50 câu trắc nghiệm bài Tổng hiệu hai vectơ giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 6 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
DẠNG 1: CÁC PHÉP TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỔNG VÀ HIỆU CÁC VECTƠ
• Quy tắc ba điểm: Với ba điểm $A,B,C$, ta luôn có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} $
• Quy tắc hiệu: Với ba điểm $M,N,O$, ta luôn có: $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} – \overrightarrow {OM} $
• Quy tắc hình bình hành: Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} $.
• Điểm $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \vec 0$.
• Điểm $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0$.
Câu 1. Cho ba vectơ $\vec a,\vec b$ và $\vec c$ khác vectơ-không. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. $\vec a + \vec b = \vec b + \vec a$.
B. $\left( {\vec a + \vec b} \right) + \vec c = \vec a + \left( {\vec b + \vec c} \right)$.
C. $\vec a + \vec 0 = \vec a$.
D. $\vec 0 + \vec a = \vec 0$.
Lời giải
Chọn D
$\vec 0 + \vec a = \vec a$.
Câu 2. Cho hình bình hành $ABCD$. Vectơ tổng $\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} $ bằng
A. $\overrightarrow {CA} $.
B. $\overrightarrow {BD} $.
C. $\overrightarrow {AC} $.
D. $\overrightarrow {DB} $.
Lời giải
Chọn A
$\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CA} .\;$
Câu 3. Cho ba điểm phân biệt $A,B,C$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} $.
B. $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} $.
C. $\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} $.
D. $\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BA} $.
Lời giải
Chọn D
$\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} $.
Câu 4. Cho bốn điểm phân biệt $A,B,C,D$. Vectơ tổng $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} $ bằng
A. $\vec 0$.
B. $\overrightarrow {AC} $.
C. $\overrightarrow {BD} $.
D. $\overrightarrow {BA} $.
Lời giải
Chọn A
$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {AA} = \vec 0$
Câu 5. Cho tam giác $ABC$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,CA$. Vectơ tổng $\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {NP} $ bằng
A. $\overrightarrow {BP} $.
B. $\overrightarrow {MN} $.
C. $\overrightarrow {CP} $.
D. $\overrightarrow {PA} $.
Lời giải
Chọn A
$\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {BP} $.
Câu 6. Cho hình bình hành $ABCD$ và gọi $I$ là giao điểm của hai đường chéo. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {IB} $.
B. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} $.
C. $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {IB} $.
D. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {IA} = \overrightarrow {BI} $.
Lời giải
Chọn A
$\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {IB} $
Câu 7. Cho hình bình hành $ABCD$ và gọi $I$ là giao điểm của hai đường chéo. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {IB} $.
B. $\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BI} = \overrightarrow {DI} $.
C. $\overrightarrow {ID} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {IC} $.
D. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CI} = \overrightarrow {IA} $.
Lời giải
Chọn D
$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CI} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CI} = \overrightarrow {AI} $.
Câu 8. Cho các điểm phân biệt $M,N,P,Q,R$. Xác định vectơ tổng $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RP} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} $.
A. $\overrightarrow {MP} $.
B. $\overrightarrow {MN} $.
C. $\overrightarrow {MQ} $.
D. $\overrightarrow {MR} $.
Lời giải
Chọn A
$\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RP} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QR} + \overrightarrow {RP} = \overrightarrow {MP} $
Câu 9. Cho hình bình hành $ABCD$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} $
B. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} $.
C. $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CB} $.
D. $\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DB} $.
Lời giải
Chọn C
$\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} $.
Câu 10. Cho tam giác $ABC$ và $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \vec 0$.
B. $\overrightarrow {AP} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {CN} = \vec 0$.
C. $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PM} = \vec 0$.
D. $\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MP} $.
Lời giải
Chọn D
$\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {PM} .\;$
Câu 11. Cho lục giác đều $ABCDEF$ có tâm $O$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?.
A. $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OE} = \vec 0$.
B. $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {EB} $.
C. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EF} = \vec 0$.
D. $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AD} $.
Lời giải
Chọn D
Do $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {EF} = \vec 0$ nên D sai.
Câu 12. Cho hình vuông $ABCD$, tâm $O$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CA} $.
B. $\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {AO} = \overrightarrow {CA} $.
C. $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {CA} $.
D. $\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CA} $.
Lời giải
Chọn C
$\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {CA} $.
Câu 13. Cho lục giác đều $ABCDEF$ có tâm $O$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?.
