Đề ôn tập HK2 Toán 10 Cánh diều 2023-2024 giải chi tiết-Đề 2 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 ĐIỂM)
Câu 1. Có bao nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh thành một hàng dọc?
A. 10.10 ; B. $10!$ C. $C_{10}^1$; D. $A_{10}^1$,
Câu 2. Cho tập hợp $M = \left\{ {a;b;c} \right\}$. Số hoán vị của ba phần tử của $M$ là
A. 4 ; B. 5 ; C. 6 ; D. 7 .
Câu 3. Hệ số của đơn thức ${a^3}{b^2}$ trong khai triển nhị thức ${(a + 2b)^5}$.
A. 160 ; B. 80 ; C. 20 ; D. 40 .
Câu 4. Gọi $P\left( A \right)$ là xác suất của biến cố $A$. Khẳng định nào sau đây sai?
A. $P\left( {\overline A } \right) = 1 – P\left( A \right)$; B. $P\left( {\overline A } \right) > 1$; C. $0 \leqslant P\left( {\overline A } \right) \leqslant 1$; D. $P\left( A \right) + P\left( {\overline A } \right) = 1$.
Câu 5. Gieo ngẫu nhiên 2 đồng tiền thì không gian mẫu của phép thử có bao nhiêu phần tử?
A. 4 ; B. 8 ; C. 12 ; D. 16 .
Câu 6. Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt bằng 7 là
A. $\frac{1}{2}$; B. $\frac{7}{{12}}$; C. $\frac{1}{6}$; D. $\frac{1}{3}$.
Câu 7. Trên giá sách có 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Vật lý, 2 quyển sách Hoá học. Lây ngẫu nhiên 3 quyển sách trên kệ sách ấy. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra đều là sách Toán.
A. $\frac{2}{7}$; B. $\frac{1}{{21}}$; C. $\frac{{37}}{{42}}$; D. $\frac{5}{{42}}$.
Câu 8. Cho số gần đúng $a = 1,2568$ với độ chính xác $d = 0,001$. Số quy tròn của số $a$ là
A. 1,257 ; B. 1,26 ; C. 1,256 ; D. 1,3 .
Câu 9. Trung vị của mẫu số liệu: $4;5;5;6;7;7;8;9;9$ là
A. 6 ; B. 7 ; C. 8 ; D. 9 .
Câu 10. Khảo sát điểm thi đầu vào môn Tiếng Anh (thang điểm 100) của một số sinh viên tại một trường đại học cho kết quả như sau:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là
A. 65 ; B. 60 ; C. 45 ; D. 40 .
Câu 11. Có 100 học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi môn Toán (thang điểm 20). Kết quả như sau:
| Điềm | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
| Tần số | 1 | 1 | 3 | 5 | 8 | 13 | 19 | 24 | 14 | 10 | 2 |
Giá trị mốt của mẫu số liệu trên là
A. 1 ; B. 24 ; C. 16 ; D. 10 .
Câu 12. Một mẫu số liệu có độ lệch chuẩn bằng 2,5 . Phương sai của mẫu số liệu đó là
A. 2,5 ; B. 6,25 ; C. 1,58 ; D. 5 .
Câu 13. Khoảng tứ phân vị ${\Delta _Q}$ là
A. ${Q_2} – {Q_1}$; B. ${Q_3} – {Q_2}$; C. ${Q_3} – {Q_1}$; D. ${Q_2} – {Q_3}$.
Câu 14. Góc giữa hai đường thẳng có thể là góc
A. nhọn; B. vuông; C. $A$ và $B$ dúng; D. $A$ và $C$ sai.
Câu 15. Đường tròn tâm $I\left( {1;4} \right)$ và đi qua điểm $B\left( {2;6} \right)$ có phương trình là:
A. ${(x + 1)^2} + {(y + 4)^2} = 5$; B. ${(x – 1)^2} + {(y – 4)^2} = \sqrt 5 $;
C. ${(x + 1)^2} + {(y + 4)^2} = \sqrt 5 $; D. ${(x – 1)^2} + {(y – 4)^2} = 5$.
Câu 16. Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn tâm $I\left( { – 1;2} \right)$, bán kính bằng 3 ?
