Đề kiểm tra giữa học kì 2 Toán 10 KNTT cấu trúc mới giải chi tiết-Đề 3 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 5 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phuơng án.
Câu 1: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. $\left( {2; + \infty } \right)$. B. $\left( {0;2} \right)$. C. $\left( { – \infty ;3} \right)$. D. $\left( {0; + \infty } \right)$.
Câu 2: Tập xác định của hàm số $y = \frac{5}{{{x^2} – 4}}$ là
A. $\mathbb{R} \setminus \left\{ { – 2} \right\}$. B. $\mathbb{R} \setminus \left\{ { – 2;2} \right\}$. C. $\mathbb{R} \setminus \left\{ 2 \right\}$. D. $\mathbb{R}$.
Câu 3: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $\left( d \right):5x – 2y + 8 = 0$. Véctơ pháp tuyến của đường thẳng $\left( d \right)$ là
A. $\vec n = \left( { – 2; – 5} \right)$. B. $\vec n = \left( {5;2} \right)$. C. $\vec n = \left( {2;5} \right)$. D. $\vec n = \left( {5; – 2} \right)$.
Câu 4: Đồ thị hàm số bậc hai $y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$ có trục đối xứng là đường thẳng
A. $x = – \frac{b}{a}$. B. $y = – \frac{b}{{2a}}$. C. $x = – \frac{b}{{2a}}$. D. $x = \frac{b}{{2a}}$.
Câu 5: Đường thẳng $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 4 + 3t} \\
{y = 1 + 2t}
\end{array}} \right.$ có véctơ pháp tuyến có tọa độ là:
A. $\left( {1;1} \right)$. B. $\left( { – 4; – 6} \right)$. C. $\left( {2; – 3} \right)$. D. $\left( { – 3;2} \right)$.
Câu 6: Xét dấu tam thức $f\left( x \right) = – 3{x^2} + 2x + 8$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $f\left( x \right) \geqslant 0$ khi $x \in \left[ { – \frac{4}{3};2} \right]$. B. $f\left( x \right) \leqslant 0$ khi $x \in \left( { – \infty ; – \frac{4}{3}} \right) \cup \left[ {2; + \infty } \right)$.
C. $f\left( x \right) \leqslant 0$ khi $x \in \left( { – \frac{4}{3};2} \right)$ D. $f\left( x \right) \geqslant 0$ khi $x \in \left( { – \frac{4}{3};2} \right)$
Câu 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $A\left( {3;2} \right)$ và nhận $\vec n = \left( {2; – 4} \right)$ làm véctơ pháp tuyến.
A. $x – 2y + 1 = 0$. B. $x – 2y – 7 = 0$. C. $3x – 2y + 4 = 0$. D. $2x + y – 8 = 0$.
Câu 8: Cho tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$. Điều kiện để $f\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}$ là
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a > 0} \\
{\Delta \leqslant 0}
\end{array}} \right.$. B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a < 0} \\
{\Delta \leqslant 0}
\end{array}} \right.$. C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a > 0} \\
{\Delta \geqslant 0}
\end{array}} \right.$. D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a < 0} \\
{\Delta \geqslant 0}
\end{array}} \right.$.
Câu 9: Cho hai đường thẳng ${d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – 2{t_1}} \\
{y = 2 + {t_1}}
\end{array}} \right.$ và ${d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + {t_2}} \\
{y = 5 + 2{t_2}}
\end{array}} \right.$. Số đo góc giữa hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ bằng:
A. ${45^ \circ }$. B. ${60^ \circ }$. C. ${90^ \circ }$. D. ${135^ \circ }$.
Câu 10: Số nghiệm của phương trình $\sqrt {2{x^2} + 3x – 8} = \sqrt {{x^2} – 4} $ là
A. 2 . B. 1 . C. 3 . D. 0 .
Câu 11: Một đường tròn có tâm $I\left( {3; – 2} \right)$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta : x – 5y + 1 = 0$. Bán kính đường tròn bằng:
A. $\frac{{14}}{{\sqrt {26} }}$. B. $\frac{7}{{13}}$. C. $\sqrt {26} $. D. 6 .
Câu 12: Trong hệ trục $Oxy$, cho hai điểm $A\left( { – 1; – 3} \right),B\left( { – 3;5} \right)$, phương trình đường tròn có đường kính $AB$ là
A. ${(x + 2)^2} + {(y – 1)^2} = 17$. B. ${(x + 2)^2} + {(y – 1)^2} = \sqrt {17} $.
C. ${(x + 1)^2} + {(y – 4)^2} = \sqrt {68} $. D. ${(x + 1)^2} + {(y + 3)^2} = 68$.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4 . Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho hàm số bậc hai $\left( P \right):y = 2{x^2} + x – 3$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Điểm $A\left( {0;3} \right)$ thuộc đồ thị $\left( P \right)$.
