70 Câu trắc nghiệm bài Giá trị góc lượng giác từ 00 đến 1800 giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 5 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
DẠNG 1: DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC-TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
Câu 1. Cho $\alpha $ là góc nhọn. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $sin\alpha < 0$.
B. $cos\alpha > 0$.
C. $tan\alpha < 0$.
D. $cot\alpha < 0$.
Lời giải
Chọn C.
$\alpha $ là góc nhọn suy ra $cos\alpha > 0$.
Câu 2. Cho $\alpha $ là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $sin\alpha < 0$.
B. $cos\alpha > 0$.
C. $tan\alpha < 0$.
D. $cot\alpha > 0$.
Lời giải
Chọn C.
$\alpha $ là góc tù suy ra : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{sin\alpha > 0} \\
{cos\alpha < 0}
\end{array} \Rightarrow tan\alpha < 0} \right.$.
Câu 3. Cho hai góc nhọn $\alpha $ và $\beta $ trong đó $\alpha < \beta $. Khẳng định nào sau đây sai?
A. $sin\alpha < sin\beta $.
B. $cos\alpha < cos\beta $.
C. $cos\alpha = sin\beta \Leftrightarrow \alpha + \beta = {90^ \circ }$.
D. $cot\alpha + tan\beta > 0$.
Lời giải
Chọn B.
$\alpha $ và $\beta $ là hai góc nhọn $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{sinx > 0} \\
{cosx > 0}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{tanx > 0} \\
{cotx > 0}
\end{array} \Rightarrow tanx + cotx > 0} \right.} \right.$.
$\alpha + \beta = {90^ \circ } \Rightarrow sin\beta = sin\left( {{{90}^ \circ } – \alpha } \right) = cos\alpha $.
Với $\alpha < \beta $, biểu diễn trên nửa đường tròn đơn vị. Suy ra: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{sin\alpha < sin\beta } \\
{cos\alpha > cos\beta }
\end{array}} \right.$.
Câu 4. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. $cos\alpha = – cos\left( {{{180}^ \circ } – \alpha } \right)$.
B. $cot\alpha = cot\left( {{{180}^ \circ } – \alpha } \right)$.
C. $tan\alpha = tan\left( {{{180}^ \circ } – \alpha } \right)$.
D. $sin\alpha = – sin\left( {{{180}^ \circ } – \alpha } \right)$.
Lời giải
Chọn A.
Với hai góc bù nhau ta có $cos\alpha = – cos\left( {{{180}^ \circ } – \alpha } \right)$.
Câu 5. Cho hai góc nhọn $\alpha $ và $\beta (\alpha < \beta )$. Khẳng định nào sau đây sai?
A. $cos\alpha < cos\beta $.
B. $sin\alpha < sin\beta $.
C. $tan\alpha + tan\beta > 0$.
D. $cot\alpha > cot\beta $.
Lời giải
Chọn A.
Câu 6. Cho góc $\alpha $ tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $sin\alpha < 0$.
B. $cos\alpha > 0$.
C. $tan\alpha > 0$.
D. $cot\alpha < 0$.
Lời giải
Chọn D.
Câu 7. Cho $\alpha $ và $\beta $ là hai góc khác nhau và bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai?
A. $sin\alpha = sin\beta $.
B. $cos\alpha = – cos\beta $.
C. $tan\alpha = – tan\beta $.
D. $cot\alpha = cot\beta $.
Lời giải
Chọn D.
Mối liên hệ hai cung bù nhau.
Câu 8. Bất đẳng thức nào dưới đây là sai?
A. $cos{75^ \circ } > cos{50^ \circ }$.
B. $sin{80^0} > sin{50^0}$.
C. $tan{45^ \circ } < tan{60^ \circ }$.
D. $cos{30^ \circ } = sin{60^ \circ }$.
Lời giải
Chọn A.
Câu 9. Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?
A. $sin{90^ \circ } < sin{100^ \circ }$.
B. $cos{95^0} > cos{100^0}$.
C. $tan{85^ \circ } < tan{125^0}$.
D. $cos{145^ \circ } > cos{125^ \circ }$.
Lời giải
Chọn B.
Câu 10. Cho góc $\alpha \in \left( {{{90}^ \circ };{{180}^ \circ }} \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $sin\alpha $ và $cot\alpha $ cùng dấu.
B. Tích $sin\alpha \cdot cot\alpha $ mang dấu âm.
C. Tích $sin\alpha \cdot cos\alpha $ mang dấu dương.
D. $sin\alpha $ và $tan\alpha $ cùng dấu.
Lời giải
Chọn B
Với $\alpha \in \left( {{{90}^ \circ };{{180}^ \circ }} \right)$, ta có $sin\alpha > 0,cos\alpha < 0$ suy ra: $tan\alpha < 0,cot\alpha < 0$
Vậy $sin\alpha \cdot cot\alpha < 0$
Câu 11. Cho góc $\alpha $ tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $sin\alpha < 0$.
B. $cos\alpha > 0$.
C. $tan\alpha > 0$.
D. $cot\alpha < 0$.
Lời giải
Chọn D
Câu 12. Hai góc nhọn $\alpha $ và $\beta $ phụ nhau, hệ thức nào sau đây là sai?
A. $sin\alpha = cos\beta $.
B. $tan\alpha = cot\beta $.
C. $cot\beta = \frac{1}{{cot\alpha }}$.
D. $cos\alpha = – sin\beta $.
Lời giải
Chọn D
$cos\alpha = cos\left( {{{90}^ \circ } – \beta } \right) = sin\beta $.