A. ${(x – 1)^2} + {(y + 2)^2} = 9$; B. ${(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} = 9$; C. ${(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} = 9$; D. ${(x + 1)^2} + {(y – 2)^2} = 9$.
Câu 17. Cho đường tròn $\left( C \right)$ có phương trình ${(x + 5)^2} + {(y – 2)^2} = 25$. Đường tròn (C) còn được viết dưới dạng nào trong các dạng dưới đây
A. ${x^2} + {y^2} + 10x + 4y + 4 = 0$; B. ${x^2} + {y^2} + 10x + 4y – 4 = 0$;
C. ${x^2} + {y^2} + 10x – 4y – 4 = 0$; D. ${x^2} + {y^2} + 10x – 4y + 4 = 0$.
Câu 18. Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, cho điểm $I\left( {1;1} \right)$ và đường thẳng $\left( d \right):3x + 4y – 2 = 0$. Đường tròn tâm $I$ và tiếp xúc với đường thẳng $\left( d \right)$ có phương trình
A. ${(x – 1)^2} + {(y – 1)^2} = 5$; B. ${(x – 1)^2} + {(y – 1)^2} = 25$; C. ${(x – 1)^2} + {(y – 1)^2} = 1$; D. ${(x – 1)^2} + {(y – 1)^2} = \frac{1}{5}$.
Câu 19. Trong các phương trình sau phương trình nào biểu diễn một Hypebol?
A. $\frac{{{x^2}}}{9} – \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$ B. $\frac{{{x^2}}}{{ – 9}} – \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$ C. $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{{( – y)}^2}}}{9} = 1$ D. $\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1$
Câu 20. Cho Elip $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{225}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1$. Chu vi hình chữ nhật có chiều dài bằng trục lớn của Elip và chiều rộng bằng trục nhỏ của Elip là
A. $23$; B. $46$; C. $92$; D. $\frac{{23}}{2}$.
Câu 21. Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm một món chính trong năm món chính, một loại quả tráng miệng trong năm loại quả tráng miệng và một loại nước uống trong ba loại nước uống. Số cách chọn thực đơn là
A. 25 ; B. 75 ; C. 100 ; D. 15 .
Câu 22. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $M\left( {9;6} \right)$ và $N\left( { – 1; – 2} \right)$. Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $MN$ là
A. $I\left( { – 5; – 4} \right)$; B. $I\left( {8;4} \right)$; C. $I\left( { – 10; – 8} \right)$; D. $I\left( {4;2} \right)$.
Câu 23. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $d:3x – y – 2 = 0$ và $d’:x – y – 9 = 0$ là
A. $\left( { – \frac{7}{2}; – \frac{{25}}{2}} \right)$ B. $\left( {\frac{{11}}{4}; – \frac{{25}}{4}} \right)$; C. $\left( {\frac{7}{2};\frac{{25}}{2}} \right)$ D. $\left( {\frac{{11}}{4};\frac{{25}}{4}} \right)$.
Câu 24. Phương trình đường thẳng đi qua điểm $A\left( {3;2} \right)$ nhận vectơ $\vec u\left( {1; – 4} \right)$ là vectơ chỉ phương là
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 3t} \\
{y = – 4 + 2t}
\end{array}} \right.$ B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 + 2t} \\
{y = 1 – 4t}
\end{array}} \right.$ C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 + t} \\
{y = 2 – 4t}
\end{array}} \right.$ D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – 4t} \\
{y = 3 + 2t}
\end{array}} \right.$
Câu 25. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y = 1 + 4t}
\end{array}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)} \right.$. Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là
A. $4x – 5y – 7 = 0$; B. $4x + 5y – 17 = 0$; C. $4x – 5y – 17 = 0$; D. $4x + 5y + 17 = 0$.
Câu 26. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( { – 2;4} \right)$ và $B\left( {1;0} \right)$ là
A. $4x + 3y + 4 = 0$; B. $4x + 3y – 4 = 0$; C. $4x – 3y + 4 = 0$; D. $4x – 3y – 4 = 0$.
Câu 27. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $d:2x – y + 2 = 0$ và $A\left( {6;0} \right)$, $B\left( {5;2} \right)$. Tọa độ điểm $M$ thuộc đường thẳng $d$ sao cho tam giác $MAB$ vuông tại $A$ là
A. $\left( { – 2; – 2} \right)$$\;$; B. $\left( { – \frac{{10}}{3}; – \frac{{14}}{3}} \right)$; C. $\left( {\frac{2}{5};\frac{{14}}{5}} \right)$; D. $\left( { – \frac{2}{3}; – \frac{{10}}{3}} \right)$.