b) Đồ thị hàm số bậc hai $\left( P \right)$ có tọa độ đỉnh là $I\left( { – \frac{1}{4}; – \frac{{25}}{8}} \right)$.
c) Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ; – 2} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( {3; + \infty } \right)$.
d) Có 5 giá trị nguyên dương $m \in \left[ { – 3;10} \right)$ để đường thẳng $\left( d \right):y = – \left( {m + 1} \right)x – m – 2$ cắt đồ thị $\left( P \right):y = 2{x^2} + x – 3$ tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục tung.
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:2x + y – 1 = 0$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + t} \\
{y = 1 – t}
\end{array}} \right.$
a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ${\Delta _2}$ là $\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} = \left( {2;1} \right)$.
b) Vectơ pháp tuyến của ${\Delta _1}$ là $\vec n = \left( {2;1} \right)$ nên ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là $\vec u = \left( {1;2} \right)$.
c) Khoảng cách từ điểm $M\left( {2;1} \right)$ đến đường thẳng ${\Delta _1}$ bằng $\frac{4}{{\sqrt 5 }}$.
d) Cosin góc tạo bởi hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ bằng $\frac{3}{{\sqrt {10} }}$.
Câu 3: Một cửa hàng sách mua sách từ nhà xuất bản với giá 50 (nghìn đồng)/cuốn. Cửa hàng ước tính rằng, nếu bán 1 cuốn sách với giá là $x$ (nghìn đồng) thì mỗi tháng khách hàng sẽ mua $\left( {150 – x} \right)$ cuốn sách. Hỏi cửa hàng bán 1 cuốn sách giá bao nhiêu (nghìn đồng) thì mỗi tháng sẽ thu được nhiều lãi nhất?
a) Theo ước tính, nếu cửa hàng bán một cuốn sách giá 80 nghìn đồng thì mỗi tháng khách hàng sẽ mua 150 cuốn sách.
b) Số tiền lãi của cửa hàng mỗi tháng được tính bằng công thức $T\left( x \right) = – {x^2} + 200x – 7500$.
c) Cửa hàng sẽ đạt lợi nhuận 2,1 triệu đồng mỗi tháng nếu mỗi tháng khách hàng mua 80 cuốn sách.
d) Nếu cửa hàng bán một cuốn sách với giá 100 nghìn đồng thì sẽ có lợi nhuận cao nhất.
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ $\left( {Oxy} \right)$, cho tam giác $ABC$ có $A\left( {1; – 2} \right)$ và đường thẳng chứa cạnh $BC$ có phương trình $5x – 3y + 1 = 0.K$ là một điểm nằm trên đoạn thẳng $AH$ sao cho $\overrightarrow {AK} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AH} $
a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $BC$ là ${\vec u_{BC}} = \left( {3;5} \right)$.
b) Đường cao $AH$ có phương trình là $3x + 5y + 7 = 0$.
c) Hoành độ của điểm $H$ là một số nguyên dương.
d) Có hai điểm $K$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1: Nghiệm của phương trình $\sqrt {2{x^2} – 5x – 9} = x – 1$ bằng bao nhiêu?
Câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để $f\left( x \right) = {x^2} – 2\left( {2m – 3} \right)x + 4m – 3 > 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$ ?
Câu 3: Một trận bóng đá được tổ chức ở một sân vận động có sức chứa 15000 người. Với giá vé 14 $1\$ $ thì trung bình các trận đấu gần đây có 9500 khán giả. Theo một khảo sát thị trường đã chỉ ra rằng cứ giả $1\$ $ mỗi vé thì trung bình số khán giả tăng lên 1000 người. Giá vé bằng bao nhiêu thì thu được nhiều lợi nhuận nhất (đơn vị: $)?