Câu 13. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?
A. $sin{150^ \circ } = – \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.
B. $cos{150^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.
C. $tan{150^ \circ } = – \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.
D. $cot{150^ \circ } = \sqrt 3 $
Lời giải
Chọn C
Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.
Câu 14. Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?
A. $sin{90^ \circ } < sin{100^ \circ }$.
B. $cos{95^ \circ } > cos{100^ \circ }$.
C. $tan{85^ \circ } < tan{125^ \circ }$.
D. $cos{145^ \circ } > cos{125^ \circ }$.
Lời giải
Chọn B
Câu 15. Giá trị của $tan{45^ \circ } + cot{135^ \circ }$ bằng bao nhiêu?
A. 2 .
B. 0 .
C. $\sqrt 3 $.
D. 1 .
Lời giải
Chọn B
$tan{45^ \circ } + cot{135^ \circ } = 1 – 1 = 0$
Câu 16. Giá trị của $cos{30^ \circ } + sin{60^ \circ }$ bằng bao nhiêu?
A. $\frac{{\sqrt 3 }}{3}$.
B. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$.
C. $\sqrt 3 $.
D. 1 .
Lời giải
Chọn C
$cos{30^ \circ } + sin{60^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 $.
Câu 17. Giá trị của $cos{60^ \circ } + sin{30^ \circ }$ bằng bao nhiêu?
A. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$.
B. $\sqrt 3 $.
C. $\frac{{\sqrt 3 }}{3}$.
D. 1
Lời giải
Chọn D
Ta có $cos{60^ \circ } + sin{30^ \circ } = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
Câu 18. Giá trị của $tan{30^ \circ } + cot{30^ \circ }$ bằng bao nhiêu?
A. $\frac{4}{{\sqrt 3 }}$.
B. $\frac{{1 + \sqrt 3 }}{3}$.
C. $\frac{2}{{\sqrt 3 }}$.
D. 2 .
Lời giải
Chọn A
$tan{30^ \circ } + cot{30^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \sqrt 3 = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}$.
Câu 19. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?
A. $sin{0^ \circ } + cos{0^ \circ } = 1$.
B. $sin{90^ \circ } + cos{90^ \circ } = 1$.
C. $sin{180^ \circ } + cos{180^ \circ } = – 1$.
D. $sin{60^ \circ } + cos{60^ \circ } = 1$.
Lời giải
Chọn D
Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.
Câu 20. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. $cos{60^ \circ } = sin{30^ \circ }$.
B. $cos{60^ \circ } = sin{120^ \circ }$.
C. $cos{30^ \circ } = sin{120^ \circ }$.
D. $sin{60^ \circ } = – cos{120^ \circ }$.
Lời giải
Chọn B
Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.
Câu 21. Đẳng thức nào sau đây sai?
A. $sin{45^ \circ } + sin{45^ \circ } = \sqrt 2 $.
B. $sin{30^ \circ } + cos{60^ \circ } = 1$.
C. $sin{60^ \circ } + cos{150^ \circ } = 0$.
D. $sin{120^ \circ } + cos{30^ \circ } = 0$.
Lời giải
Chọn D
Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.
Câu 22. Cho hai góc nhọn $\alpha $ và $\beta (\alpha < \beta )$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $cos\alpha < cos\beta $.
B. $sin\alpha < sin\beta $.
C. $tan\alpha + tan\beta > 0$.
D. $cot\alpha > cot\beta $.
Lời giải
Chọn B
Biểu diễn lên đường tròn.
Câu 23. Cho $\vartriangle ABC$ vuông tại $A$, góc $B$ bằng ${30^ \circ }$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $cosB = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.
B. $sinC = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.
C. $cosC = \frac{1}{2}$.
D. $sinB = \frac{1}{2}$
Lời giải
Chọn A
$cosB = cos{30^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.
Câu 24. Tính giá trị của biểu thức $P = sin{30^ \circ }cos{60^ \circ } + sin{60^ \circ }cos{30^ \circ }$.
A. $P = 1$.
B. $P = 0$.
C. $P = \sqrt 3 $.
D. $P = – \sqrt 3 $.
Lời giải
Chọn A
Ta có: $P = sin{30^ \circ }cos{60^ \circ } + sin{60^ \circ }cos{30^ \circ } = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 1$.
Câu 25. Giá trị của biểu thức $A = si{n^2}{51^ \circ } + si{n^2}{55^ \circ } + si{n^2}{39^ \circ } + si{n^2}{35^ \circ }$ là
A. 3 .
B. 4 .
C. 1 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn D
$A = \left( {si{n^2}{{51}^ \circ } + si{n^2}{{39}^ \circ }} \right) + \left( {si{n^2}{{55}^ \circ } + si{n^2}{{35}^ \circ }} \right) $
$= \left( {si{n^2}{{51}^ \circ } + co{s^2}{{51}^ \circ }} \right) + \left( {si{n^2}{{55}^ \circ } + co{s^2}{{55}^ \circ }} \right) = 2$.
Câu 26. Giá trị của $E = sin{36^ \circ }cos{6^ \circ }sin{126^ \circ }cos{84^ \circ }$ là
A. $\frac{1}{2}$.
B. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$.