Câu 28. Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, vectơ nào là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2 – t} \\
{y = – 1 + 2t}
\end{array}} \right.$
A. $\overrightarrow n \left( { – 2; – 1} \right)$; B. $\overrightarrow n \;\left( {2; – 1} \right)$; C. $\overrightarrow n \;\left( { – 1;2} \right)$; D. $\overrightarrow n \left( {1;2} \right)$.
II. PHẦN TỰ LUẬN (3 điểm)
Bài 1. (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $M\left( {2;0} \right)$ là trung điểm của cạnh $AB$. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh $A$ lần lượt có phương trình là $7x – 2y – 3 = 0$ và $6x – y – 4 = 0$. Viết phương trình đường thẳng $AC$.
Bài 2. (1 điểm) Trong một tuần, nhiệt độ cao nhất trong ngày (đơn vị: ${\;^ \circ }C$ ) tại hai thành phố Hà Nội và Hồ Chí Minh được cho như sau:
| Hà Nội | 28 | 27 | 30 | 29 | 27 | 25 | 24 | 29 | 26 |
| Hồ Chí Minh | 31 | 33 | 32 | 33 | 29 | 32 | 34 | 33 | 31 |
a) Hãy tìm số trung bình, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn của mỗi mẫu số liệu trên.
b) Có nhận xét gì về sự biến động của nhiệt độ cao nhất trong ngày trong một tuần tại hai thành phố này.
Bài 3. (1 điểm) Một nhóm có 10 học sinh gồm 6 nam trong đó có Quang, và 4 nữ trong đó có Huyền được xếp ngẫu nhiên vào 10 ghế trên một hàng ngang để dự lễ sơ kết năm học. Xác suất để xếp được giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 ĐIỂM)
BẢNG ĐÁP ÁN
| 1. B | 2. C | 3. D | 4. C | 5. A | 6. C | 7. B |
| 8. B | 9. B | 10. A | 11. C | 12. B | 13. C | 14. C |
| 15. D | 16. D | 17. D | 18. C | 19. A | 20. C | 21. B |
| 22. D | 23. A | 24. C | 25. B | 26. B | 27. B | 28. A |
HƯỚNG DẪN CHI TIẾT
Câu 1.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Mỗi cách sắp xếp 10 học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của 10 phần tử.
Vậy có 10 ! cách xếp.
Câu 2.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Số hoán vị của ba phần tử của tập $M$ là: ${P_3} = 3! = 6$.
Vậy ta chọn phương án C.
Câu 3.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có
${(a + 2b)^5} = C_5^0{a^5}{(2b)^0} + C_5^1{a^4}\left( {2b} \right) + C_5^2{a^3}{(2b)^2} + C_5^3{a^2}{(2b)^3} + C_5^4a{(2b)^4} + C_5^5{(2b)^5}$
$ = {a^5} + 10{a^4}b + 40{a^3}{b^2} + 80{a^2}{b^3} + 80a{b^4} + 32{b^5}$
Suy ra hệ số của ${a^3}{b^2}$ trong khai triển trên là: $40$.
Câu 4.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Với mỗi biến cố $A$ thì $0 \leqslant P\left( A \right) \leqslant 1$
$\overline A $ là biến cố đối của biến cố $A$, khi đó:
$P\left( A \right) + P\left( {\overline A \,} \right) = 1$ hay $P\left( {\overline A } \right) = 1 – P\left( A \right)$.
$ \Rightarrow 0 \leqslant P\left( {\overline A } \right) \leqslant 1$.
Vậy đáp án B đúng.