A. $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OE} + \overrightarrow {OF} = \vec 0$.
B. $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BO} = \vec 0$.
C. $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {FE} = \vec 0$.
D. $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {ED} + \overrightarrow {FA} = \vec 0$.
Lời giải
Chọn D
$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {ED} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {FA} $.
Câu 14. Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Gọi $M$ là trung điểm $BC,{G_1}$ là điểm đối xứng của $G$ qua $M$. Vectơ tổng $\overrightarrow {{G_1}B} + \overrightarrow {{G_1}C} $ bằng
A. $\overrightarrow {GA} $.
B. $\overrightarrow {BC} $.
C. $\overrightarrow {{G_1}A} $.
D. $\overrightarrow {{G_1}M} $.
Lời giải
Chọn A
$\overrightarrow {{G_1}B} + \overrightarrow {{G_1}C} = \overrightarrow {{G_1}G} = \overrightarrow {GA} $.
Câu 15. Cho 5 điểm phân biệt $M,N,P,Q,R$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} = \overrightarrow {MP} $.
B. $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} = \overrightarrow {PR} $.
C. $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} = \overrightarrow {MR} $.
D. $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} = \overrightarrow {MN} $.
Lời giải
Chọn D
$\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} = \overrightarrow {MN} $
Câu 16. Cho hình bình hành $ABCD$, tâm $O$. Vectơ tổng $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AC} $ bằng
A. $\vec 0$.
B. $\overrightarrow {BD} $.
C. $\overrightarrow {OC} $.
D. $\overrightarrow {OA} $.
Lời giải
Chọn A
$\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CC} = \vec 0$.
Câu 17. Gọi 0 là tâm hình bình hành $ABCD$. Đẳng thức nào sau đây sai?
A. $\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {CD} $.
B. $\overrightarrow {OB} – \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OD} – \overrightarrow {OA} $.
C. $\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} $.
D. $\overrightarrow {BC} – \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {DC} – \overrightarrow {DA} $.
Lời giải
Chọn B
Xét các đáp án:
• Đáp án A. Ta có $\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} $. Vậy A đúng.
• Đáp án B. Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {OB} – \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {CB} = – \overrightarrow {AD} } \\
{\overrightarrow {OD} – \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AD} }
\end{array}} \right.$.
Vậy B sai.
• Đáp án $C$. Ta có $\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} $. Vậy $C$ đúng.
• Đáp án D. Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {BC} – \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AC} } \\
{\overrightarrow {DC} – \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {AC} }
\end{array}} \right.$.
Vậy D đúng
Câu 18. Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$. Tính $\overrightarrow {OB} – \overrightarrow {OC} $.
A. $\overrightarrow {BC} $.
B. $\overrightarrow {DA} $.
C. $\overrightarrow {OD} – \overrightarrow {OA} $.
D. $\overrightarrow {AB} $.
Lời giải
Chọn B
$\overrightarrow {OB} – \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DA} $.
Câu 19. Cho $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$. Hỏi vectơ $\left( {\overrightarrow {AO} – \overrightarrow {DO} } \right)$ bằng vectơ nào?
A. $\overrightarrow {BA} $.
B. $\overrightarrow {BC} $.
C. $\overrightarrow {DC} $.
D. $\overrightarrow {AC} $.
Lời giải
Chọn B
$\overrightarrow {AO} – \overrightarrow {DO} = \overrightarrow {OD} – \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} $.
Câu 20. Chọn khẳng định sai:
A. Nếu $I$ là trung điểm đoạn $AB$ thì $\overrightarrow {IA} – \overrightarrow {IB} = \vec 0$.
B. Nếu $I$ là trung điểm đoạn $AB$ thì $\overrightarrow {AI} – \overrightarrow {BI} = \overrightarrow {AB} $.
C. Nếu $I$ là trung điểm đoạn $AB$ thì $\overrightarrow {AI} – \overrightarrow {IB} = \vec 0$.
D. Nếu $I$ là trung điểm đoạn $AB$ thì $\overrightarrow {IA} – \overrightarrow {BI} = \vec 0$.
Lời giải
Chọn A
$\overrightarrow {IA} – \overrightarrow {IB} = \overrightarrow {BA} \ne \vec 0.$
Câu 21. Cho các điểm phân biệt $A,B,C,D$. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BC} – \overrightarrow {DA} $.