C. 1 .
D. -1 .
Lời giải
Chọn A
$E = sin{36^ \circ }cos{6^ \circ }sin\left( {{{90}^ \circ } + {{36}^ \circ }} \right)cos\left( {{{90}^ \circ } – {6^ \circ }} \right) $
$= sin{36^ \circ }cos{6^ \circ } – cos{36^ \circ }sin{6^ \circ } = sin{30^ \circ } = \frac{1}{2}$
Câu 27. Giá trị của $A = tan{5^ \circ } \cdot tan{10^ \circ } \cdot tan{15^ \circ } \ldots tan{80^ \circ } \cdot tan{85^ \circ }$ là
A. 2 .
B. 1 .
C. 0 .
D. -1 .
Lời giải
Chọn B
$A = \left( {tan{5^ \circ } \cdot tan{{85}^ \circ }} \right) \cdot \left( {tan{{10}^ \circ } \cdot tan{{80}^ \circ }} \right) \ldots \left( {tan{{40}^ \circ }tan{{50}^ \circ }} \right) \cdot tan{45^ \circ } = 1$.
Câu 28. Tổng $si{n^2}{2^ \circ } + si{n^2}{4^ \circ } + si{n^2}{6^ \circ } + \ldots + si{n^2}{84^ \circ } + si{n^2}{86^ \circ } + si{n^2}{88^ \circ }$ bằng
A. 21 .
B. 23 .
C. 22 .
D. 24 .
Lời giải
Chọn C
$S = si{n^2}{2^ \circ } + si{n^2}{4^ \circ } + si{n^2}{6^ \circ } + \ldots + si{n^2}{84^ \circ } + si{n^2}{86^ \circ } + si{n^2}{88^ \circ }$
$ = \left( {si{n^2}{2^ \circ } + si{n^2}{{88}^ \circ }} \right) + \left( {si{n^2}{4^ \circ } + si{n^2}{{86}^ \circ }} \right) + \ldots + \left( {si{n^2}{{44}^ \circ } + si{n^2}{{46}^ \circ }} \right)$
$ = \left( {si{n^2}{2^ \circ } + co{s^2}{2^ \circ }} \right) + \left( {si{n^2}{4^ \circ } + co{s^2}{4^ \circ }} \right) + \ldots + \left( {si{n^2}{{44}^ \circ } + co{s^2}{{44}^ \circ }} \right) = 22$
Câu 29. Giá trị của biểu thức $A = tan{1^ \circ }tan{2^ \circ }tan{3^ \circ } \ldots tan{88^ \circ }tan{89^ \circ }$ là
A. 0 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 1 .
Lời giải
Chọn D
$A = \left( {tan{1^ \circ } \cdot tan{{89}^ \circ }} \right) \cdot \left( {tan{2^ \circ } \cdot tan{{88}^ \circ }} \right) \ldots \left( {tan{{44}^ \circ } \cdot tan{{46}^ \circ }} \right) \cdot tan{45^ \circ } = 1$.
Câu 30. Biểu thức $A = cos{20^ \circ } + cos{40^ \circ } + cos{60^ \circ } + \ldots + cos{160^ \circ } + cos{180^ \circ }$ có giá trị bằng
A. 1 .
B. -1 .
C. 2 .
D. -2 .
Lời giải
Chọn B
Ta có $cos\alpha = – cos\left( {{{180}^ \circ } – \alpha } \right)\;$ nên suy ra $cos\alpha + cos\left( {{{180}^ \circ } – \alpha } \right) = 0$.
Do đó:
$A = \left( {cos{{20}^ \circ } + cos{{160}^ \circ }} \right) + \left( {cos{{40}^ \circ } + cos{{140}^ \circ }} \right) + \left( {cos{{60}^ \circ } + cos{{120}^ \circ }} \right)$
$ + \left( {cos{{80}^ \circ } + cos{{100}^ \circ }} \right) + cos{180^ \circ }$$ = cos{180^ \circ } = – 1.$
DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC KHI BIẾT TRƯỚC MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
• $tan\alpha = \frac{{sin\alpha }}{{cos\alpha }}\left( {\alpha \ne {{90}^ \circ }} \right)$
• $cot\alpha = \frac{{cos\alpha }}{{sin\alpha }}\left( {\alpha \ne {0^ \circ };{{180}^ \circ }} \right)$
• $tan\alpha \cdot cot\alpha = 1\left( {\alpha \ne {0^ \circ };{{90}^ \circ };{{180}^ \circ }} \right)$
• $si{n^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1$
• $1 + ta{n^2}\alpha = \frac{1}{{co{s^2}\alpha }}\left( {\alpha \ne {{90}^ \circ }} \right)$
• $1 + co{t^2}\alpha = \frac{1}{{si{n^2}\alpha }}\left( {\alpha \ne {0^ \circ };{{180}^ \circ }} \right)$
Chú ý: $si{n^2}\alpha = {(sin\alpha )^2};co{s^2}\alpha = {(cosx\alpha )^2};ta{n^2}\alpha = {(tan\alpha )^2};co{t^2}\alpha = {(cot\alpha )^2}$
Câu 31. Biết $sin\alpha = \frac{2}{3},\left( {{{90}^ \circ } < \alpha < {{180}^ \circ }} \right)$. Hỏi giá trị tan $\alpha $ là bao nhiêu?
A. 2 .
B. -2 .
C. $ – \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$.
D. $\frac{{2\sqrt 5 }}{5}$.
Lời giải
Chọn C.