Câu 4: Tìm giá trị của tham số $m$ để hai đường thẳng ${d_1}:\left( {2m – 1} \right)x + my – 10 = 0$ và ${d_2}:x + 2y + 6 = 0$ vuông góc nhau?
Câu 5: Cho tam giác $ABC$ biết $A\left( {1;4} \right);B\left( {3; – 1} \right);C\left( {6; – 2} \right)$. Phương trình đường thẳng $d$ qua $C$ và chia tam giác thành hai phần, sao cho phần chứa điểm $A$ có diện tích gấp đối phần chứa điểm $B$ có dạng $ax + bx + c = 0$. Tính $a + b + c$ ?
Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai đường thẳng ${d_1}:x – y – 2 = 0,{d_2}:2x + y – 4 = 0$ và điểm $M\left( { – 3;4} \right)$. Gọi $\Delta :ax + by + 5 = 0$ là đường thẳng đi qua $M$ và cắt ${d_1},{d_2}$ lần lượt tại $A,B$ sao cho $\overrightarrow {MA} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MB} $. Tính giá trị biểu thức $T = 2a – 3b$.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
PHẦN I.
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Chọn | A | B | D | C | C | A | A | B | C | B | A | A |
PHẦN II.
| Câu 1 | Câu 2 | Câu 3 | Câu 4 |
| a) S | a) S | a) S | a) Đ |
| b) Đ | b) S | b) Đ | b) Đ |
| c) Đ | c) Đ | c) S | c) S |
| d) S | d) Đ | d) Đ | d) S |
PHẦN III.
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Chọn | 5 | 2 | 11,75 | 0,25 | -7 | 4 |
LỜI GIẢI CHI TIẾT
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thi sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. $\left( {2; + \infty } \right)$.
B. $\left( {0;2} \right)$.
C. $\left( { – \infty ;3} \right)$.
D. $\left( {0; + \infty } \right)$.
Lời giải
Dựa vào đồ thị, hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$.
Câu 2: Tập xác định của hàm số $y = \frac{5}{{{x^2} – 4}}$ là
A. $\mathbb{R} \setminus \left\{ { – 2} \right\}$.
B. $\mathbb{R} \setminus \left\{ { – 2;2} \right\}$.
C. $\mathbb{R} \setminus \left\{ 2 \right\}$.
D. $\mathbb{R}$.
Lời giải
Hàm số đã cho xác định khi ${x^2} – 4 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne 2} \\
{x \ne – 2}
\end{array}} \right.$.
Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { – 2;2} \right\}$.
Câu 3: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $\left( d \right):5x – 2y + 8 = 0$. Véctơ pháp tuyến của đường thẳng $\left( d \right)$ là
A. $\vec n = \left( { – 2; – 5} \right)$.
B. $\vec n = \left( {5;2} \right)$.
C. $\vec n = \left( {2;5} \right)$.
D. $\vec n = \left( {5; – 2} \right)$.
Lời giải
Từ phương trình tổng quát ta có véctơ pháp tuyến của đường thẳng $\left( d \right)$ là $\vec n = \left( {5; – 2} \right)$.
Câu 4: Đồ thị hàm số bậc hai $y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$ có trục đối xứng là đường thẳng
A. $x = – \frac{b}{a}$.
B. $y = – \frac{b}{{2a}}$.
C. $x = – \frac{b}{{2a}}$.
D. $x = \frac{b}{{2a}}$.
Lời giải
Đồ thị hàm số bậc hai $y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$ có trục đối xứng là đường thẳng $x = – \frac{b}{{2a}}$.
Câu 5: Đường thẳng $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 4 + 3t} \\
{y = 1 + 2t}
\end{array}} \right.$ có véctơ pháp tuyến có tọa độ là:
A. $\left( {1;1} \right)$.
B. $\left( { – 4; – 6} \right)$.
C. $\left( {2; – 3} \right)$.
D. $\left( { – 3;2} \right)$.
Lời giải
Đường thẳng $d$ có véctơ chỉ phương $\vec u = \left( {3;2} \right)$ nên véctơ pháp tuyến có tọa độ $\left( {2; – 3} \right)$.
Câu 6: Xét dấu tam thức $f\left( x \right) = – 3{x^2} + 2x + 8$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $f\left( x \right) \geqslant 0$ khi $x \in \left[ { – \frac{4}{3};2} \right]$.
B. $f\left( x \right) \leqslant 0$ khi $x \in \left( { – \infty ; – \frac{4}{3}} \right) \cup \left[ {2; + \infty } \right)$.