Câu 5.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Gieo mỗi đồng xu có 2 trường hợp có thể xảy ra
Vậy số phần tử của không gian mẫu $n\left( \Omega \right) = 2.2 = 4$
Câu 6.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Số phần tử không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36$
Biến cố tổng hai mặt bằng $\;7$ là: $A = \left\{ {\left( {1;6} \right);\left( {2;5} \right);\left( {3;4} \right);\left( {4;3} \right);\left( {5;2} \right);\left( {6;1} \right)} \right\}$ nên $n\left( A \right) = 6$.
Suy ra $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}$
Câu 7.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Số phần tử của không gian mẫu là: $n\left( \Omega \right) = C_9^3 = 84$.
Goi $A$ là biến cố “lấy được 3 quyển sách Toán”
Số phần tử của biến cố $A$ là: $n\left( A \right) = C_4^3 = 4$
Xác suất biến cố là: $P\left( A \right) = \frac{4}{{84}} = \frac{1}{{21}}$.
Câu 8.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Vì hàng lớn nhất của độ chính xác $d = 0,001$ là hàng phần nghìn, nên ta quy tròn $a$ đến hàng phần trăm.
Vậy số quy tròn của số $a$ là 1,26.
Câu 9.
Lời giải
Đáp án đúng là: $B$
Mẫu số liệu gồm 9 số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm.
Do đó, trung vị của mẫu số liệu là số ở vị trí thứ 5 nên ${M_e} = 7$.
Câu 10.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 95 , giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là 30 .
Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là $R = 95 – 30 = 65$.
Câu 11.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Từ bảng thống kê ta thấy giá trị 16 có tần số lớn nhất (24) nên mốt của mẫu số liệu là 16.
Câu 12.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Phương sai của mẫu số liệu đã cho là ${s^2} = {(2,5)^2} = 6,25$.
Câu 13.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Khoảng tứ phân vị ${\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1}$.
Câu 14.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Góc giữa hai đường thẳng là số đo của góc không tù. Do đó $A$ và $B$ đều đúng.
Câu 15.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Đường tròn tâm $I$ và đi qua điểm $B\left( {2;6} \right)$ có bán kính $R = IB$
Ta có $IB\left( {1;2} \right)$ suy ra $R = IB = \left| {IB} \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 $
Vậy đường tròn có phương trình là: ${(x – 1)^2} + {(y – 4)^2} = 5$.
Câu 16.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Phương trình đường tròn tâm $I\left( { – 1;2} \right)$ và bán kính $R = 3$ là: ${(x + 1)^2} + {(y – 2)^2} = 9$.
Câu 17.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: ${(x + 5)^2} + {(y – 2)^2} = 25$
$ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 10x – 4y + 4 = 0$.
Câu 18.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Đường tròn tâm $I$ và tiếp xúc với đường thẳng $\left( d \right)$ có bán kính
$R = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 – 2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 1$
Vậy đường tròn có phương trình là: ${(x – 1)^2} + {(y – 1)^2} = 1$.
Câu 19.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Phương trình chính tắc của Hypebol có dạng: $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1;(a,b > 0)$
Vậy đáp án đúng là A.
Câu 20.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Xet $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{225}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1$ có $a = 15,b = 8$
Khi đó:
• Độ dài trục lớn là: $2a = 2.15 = 30$;
• Độ dài trục nhỏ là: $2b = 2.8 = 16$.
Do đó chu vi hình chữ nhật cần tìm là: $2\left( {30 + 16} \right) = 92$.
Câu 21.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Việc chọn thực đơn gồm ba công đoạn:
Công đoạn 1: Chọn một món chính, có 5 cách chọn.
Công đoạn 2: Chọn một loại quả tráng miệng, có 5 cách chọn.
Công đoạn 3: chọn một loại nước uống, có 3 cách chọn.
Theo quy tắc nhân, ta có tất cả 5.5.3 = 75 cách chọn thực đơn.
Vậy ta chọn phương án B.