Vì ${90^ \circ } < \alpha < {180^ \circ } \Rightarrow cos\alpha < 0 \Rightarrow cos\alpha = – \sqrt {1 – si{n^2}\alpha } = – \sqrt {1 – \frac{4}{9}} = – \frac{{\sqrt 5 }}{3}$.
Vậy $tan\alpha = \frac{{sin\alpha }}{{cos\alpha }} = – \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$.
Câu 32. $cos\alpha $ bằng bao nhiêu nếu $cot\alpha = – \frac{1}{2}$ ?
A. $ \pm \frac{{\sqrt 5 }}{5}$.
B. $\frac{{\sqrt 5 }}{2}$.
C. $ – \frac{{\sqrt 5 }}{5}$.
D. $ – \frac{1}{3}$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $cot\alpha = – \frac{1}{2} \Rightarrow tan\alpha = – 2$.
$1 + ta{n^2}\alpha = \frac{1}{{co{s^2}\alpha }} \Leftrightarrow co{s^2}\alpha = \frac{1}{{1 + ta{n^2}\alpha }} = \frac{1}{{1 + {{( – 2)}^2}}} = \frac{1}{5}$.
Suy ra $cos\alpha = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{5}$.
Câu 33. Cho $sin\alpha = \frac{1}{3}$, với ${90^ \circ } < \alpha < {180^ \circ }$. Tính $cos\alpha $.
A. $cos\alpha = \frac{2}{3}$.
B. $cos\alpha = – \frac{2}{3}$.
C. $cos\alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.
D. $cos\alpha = – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có $co{s^2}\alpha = 1 – si{n^2}\alpha = 1 – {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}$.
Mặt khác ${90^ \circ } < \alpha < {180^ \circ }$ nên $cos\alpha = – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.
Câu 34. Cho biết $cos\alpha = – \frac{2}{3}$. Tính $tan\alpha $ ?
A. $\frac{5}{4}$.
B. $ – \frac{5}{2}$.
C. $\frac{{\sqrt 5 }}{2}$.
D. $ – \frac{{\sqrt 5 }}{2}$.
Lời giải
Chọn D
Do $cos\alpha < 0 \Rightarrow tan\alpha < 0$.
Ta có: $1 + ta{n^2}\alpha = \frac{1}{{co{s^2}\alpha }} \Leftrightarrow ta{n^2}\alpha = \frac{5}{4} \Rightarrow tan\alpha = – \frac{{\sqrt 5 }}{2}$.
Câu 35. Cho biết $tan\alpha = \frac{1}{2}$. Tính $cot\alpha $.
A. $cot\alpha = 2$.
B. $cot\alpha = \sqrt 2 $.
C. $cot\alpha = \frac{1}{4}$.
D. $cot\alpha = \frac{1}{2}$.
Lời giải
Chọn A
$tan\alpha \cdot cot\alpha = 1 \Rightarrow cotx = \frac{1}{{tanx}} = 2$.
Câu 36. Nếu $tan\alpha = 3$ thì $cos\alpha $ bằng bao nhiêu?
A. $ – \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}$.
B. $\frac{1}{3}$.
C. $ \pm \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}$.
D. $\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $1 + ta{n^2}\alpha = \frac{1}{{co{s^2}\alpha }} \Leftrightarrow co{s^2}\alpha = \frac{1}{{1 + ta{n^2}\alpha }} = \frac{1}{{1 + {3^2}}} = \frac{1}{{10}}$.
Suy ra $cos\alpha = \pm \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}$.
Câu 37. Cho $\alpha $ là góc tù và $sin\alpha = \frac{5}{{13}}$. Giá trị của biểu thức $3sin\alpha + 2cos\alpha $ là
A. $\frac{9}{{13}}$.
B. 3 .
C. $ – \frac{9}{{13}}$.
D. -3 .
Lời giải
Chọn C
Ta có $co{s^2}\alpha = 1 – si{n^2}\alpha = \frac{{144}}{{169}} \Rightarrow cos\alpha = \pm \frac{{12}}{{13}}$
Do $\alpha $ là góc tù nên $cos\alpha < 0$, từ đó $cos\alpha = – \frac{{12}}{{13}}$
Như vậy $3sin\alpha + 2cos\alpha = 3 \cdot \frac{5}{{13}} + 2\left( { – \frac{{12}}{{13}}} \right) = – \frac{9}{{13}}$.
Câu 38. Biết $cot\alpha = – a,a > 0$. Tính $cos\alpha $
A. $cos\alpha = \frac{a}{{\sqrt {1 + {a^2}} }}$.
B. $cos\alpha = \frac{1}{{\sqrt {1 + {a^2}} }}$.
C. $cos\alpha = – \frac{1}{{\sqrt {1 + {a^2}} }}$.
D. $cos\alpha = – \frac{a}{{\sqrt {1 + {a^2}} }}$.
Lời giải
Chọn D
Do $cot\alpha = – a,a > 0$ nên ${90^ \circ } < \alpha < {180^ \circ }$ suy ra $cos\alpha < 0$.
Mặt khác, $tan\alpha = \frac{1}{{cot\alpha }} \Leftrightarrow tan\alpha = \frac{{ – 1}}{a}$.
Mà ta lại có $1 + ta{n^2}\alpha = \frac{1}{{co{s^2}\alpha }} \Leftrightarrow co{s^2}\alpha = \frac{1}{{1 + ta{n^2}\alpha }} \Leftrightarrow co{s^2}\alpha = \frac{{{a^2}}}{{1 + {a^2}}}$.
