Cách tính siêu nhanh tứ phân vị thứ nhất thứ ba và trung vị của mẫu số liệu giúp các bạn học tập một cách hiệu quả nhất.
Gọi ${x_1};{x_2};…;{x_n}$ là các giá trị của mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.
I. Để tính tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ và tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$.
Ta tính: $A = \frac{{n + 1}}{4}$; $B = \frac{{3(n + 1)}}{4}$
– Nếu $A = a,75$ thì ${Q_1} = {x_{\left[ A \right] + 1}}$; ${Q_3} = {x_{\left[ B \right]}}$. (1)
– Nếu $A = a$ là số nguyên thì ${Q_1} = {x_A}$; ${Q_3} = {x_B}$. (2)
– Nếu $A = a,25$ hoặc $A = a,5$ thì ${Q_1} = \frac{{{x_{\left[ A \right]}} + {x_{\left[ A \right] + 1}}}}{2}$; ${Q_3} = \frac{{{x_{\left[ B \right]}} + {x_{\left[ B \right] + 1}}}}{2}$. (3)
Chú ý: $\left[ A \right]$ là phần nguyên của $A$, tức là số nguyên lớn nhất không vượt quá $A$. Ví dụ: $\left[ {5,5} \right] = 5$; $\left[ {4,9} \right] = 4$.
Ví dụ 1. Tìm ${Q_1}$ và ${Q_3}$ của dãy số liệu không giảm sau: ${x_1},\,{x_2},\,{x_3},…,{x_{34}}$.
Lời giải
Ta có: $A = \frac{{n + 1}}{4} = \frac{{34 + 1}}{4} = 8,75$; $B = \frac{{3(n + 1)}}{4} = \frac{{3(34 + 1)}}{4} = 26,25$.
Theo công thức (1) ta có: ${Q_1} = {x_{\left[ A \right] + 1}} = {x_{\left[ {8,75} \right] + 1}} = {x_9}$; ${Q_3} = {x_{\left[ B \right]}} = {x_{\left[ {26,25} \right]}} = x{\,_{26}}$.
Ví dụ 2. Tìm ${Q_1}$ và ${Q_3}$ của dãy số liệu không giảm sau: ${x_1},\,{x_2},\,{x_3},…,{x_{34}},{x_{35}}$.
Lời giải
Ta có: $A = \frac{{n + 1}}{4} = \frac{{35 + 1}}{4} = 9$ là số nguyên; $B = \frac{{3(n + 1)}}{4} = \frac{{3(35 + 1)}}{4} = 27$.
Theo công thức (2) ta có: ${Q_1} = {x_A} = {x_9}$; ${Q_3} = {x_B} = x{\,_{27}}$.
Ví dụ 3. Tìm ${Q_1}$ và ${Q_3}$ của dãy số liệu không giảm sau: ${x_1},\,{x_2},\,{x_3},…,{x_{35}},{x_{36}}$.
Lời giải
Ta có: $A = \frac{{n + 1}}{4} = \frac{{36 + 1}}{4} = 9,25$ là số nguyên; $B = \frac{{3(n + 1)}}{4} = \frac{{3(36 + 1)}}{4} = 27,75$.
Theo công thức (3) ta có: ${Q_1} = \frac{{{x_{\left[ A \right]}} + {x_{\left[ A \right] + 1}}}}{2} = \frac{{{x_9} + {x_{10}}}}{2}$; ${Q_3} = \frac{{{x_{\left[ B \right]}} + {x_{\left[ B \right] + 1}}}}{2} = \frac{{{x_{27}} + {x_{28}}}}{2}$.
II. Để tính trung vị ${M_e}$.
Ta tính: $C = \frac{{n + 1}}{2}$
– Nếu $C$ nguyên thì ${M_e} = {x_C}$. (4)
– Nếu $C$ không nguyên thì ${M_e} = \frac{{{x_{\left[ C \right]}} + {x_{\left[ C \right] + 1}}}}{2}$. (5)
Ví dụ 4. Tìm trung vị ${M_e}$ của dãy số liệu không giảm sau: ${x_1},\,{x_2},\,{x_3},…,{x_{50}}$.
Lời giải
Ta tính: $C = \frac{{n + 1}}{2} = \frac{{50 + 1}}{2} = 25,5$ không nguyên.
Theo công thức (5) ta có: thì ${M_e} = \frac{{{x_{\left[ C \right]}} + {x_{\left[ C \right] + 1}}}}{2} = \frac{{{x_{25}} + {x_{26}}}}{2}$
Ví dụ 5. Tìm trung vị ${M_e}$ của dãy số liệu không giảm sau: ${x_1},\,{x_2},\,{x_3},…,{x_{51}}$.
Lời giải
Ta tính: $C = \frac{{n + 1}}{2} = \frac{{51 + 1}}{2} = 26$ là số nguyên.
Theo công thức (4) ta có: ${M_e} = {x_C} = {x_{26}}$