C. $f\left( x \right) \leqslant 0$ khi $x \in \left( { – \frac{4}{3};2} \right)$
D. $f\left( x \right) \geqslant 0$ khi $x \in \left( { – \frac{4}{3};2} \right)$
Lời giải
Ta có $ – 3{x^2} + 2x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2} \\
{x = – \frac{4}{3}}
\end{array}} \right.$.
Bảng xét dấu
Khẳng định $f\left( x \right) \geqslant 0$ khi $x \in \left[ { – \frac{4}{3};2} \right]$ đúng.
Câu 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $A\left( {3;2} \right)$ và nhận $\vec n = \left( {2; – 4} \right)$ làm véctơ pháp tuyến.
A. $x – 2y + 1 = 0$.
B. $x – 2y – 7 = 0$.
C. $3x – 2y + 4 = 0$.
D. $2x + y – 8 = 0$.
Lời giải
Ta có phương trình dạng $2\left( {x – 3} \right) – 4\left( {y – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x – 2y + 1 = 0$.
Câu 8: Cho tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$. Điều kiện để $f\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}$ là
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a > 0} \\
{\Delta \leqslant 0}
\end{array}} \right.$.
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a < 0} \\
{\Delta \leqslant 0}
\end{array}} \right.$.
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a > 0} \\
{\Delta \geqslant 0}
\end{array}} \right.$.
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a < 0} \\
{\Delta \geqslant 0}
\end{array}} \right.$.
Lời giải
Ta có: $f\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a < 0} \\
{\Delta \leqslant 0}
\end{array}} \right.$.
Câu 9: Cho hai đường thẳng ${d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – 2{t_1}} \\
{y = 2 + {t_1}}
\end{array}} \right.$ và ${d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + {t_2}} \\
{y = 5 + 2{t_2}}
\end{array}} \right.$. Số đo góc giữa hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ bằng:
A. ${45^ \circ }$.
B. ${60^ \circ }$.
C. ${90^ \circ }$.
D. ${135^ \circ }$.
Lời giải
Vectơ chỉ phương của đường thẳng ${d_1},{d_2}$ lần lượt là ${\vec u_1} = \left( { – 2;1} \right),{\vec u_2} = \left( {1;2} \right)$.
Ta có: ${\vec u_1} \cdot {\vec u_2} = 0 \Rightarrow {d_1} \bot {d_2}$.
Câu 10: Số nghiệm của phương trình $\sqrt {2{x^2} + 3x – 8} = \sqrt {{x^2} – 4} $ là
A. 2 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 0 .
Lời giải
Ta có: $\sqrt {2{x^2} + 3x – 8} = \sqrt {{x^2} – 4} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – 4 \geqslant 0} \\
{2{x^2} + 3x – 8 = {x^2} – 4}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \geqslant 2} \\
{x \leqslant – 2} \\
{{x^2} + 3x – 4 = 0}
\end{array}} \right.}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \geqslant 2} \\
{x \leqslant – 2}
\end{array}} \right.} \\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1\left( L \right)} \\
{x = – 4\left( N \right)}
\end{array}} \right.}
\end{array} \Leftrightarrow x = 1} \right.} \right.$
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.
Câu 11: Một đường tròn có tâm $I\left( {3; – 2} \right)$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta : x – 5y + 1 = 0$. Bán kính đường tròn bằng:
A. $\frac{{14}}{{\sqrt {26} }}$.
B. $\frac{7}{{13}}$.
C. $\sqrt {26} $.
D. 6 .
Lời giải
Gọi bán kính của đường tròn là $R$.
Khi đó: $R = d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3 – 5 \cdot \left( { – 2} \right) + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( – 5)}^2}} }} = \frac{{14}}{{\sqrt {26} }}$.
Câu 12: Trong hệ trục $Oxy$, cho hai điểm $A\left( { – 1; – 3} \right),B\left( { – 3;5} \right)$, phương trình đường tròn có đường kính $AB$ là
A. ${(x + 2)^2} + {(y – 1)^2} = 17$.
B. ${(x + 2)^2} + {(y – 1)^2} = \sqrt {17} $.
C. ${(x + 1)^2} + {(y – 4)^2} = \sqrt {68} $.
D. ${(x + 1)^2} + {(y + 3)^2} = 68$.
Lời giải
Gọi $I$ là tâm của đường tròn.