Khi đó $cos\alpha = – \frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {1 + {a^2}} }}$ và do $a > 0$ nên $cos\alpha = – \frac{a}{{\sqrt {1 + {a^2}} }}$.
Câu 39. Cho $cosx = \frac{1}{2}$. Tính biểu thức $P = 3si{n^2}x + 4co{s^2}x$
A. $\frac{{13}}{4}$.
B. $\frac{7}{4}$.
C. $\frac{{11}}{4}$.
D. $\frac{{15}}{4}$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $P = 3si{n^2}x + 4co{s^2}x = 3\left( {si{n^2}x + co{s^2}x} \right) + co{s^2}x = 3 + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{13}}{4}$.
Câu 40. Cho $\alpha $ là góc tù và $sin\alpha = \frac{4}{5}$. Giá trị của biểu thức $A = 2sin\alpha – cos\alpha $ bằng
A. $\frac{{ – 7}}{5}$.
B. $\frac{7}{5}$.
C. 1 .
D. $\frac{{11}}{5}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: $sin\alpha = \frac{4}{5} \Rightarrow co{s^2}\alpha = 1 – si{n^2}\alpha = 1 – {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}$. Do $\alpha $ là góc tù nên $cos\alpha < 0 \Rightarrow cos\alpha = \frac{{ – 3}}{5}$.
$A = 2sin\alpha – cos\alpha = \frac{{2.4}}{5} – \frac{{ – 3}}{5} = \frac{{11}}{5}$
Câu 41. Cho $sin\alpha = \frac{4}{5}$, với ${90^ \circ } \leqslant \alpha \leqslant {180^ \circ }$. Tính giá trị của $M = \frac{{sin\alpha + cos\alpha }}{{co{s^3}\alpha }}$
A. $M = \frac{{25}}{{27}}$
B. $M = \frac{{175}}{{27}}$.
C. $M = \frac{{35}}{{27}}$.
D. $M = – \frac{{25}}{{27}}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có $co{s^2}\alpha = 1 – si{n^2}\alpha = 1 – {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}$.
Mà ${90^ \circ } \leqslant \alpha \leqslant {180^ \circ } \Rightarrow cos\alpha \leqslant 0 \Rightarrow cos\alpha = \frac{{ – 3}}{5}$.
Từ đó $M = \frac{{sin\alpha + cos\alpha }}{{co{s^3}\alpha }} = \frac{{ – 25}}{{27}}$.
Câu 42. Cho biết $cos\alpha = – \frac{2}{3}$. Tính giá trị của biểu thức $E = \frac{{cot\alpha + 3tan\alpha }}{{2cot\alpha + tan\alpha }}$ ?
A. $ – \frac{{19}}{{13}}$.
B. $\frac{{19}}{{13}}$.
C. $\frac{{25}}{{13}}$.
D. $ – \frac{{25}}{{13}}$
Lời giải
Chọn B
$E = \frac{{cot\alpha + 3tan\alpha }}{{2cot\alpha + tan\alpha }} = \frac{{1 + 3ta{n^2}\alpha }}{{2 + ta{n^2}\alpha }} = \frac{{3\left( {ta{n^2}\alpha + 1} \right) – 2}}{{1 + \left( {1 + ta{n^2}\alpha } \right)}} = \frac{{\frac{3}{{co{s^2}\alpha }} – 2}}{{\frac{1}{{co{s^2}\alpha }} + 1}}$
$ = \frac{{3 – 2co{s^2}\alpha }}{{1 + co{s^2}\alpha }} = \frac{{19}}{{13}}.$
Câu 43. Cho biết $cot\alpha = 5$. Tính giá trị của $E = 2co{s^2}\alpha + 5sin\alpha cos\alpha + 1$ ?
A. $\frac{{10}}{{26}}$.
B. $\frac{{100}}{{26}}$.
C. $\frac{{50}}{{26}}$.
D. $\frac{{101}}{{26}}$.
Lời giải
Chọn D
$E = si{n^2}\alpha \left( {2co{t^2}\alpha + 5cot\alpha + \frac{1}{{si{n^2}\alpha }}} \right) = \frac{1}{{1 + co{t^2}\alpha }}\left( {3co{t^2}\alpha + 5cot\alpha + 1} \right) = \frac{{101}}{{26}}$.
Câu 44. Cho $cot\alpha = \frac{1}{3}$. Giá trị của biểu thức $A = \frac{{3sin\alpha + 4cos\alpha }}{{2sin\alpha – 5cos\alpha }}$ là:
A. $ – \frac{{15}}{{13}}$.
B. -13 .
C. $\frac{{15}}{{13}}$.
D. 13 .
Lời giải
Chọn D
$A = \frac{{3sin\alpha + 4sin\alpha \cdot cot\alpha }}{{2sin\alpha – 5sin\alpha \cdot cot\alpha }} = \frac{{3 + 4cot\alpha }}{{2 – 5cot\alpha }} = 13.$
Câu 45. Cho biết $cos\alpha = – \frac{2}{3}$. Giá trị của biểu thức $E = \frac{{cot\alpha – 3tan\alpha }}{{2cot\alpha – tan\alpha }}$ bằng bao nhiêu?
