Các dạng bài tập mệnh đề kéo theo đảo tương đương giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 6 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
I. PHƯƠNG PHÁP
1. Mệnh đề kéo theo
a. Định nghĩa: Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề dạng: “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo.
– Ký hiệu là: P$ \Rightarrow $Q.
– Cách xét tính đúng sai của mệnh đề kéo theo P$ \Rightarrow $ Q: Mệnh đề kéo theo P$ \Rightarrow $ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.
b. Xét tính đúng, sai của mệnh đề kéo theo:
– P$ \Rightarrow $ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.
– Phương pháp xét tính đúng sai của mệnh đề P$ \Rightarrow $Q
– Quan sát xem P, Q đúng hay sai
– Khi đó P$ \Rightarrow $Q rơi vào một trong 4 trường hợp sau:
1. Đ$ \Rightarrow$S ➝ Sai
2. Đ$ \Rightarrow$Đ ➝ Đúng
3. S$ \Rightarrow$Đ ➝ Đúng
4. S$ \Rightarrow$S ➝ Đúng
2. Mệnh đề tương đương
a. Mệnh đề đảo: Mệnh đề $Q \Rightarrow P$ được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P$ \Rightarrow Q$
b. Mệnh đề tương đương – Điều kiện cần và đủ:
– Nếu cả hai mệnh đề và đều đúng ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương và kí hiệu .
– Lúc đó ta nói: P là điều kiện cần và đủ để có Q hay Q là điều kiện cần và đủ để có P.
Hoặc P nếu và chỉ nếu Q
Hay P khi và chỉ khi Q
Hay Điều kiện cần và đủ để có P là Q.
– Cách xét tính đúng, sai của mệnh đề tương đương :
Mệnh đề P$ \Leftrightarrow $ Q chỉ đúng khi cả hai mệnh đề kéo theo P$ \Rightarrow $ Q và Q$ \Rightarrow $ P đều đúng. Nói cách khác mệnh đề P$ \Leftrightarrow $ Q đúng nếu cả hai mệnh đề P và Q cùng đúng hoặc cùng sai.
II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
1. MỨC ĐỘ 1
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1. Lập mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và xét tính đúng sau của nó, với $P:$“$\pi > 4$” và $Q:$“${\pi ^2} > 10$”.
Lời giải
Ta có mệnh đề $P \Rightarrow Q$ là: “Nếu $\pi > 4$ thì ${\pi ^2} > 10$”.
Vì $P$ sai (và $Q$ sai) nên mệnh đề $P \Rightarrow Q$ là mệnh đề đúng.
Bài 2. Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu $\widehat A = {90^0}$ thì $\Delta ABC$ là tam giác vuông” và xét tính đúng sai của nó.
Lời giải
Ta có mệnh đề $P \Rightarrow Q$: “Nếu $\widehat A = {90^0}$ thì $\Delta ABC$ là tam giác vuông”
Mệnh đề đảo của mệnh đề trên là $Q \Rightarrow P$: “ Nếu $\Delta ABC$ là tam giác vuông thì $\widehat A = 90^\circ $”.
Mệnh đề $Q \Rightarrow P$ là mệnh đề sai, ví dụ trường hợp $\Delta ABC$ vuông tại $ B$.
Bài 3. Cho mệnh đề $P:$“$2 < 3$”,$Q:$“$ – 4 < – 6$” . Lập mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và xét tính đúng sai của nó.
Lời giải
$(P \Rightarrow Q):$ “Nếu $2 < 3$ thì $ – 4 < – 6$”. Mệnh đề sai.
Bài 4. Giả sử ABC là một tam giác đã cho. Lập mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và mệnh đề đảo của nó, rồi xét tính đúng sai của chúng với P: Góc A bằng $90^\circ $, Q: “$ B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$”.
Lời giải
Với tam giác ABC đã cho, ta có
$(P \Rightarrow Q)$: “Nếu góc A bằng ${90^o}$ thì $ B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$” là mệnh đề đúng.
