vec a = – 4\vec j$.
D. $\vec a = – 4\vec i$.
Chọn D
Lời giải
Ta có: $\vec a = \left( { – 4;0} \right) \Rightarrow \vec a = – 4\vec i + 0\vec j = – 4\vec i$.
Câu 9. Đường thẳng $51x – 30y + 11 = 0$ đi qua điểm nào sau đây?
A. $\left( { – 1;\frac{3}{4}} \right)$.
B. $\left( { – 1; – \frac{4}{3}} \right)$
C. $\left( {1;\frac{3}{4}} \right)$.
D. $\left( { – 1; – \frac{3}{4}} \right)$
Chọn B
Lời giải
Thay tọa độ $x = – 1,y = – \frac{4}{3}$ thì phương trình đường thẳng thỏa mãn.
Câu 10. Góc tạo bởi trục $Ox$ và đường thẳng $y = \sqrt 3 x$ là:
A. ${30^ \circ }$.
B. ${45^ \circ }$.
C. ${60^ \circ }$.
D. ${90^ \circ }$.
Chọn C
Lời giải
$tan\varphi = k = \sqrt 3 \Rightarrow \varphi = {60^ \circ }$.
Câu 11. Phương trình đường tròn tâm $I\left( {a;b} \right)$, bán kính $R$ có dạng:
A. ${(x + a)^2} + {(y + b)^2} = {R^2}$.
B. ${(x – a)^2} + {(y – b)^2} = {R^2}$.
C. ${(x – a)^2} + {(y + b)^2} = {R^2}$.
D. ${(x + a)^2} + {(y – b)^2} = {R^2}$.
Chọn B
Lời giải
Câu 12. Elip $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1$ có hai đỉnh thuộc trục $Oy$ là:
A. ${B_1}\left( { – 25;0} \right),{B_2}\left( {25;0} \right)$.
B. ${B_1}\left( {0; – 5} \right),{B_2}\left( {0;5} \right)$.
C. ${B_1}\left( { – 5;0} \right),{B_2}\left( {5;0} \right)$.
D. ${B_1}\left( { – 5;0} \right),{B_2}\left( {5;0} \right)$.
Chọn B
Lời giải
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thi sinh chọn đúng hoặc sai
Câu 1. Trước một tòa nhà, người ta làm một cái hồ bơi có dạng hình elip với độ dài hai bán trục lần lượt là $3m$ và $5m$. Xét hệ trục tọa độ $Oxy$ (đơn vị trên các trục là mét) có hai trục tọa độ chứa hai trục của elip, gốc tọa độ $O$ là tâm của elip (hình)
Khi đó:
a) Phương trình chính tác của đường elip là: $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$.
b) Xét các điểm $M,N$ cùng thuộc trục lớn của elip và đều cách $O$ một khoảng bằng $4m$ về hai phía của $O$. Tổng khoảng cách từ mọi điểm trên đường elip đến $M$ và $N$ luôn bằng $10\;m$
c) Một người đứng ở vị trí $P$ cách $O$ một khoảng bằng $6\;m$. Người đó đứng ở trong hồ
d) Xét vị trí $C$ trên mép hồ cách trục lớn một khoảng bằng $2m$. Khi đó vị trí $C$ cách trục nhỏ một khoảng bằng $\frac{5}{3}m$
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Sai
a) Phương trình chính tác của đường elip là: $\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$.
b) Ta có: $a = 5,b = 3$ nên ${c^2} = {a^2} – {b^2} = 25 – 9 = 16$, suy ra $c = 4$.
Các tiêu điểm của elip có tọa độ là $\left( { – 4;0} \right)$ và $\left( {4;0} \right)$.
Vậy $M$ và $N$ chính là các tiêu điểm của elip. Vì vậy, tổng khoảng cách từ mọi điểm trên đường elip đến $M$ và $N$ luôn bằng $2a = 10m$ không đổi.
c) Gọi giao điểm của đường thẳng $OP$ và elip là $Q$.
Vì độ dài bán trục lớn là $5\;m$ nên $OQ \leqslant 5$. Suy ra $OQ < OP = 6\;m$.
Vậy vị trí $P$ ở ngoài hồ.
d) Giả sử $C\left( {{x_0};{y_0}} \right)$. Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{x_0^2}}{{25}} + \frac{{y_0^2}}{9} = 1} \\
{\left| {{y_0}} \right| = 2}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{x_0^2}}{{25}} + \frac{4}{9} = 1} \\
{\left| {{y_0}} \right| = 2}
\end{array}} \right.} \right.$$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left| {{x_0}} \right| = \frac{{5\sqrt 5 }}{3}} \\
{\left| {{y_0}} \right| = 2}
\end{array}} \right.$
Vậy $C$ cách trục nhỏ một khoảng bằng $\frac{{5\sqrt 5 }}{3}m$.