B. $\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {CB} – \overrightarrow {AD} $.
C. $\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {CB} – \overrightarrow {DA} $.
D. $\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DC} – \overrightarrow {BC} $.
Lời giải
Chọn D
Ta có: $\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} ,\overrightarrow {DC} – \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DB} $.
Vậy: $\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DC} – \overrightarrow {BC} $.
Câu 22. Chỉ ra vectơ tổng $\overrightarrow {MN} – \overrightarrow {QP} + \overrightarrow {RN} – \overrightarrow {PN} + \overrightarrow {QR} $ trong các vectơ sau
A. $\overrightarrow {MR} $.
B. $\overrightarrow {MQ} $.
C. $\overrightarrow {MP} $.
D. $\overrightarrow {MN} $.
Lời giải
Chọn D
$\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QR} + \overrightarrow {RN} = \overrightarrow {MN} $
Câu 23. Cho hình bình hành $ABCD$ và điểm $M$ tùy ý. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} $.
B. $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MB} $.
C. $\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {MD} $.
D. $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} $.
Lời giải
Chọn D
Ta có: $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} $
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} – \overrightarrow {MB} – \overrightarrow {MD} = \vec 0$
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} – \overrightarrow {MD} = \vec 0$
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} = \vec 0$. (đúng).
Câu 24. Cho tam giác $ABC$ có $M,N,D$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC,BC$. Khi đó, các vectơ đối của vectơ $\overrightarrow {DN} $ là:
A. $\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {ND} $.
B. $\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {ND} $.
C. $\overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {AM} $.
D. $\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {BM} ,\overrightarrow {ND} $.
Lời giải
Chọn A
Nhìn hình ta thấy vectơ đối của vectơ $\overrightarrow {DN} $ là: $\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {ND} $.
Câu 25. Cho các điểm phân biệt $A,B,C$. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} – \overrightarrow {AC} $.
B. $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} – \overrightarrow {CA} $.
C. $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} – \overrightarrow {CA} $.
D. $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CA} – \overrightarrow {CB} $.
Lời giải
Chọn D
$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {BO} = \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} $
Câu 26. Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$. Khi đó $\overrightarrow {CB} – \overrightarrow {CA} $ bằng
A. $\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OB} $.
B. $\overrightarrow {AB} $.
C. $\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {DO} $.
D. $\overrightarrow {CD} $.
Lời giải
Chọn B
$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} – \overrightarrow {CA} $ (qui tắc 3 điểm).
Câu 27. Cho bốn điểm $A,B,C,D$ phân biệt. Khi đó vectơ $\vec u = \overrightarrow {AD} – \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CB} – \overrightarrow {AB} $ bằng:
A. $\vec u = \overrightarrow {AD} $.
B. $\vec u = \vec 0$.
C. $u = \overrightarrow {CD} $.
D. $\vec u = \overrightarrow {AC} $.
Lời giải
Chọn B
$\vec u = \overrightarrow {AD} – \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CB} – \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} – \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DB} = \vec 0$
Câu 28. Cho 4 điểm $A,B,C,D$. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AC} – \overrightarrow {DB} $.
B. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} $.
C. $\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} $.
D. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DA} – \overrightarrow {CB} $.
Lời giải
Chọn C
$\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} $.
Câu 29. Cho Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {BO} – \overrightarrow {CO} + \overrightarrow {DO} = \vec 0$.
B. $\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {CO} + \overrightarrow {DO} = \vec 0$.
C. $\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {CO} – \overrightarrow {OD} = \vec 0$.
D. $\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {CO} + \overrightarrow {DO} = \vec 0$.
Lời giải
Chọn B
Ta có: $\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {CO} + \overrightarrow {DO} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {CO} + \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {DO} = \vec 0$. Do $\overrightarrow {AO} ,\overrightarrow {CO} $ đối nhau, $\overrightarrow {BO} ,\overrightarrow {DO} $ đối nhau.
Câu 30. Cho Cho lục giác đều $ABCDEF$ và $O$ là tâm của nó. Đẳng thức nào dưới đây là đẳng thức sai?
A. $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} – \overrightarrow {EO} = \vec 0$.
B. $\overrightarrow {BC} – \overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AD} $.
C. $\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {EB} – \overrightarrow {OC} $.
D. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} – \overrightarrow {EF} = \vec 0$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} – \overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BO} – \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AO} – \overrightarrow {OA} = 2\overrightarrow {AO} \ne \vec 0$.
Câu 31. Cho hình bình hành $ABCD$. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow {BA} – \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {CB} $.