$(Q \Rightarrow P):$ “Nếu $ B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$ thì $\hat A = {90^o}$” là mệnh đề đúng.
Bài 5. Cho $\Delta ABC$. Xét mệnh đề $P$: “$\Delta ABC$ là tam giác cân” và mệnh đề $Q$: “$\Delta ABC$ có hai đường trung tuyến bằng nhau”. Lập mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ và xét tính đúng sai của nó.
Lời giải
Ta có mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ là: “$\Delta ABC$ là tam giác cân khi và chỉ khi tam giác đó có hai đường trung tuyến bằng nhau”.
Vì $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đều là hai mệnh đề đúng nên mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ đúng.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho mệnh đề: “Nếu $a + b < 2$ thì một trong hai số$a$ và $ B$ nhỏ hơn 1”. Phát biểu mệnh đề trên bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện đủ”.
A. $a + b < 2$ là điều kiện đủ để một trong hai số $a$ và $ B$ nhỏ hơn 1.
B. Một trong hai số $a$ và $ B$ nhỏ hơn 1 là điều kiện đủ để $a + b < 2$.
C. Từ $a + b < 2$ suy ra một trong hai số $a$ và $ B$ nhỏ hơn 1
D. Tất cả các câu trên đều đúng.
Lời giải
Chọn A
Câu 2. Cho mệnh đề: “Nếu 2 góc ở vị trí so le trong thì hai góc đó bằng nhau”. Trong các mệnh đề sau đây, đâu là mệnh đề đảo của mệnh đề trên?
A. Nếu 2 góc bằng nhau thì hai góc đó ở vị trí so le trong.
B. Nếu 2 góc không ở vị trí so le trong thì hai góc đó không bằng nhau.
C. Nếu 2 góc không bằng nhau thì hai góc đó không ở vị trí so le trong.
D. Nếu 2 góc ở vị trí so le trong thì hai góc đó không bằng nhau.
Lời giải
Chọn A
Câu 3. Cho mệnh đề : “Nếu một tứ giác là hình thang cân thì tứ giác đó có hai đường chéo bằng nhau”. Phát biểu mệnh đề trên bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần”.
A. Điều kiện cần để tứ giác là hình thang cân là tứ giác đó có hai đường chéo bằng nhau.
B. Điều kiện cần để tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là tứ giác đó là hình thang cân .
C. Tứ giác là hình thang cân kéo theo tứ giác đó có hai đường chéo bằng nhau.
D. Cả a, b đều đúng.
Lời giải
Chọn A
Câu 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo là sai?
A. Tam giác cân có hai cạnh bằng nhau.
B. $x$ chia hết cho 6 thì $x$ chia hết cho 2 và 3.
C. $ABCD$ là hình bình hành thì $AB$ song song với $ CD$.
D. $ABCD$ là hình chữ nhật thì $\widehat A = \widehat B = \widehat C = 90^\circ .$
Lời giải
Chọn C
Câu 5. Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. Tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật khi và chỉ khi $ABCD$ có ba góc vuông.
B. Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $ABCD$ có hai cạnh đối song song và bằng nhau.
C. Tứ giác $ABCD$ là hình thoi khi và chỉ khi $ABCD$ có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường.
D. Tứ giác $ABCD$ là hình vuông khi và chỉ khi $ABCD$ có bốn góc vuông.
Lời giải
Chọn D
Mệnh đề ở đáp án D không phải là một mệnh đề tương đương vì hình chữ nhật vẫn có bốn góc vuông nhưng không phải là hình vuông.
2. MỨC ĐỘ 2
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1. Phát biểu mệnh đề đảo của định lý: “Trong một tam giác cân, các đường cao ứng với các cạnh bên bằng nhau”. Mệnh đề đảo đó đúng hay sai? Tại sao?