Câu 2. Trong hộp có chứa 7 bi xanh, 5 bi đo, 2 bi vàng có kích thước và khối lượng như nhau. Lây ngẫu nhiên từ trong hộp 6 viên bi. Khi đó:
a) Xác suất để có đúng một màu bằng: $\frac{1}{{429}}$
b) Xác suất để có đúng hai màu đỏ và vàng bằng: $\frac{1}{{429}}$
c) Xác suất để có ít nhất 1 bi đỏ bằng: $\frac{{139}}{{143}}$
d) Xác suất để có ít nhất 2 bi xanh bằng: $\frac{{32}}{{39}}$
Lời giải
| a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
Chọn ngẫu nhiên 6 viên bi trong 14 viên bi, có $C_{14}^6$ cách.
Vậy số phần tử của không gian mẫu $n\left( \Omega \right) = C_{14}^6 = 3003$
a) Gọi A: “6 viên được chọn có đúng một màu”.
$n\left( A \right) = C_7^6$. Suy ra $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_7^6}}{{C_{14}^6}} = \frac{1}{{429}}$.
b) Gọi biến cố $B$ : “6 viên được chọn có đúng hai màu đỏ và vàng”.
Số trường hợp thuận lợi cho $B$ là:
Trường hợp 1: Chọn được 1 vàng và 5 đỏ, có $C_2^1 \cdot C_5^5 = 2$ cách.
Trường hợp 2: Chọn được 2 vàng và 4 đỏ, có $C_2^2 \cdot C_5^4 = 5$ cách.
$n\left( B \right) = 2 + 5 = 7$.
Suy ra $P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{7}{{C_{14}^6}} = \frac{1}{{429}}$.
c) Gọi C: “6 viên được chọn có ít nhất 1 bi đỏ”.
Biến cố đối $\overline C $ : “Tất cả 6 viên được chọn đều không có bi đỏ”.
$n\left( {\overline C } \right) = C_9^6 = 84$. Suy ra $P\left( {\overline C } \right) = \frac{{n\left( {\overline C } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{4}{{143}}$.
$P\left( C \right) + P\left( {\overline C } \right) = 1$$ \Rightarrow P\left( C \right) = 1 – P\left( {\overline C } \right) = \frac{{139}}{{143}}$
d) Gọi biến cố $D$: “6 viên được chọn có ít nhất 2 bi xanh”.
Biến cố đối $\overline D $ : “6 viên được chọn có nhiều nhất 1 bi xanh”.
Số trường hợp thuận lợi cho $\overline D $ là:
Trường hợp 1: Chọn được 6 bi đỏ,vàng, có $C_7^6 = 7$ cách.
Trường hợp 2: Chọn được 1 bi xanh và 5 bi đỏ,vàng, có $C_7^1 \cdot C_7^5 = 147$ cách.
$n\left( {\overline D } \right) = 7 + 147 = 154$.
Suy ra $P\left( {\overline D } \right) = \frac{{n\left( {\overline D } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{2}{{39}}$.
$P\left( D \right) + P\left( {\overline D } \right) = 1$$ \Rightarrow P\left( D \right) = 1 – P\left( {\overline D } \right) = \frac{{37}}{{39}}$
Câu 3. Số liệu sau đây cho ta lãi (quy tròn) hàng tháng của một cửa hàng trong năm 2022. Đơn vị: triệu đồng.
Khi đó:
a) Lãi thấp nhất của cửa hàng là 13
b) Sắp xếp các số trong mẫu theo thứ tự không giảm:
$\begin{array}{*{20}{l}}
{12}&{13}&{13}&{14}&{15}&{15}&{16}&{17}&{17}&{18}&{18}&{20}
\end{array}$
c) Số trung bình của mẫu: $\overline x \approx 13,67$ (triệu đồng).
d) Số trung vị là: 16 .
Lời giải
a) Sai
b) Đúng
c) Sai
d) Sai
Số trung bình của mẫu: $\overline x = \frac{{12 + 15 + 18 + \ldots + 20 + 17}}{{12}} = \frac{{47}}{3} \approx 15,67$ (triệu đồng).
Sắp xếp các số trong mẫu theo thứ tự không giảm:
$\begin{array}{*{20}{l}}
{12}&{13}&{13}&{14}&{15}&{15}&{16}&{17}&{17}&{18}&{18}&{20}
\end{array}$
Số trung vị là: $\frac{{15 + 16}}{2} = 15,5$.