Ta có: $I$ là trung điểm của $AB \Rightarrow $ là $I\left( { – 2;1} \right),\overrightarrow {AI} = \left( { – 1;4} \right)$.
Bán kính của đường tròn là $R = AI = \sqrt {{{( – 1)}^2} + {4^2}} = \sqrt {17} $.
Vậy phương trình của đường tròn là ${(x + 2)^2} + {(y – 1)^2} = 17$.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho hàm số bậc hai $\left( P \right):y = 2{x^2} + x – 3$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Điểm $A\left( {0;3} \right)$ thuộc đồ thị $\left( P \right)$.
b) Đồ thị hàm số bậc hai $\left( P \right)$ có tọa độ đỉnh là $I\left( { – \frac{1}{4}; – \frac{{25}}{8}} \right)$.
c) Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ; – 2} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( {3; + \infty } \right)$.
d) Có 5 giá trị nguyên dương $m \in \left[ { – 3;10} \right)$ để đường thẳng $\left( d \right):y = – \left( {m + 1} \right)x – m – 2$ cắt đồ thị $\left( P \right):y = 2{x^2} + x – 3$ tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục tung.
Lời giải
Thay $x = 0;y = 3$ vào đồ thị $\left( P \right)$ thì không thỏa mãn.
Bảng biến thiên của hàm số bậc hai:
Vậy tọa độ đỉnh của hàm số bậc hai là $I\left( { – \frac{1}{4}; – \frac{{25}}{8}} \right)$
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $d:2{x^2} + x – 3 = – \left( {m + 1} \right)x – m – 2$
$ \Leftrightarrow 2{x^2} + x – 3 + \left( {m + 1} \right)x + m + 2 = 0$ $ \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {m + 2} \right)x + m – 1 = 0$
Để phương trình $\left(* \right)$ có hai nghiệm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục tung thì ta có điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta > 0} \\
{P > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{m^2} – 4m + 12 > 0} \\
{\frac{{m – 1}}{2} > 0}
\end{array} \Leftrightarrow m > 1} \right.} \right.$
Vậy có 7 giá trị nguyên dương $m \in \left[ { – 3;10} \right)$ để đường thẳng $\left( d \right)$ cắt đồ thị $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục tung.
a) Sai: Điểm $A\left( {0;3} \right)$ không thuộc đồ thị $\left( P \right)$
b) Đúng: Đồ thị hàm số bậc hai $\left( P \right)$ có tọa độ đỉnh là $I\left( { – \frac{1}{4}; – \frac{{25}}{8}} \right)$.
c) Đúng: Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ; – 2} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( {3; + \infty } \right)$.
d) Sai: Có 7 giá trị nguyên dương $m \in \left[ { – 3;10} \right)$ để đường thẳng $\left( d \right)$ cắt đồ thị $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục tung.
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:2x + y – 1 = 0$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + t} \\
{y = 1 – t}
\end{array}} \right.$
a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ${\Delta _2}$ là $\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} = \left( {2;1} \right)$.
b) Vectơ pháp tuyến của ${\Delta _1}$ là $\vec n = \left( {2;1} \right)$ nên ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là $\vec u = \left( {1;2} \right)$.
c) Khoảng cách từ điểm $M\left( {2;1} \right)$ đến đường thẳng ${\Delta _1}$ bằng $\frac{4}{{\sqrt 5 }}$.
d) Cosin góc tạo bởi hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ bằng $\frac{3}{{\sqrt {10} }}$.
Lời giải
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${\Delta _1}$ là $\vec n = \left( {2;1} \right)$ nên ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là $\vec u = \left( {1; – 2} \right)$
Vectơ chỉ phương của đường thẳng ${\Delta _2}$ là $\overrightarrow {u’} = \left( {1; – 1} \right)$
Khoảng cách từ $M\left( {2;1} \right)$ đến đường thẳng ${\Delta _1}$ bằng: $d\left( {M;{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| {2.2 + 1 – 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}$
Khi đó: $cos\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \left| {cos\left( {\vec u;\overrightarrow {u’} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\vec u \cdot \overrightarrow {u’} } \right|}}{{\left| {\vec u} \right| \cdot \left| {\overrightarrow {u’} } \right|}} = \frac{3}{{\sqrt 5 \cdot \sqrt 2 }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}$.
a) Sai: Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ${\Delta _2}$ là $\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} = \left( {1; – 1} \right)$.
b) Sai: Vectơ pháp tuyến của ${\Delta _1}$ là $\vec n = \left( {2;1} \right)$ nên ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là $\vec u = \left( {1; – 2} \right)$.
c) Đúng: Khoảng cách từ điểm $M\left( {2;1} \right)$ đến đường thẳng ${\Delta _1}$ bằng $\frac{4}{{\sqrt 5 }}$.
d) Đúng: Cosin góc tạo bởi hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ bằng $\frac{3}{{\sqrt {10} }}$.