Lời giải
Mệnh đề đảo: “Trong tam giác, các đường cao ứng với các cạnh bên bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân”.
Mệnh đề đảo trên đúng. (Hs tự chứng minh)
Bài 2. Cho mệnh đề chứa biến
$P\left( n \right):5n + 3$ chia hết cho 3, với $n \in N$,
$Q\left( n \right):n$ chia hết cho 3, với $n \in N$.
Phát biểu mệnh đề “$\forall n \in N,P\left( n \right) \Rightarrow Q\left( n \right)$” và từ đó phát biểu mệnh đề đảo. Xét tính đúng sai của mệnh đề đảo.
Lời giải
Mệnh đề: “$\forall n \in \mathbb{N},5n + 3$ chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3”
Mệnh đề đảo: “$\forall n \in \mathbb{N},n$ chia hết cho 3 thì $5n + 3$ chia hết cho 3”.
Mệnh đề đảo trên đúng. Vì:
$n$ chia hết cho 3 suy ra$n = 3k,\forall k \in \mathbb{N}$. Khi đó :$5n + 3 = 5.3.k + 3 = 15k + 3,\forall k \in \mathbb{N}$
$\left\{ \begin{gathered}
15k \vdots 3 \hfill \\
3 \vdots 3 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow 15k + 3 \vdots 3,\forall k \in \mathbb{N}.$
Vậy$5n + 3$ chia hết cho 3.
Bài 3. Cho hai mệnh đề P và Q:
P:$ABCD$ là tứ giác nội tiếp.
Q: Tổng số đo hai góc đối nhau bằng ${180^o}$.
Hãy phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$ dưới dạng điều kiện cần và đủ.
Lời giải
Điều kiện cần : “$ABCD$ là tứ giác nội tiếp là điều kiện cần để tổng số đo hai góc đối nhau bằng ${180^o}$”.
Điều kiện đủ: “Trong tứ giác $ABCD$, tổng số đo hai góc đối nhau bằng ${180^o}$ là điều kiện đủ đề $ABCD$ là tứ giác nội tiếp.”
Bài 4. Cho các mệnh đề :
A: “Nếu $\Delta ABC$ đều có cạnh bằng a, đường cao là h thì $h = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$”;
B: “Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình vuông”;
C:”15 là số nguyên tố”;
D:”$\sqrt {125}$ là một số nguyên”.
Hãy cho biết trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai: $A \Rightarrow B,B \Rightarrow C,A \Rightarrow D$.
Lời giải
$A \Rightarrow B$ là mệnh đề sai. Vì A đúng, B sai.
$ B \Rightarrow C$ là mệnh đề đúng. Vì B,C đều sai.
$A \Rightarrow D$ là mệnh đề sai. Vì A đúng, D sai.
Bài 5. Phát biểu mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ và xét tính đúng sai của nó. Giải thích
P: “Bất phương trình${x^2} – 3x + 1 > 0$ có nghiệm”
Q: “Bất phương trình${x^2} – 3x + 1 \leqslant 0$ vô nghiệm”
Lời giải
Mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$: “Bất phương trình ${x^2} – 3x + 1 > 0$ có nghiệm khi chỉ khi bất phương trình${x^2} – 3x + 1 \leqslant 0$ vô nghiệm”.
Mệnh đề trên sai. Vì bất phương trình${x^2} – 3x + 1 \leqslant 0$ có nghiệm.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Mệnh đề nào sau đây sai ?
A. Tam giác ABC đều $ \Leftrightarrow AB = AC$ và $\widehat {\text{A}} = {60^0}$.
B. $n \vdots 6 \Leftrightarrow n \vdots 3$ và $n \vdots 2$.
C. $ABCD$ là hình chữ nhật$ \Leftrightarrow AC = BD$.
D. $n \vdots 3 \Leftrightarrow {n^2} \vdots 3,\forall n \in N$.
Lời giải
Chọn C
Vì $AC = BD$ không suy ra được $ABCD$ là hình chữ nhật.