A. $ – \frac{{25}}{3}$.
B. $ – \frac{{11}}{{13}}$.
C. $ – \frac{{11}}{3}$.
D. $ – \frac{{25}}{{13}}$.
Lời giải
Chọn C
$E = \frac{{cot\alpha – 3tan\alpha }}{{2cot\alpha – tan\alpha }} = \frac{{1 – 3ta{n^2}\alpha }}{{2 – ta{n^2}\alpha }} = \frac{{4 – 3\left( {ta{n^2}\alpha + 1} \right)}}{{3 – \left( {1 + ta{n^2}\alpha } \right)}} = \frac{{4 – \frac{3}{{co{s^2}\alpha }}}}{{3 – \frac{1}{{co{s^2}\alpha }}}} = \frac{{4co{s^2}\alpha – 3}}{{3co{s^2}\alpha – 1}} = – \frac{{11}}{3}$.
Câu 46. Biết $cos\alpha = \frac{1}{3}$. Giá trị đúng của biểu thức $P = si{n^2}\alpha + 3co{s^2}\alpha $ là:
A. $\frac{{11}}{9}$.
B. $\frac{4}{3}$.
C. $\frac{1}{3}$.
D. $\frac{{10}}{9}$.
Lời giải
Chọn A
$cos\alpha = \frac{1}{3} \Rightarrow P = si{n^2}\alpha + 3co{s^2}\alpha = \left( {si{n^2}\alpha + co{s^2}\alpha } \right) + 2co{s^2}\alpha = 1 + 2co{s^2}\alpha = \frac{{11}}{9}$.
DẠNG 3: RÚT GỌN ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Câu 47. Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng?
A. $si{n^2}\alpha + cos{\alpha ^2} = 1$.
B. $si{n^2}\alpha + co{s^2}\frac{\alpha }{2} = 1$.
C. $sin{\alpha ^2} + cos{\alpha ^2} = 1$.
D. $si{n^2}2\alpha + co{s^2}2\alpha = 1$.
Lời giải
Chọn D
Công thức lượng giác cơ bản.
Câu 48. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $si{n^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1$.
B. $1 + co{t^2}\alpha = \frac{1}{{si{n^2}\alpha }}\left( {sin\alpha \ne 0} \right)$.
C. $tan\alpha \cdot cot\alpha = – 1\left( {sin\alpha \cdot cos\alpha \ne 0} \right)$.
D. $1 + ta{n^2}\alpha = \frac{1}{{co{s^2}\alpha }}\left( {cos\alpha \ne 0} \right)$.
Lời giải
Chọn C
$tan\alpha \cdot cot\alpha = \frac{{sinx}}{{cosx}} \cdot \frac{{cosx}}{{sinx}} = 1$.
Câu 49. Đẳng thức nào sau đây là sai?
A. $\frac{{1 – cosx}}{{sinx}} = \frac{{sinx}}{{1 + cosx}}\left( {x \ne {0^ \circ },x \ne {{180}^ \circ }} \right)$.
B. $tanx + cotx = \frac{1}{{sinxcosx}}\left( {x \ne {0^ \circ },{{90}^ \circ },{{180}^ \circ }} \right)$
C. $ta{n^2}x + co{t^2}x = \frac{1}{{si{n^2}xco{s^2}x}} – 2\left( {x \ne {0^ \circ },{{90}^ \circ },{{180}^ \circ }} \right)$
D. $si{n^2}2x + co{s^2}2x = 2$.
Lời giải
Chọn D
$si{n^2}2x + co{s^2}2x = 1$.
Câu 50. Rút gọn biểu thức sau $A = \frac{{co{t^2}x – co{s^2}x}}{{co{t^2}x}} + \frac{{sinx \cdot cosx}}{{cotx}}$
A. $A = 4$.
B. $A = 2$.
C. $A = 1$.
D. $A = 3$.
Lời giải
Chọn C
$A = \frac{{co{t^2}x – co{s^2}x}}{{co{t^2}x}} + \frac{{sinx \cdot cosx}}{{cotx}} = \frac{{\frac{{co{s^2}x}}{{si{n^2}x}} – co{s^2}x}}{{\frac{{co{s^2}x}}{{si{n^2}x}}}} + \frac{{sinx \cdot cosx}}{{\frac{{cosx}}{{sinx}}}}$
$\; = \frac{{co{s^2}x\left( {1 – si{n^2}x} \right)}}{{co{s^2}x}} + si{n^2}x = 1 – si{n^2}x + si{n^2}x = 1.$
Câu 51. Đẳng thức nào sau đây là sai?
A. ${(cosx + sinx)^2} + {(cosx – sinx)^2} = 2,\forall x$.
B. $ta{n^2}x – si{n^2}x = ta{n^2}xsi{n^2}x,\forall x \ne {90^ \circ }$
C. $si{n^4}x + co{s^4}x = 1 – 2si{n^2}xco{s^2}x,\forall x$.
D. $si{n^6}x – co{s^6}x = 1 – 3si{n^2}xco{s^2}x,\forall x$
Lời giải
Chọn D
$si{n^6}x – co{s^6}x = \left( {si{n^2}x – co{s^2}x} \right)\left( {1 – si{n^2}xco{s^2}x} \right)$.