Câu 22.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $MN$ thỏa mãn:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_I} = \frac{{9 + \left( { – 1} \right)}}{2} = 4} \\
{{y_I} = \frac{{6 + \left( { – 2} \right)}}{2} = 2}
\end{array} \Rightarrow I\left( {4;2} \right)} \right.$
Câu 23.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Tọa độ giao điểm của đường thẳng $d$ và đường thẳng $d’$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3x – y – 2 = 0} \\
{x – y – 9 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{7}{2}} \\
{y = – \frac{{25}}{2}}
\end{array}} \right.} \right.$
Câu 24.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A\left( {3;2} \right)$ nhận vectơ $\vec u\left( {1; – 4} \right)$ là vectơ chỉ phương có dạng: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 + t} \\
{y = 2 – 4t}
\end{array}} \right.$.
Câu 25.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( {3;1} \right)$ và có một vectơ chỉ phương là $\vec u\left( { – 5;4} \right)$ suy ra đường thẳng có một vectơ pháp tuyến là $n\left( {4;5} \right)$.
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là: $4\left( {x – 3} \right) + 5\left( {y – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 5y – 17 = 0$.
Câu 26.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: $\overrightarrow {AB} \left( {3; – 4} \right)$
Khi đó đường thẳng $AB$ nhận $\left( {4;3} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: $4\left( {x – 1} \right) + 3\left( {y – 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y – 4 = 0.$
Câu 27.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: $\overrightarrow {AB} \left( { – 1;2} \right)$
Gọi $d’$ là đường thẳng vuông góc với đường thẳng $AB$ tại $A$.
Khi đó phương trình đường thẳng $d’$ là:
$ – \left( {x – 6} \right) + 2\left( {y – 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x – 2y – 6 = 0$.
Điểm $M$ là giao điểm của $d$ và $d’$ nên tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x – y + 2 = 0} \\
{x – 2y – 6 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{{10}}{3}} \\
{y = – \frac{{14}}{3}}
\end{array} \Rightarrow M\left( { – \frac{{10}}{3}; – \frac{{14}}{3}} \right)} \right.} \right.$
Câu 28.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow u \left( { – 1;2} \right)$ suy ra một vectơ pháp tuyến của $d$ là $n\left( { – 2; – 1} \right)$.
II. PHẦN TỰ LUẬN (3 điểm)
Bài 1. (1 điểm)
Lời giải
+) Gọi $AH$ và $AD$ lần lượt là các đường cao và trung tuyến kẻ từ $A$ của tam giác $ABC$.
+) Tọa độ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{7x – 2y – 3 = 0} \\
{6x – y – 4 = 0}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{y = 2}
\end{array} \Rightarrow A\left( {1;2} \right)} \right.} \right.$ $M\;$ là trung điểm của $AB\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_B} = 2{x_M} – {x_A} = 3} \\
{{y_B} = 2{y_M} – {y_A} = – 2}
\end{array} \Rightarrow B\left( {3; – 2} \right)} \right.$.
+) Đường thẳng $BC$ đi qua $B\left( {3; – 2} \right)$ và vuông góc với đường thẳng $AH$ : $6x – y – 4 = 0$ nên có phương trình $1\left( {x – 3} \right) + 6\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 6y + 9 = 0$.
+) $D$ là giao điểm của $BC$ và $AD$ nên tọa độ $D$ là nghiệm của hệ
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{7x – 2y – 3 = 0} \\
{x + 6y + 9 = 0}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{y = – \frac{3}{2}}
\end{array} \Rightarrow D\left( {0; – \frac{3}{2}} \right)} \right.} \right.$
Mà $D$ là trung điểm của $BC$ suy ra $C\left( { – 3; – 1} \right)$.
+) Đường thẳng $AC$ đi qua $A\left( {1;2} \right)$ và có một vectơ chỉ phương là vectơ $AC = \left( { – 4; – 3} \right)$ vậy đường thẳng $AC$ có một vectơ chỉ phương là $AC\left( { – 4; – 3} \right)$ suy ra đường thẳng $AC$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n\left( {3; – 4} \right)$ phương trình đường thẳng $AC$ là $3\left( {x – 1} \right) – 4\left( {y – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x – 4y + 5 = 0$.