Câu 2. Cho $A,B,C$ là các tập hợp. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. $A = B \Leftrightarrow \forall x,x \in A \Rightarrow x \in B$.
B. Nếu tập A là con của tập B thì ta kí hiệu $A \subset B$.
C. Nếu $A \subset B$ và $ B \subset C$ thì $A \subset C$.
D. Tập $A \ne \emptyset $ có ít nhất 2 tập con là $\emptyset $ và A.
Lời giải
Chọn A
Đáp án A sai Vì $\forall x,x \in A \Rightarrow x \in B$ Chỉ suy ra được $A \subset B$.
Câu 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng?
A. Nếu số nguyên n có tổng các chữ số bằng 9 thì số tự nhiên n chia hết cho 3.
B. Nếu $x > y$ thì ${x^2} > {y^2}$.
C. Nếu $x > y$ thì ${x^3} > {y^3}$.
D. Nếu $x = y$ thì ${x^2} = {y^2}$.
Lời giải
Chọn C
Đáp án A sai Vì $\exists n = 273$ chia hết cho 3 có tổng các chữ số bằng $12 \ne 9$,
Đáp án B sai vì tồn tại ${x^2} = {( – 3)^2} = 9 > 1 = {( – 1)^2} = {y^2}$ và $x = – 3 < y = – 1$,
Đáp án D sai Vì ${\left( { – 3} \right)^2} = {3^2}$ nhưng $ – 3 \ne 3$.
Câu 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng?
A. Nếu số nguyên n có chữ số tận cùng là 5 thì số nguyên n chia hết cho 5.
B. Nếu tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
C. Nếu tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật thì tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo bằng nhau.
D. Nếu tứ giác $ABCD$ là hình thoi thì tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo vuông góc với nhau.
Lời giải
Chọn B
Đáp án A sai vì số nguyên n chi hết cho 5 thì số nguyên n có chữ số tận cùng là 5 và 0;
Đáp án C sai vì hai đường chéo bằng nhau không suy ra được tứ giác là hình chữ nhật;
Đáp án D sai vì hai đường chéo vuông góc với nhau không suy ra được tứ giác là hình thoi.
Câu 5. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?
A. $ – \pi < – 2 \Leftrightarrow {\pi ^2} < 4.$ B. $\pi < 4 \Leftrightarrow {\pi ^2} < 16$
C. $\sqrt {23} < 5 \Rightarrow 2\sqrt {23} < 2.5$. D. $\sqrt {23} < 5 \Rightarrow – 2\sqrt {23} > – 2.5$.
Lời giải
Đáp án A sai Vì ${\pi ^2} > 4$.
3. MỨC ĐỘ 3
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1: Cho biết tính đúng, sai của mệnh đề sau. Hãy sửa lại cho đúng.
a)$AM$ là tia phân giác của góc $\widehat {BAC}$ của tam giác $\Delta ABC$ khi và chỉ khi $\frac{{\overrightarrow {MB} }}{{\overrightarrow {MC} }} = \frac{{\overrightarrow {AB} }}{{\overrightarrow {AC} }}$.
b)$a$ là số chẵn,$ B$ là số lẻ $ \Leftrightarrow $$a + b$ lẻ.
Lời giải
a) Đây là mệnh đề sai.
$AM$ là tia phân giác của góc $\widehat {BAC}$ của tam giác $\Delta ABC$$ \Leftrightarrow $$\frac{{\overrightarrow {MB} }}{{\overrightarrow {MC} }} = – \frac{{AB}}{{AC}}$.