Câu 3: Một cửa hàng sách mua sách từ nhà xuất bản với giá 50 (nghìn đồng)/cuốn. Cửa hàng ước tính rằng, nếu bán 1 cuốn sách với giá là $x$ (nghìn đồng) thì mỗi tháng khách hàng sẽ mua $\left( {150 – x} \right)$ cuốn sách. Hỏi cửa hàng bán 1 cuốn sách giá bao nhiêu (nghìn đồng) thì mỗi tháng sẽ thu được nhiều lãi nhất?
a) Theo ước tính, nếu cửa hàng bán một cuốn sách giá 80 nghìn đồng thì mỗi tháng khách hàng sẽ mua 150 cuốn sách.
b) Số tiền lãi của cửa hàng mỗi tháng được tính bằng công thức $T\left( x \right) = – {x^2} + 200x – 7500$.
c) Cửa hàng sẽ đạt lợi nhuận 2,1 triệu đồng mỗi tháng nếu mỗi tháng khách hàng mua 80 cuốn sách.
d) Nếu cửa hàng bán một cuốn sách với giá 100 nghìn đồng thì sẽ có lợi nhuận cao nhất.
Lời giải
Nếu cửa hàng bán một cuốn sách giá 80 nghìn đồng thì mỗi tháng khách hàng sẽ mua $150 – 80 = 70$ cuốn sách.
Gọi $T\left( x \right)$ là số tiền lãi của cửa hàng mỗi tháng
Ta có $T\left( x \right) = \left( {150 – x} \right)\left( {x – 50} \right) = – {x^2} + 200x – 7500$.
Đồ thị $T\left( x \right)$ là một parabol có đỉnh $I\left( {100;2500} \right)$
Do đó lợi nhuận cao nhất khi bán 1 cuốn sách với giá 100 (nghìn đồng).
Khi $T\left( x \right) = 2,1$ triệu thì ta có $ – {x^2} + 200x – 7500 = 2100 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 120} \\
{x = 80}
\end{array}} \right.$.
Cửa hàng sẽ đạt lợi nhuận 2,1 triệu đồng mỗi tháng nếu mỗi tháng khách hàng mua $150 – 80 = 70$ cuốn sách hoặc $150 – 120 = 30$ cuốn sách.
a) Sai: Theo ước tính, nếu cửa hàng bán một cuốn sách giá 80 nghìn đồng thì mỗi tháng khách hàng sẽ mua 70 cuốn sách.
b) Đúng: Số tiền lãi của cửa hàng mỗi tháng được tính bằng công thức
$T\left( x \right) = – {x^2} + 200x – 7500$
c) Sai: Cửa hàng sẽ đạt lợi nhuận 2,1 triệu đồng mỗi tháng nếu mỗi tháng khách hàng mua 70 cuốn sách hoặc 30 cuốn sách.
d) Đúng: Nếu cửa hàng bán một cuốn sách với giá 100 nghìn đồng thì sẽ có lợi nhuận cao nhất.
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ $\left( {Oxy} \right)$, cho tam giác $ABC$ có $A\left( {1; – 2} \right)$ và đường thẳng chứa cạnh $BC$ có phương trình $5x – 3y + 1 = 0.K$ là một điểm nằm trên đoạn thẳng $AH$ sao cho $\overrightarrow {AK} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AH} $
a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $BC$ là ${\vec u_{BC}} = \left( {3;5} \right)$.
b) Đường cao $AH$ có phương trình là $3x + 5y + 7 = 0$.
c) Hoành độ của điểm $H$ là một số nguyên dương.
d) Có hai điểm $K$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Lời giải
Đường thẳng $BC$ có một vectơ chỉ phương ${\vec u_{BC}} = \left( {3;5} \right)$.