Câu 4. Cho đường tròn $\left( C \right)$ có phương trình ${x^2} + {y^2} – 6x + 2y + 6 = 0$ và hai điểm $A\left( {1; – 1} \right),B\left( {1;3} \right)$.
Khi đó:
a) Điểm $A$ thuộc đường tròn
b) Điểm $B$ nằm trong đường tròn
c) $x = 1$ phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $A$.
d) Qua $B$ kẻ được hai tiếp tuyến với $\left( C \right)$ có phương trình là: $x = 1;3x + 4y – 12 = 0$.
Lời giải
| a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {3; – 1} \right)$ bán kính $R = \sqrt {9 + 1 – 6} = 2$.
-Ta có: $IA = 2 = R,IB = 2\sqrt 5 > R$ suy ra điểm $A$ thuộc đường tròn và điểm $B$ nằm ngoài đường tròn.
-Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $A$ nhận $\overrightarrow {AI} = \left( {2;0} \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là
$2\left( {x – 1} \right) + 0\left( {y + 1} \right) = 0$ hay $x = 1$.
-Phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua $B$ có dạng: $a\left( {x – 1} \right) + b\left( {y – 3} \right) = 0$ (với ${a^2} + {b^2} \ne 0$ ) hay $ax + by – a – 3b = 0$.
Đường thẳng $\Delta $ là tiếp tuyến của đường tròn $ \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) = R$
$ \Leftrightarrow \frac{{\left| {3a – b – a – 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2 \Leftrightarrow {(a – 2b)^2} = {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow 3{b^2} – 4ab = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{b = 0} \\
{3b = 4a}
\end{array}} \right.$.
Với $b = 0$, chọn $a = 1$; phương trình tiếp tuyến là $x = 1$.
Với $3b = 4a$, chọn $a = 3 \Rightarrow b = 4$; phương trình tiếp tuyến là $3x + 4y – 15 = 0$.
Vậy qua $B$ kẻ được hai tiếp tuyến với $\left( C \right)$ có phương trình là: $x = 1;3x + 4y – 15 = 0$.
Phần 3. Câu trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để khoảng cách từ điểm $A\left( { – 1;2} \right)$ đến đường thẳng $\Delta :mx + y – m + 4 = 0$ bằng $2\sqrt 5 $.
Trả lời: $m = – 2$ và $m = \frac{1}{2}$
Lời giải
Ta có: $d\left( {A;\Delta } \right) = \frac{{\left| {m \cdot \left( { – 1} \right) + 2 – m + 4} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| { – m + 2 – m + 4} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = 2\sqrt 5 $
$ \Rightarrow \left| {m – 3} \right| = \sqrt 5 \cdot \sqrt {{m^2} + 1} $
$ \Leftrightarrow {(m – 3)^2} = 5\left( {{m^2} + 1} \right)$
$ \Leftrightarrow 4{m^2} + 6m – 4 = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = – 2} \\
{m = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$
Vậy với $m = – 2$ và $m = \frac{1}{2}$ thì thoả yêu cầu bài toán.
Câu 2. Một mảnh đất hình Elip có độ dài trục lớn bằng $120\;m$, độ dài trục bé bằng $90\;m$. Tập đoàn VinGroup dự định xây dựng một trung tâm thương mại Vincom trong một hình chữ nhật nội tiếp của Eip như hình vẽ. Tính diện tích xây dựng Vincom lớn nhất.
Trả lời: $5400\left( {\;{m^2}} \right)$
Phương trình chính tắc của $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
Lời giải
Ta có: $2a = 120 \Rightarrow a = 60,2b = 90 \Rightarrow b = 45$.
Suy ra $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{3600}} + \frac{{{y^2}}}{{2025}} = 1$.
Chọn $M\left( {{x_M};{y_M}} \right)$ là đỉnh hình chữ nhật và ${x_M} > 0,{y_M} > 0$.
Ta có: $\frac{{x_M^2}}{{3600}} + \frac{{y_M^2}}{{2025}} = 1$.
Diện tích hình chữ nhật là $S = 4{x_M} \cdot {y_M} = 5400 \cdot 2 \cdot \frac{{{x_M}}}{{60}} \cdot \frac{{{y_M}}}{{45}} \leqslant 5400\left( {\frac{{x_M^2}}{{3600}} + \frac{{y_M^2}}{{2025}}} \right) = 5400\left( {\;{m^2}} \right)$.