$AM$ là tia phân giác của góc $\widehat {BAC}$ của tam giác $\Delta ABC$$ \Leftrightarrow $$\frac{{\overrightarrow {MB} }}{{\overrightarrow {MC} }} = + \frac{{AB}}{{AC}}$.
b) $a$ là số chẵn,$ B$ là số lẻ $ \Rightarrow $$a + b$ lẻ là mệnh đề đúng
Đảo lại là mệnh đề sai. Ví dụ$a = 1,b = 2$ ta có$a + b = 3$ là số lẻ $ \Rightarrow $$a$ là số lẻ,$ B$ là số chẵn.
Câu 2: Xét mệnh đề $A$:$\exists \alpha \in \mathbb{R}:af\left( \alpha \right) \leqslant 0 \Rightarrow f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ có nghiệm. Tìm mệnh đề tương đương của A.
Lời giải
Mệnh đề tương đương$ B \Leftrightarrow A:f\left( x \right) = 0$ vô nghiệm$ \Rightarrow \exists \alpha \in \mathbb{R}:af\left( \alpha \right) > 0$.
Câu 3: Xét mệnh đề $A$: “$a.c \leqslant \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a{x^2} + bx + c = 0{\text{ co nghiem}}} \\
{a \ne 0}
\end{array}} \right.$”. Tìm mệnh đề đảo của $A$.
Lời giải
Mệnh đề đảo:$a{x^2} + bx + c = 0$$\left( {a \ne 0} \right)$ có nghiệm$ \Rightarrow $$a.c \geqslant 0$.
Câu 4: Xét tính đúng sai của mệnh đề sau. Nếu sai hãy sửa lại cho đúng.
$\forall a,b,c \in \mathbb{R}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a > b} \\
{b > c}
\end{array} \Leftrightarrow a > c} \right.$
Lời giải
Mệnh đề $\forall a,b,c \in \mathbb{R}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a > b} \\
{b > c}
\end{array} \Rightarrow a > c} \right.$ là mệnh đề đúng.
Mệnh đề $a > c \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a > b} \\
{b > c}
\end{array}} \right.$ là sai, ví dụ như$a = 3,b = 0,c = 1$.
Sửa lại mệnh đề cho đúng:$\forall a,b,c \in \mathbb{R}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a > b} \\
{b > c}
\end{array} \Rightarrow a > c} \right.$.
Câu 5: Lập mệnh đề kéo theo và mệnh đề tương đương của hai mệnh đề sau đây và cho biết tính đúng, sai của chúng:
P: “Điểm $ M$ nằm trên phân giác của góc $Oxy$”.
Q: “Điểm $ M$ cách đều hai cạnh $Ox,Oy$.”
Lời giải
P ⇒ Q: “Nếu Điểm $ M$ nằm trên phân giác của góc $Oxy$ thì $ M$ cách đều hai cạnh $Ox,Oy$ “: đúng.
Q ⇒ P: “Điểm $ M$ cách đều hai cạnh $Ox,Oy$ thì $ M$ nằm trên phân giác của góc $Oxy$ “: đúng.
P$ \Leftrightarrow $Q: “Điểm $ M$ nằm trên phân giác của góc $Oxy$ nếu và chỉ nếu (khi và chỉ khi) Điểm $ M$ cách đều hai cạnh $Ox,Oy$”: đúng.
Hay: P$ \Leftrightarrow$ Q: “Điều kiện cần và đủ để Điểm $ M$ nằm trên phân giác của góc $Oxy$ là $ M$ cách đều hai cạnh $Ox,Oy$”: đúng.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng?
A. Nếu tổng hai số$a + b > 2$ thì có ít nhất có một số lớn hơn 1.
B. Trong một tam giác cân hai đường cao bằng nhau.
C. Nếu tứ giác là hình vuông thì hai đường chéo vuông góc với nhau.
D. Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.
Lời giải
Chọn B
Tam giác có hai đường cao bằng nhau là tam giác cân là mệnh đề đúng.