Đường cao $AH$ đi qua điểm $A\left( {1; – 2} \right)$ và vuông góc với đường thẳng $BC$ nên có vectơ pháp tuyến là ${\vec n_{AH}} = {\vec u_{BC}} = \left( {3;5} \right)$.
Do đó phương trình đường cao $AH$ là: $3\left( {x – 1} \right) + 5\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 5y + 7 = 0$.
Vì $\left\{ H \right\} = AH \cap BC$ suy ra tọa độ của $H$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3x + 5y + 7 = 0} \\
{5x – 3y + 1 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3x + 5y = – 7} \\
{5x – 3y = – 1}
\end{array}} \right.} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{{13}}{{17}}} \\
{y = – \frac{{16}}{{17}}}
\end{array}} \right.$
suy ra $H\left( { – \frac{{13}}{{17}}; – \frac{{16}}{{17}}} \right)$.
Giả sử $K\left( {x;y} \right)$ nên $\overrightarrow {AK} = \left( {x – 1;y + 2} \right),\overrightarrow {AH} = \left( { – \frac{{13}}{{17}} – 1; – \frac{{16}}{{17}} + 2} \right)$.
Nên $\frac{3}{4}\overrightarrow {AH} = \left( { – \frac{{90}}{{68}};\frac{{54}}{{68}}} \right) \Rightarrow \frac{3}{4}\overrightarrow {AH} = \left( { – \frac{{45}}{{34}};\frac{{27}}{{34}}} \right)$.
Giả thiết $\overrightarrow {AK} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AH} $ suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – 1 = – \frac{{45}}{{34}}} \\
{y + 2 = \frac{{27}}{{34}}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{{11}}{{34}}} \\
{y = – \frac{{41}}{{34}}}
\end{array}} \right.} \right.$.
Vậy $K\left( { – \frac{{11}}{{34}}; – \frac{{41}}{{34}}} \right)$.
a) Đúng: Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $BC$ là ${\vec u_{BC}} = \left( {3;5} \right)$.
b) Đúng: Đường cao $AH$ có phương trình là $3x + 5y + 7 = 0$.
c) Sai: Hoành độ của điểm $H$ là một số âm.
d) Sai: Chỉ có duy nhất một điểm $K$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6 .
Câu 1: Nghiệm của phương trình $\sqrt {2{x^2} – 5x – 9} = x – 1$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
Điều kiện: $x \geqslant 1$.
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
$2{x^2} – 5x – 9 = {x^2} – 2x + 1 \Leftrightarrow {x^2} – 3x – 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 5} \\
{x = – 2}
\end{array}.} \right.$
Đối chiếu với điều kiện $x \geqslant 1$ ta thấy chỉ có $x = 5$ thỏa mãn.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = 5$.
Câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để $f\left( x \right) = {x^2} – 2\left( {2m – 3} \right)x + 4m – 3 > 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$ ?
Lời giải
Ta có: $f\left( x \right) = {x^2} – 2\left( {2m – 3} \right)x + 4m – 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a > 0} \\
{\Delta ‘ < 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 > 0} \\
{{{(2m – 3)}^2} – \left( {4m – 3} \right) < 0}
\end{array} \Leftrightarrow 4{m^2} – 16m + 12 < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 3.} \right.} \right.$
Vậy chỉ có một giá trị nguyên $m = 2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 3: Một trận bóng đá được tổ chức ở một sân vận động có sức chứa 15000 người. Với giá vé $14\$ $ thì trung bình các trận đấu gần đây có 9500 khán giả. Theo một khảo sát thị trường đã chỉ ra rằng cứ giả $1\$ $ mỗi vé thì trung bình số khán giả tăng lên 1000 người. Giá vé bằng bao nhiêu thì thu được nhiều lợi nhuận nhất (đơn vị: $)?
Lời giải
Ta thấy có hai đại lượng thay đổi là giá vé và số lượng khán giả.
Gọi $x\$ $ là giá vé $(x > 0)$.
Số tiền giá vé được giảm xuống là: $14 – x$
Số khán giả tăng lên là: $1000\left( {14 – x} \right)$
Số khán giả là: $9500 + 1000\left( {14 – x} \right)$
Do lợi nhuận = giá vé $x$ số khán giả nên nếu gọi lợi nhuận thu được là $y$ thì
$y = x\left( {9500 + 1000\left( {14 – x} \right)} \right) = – 1000{x^2} + 23500x$
Do $y$ là hàm số bậc hai nên nhận giá trị cực đại khi $x = \frac{{ – b}}{{2a}} = \frac{{ – 23500}}{{ – 2000}} = 11,75$.