Bài 2. (1 điểm)
Lời giải
a)
* Hà Nội
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:
$\begin{array}{*{20}{l}}
{24}&{25}&{26}&{27}&{27}&{28}&{29}&{29}&{30.}
\end{array}$
• Nhiệt độ trung bình là
$\overline X = \frac{{24 + 25 + 26 + 27 \cdot 2 + 28 + 29 \cdot 2 + 30}}{9} = \frac{{245}}{9}.$
• Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là $R = 30 – 24 = 6$.
• Vì mẫu có 9 số liệu nên trung vị hay tứ phân vị thứ hai là số ở vị trí thứ 5. Do đó, ${Q_2} = 27$.
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: $24\;25\;26\;27$.
Do đó, ${Q_1} = \frac{{25 + 26}}{2} = 25,5$.
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: $28\;29\;29\;30$.
Do đó, ${Q_3} = \frac{{29 + 29}}{2} = 29$.
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là ${\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1} = 29 – 25,5 = 3,5$.
• Phương sai mẫu số liệu là
${s^2} = \frac{{{{\left( {24 – \frac{{245}}{9}} \right)}^2} + {{\left( {25 – \frac{{245}}{9}} \right)}^2} + \ldots + {{\left( {30 – \frac{{245}}{9}} \right)}^2}}}{9} \approx 3,51$.
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là $S = \sqrt {{s^2}} \approx \sqrt {3,51} \approx 1,87$.
* Hồ Chí Minh
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:
| 29 | 31 | 31 | 32 | 32 | 33 | 33 | 33 | 34. |
• Nhiệt độ trung bình là
$\overline {X’} = \frac{{29 + 31 \cdot 2 + 32 \cdot 2 + 33 \cdot 3 + 34}}{9} = 32$
• Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là $R’ = 34 – 29 = 5$.
• Vì mẫu có 9 số liệu nên trung vị hay tứ phân vị thứ hai là số ở vị trí thứ 5 .
Do đó, $Q_2′ = 32$.
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: $29\;31\;31\;32$.
Do đó, $Q_1′ = \frac{{31 + 31}}{2} = 31$.
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: $\begin{array}{*{20}{l}}
{33}&{33}&{33}&{34}
\end{array}$
Do đó, $Q_3′ = \frac{{33 + 33}}{2} = 33$.
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là $\Delta _Q’ = Q_3′ – Q_1′ = 33 – 31 = 2$.
• Phương sai mẫu số liệu là
${s’^{2}} = \frac{{{{(29 – 32)}^2} + 2 \cdot {{(31 – 32)}^2} + \ldots + {{(34 – 32)}^2}}}{9} = 2$.
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là $s’ = \sqrt {{s’^{2}}} = \sqrt 2 \approx 1,41$.
b) Từ câu a, ta thấy khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn của dãy số liệu về nhiệt độ cao nhất trong ngày trong một tuần tại thành phố Hồ Chí Minh đều nhỏ hơn các số đặc trưng này tại Hà Nội nên ta khẳng định rằng nhiệt độ cao nhất trong ngày trong một tuần ở thành phố Hồ Chí Minh ít biến động hơn.
Bài 3. (1 điểm)
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu $n\left( \Omega \right) = 10$ !
Giả sử các ghế được đánh số từ 1 đến 10 .
Để có cách xếp sao cho giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam thì các bạn nữ phải ngồi ở các ghế đánh số $1;4;7;10$. Số cách xếp chỗ ngồi loại này là: 6!.4! cách.
Ta tính số cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho Huyền và Quang ngồi cạnh nhau Nếu Huyền ngồi ở ghế 1 hoặc 10 thì có 1 cách xếp chỗ ngồi cho Quang. Nếu Huyền ngồi ở ghế 4 hoặc 7 thì có 2 cách xếp chỗ ngồi cho Quang.
Do đó, số cách xếp chỗ ngồi cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là $2 + 2.2 = 6$
Suy ra, số cách xếp chỗ ngồi cho 10 người sao cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là $6.3!.5$ ! cách
Gọi $A$ là biến cố: “Giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền”.
Số phần tử của biến cố $A$ là: $n\left( A \right) = 4!.6! – 6.5!.3! = 12960$.
Xác suất của biến cố $A$ là: $P\left( A \right) = \frac{{12960}}{{10!}} = \frac{1}{{280}}$.