Câu 2: Tìm mệnh đề sai:
A. 10 chia hết cho 5$ \Leftrightarrow $ hình vuông có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau.
B. Tam giác $ABC$ vuông tại $ C$$ \Leftrightarrow$ $A{B^2} = C{A^2} + C{B^2}$.
C. Hình thang$ABCD$ nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$$ \Leftrightarrow$$ABCD$ là hình thang cân.
D. 63 chia hết cho 7$ \Leftrightarrow $ hình bình hành có hai đường chéo vuông góc.
Lời giải
Chọn D
Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi $P$ đúng$Q$ sai.
Vậy mệnh đề ở đáp án D sai.
Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?
A. “$ABC$ là tam giác đều $ \Leftrightarrow $$\Delta ABC$ cân”.
B. “$ABC$ là tam giác đều $ \Leftrightarrow $$\Delta ABC$ cân và có 1 góc ${60^0}$”.
C. “$ABC$ là tam giác đều $ \Leftrightarrow $$ABC$ là tam giác có ba cạnh bằng nhau”.
D. “$ABC$ là tam giác đều $ \Leftrightarrow $$\Delta ABC$ có hai góc ${60^0}$”.
Lời giải
Chọn A
Mệnh đề kéo theo “$ABC$ là tam giác đều $ \Rightarrow $$\Delta ABC$ cân” là mệnh đề đúng, nhưng mệnh đề đảo “$\Delta ABC$ cân$ \Rightarrow $$ABC$ là tam giác đều” là mệnh đề sai.
Do đó hai mệnh đề “$ABC$ là tam giác đều” và “$\Delta ABC$ cân” không phải là hai mệnh đề tương đương.
Câu 4: Cho $a \in \mathbb{R}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $a\, \vdots \,2$ và $a\, \vdots \,3$$ \Leftrightarrow a \vdots \,6$. B. $a \vdots \,3 \Leftrightarrow a \vdots \,9$.
C. $a \vdots \,2 \Leftrightarrow a \vdots \,4$. D. $a \vdots \,3$ và $a \vdots \,6$ thì $a \vdots \,18$.
Lời giải
Chọn A
Đáp án B sai Vì $3 \vdots \,3$ nhưng $3$ không chia hết cho $9$.
Đáp án C sai Vì $2 \vdots \,2$ nhưng $2$ không chia hết cho $4$.
Đáp án D sai Vì $6 \vdots \,3$ và $6 \vdots \,6$ nhưng $6$ không chia hết cho $18$.
Câu 5: Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật khi và chỉ khi $ABCD$ có ba góc vuông.
B. Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $ABCD$ có hai cạnh đối song song và bằng nhau.
C. Tứ giác $ABCD$ là hình thoi khi và chỉ khi $ABCD$ có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường.
D. Tứ giác $ABCD$ là hình vuông khi và chỉ khi $ABCD$ có bốn góc vuông.
Lời giải
Chọn D
Mệnh đề ở đáp án D không phải là một mệnh đề tương đương vì hình chữ nhật vẫn có bốn góc vuông nhưng không phải là hình vuông.
4. MỨC ĐỘ 4
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1. Câu sau đây là biểu đạt của mệnh đề nào?
“Mấy đời bánh đúc có xương
Mấy đời dì ghẻ có thương con chồng.”
“Chuồn chuồn bay thấp thì mưa
Bay cao thì nắng bay vừa thì râm.”
Lời giải
Đây là mệnh đề kéo theo. Mệnh đề biểu hiện bởi chữ “thì”.
Bài 2. Trên một hòn đảo, tôi đã gặp ba người A, B và C, một người là hiệp sĩ, một người khác là kẻ bất lương và người kia là gián điệp. Người hiệp sĩ luôn nói sự thật, kẻ bất lương luôn luôn nói dối và gián điệp có thể nói dối hoặc nói sự thật.
A nói: “Tôi là hiệp sĩ.”
B nói, “Tôi là kẻ bất lương.”
C nói: “Tôi là gián điệp.”
Hỏi ai là gián điệp?