B. $\overrightarrow {BA} – \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {BC} $.
C. $\overrightarrow {BA} – \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AD} $.
D. $\overrightarrow {BA} – \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {CA} $.
Lời giải
Chọn A
$\overrightarrow {BA} – \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {CB} $.
Câu 32. Cho 4 điểm $A,B,C,D$. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} $.
B. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} $.
C. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} $.
D. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BC} $.
Lời giải
Chọn A
$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CB} – \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DB} $.
Câu 33. Cho $\vartriangle ABC$, vẽ bên ngoài tam giác các hình bình hành $ABEF$, $ACPQ,BCMN$. Xét các mệnh đề:
(I) $\overrightarrow {NE} + \overrightarrow {FQ} = \overrightarrow {MP} $
(II) $\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {QP} = – \overrightarrow {MN} $
(III) $\overrightarrow {AP} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CN} = \overrightarrow {AQ} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {MC} $
Mệnh đề đúng là :
A. Chỉ $\left( I \right)$.
B. Chỉ (III) .
C. (I) và (II) .
D. Chỉ (II) .
Lời giải
Chọn A
$\overrightarrow {NE} + \overrightarrow {FQ} = \overrightarrow {MP} $.
Câu 34. Cho 5 điểm phân biệt $M,N,P,Q,R$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} = \overrightarrow {MP} $.
B. $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} = \overrightarrow {PR} $.
C. $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} = \overrightarrow {MR} $.
D. $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} = \overrightarrow {MN} $.
Lời giải
Chọn D
Ta có $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QR} + \overrightarrow {RN} = \overrightarrow {MN} $.
Câu 35. Cho 6 điểm $A,B,C,D,E,F$. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {FA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {DE} = \vec 0$.
B. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {FA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AF} $.
C. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {FA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AE} $.
D. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {FA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AD} $.
Lời giải
Chọn A
$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {FA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {DE} $
$ = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {FA} $
$ = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EA} = \vec 0$
DẠNG 2: TÍNH ĐỘ DÀI CỦA VECTƠ
Để tính độ dài của một đẳng thức vectơ (tổng, hiệu của các vectơ ) ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng một vectơ. Rồi sử dụng tính chất hình học để tính độ dài vectơ đó.
Câu 36. Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Tính $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right|$.
A. $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = a\sqrt 3 $.
B. $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
C. $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2a$.
D. $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2a\sqrt 3 $.
Lời giải
Chọn A
Gọi $M$ là điểm sao cho $ABMC$ là hình bình hành. Ta có $AB = AC$ nên $ABMC$ là hình thoi. Gọi $O$ là tâm hình thoi $ABMC \cdot \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \left| = \right|\overrightarrow {AM} } \right| = AM = 2AO = a\sqrt 3 $.
Câu 37. Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Độ dài $\left| {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} } \right|$ bằng
A. $2a$
B. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
D. $a\sqrt 2 $.
Lời giải
Chọn D
Theo quy tắc đường chéo hình bình hành, ta có
$\left| {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \left| = \right|\overrightarrow {AC} } \right| = AC = AB\sqrt 2 = a\sqrt 2 .$
Câu 38. Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a$, mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \overrightarrow {BC} $.
B. $\overrightarrow {AC} = a$.
C. $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} $.
D. $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = a$.
Lời giải
Chọn D
$\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = a$.
Câu 39. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:
A. $\vec 0$ cùng hướng với mọi vectơ.
B. $\vec 0$ cùng phương với mọi vectơ.
C. $\overrightarrow {AA} = \vec 0$.
D. $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| > 0$.
Lời giải
Chọn D
Mệnh đề $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| > 0$ là mệnh đề sai, vì khi $A \equiv B$ thì $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 0$.
Câu 40. Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $I$; $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Đẳng thức nào sau đây sai?
A. $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} $.
B. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} $.
C. $\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \left| = \right|\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} } \right|$.
D. $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \vec 0$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DC} $ (vôlý) $ \to $ A sai.
$G$ là trọng tâm tam giác $BCD$; $A$ là một điểm nằm ngoài tam giác $BCD \to $ đẳng thức ở đáp án $B$ đúng.
Ta có $\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \left| = \right|\overrightarrow {BD} } \right|$ và $\left| {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} \left| = \right|\overrightarrow {DB} } \right|$. Mà $\left| {\overrightarrow {DB} \left| = \right|\overrightarrow {BD} } \right| \to $ đáp án C đúng.