Câu 3. Số dân ở thời điểm hiện tại của một tỉnh là 1 triệu người. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của tỉnh đó là $5\% $. Sử dụng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa ${(a + b)^n}$, hỏi sau bao nhiêu năm thì số dân của tỉnh đó là 1,2 triệu người?
Trả lời: 4
Lời giải
Gọi $A$ là số dân ban đầu, $r$ là tỉ lệ tăng dân số hàng năm, ${A_n}$ là số dân của tỉnh đó sau $n$ năm. Khi đó: ${A_n} = A{(1 + r)^n}$.
Theo giả thiết: $1,2 = {\left( {1 + \frac{5}{{100}}} \right)^n}$
$ \Leftrightarrow 1,2 = \left[ {C_n^0 + C_n^1 \cdot \left( {\frac{5}{{100}}} \right) + C_n^2 \cdot {{\left( {\frac{5}{{100}}} \right)}^2} + \ldots + C_n^{n – 1} \cdot {{\left( {\frac{5}{{100}}} \right)}^{n – 1}}} \right.$
$ \Leftrightarrow 1,2 \approx C_n^0 + C_n^1 \cdot \frac{5}{{100}} \Leftrightarrow 1,2 \approx 1 + 0,05n \Leftrightarrow n \approx 4$.
Vậy: Sau khoảng 4 năm thì số dân của tỉnh đó là 1,2 triệu người.
Câu 4. Từ bộ bài tây gồm 52 quân bài, người ta rút ra ngẫu nhiên 2 quân bài. Tính xác suất để rút được 2 quân bài khác màu.
Trả lời: $\frac{{26}}{{51}}$
Lời giải
Số cách để rút ra ngẫu nhiên 2 quân bài từ bộ bài tây gồm 52 quân bài mà không quan trọng thứ tự là: $C_{52}^2 = 1326$ (cách). Do đó, ta có $n\left( \Omega \right) = 1326$.
Gọi $A$ là biến cố rút được hai quân bài khác màu.
Vì bộ bài tây gồm 26 quân bài đỏ và 26 quân bài đen nên số cách rút được hai quân
bài khác màu là: $C_{26}^1 \cdot C_{26}^1 = 676$ (cách). Do đó, ta có $n\left( A \right) = 676$.
Vậy xác suất của biến cố $A$ là: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{676}}{{1326}} = \frac{{26}}{{51}}$.
Câu 5. Mẫu số liệu sau cho biết số ghế trống tại một rạp chiếu phim trong 9 ngày
| 12 | 7 | 10 | 9 | 12 | 9 | 10 | 11 | 10 | 14 |
Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu này
Trả lời: 3
Lòi giải
Trước hết ta sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm như sau
| 7 | 9 | 9 | 10 | 10 | 10 | 11 | 12 | 12 | 14 |
Mẫu số liệu này gồm 10 giá trị nên trung vị là số chính giữa ${Q_2} = \frac{{10 + 10}}{2} = 10$.
Nửa số liệu bên trái là 7;9;9;10;10 gồm 5 giá trị, hai phần tử chính giữa là 9.
Do đó ${Q_1} = 9$.
Nửa số liệu bên phải là 10;11;12;12;14 gồm 5 giá trị, hai phần tử chính giữa là 12 .
Do đó ${Q_3} = 12$.
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu này là ${\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1} = 3$.
Câu 6. Cho họ đường tròn $\left( {{C_m}} \right):{x^2} + {y^2} + 4mx + 2\left( {m + 1} \right)y – 1 = 0$.
Tìm bán kính bé nhất của đường tròn $\left( {{C_m}} \right)$.
Trả lời: ${R_{min}} = \sqrt {\frac{9}{5}} $
Lời giải:
Đặt $a = \frac{{4m}}{{ – 2}} = – 2m,b = \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{{ – 2}} = – \left( {m + 1} \right),c = – 1$.
Ta có : ${a^2} + {b^2} – c = 4{m^2} + {(m + 1)^2} + 1 > 0,\forall m \in \mathbb{R}$ nên $\left( {{C_m}} \right)$ luôn là đường tròn với mọi số thực $m$.
Bán kính đường tròn là:
$R = \sqrt {{a^2} + {b^2} – c} = \sqrt {5{m^2} + 2m + 2} = \sqrt {5{{\left( {m + \frac{1}{5}} \right)}^2} + \frac{9}{5}} \geqslant \sqrt {\frac{9}{5}} $.
Vậy bán kính nhỏ nhất của đườn tròn ${R_{min}} = \sqrt {\frac{9}{5}} $; khi đó $m = – \frac{1}{5}$.