Lời giải
Do tính đúng sai nên để xác định kết quả nhanh nhất, ta sẽ xét hiệp sĩ và gián điệp.
Nếu A nói thật
$ \Rightarrow$A là hiệp sĩ.
$ \Rightarrow$ B hoặc C là kẻ bất lương.
Nếu B là kẻ bất lương $ \Rightarrow$ B nói dối $ \Rightarrow$ Mâu thuẫn
Nếu C là kẻ bất lương $ \Rightarrow$ C nói dối $ \Rightarrow$ Thỏa mãn
Vậy A là hiệp sĩ, C là kẻ bất lương và B là gián điệp cần tìm.
Bài 3. Ba anh em An, Bình, Vinh ngồi làm bài xung quanh một cái bàn được trải khăn mới. Khi phát hiện có vết mực, bà hỏi thì các cháu lần lượt trả lời:
An: “Em Vinh không làm đổ mực, đấy là do em Bình.”
Bình: “Em Vinh làm đổ mực, anh An không làm đổ mực”.
Vinh: “Theo cháu, Bình không làm đổ mực, còn cháu hôm nay không chuẩn bị bài”.
Biết rằng trong 3 em thì có 2 em nói đúng, 1 em nói sai. Hỏi ai làm đổ mực?
Lời giải
Nếu An nói đúng thì Bình là người làm đổ, suy ra Bình nói sai, theo đề bài ta có Vinh nói đúng. Nếu Vinh nói đúng thì Bình không làm đổ mực. Suy ra mâu thuẫn.
Nếu Bình nói đúng, Vinh làm đổ mực thì An nói sai. Dẫn đến Vinh nói đúng. Suy ra thỏa mãn.
Vậy Vinh làm đổ mực.
Bài 4. Bạn đang ở trên một hòn đảo nơi mỗi cư dân là một người nói thật hoặc nói dối. Người nói thật luôn nói sự thật; những kẻ nói dối luôn luôn nói dối. Tuấn và Nga đang ở trên đảo.
Tuấn nói: “Nếu 34 là số lẻ, thì tôi là người nói thật”.
Nga nói: “Tuấn là kẻ nói dối.”
Xác định xem mỗi người là một người nói thật hay nói dối.
Lời giải
(Ta thấy rằng ta có thể xác định sự thật hoặc giả của tuyên bố “34 là số lẻ” mà không cần biết gì về Tuấn hoặc Nga. Vì vậy, ta sẽ bắt đầu với nó và xem những gì tiếp theo từ nó.)
Vì “34 là số lẻ” là sai, nên phần “nếu” trong câu nói của Tuấn là sai. Do đó, Tuấn nói đúng nên Tuấn là người nói thật.
Nga nói “Tuấn là kẻ nói dối” ➝ sai, vì Tuấn là một người nói thật. Do đó, Nga là kẻ dối trá.
Vậy Tuấn là một người nói thật và Nga là kẻ nói dối.
Bài 5. Ếch hay cóc?
Trong một đầm lầy ma thuật, có hai loài lưỡng cư biết nói: cóc luôn luôn nói đúng và ếch luôn luôn nói sai.
Bốn loài lưỡng cư, Brian, Chris, LeRoy và Mike sống cùng nhau trong đầm lầy này và chúng đưa ra những tuyên bố sau:
Brian: “Mike và tôi là những loài khác nhau.”
Chris: “LeRoy là một con ếch.”
LeRoy: “Chris là một con ếch.”
Mike: “Trong bốn người chúng tôi, ít nhất hai người là cóc.”
Có bao nhiêu loài lưỡng cư là ếch?