Ta có $\overrightarrow {IA} $ và $\overrightarrow {IC} $ đối nhau, có độ dài bằng nhau $ \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} = \vec 0$; tương tự $ \Leftrightarrow \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {ID} = \vec 0 \to $ đáp án $D$ là đúng.
Câu 41. Cho tam giác $ABC$ đều có cạnh $AB = 5,H$ là trung điểm của $BC$. Tính $\left| {\overrightarrow {CA} – \overrightarrow {HC} } \right|$.
A. $\left| {\overrightarrow {CA} – \overrightarrow {HC} } \right| = \frac{{5\sqrt 3 }}{2}$.
B. $\left| {\overrightarrow {CA} – \overrightarrow {HC} } \right| = 5$.
C. $\left| {\overrightarrow {CA} – \overrightarrow {HC} } \right| = \frac{{5\sqrt 7 }}{4}$.
D. $\left| {\overrightarrow {CA} – \overrightarrow {HC} } \right| = \frac{{5\sqrt 7 }}{2}$.
Lời giải
Chọn D
Gọi $M$ là điểm sao cho CHMA là hình bình hành.
Ta có: $\left| {\overrightarrow {CA} – \overrightarrow {HC} \left| = \right|\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CH} \left| = \right|\overrightarrow {CM} } \right| = CM = 2CE$ ( $E$ là tâm cúa hình bình hành $CHMA$ ).
Ta lại có: $AH = \frac{{5\sqrt 3 }}{2}$ ( $\vartriangle ABC$ đều, $AH$ là đường cao).
Trong tam giác HEC vuông tại $H$, có:
$EC = \sqrt {C{H^2} + H{E^2}} = \sqrt {{{2.5}^2} + {{\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2}} = \frac{{5\sqrt 7 }}{4} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {CA} – \overrightarrow {HC} } \right| = 2CE = \frac{{5\sqrt 7 }}{2}.$
Câu 42. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành $ABCD$. Đẳng thức nào sau đây sai?
A. $\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} $.
B. $\left| {\overrightarrow {AB} \left| = \right|\overrightarrow {CD} } \right|$.
C. $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OC} $.
D. $\overrightarrow {AO} = \overrightarrow {OC} $.
Lời giải
Chọn C
Ta có $O$ là trung điểm của $AC$ nên $\overrightarrow {OA} = – \overrightarrow {OC} $.
Câu 43. Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có $AB = a$. Tính $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right|$.
A. $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = a\sqrt 2 $.
B. $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
C. $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2a$.
D. $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = a$.
Lời giải
Chọn A
Gọi $D$ là điểm thỏa $ABDC$ là hình bình hành. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ suy ra $ABDC$ là hình vuông. $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \left| = \right|\overrightarrow {AD} } \right| = 2AM = BC = a\sqrt 2 $.
Câu 44. Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$, có $AH$ là đường trung tuyến. Tính $\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AH} } \right|$.
A. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
B. $2a$.
C. $\frac{{a\sqrt {13} }}{2}$.
D. $a\sqrt 3 $.
Lời giải
Chọn C
Dựng $\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {AH} \Rightarrow AHMC$ là hình bình hành $ \Rightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AM} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AH} } \right| = AM$.
Gọi $K$ đối xứng với $A$ qua $BC \Rightarrow \vartriangle AKM$ vuông tại $K$.
$AK = 2AH = a\sqrt 3 ;KM = CH = \frac{a}{2}$.
$AM = \sqrt {A{K^2} + K{M^2}} = \sqrt {{{(a\sqrt 3 )}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}$.
Câu 45. Cho tam giác $ABC$ có $G$ là trọng tâm, $I$ là trung điểm $BC$. Tìm khẳng định sai.
A. $\left| {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IA} } \right| = IA$.
B. $\left| {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right| = BC$.
C. $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2AI$.
D. $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 3GA$.
Lời giải
Chọn B
$\left| {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IA} \left| = \right|\vec 0 + \overrightarrow {IA} \left| = \right|\overrightarrow {IA} } \right| = IA$ (Do $I$ là trung điểm $BC$ ) nên khẳng định ở A đúng.
$\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \left| = \right|\overrightarrow {AD} } \right| = AD = 2AI$ (Gọi $D$ là điểm thỏa $ABDC$ là hình bình hành, $I$ là trung điểm $BC$ ) nên khẳng định ở $C$ đúng.
$\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2AI = 3GA$ (Do $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ ) nên khẳng định ở $D$ đúng.