Vậy giá vé bằng 11,75 $ thì thu được nhiều lợi nhuận nhất.
Câu 4: Tìm giá trị của tham số $m$ để hai đường thẳng ${d_1}:\left( {2m – 1} \right)x + my – 10 = 0$ và ${d_2}:x + 2y + 6 = 0$ vuông góc nhau?
Lời giải
Đường thẳng ${d_1}:\left( {2m – 1} \right)x + my – 10 = 0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec n_1} = \left( {2m – 1;m} \right)$
Đường thẳng ${d_2}:3x + 2y + 6 = 0$ có một vectơ pháp tuyến ${\vec n_2} = \left( {;2} \right)$
Hai đường thẳng ${d_1} \bot {d_2} \Rightarrow {\vec n_1} \cdot {\vec n_2} = 0 \Leftrightarrow \left( {2m – 1} \right) + 2m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{4} = 0,25$.
Câu 5: Cho tam giác $ABC$ biết $A\left( {1;4} \right);B\left( {3; – 1} \right);C\left( {6; – 2} \right)$. Phương trình đường thẳng $d$ qua $C$ và chia tam giác thành hai phần, sao cho phần chứa điểm $A$ có diện tích gấp đối phần chứa điểm $B$ có dạng $ax + bx + c = 0$. Tính $a + b + c$ ?
Lời giải
Gọi $D$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và đoạn thẳng $AB$
Ta có: ${S_{\vartriangle ACD}} = \frac{1}{2}CH.AD$ và ${S_{\vartriangle BCD}} = \frac{1}{2}CH.BD$
Vì ${S_{\vartriangle ACD}} = 2{S_{\vartriangle BCD}} \Rightarrow AD = 2BD$
Lấy $D \in AB$ sao cho $\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {DB} \Rightarrow D = \left( {\frac{7}{3};\frac{2}{3}} \right)$.
Ta có đường thẳng $d$ đi qua $C\left( {6; – 2} \right)$ và nhận $\overrightarrow {CD} = \left( { – 11;8} \right)$ là vectơ chỉ phương nên đường thẳng $d$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {8;11} \right)$
Vậy phương trình đường thẳng $d$ là: $8x + 11y – 26 = 0$
$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 8} \\
{b = 11} \\
{c = – 26}
\end{array} \Rightarrow a + b + c = – 7} \right.$.
Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai đường thẳng ${d_1}:x – y – 2 = 0,{d_2}:2x + y – 4 = 0$ và điểm $M\left( { – 3;4} \right)$. Gọi $\Delta :ax + by + 5 = 0$ là đường thẳng đi qua $M$ và cắt ${d_1},{d_2}$ lần lượt tại $A,B$ sao cho $\overrightarrow {MA} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MB} $. Tính giá trị biểu thức $T = 2a – 3b$.
Lời giải
Ta có: $A = \Delta \cap {d_1} \Rightarrow A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {t;t – 2} \right)$ và $B = \Delta \cap {d_2} \Rightarrow B \in {d_2} \Rightarrow B\left( {t’; – 2t’ + 4} \right)$.
Suy ra: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {MA} = \left( {t + 3;t – 6} \right)} \\
{\overrightarrow {MB} = \left( {t’ + 3; – 2t’} \right)}
\end{array}} \right.$
Mà: $\overrightarrow {MA} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t + 3 = \frac{3}{2} \cdot \left( {t’ + 3} \right)} \\
{t – 6 = \frac{3}{2} \cdot \left( { – 2t’} \right)}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t – \frac{3}{2}t’ = \frac{3}{2}} \\
{t + 3t’ = 6}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 3} \\
{t’ = 1}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{A\left( {3;1} \right)} \\
{B\left( {1;2} \right)}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$
Mặt khác: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{A \in \Delta } \\
{B \in \Delta }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3a + b + 5 = 0} \\
{a + 2b + 5 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = – 1} \\
{b = – 2}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$
Vậy: $T = 2a – 3b = 2 \cdot \left( { – 1} \right) – 3 \cdot \left( { – 2} \right) = 4$.