Lời giải
Cách 1: Trình bày lời văn:
Giả sử Brian là cóc (nói thật)
$ \Rightarrow$ Mike là ếch (nói dối)
$ \Rightarrow$ Chỉ có 1 con là ếch trong 4 con. Mà Mike đã là ếch
$ \Rightarrow$ LeRoy và Chris là đều cóc (nói thật)
Nhưng Chris nói LeRoy là ếch $ \Rightarrow$ mâu thuẫn
Vậy Brian nói dối (là Ếch)
$ \Rightarrow$ Brian và Mike cùng là loài ếch (nói dối)
$ \Rightarrow$ Chỉ có 1 con cóc và 3 con còn lại là ếch (*)
• Nếu Chris là Cóc (nói thật) $ \Rightarrow$ LeRoy là ếch (nói dối) $ \Rightarrow$ Thỏa mãn (*)
• Nếu LeRoy là Cóc (nói thật) $ \Rightarrow$ Chris là ếch (nói dối) $ \Rightarrow$ Thỏa mãn (*)
Vậy có 3 loài lưỡng cư là ếch
Cách 2: Dùng bảng
Kí hiệu: Cóc : x
Ếch: o
| Brian | Chris | LeRoy | Mike | |
| x | o | o | o | Mâu thuẫn |
| o | x | o | o | Thỏa mãn |
| o | o | x | o | Thỏa mãn |
Vậy có 3 loài lưỡng cư là ếch.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào có mệnh đề đảo là đúng?
A. Nếu $a$ và $ B$ cùng chia hết Cho $ C$ thì $a + b$ chia hết Cho $ C$.
B. Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích bằng nhau.
C. Nếu $a$ chia hết Cho $3$ thì $a$ chia hết cho $9$.
D. Nếu một số tận cùng bằng $0$ thì số đó chia hết cho $5$.
Lời giải
Chọn C
Nếu $a$ chia hết Cho $9$ thì $a$ chia hết Cho $3$ là mệnh đề đúng.
Câu 2: Tìm mệnh đề sai:
A. $10$ chia hết Cho $5$$ \Leftrightarrow$ Hình vuông có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc nhau.
B. Tam giác $ABC$ vuông tại $ C \Leftrightarrow A{B^2} = C{A^2} + C{B^2}$.
C. Hình thang$ABCD$ nội tiếp đường tròn$\left( O \right) \Leftrightarrow ABCD$ là hình thang cân.
D. $63$ chia hết Cho $7$$ \Rightarrow$ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc nhau.
Lời giải
Chọn D
Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi P đúng Q sai.
Vậy mệnh đề ở đáp án D sai.
Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào không phải là định lí?
A. $\exists x \in \mathbb{N},\,{x^2}$ chia hết Cho $3$⇒$x$ chia hết Cho $3$.
B. $\exists x \in \mathbb{N},\,{x^2}$ chia hết Cho $6$⇒$x$ chia hết Cho $3$.
C. $\forall x \in \mathbb{N},\,{x^2}$ chia hết Cho $9$⇒$x$ chia hết Cho $9$.
D. $\exists x \in \mathbb{N},\,x$ chia hết Cho $4$ và $6$⇒$x$ chia hết Cho $12$.
Lời giải
Chọn D
Định lý sẽ là:$\forall x \in \mathbb{N},{\text{ }}x$ chia hết Cho $4$ và $6$⇒$x$ chia hết Cho $12$.
Câu 4: Cho 3 mệnh đề: P: “2 < 3”, Q: “5 là số chẵn”, R: “(2n+ 1) là số lẻ, với n là một số tự nhiên”. Hãy tìm mệnh đề đúng:
A. $P \Leftrightarrow \overline R $ B. $\overline P \Leftrightarrow Q$ C. $\overline P \Leftrightarrow \overline Q $ D. $P \Leftrightarrow Q$
Lời giải
Chọn B
Câu 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào SAI?
A. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.
B. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có cặp cạnh tương ứng bằng nhau.
C. Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi có một góc bằng tổng của hai góc còn lại.
D. Một tứ giác nội tiếp được đường tròn khi và chỉ khi tổng hai góc đối diện bằng 1800.
Lời giải
Chọn A