$\left| {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} \left| = \right|\vec 0} \right| = 0$ (Do $I$ là trung điểm $BC$ ) nên khẳng định ở $B$ sai.
DẠNG 3: ỨNG DỤNG THỰC TIỄN
Câu 46. Có hai lực ${\vec F_1},{\vec F_2}$ cùng tác động vào một vật đứng tại điểm $O$, biết hai lực ${\vec F_1},{\vec F_2}$ đều có cường độ là $50\left( {\;N} \right)$ và chúng hợp với nhau một góc ${60^ \circ }$. Hỏi vật đó phải chịu một lực tổng hợp có cường độ bằng bao nhiêu?
A. $100\left( {\;N} \right)$.
B. $50\sqrt 3 \left( {\;N} \right)$.
C. $100\sqrt 3 \left( {\;N} \right)$.
D. Đáp án khác.
Lời giải
Chọn B
Giả sử ${\vec F_1} = \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OB} $.
Theo quy tắc hình bình hành, suy ra ${\vec F_1} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OC} $, như hình vẽ.
Ta có $\widehat {AOB} = {60^ \circ },OA = OB = 50$, nên tam giác $OAB$ đều, suy ra $OC = 50\sqrt 3 $.
Vậy $\left| {{{\vec F}_1} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right| = 50\sqrt 3 \left( {\;N} \right)$.
Câu 47. Cho hai lực ${F_1},{F_2}$. Có điểm đặt tại $M$. Tìm cường độ lực tổng hợp của chúng biết ${\vec F_1}$ và $\overrightarrow {{F_2}} $ có cùng cường độ lực là $100\;N$, góc hợp bởi $\overrightarrow {{F_1}} $ và $\overrightarrow {{F_2}} $ là ${120^ \circ }$.
A. $120N$
B. $60N$
C. $100\;N$
D. $50N$
Lời giải
Chọn C.
Theo quy tắc hình bình hành: ${\vec F_1} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} $
$\vartriangle AMB$ là tam giác đều $ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MB} } \right| = 100N$
Câu 48. Một giá đỡ được gắn vào tường như hình vẽ:
Trong đó $\vartriangle ABC$ vuông ở $C$. Người ta treo vào điểm $A$ một vật nặng $10N$. Khi đó lực tác dụng vào bức tường tại điểm $B$ :
A. Kéo bức tường theo hướng $\overrightarrow {BA} $ với cường độ $10\sqrt 3 N$
B. Kéo bức tường theo hướng $\overrightarrow {BC} $ với cường độ $10\sqrt 2 N$
C. Kéo bức tường theo hướng $\overrightarrow {BA} $ với cường độ $10\sqrt 2 N$
D. Kéo bức tường theo hướng $\overrightarrow {BC} $ với cường độ $10\sqrt 2 N$
Lời giải
Chọn C.
Ta xem $\vec F$ là tổng của vectơ ${\vec F_1},{\vec F_2}$ lần lượt nằm trên 2 dường thẳng $AC$ và $AB$ và ta có:
$\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\vec F} \right| = 10N;\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 10\sqrt 2 $ và lực $\overrightarrow {{F_2}} $ theo hướng $\overrightarrow {BA} $
Câu 49. Cho hai lực $\overrightarrow {{F_1}} $ và $\overrightarrow {{F_2}} $ có điểm đặt 0 và tạo với nhau góc ${60^ \circ }$. Cường độ của hai lực $\overrightarrow {{F_1}} $ và $\overrightarrow {{F_2}} $ đều là $100\;N$.Cường độ tổng hợp lực của hai lực đó là
A. $100\;N$
B. $100\sqrt 3 \;N$
C. $50\;N$
D. $50\sqrt 3 \;N$
Lời giải
Chọn B
$\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \vec F = \overrightarrow {OA} $
$\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = OA = 100\sqrt 3 $
Câu 50. Cho hai lực $\overrightarrow {{F_1}} $ và $\overrightarrow {{F_2}} $ có điểm đặt 0 hợp với nhau một góc ${120^ \circ }$. Cường độ của hai lực $\overrightarrow {{F_1}} $ và $\overrightarrow {{F_2}} $ đều là $50\;N$.Cường độ tổng hợp lực của hai lực đó là
A. $100\;N$
B. $100\sqrt 3 \;N$
C. $50\;N$
D. $50\sqrt 3 \;N$
Lời giải
Chọn C.
$\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OD} $
$\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = OD = 50$
Vì $\vartriangle OAD$ là tam giác đều cạnh $50\;N$.