Câu 52. Biểu thức ${(cota + tana)^2}$ bằng
A. $\frac{1}{{si{n^2}\alpha }} – \frac{1}{{co{s^2}\alpha }}$.
B. $co{t^2}a + ta{n^2}a2$.
C. $\frac{1}{{si{n^2}\alpha }} + \frac{1}{{co{s^2}\alpha }}$.
D. $co{t^2}ata{n^2}a + 2$.
Lời giải
Chọn C
${(cota + tana)^2} = co{t^2}a + 2cota \cdot tana + ta{n^2}a $
$= \left( {co{t^2}a + 1} \right) + \left( {ta{n^2}a + 1} \right) = \frac{1}{{si{n^2}a}} + \frac{1}{{co{s^2}a}}$.
Câu 53. Rút gọn biểu thức sau $A = {(tanx + cotx)^2} – {(tanx – cotx)^2}$
A. $A = 4$.
B. $A = 1$.
C. $A = 2$.
D. $A = 3$
Lời giải
Chọn A
$A = \left( {ta{n^2}x + 2tanx \cdot cotx + co{t^2}x} \right) – \left( {ta{n^2}x – 2tanx \cdot cotx + co{t^2}x} \right) = 4$.
Câu 54. Đơn giản biểu thức $G = \left( {1 – si{n^2}x} \right)co{t^2}x + 1 – co{t^2}x$.
A. $si{n^2}x$.
B. $co{s^2}x$.
C. $\frac{1}{{cosx}}$.
D. $cosx$.
Lời giải
Chọn A
$G = \left[ {\left( {1 – si{n^2}x} \right) – 1} \right]co{t^2}x + 1 = – si{n^2}x \cdot co{t^2}x + 1 = 1 – co{s^2}x = si{n^2}x$.
Câu 55. Đơn giản biểu thức $E = cotx + \frac{{sinx}}{{1 + cosx}}$ ta được
A. $sinx$.
B. $\frac{1}{{cosx}}$.
C. $\frac{1}{{sinx}}$.
D. $cosx$.
Lời giải
Chọn C
$E = cotx + \frac{{sinx}}{{1 + cosx}} = \frac{{cosx}}{{sinx}} + \frac{{sinx}}{{1 + cosx}} = \frac{{cosx\left( {1 + cosx} \right) + sinx \cdot sinx}}{{sinx\left( {1 + cosx} \right)}}$
$ = \frac{{cosx\left( {1 + cosx} \right) + \left( {1 – co{s^2}x} \right)}}{{sinx\left( {1 + cosx} \right)}} = \frac{{cosx\left( {1 + cosx} \right) + \left( {1 + cosx} \right)\left( {1 – cosx} \right)}}{{sinx\left( {1 + cosx} \right)}}$
$ = \frac{1}{{sinx}}$
Câu 56. Rút gọn biểu thức $P = \frac{{1 – si{n^2}x}}{{2sinx \cdot cosx}}$ ta được
A. $P = \frac{1}{2}tanx$.
B. $P = \frac{1}{2}cotx$.
C. $P = 2cotx$.
D. $P = 2tanx$.
Lời giải
Chọn B
$P = \frac{{1 – si{n^2}x}}{{2sinx \cdot cosx}} = \frac{{co{s^2}x}}{{2sinx \cdot cosx}} = \frac{{cosx}}{{2sinx}} = \frac{1}{2}cotx$.
Câu 57. Cho $tan\alpha – cot\alpha = 3$. Tính giá trị của biểu thức sau: $A = ta{n^2}\alpha + co{t^2}\alpha $.
A. $A = 12$.
B. $A = 11$.
C. $A = 13$.
D. $A = 5$.
Lời giải
Chọn B
$tan\alpha – cot\alpha = 3 \Leftrightarrow {(tan\alpha – cot\alpha )^2} = 9 \Leftrightarrow ta{n^2}\alpha + co{t^2}\alpha – 2tan\alpha \cdot cot\alpha = 9$
$ \Leftrightarrow ta{n^2}\alpha + co{t^2}\alpha – 2 = 9 \Leftrightarrow ta{n^2}\alpha + co{t^2}\alpha = 11$
Câu 58. Biết $sina + cosa = \sqrt 2 $. Hỏi giá trị của $si{n^4}a + co{s^4}a$ bằng bao nhiêu?
A. $\frac{3}{2}$.
B. $\frac{1}{2}$.
C. -1 .
D. 0 .
Lời giải
Chọn B
Ta có: $sina + cosa = \sqrt 2 \Rightarrow 2 = {(sina + cosa)^2} \Rightarrow sina \cdot cosa = \frac{1}{2}$.
$si{n^4}a + co{s^4}a = \left( {si{n^2}a + co{s^2}a} \right) – 2si{n^2}aco{s^2}a = 1 – 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2}$.
Câu 59. Biểu thức $f\left( x \right) = 3\left( {si{n^4}x + co{s^4}x} \right) – 2\left( {si{n^6}x + co{s^6}x} \right)$ có giá trị bằng:
A. 1 .
B. 2 .
C. -3 .
D. 0 .
Lời giải
Chọn A
$si{n^4}x + co{s^4}x = 1 – 2si{n^2}xco{s^2}x$.
$si{n^6}x + co{s^6}x = 1 – 3si{n^2}xco{s^2}x$
$f\left( x \right) = 3\left( {1 – 2si{n^2}xco{s^2}x} \right) – 2\left( {1 – 3si{n^2}xco{s^2}x} \right) = 1$
Câu 60. Biểu thức: $f\left( x \right) = co{s^4}x + co{s^2}xsi{n^2}x + si{n^2}x$ có giá trị bằng
A. 1 .
B. 2 .
C. -2 .
D. -1 .
Lời giải
Chọn A
$f\left( x \right) = co{s^2}x\left( {co{s^2}x + si{n^2}x} \right) + si{n^2}x = co{s^2}x + si{n^2}x = 1.$
Câu 61. Biểu thức $ta{n^2}xsi{n^2}x – ta{n^2}x + si{n^2}x$ có giá trị bằng
A. -1 .
B. 0 .
C. 2 .
D. 1 .
Lời giải
Chọn B
$ta{n^2}xsi{n^2}x – ta{n^2}x + si{n^2}x = ta{n^2}x\left( {si{n^2}x – 1} \right) + si{n^2}x = \frac{{si{n^2}x}}{{co{s^2}x}}\left( { – co{s^2}x} \right) + si{n^2}x = 0.$
Câu 62. Cho $tan\alpha + cot\alpha = m$. Tìm $m$ để $ta{n^2}\alpha + co{t^2}\alpha = 7$.
A. $m = 9$.
B. $m = 3$.
C. $m = – 3$.
D. $m = \pm 3$.
Lời giải
Chọn D
$7 = ta{n^2}\alpha + co{t^2}\alpha = {(tan\alpha + cot\alpha )^2} – 2 \Rightarrow {m^2} = 9 \Leftrightarrow m = \pm 3$.
Câu 63. Cho $sinx + cosx = m$. Tính theo $m$ giá trị của $M = sinx \cdot cosx$.
A. ${m^2} – 1$.
B. $\frac{{{m^2} – 1}}{2}$.
C. $\frac{{{m^2} + 1}}{2}$.
D. ${m^2} + 1$.
Lời giải
Chọn B
$sinx + cosx = m \Rightarrow {(sinx + cosx)^2} = {m^2} \Leftrightarrow \left( {si{n^2}x + co{s^2}x} \right) + 2sinx \cdot cosx = {m^2}$
$ \Leftrightarrow 1 + 2sinx \cdot cosx = {m^2} \Leftrightarrow sinx \cdot cosx = \frac{{{m^2} – 1}}{2}$.
Vậy $M = \frac{{{m^2} – 1}}{2}$.
Câu 64. Cho $x$ thỏa mãn $2sinx + cosx = \frac{2}{5}$. Tính giá trị biểu thức: $P = 2\left| {sinx} \right| + cosx$.
Bạn Minh Hiền đã làm như sau:
Bước 1: Nếu sin $ \geqslant 0$ thì
$P = 2\left| {sinx} \right| + cosx = 2sinx + cosx = \frac{2}{5}.$
Nếu $sinx < 0$ thì $P = 2\left| {sinx} \right| + cosx = – 2sinx + cosx$.
Bước 2: Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2sinx + cosx = \frac{2}{5}} \\
{ – 2sinx + cosx = P}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{sinx = \frac{1}{4}\left( {\frac{2}{5} – P} \right)} \\
{cosx = \frac{1}{2}\left( {\frac{2}{5} + P} \right)}
\end{array}} \right.} \right.$
Bước 3: Do $si{n^2}x + co{s^2}x = 1$
$ \Rightarrow \frac{1}{{16}}{\left( {\frac{2}{5} – P} \right)^2} + \frac{1}{4}{\left( {\frac{2}{5} + P} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{P = – 2} \\
{P = \frac{{38}}{{25}}}
\end{array}} \right.$
Bước 4: Vậy $P \in \left\{ { – 2;\frac{2}{5};\frac{{38}}{{25}}} \right\}$ là các giá trị cần tính.
Bạn Minh Hiền sai ở bước nào?
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn D.
Bạn Minh Hiền đã không chú ý tới điều kiện $sinx < 0$. Với điều kiện này $\frac{1}{4}\left( {\frac{2}{5} – P} \right) < 0$
$ \Leftrightarrow \frac{2}{5} < P \leqslant \sqrt 5 $
Như vậy giá trị $P = – 2$ bị loại.
Vậy bạn Minh Hiền sai ở bước 4, chưa thử lại đã kết luận vội vàng.
Câu 65. Cho $\alpha \in \left( {{0^0};{{180}^ \circ }} \right)$. Xác định mệnh đề đúng?
A. $\frac{{cos\alpha + sin\alpha }}{{si{n^3}\alpha }} = 1 + cot\alpha + co{t^2}\alpha + co{t^3}\alpha $.
B. $\frac{{cos\alpha + sin\alpha }}{{si{n^3}\alpha }} = 1 + 2cot\alpha = co{t^2}\alpha + co{t^3}\alpha $.
C. $\frac{{cos\alpha + sin\alpha }}{{si{n^3}\alpha }} = 1 + cot\alpha + 2co{t^2}\alpha + co{t^3}\alpha $.
D. $\frac{{cos\alpha + sin\alpha }}{{si{n^3}\alpha }} = 1 + cot\alpha – 2co{t^2}\alpha + co{t^3}\alpha $.
Lời giải
Chọn A.
$\frac{{cos\alpha + sin\alpha }}{{si{n^3}\alpha }} = \frac{{cos\alpha }}{{si{n^3}\alpha }} + \frac{1}{{si{n^2}\alpha }}$
$ = \frac{{cot\alpha }}{{si{n^2}\alpha }} = 1 + co{t^2}\alpha $
$ = cot\alpha \left( {1 + co{t^2}\alpha } \right) + 1 + co{t^2}\alpha $
$ = 1 + cot\alpha + co{t^2}\alpha + co{t^3}\alpha $
