Đề ôn tập HK 2 Toán 10 kết nối tri thức cấu trúc mới giải chi tiết-Đề 5 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phuơng án đúng nhất.
Câu 1. Tập xác định của hàm số $y = \frac{{3x + 4}}{{\left( {x – 2} \right)\sqrt {x + 4} }}$ là:
A. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ 2 \right\}$. B. $D = \left( { – 4; + \infty } \right) \setminus \left\{ 2 \right\}$. C. $D = \left[ { – 4; + \infty } \right) \setminus \left\{ 2 \right\}$. D. $D = \emptyset $.
Câu 2. Phương trình $\left( {4x – 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} = 2{x^2} + 2x + 1$ có nghiệm $x = \frac{a}{b}$ trong đó $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $2a – 3b$.
A. -2 . B. 0 . C. 2 . D. -1 .
Câu 3. Cho đường thẳng $\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + 3t} \\
{y = – 1 + t}
\end{array}} \right.$ và điểm $M\left( { – 1;6} \right)$. Phương trình tổng quát đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $\Delta $ là:
A. $3x – y + 9 = 0$. B. $x + 3y – 17 = 0$. C. $3x + y – 3 = 0$. D. $x – 3y + 19 = 0$.
Câu 4. Cho đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} – \frac{3}{5}x – \frac{1}{2}y – 1 = 0$. Tìm khẳng định đúng.
A. $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {\frac{3}{{10}};\frac{1}{4}} \right),R = \frac{{\sqrt {461} }}{{20}}$.
B. $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {3;1} \right),R = 3$.
C. (C) có tâm $I\left( {\frac{{ – 2}}{3};\frac{1}{{\sqrt {66} }}} \right),R = 4$.
D. $\left( C \right)$ không phải là phương trình đường tròn.
Câu 5. Elip $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{81}} = 1$ có độ dài trục lớn là:
A. 100 . B. 20 . C. 10 . D. 9 .
Câu 6. Một liên đoàn bóng đá có 10 đội, mỗi đội phải đá 4 trận với mỗi đội khác, 2 trận ở sân nhà và 2 trận ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là:
A. 45 B. 160 C. 90 D. 180
Câu 7. Số tập con có ba phần tử của một tập hợp gồm 10 phần tử là?
A. 120 B. 30 C. 120 D. 6
Câu 8. Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được lập từ các số 1,2,3,5,7
A. 15 B. 120 C. 10 D. 24
Câu 9. Trong khai triển ${(2a – b)^5}$ bằng nhị thức Newton với lũy thừa $a$ giảm dần, hệ số của số hạnng thứ 3 bằng:
A. -80 . B. 80 C. -10 . D. 10 .
Câu 10. Số hạng có chứa ${x^6}$ trong khai triển ${\left( {{x^2} – 1} \right)^4}$ là:
A. $ – C_4^2{x^6}$. B. $C_4^3{x^6}$. C. ${x^6}$. D. $ – C_4^1{x^6}$.
Câu 11. Trong một chiếc hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính số phân tử của không gian mẫu?
A. 10626 . B. 14241 . C. 14284 . D. 31311 .
Câu 12. Rút ra một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác suất để được lá ách $A$ hay lá rô là:
A. $\frac{1}{{52}}$. B. $\frac{2}{{13}}$. C. $\frac{4}{{13}}$. D. $\frac{{17}}{{52}}$.
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c) d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai
Câu 1. Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau
a) $7{x^2} – 4x – 3 < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { – \infty ; – \frac{3}{7}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$
b) $ – {x^2} + 6x – 9 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}$
c) $ – 5{x^2} + 4x + 12 < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { – \infty ; – \frac{6}{5}} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$
d) $3{x^2} – 4x + 4 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}$.
Câu 2. An và Bình cùng 7 bạn khác rủ nhau đi xem bóng đá. Cả 9 bạn được xếp vào 9 ghế theo hàng ngang, khi đó:
a) Có 362880 cách xếp chỗ ngồi từy ý
b) Có 40320 cách xếp An và Bình ngồi cạnh nhau
c) Có 282240 cách xếp An và Bình không ngồi cạnh nhau
d) Có 5040 cách xếp để An và Bình ngồi 2 đầu dãy ghế
Câu 3. Trước một tòa nhà, người ta làm một cái hồ bơi có dạng hình elip với độ dài hai bán trục lần lượt là $3m$ và $5m$. Xét hệ trục tọa độ $Oxy$ (đơn vị trên các trục là mét) có hai trục tọa độ chứa hai trục của elip, gốc tọa độ $O$ là tâm của elip (hình)
Khi đó:
a) Phương trình chính tác của đường elip là: $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$.
b) Xét các điểm $M,N$ cùng thuộc trục lớn của elip và đều cách $O$ một khoảng bằng $4m$ về hai phía của $O$. Tổng khoảng cách từ mọi điểm trên đường elip đến $M$ và $N$ luôn bằng $10\;m$
c) Một người đứng ở vị trí $P$ cách $O$ một khoảng bằng $6m$. Người đó đứng ở trong hồ
d) Xét vị trí $C$ trên mép hồ cách trục lớn một khoảng bằng $2m$. Khi đó vị trí $C$ cách trục nhỏ một khoảng bằng $\frac{5}{3}m$
Câu 4. Trong hộp có chứa 7 bi xanh, 5 bi đo, 2 bi vàng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên từ trong hộp 6 viên bi. Khi đó:
a) Xác suất để có đúng một màu bằng: $\frac{1}{{429}}$
b) Xác suất để có đúng hai màu đỏ và vàng bằng: $\frac{1}{{429}}$
c) Xác suất để có ít nhất 1 bi đỏ bằng: $\frac{{139}}{{143}}$
d) Xác suất để có ít nhất 2 bi xanh bằng: $\frac{{32}}{{39}}$
Phần 3. Câu trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình: $\sqrt {2{x^2} + mx + 5} – x = 3$ có đúng một nghiệm.
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để khoảng cách từ điểm $A\left( { – 1;2} \right)$ đến đường thẳng $\Delta :mx + y – m + 4 = 0$ bằng $2\sqrt 5 $.
Câu 3. Một mảnh đất hình Elip có độ dài trục lớn bằng $120\;m$, độ dài trục bé bằng $90\;m$. Tập đoàn VinGroup dự định xây dựng một trung tâm thương mại Vincom trong một hình chữ nhật nội tiếp của Eip như hình vẽ. Tính diện tích xây dựng Vincom lớn nhất.
Câu 4. Cho hai đường thẳng song song ${d_1}$ và ${d_2}$. Trên ${d_1}$ lấy 17 điểm phân biệt, trên ${d_2}$ lấy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã chọn trên ${d_1}$ và ${d_2}$.
Câu 5. Số dân ở thời điểm hiện tại của một tỉnh là 1 triệu người. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của tỉnh đó là $5\% $. Sử dụng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa ${(a + b)^n}$, hỏi sau bao nhiêu năm thì số dân của tỉnh đó là 1,2 triệu người?
Câu 6. Từ bộ bài tây gồm 52 quân bài, người ta rút ra ngẫu nhiên 2 quân bài. Tính xác suất để rút được 2 quân bài khác màu.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI THAM KHẢO
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thi sinh chỉ chọn một phuơng án đúng nhất.
| 1B | 2D | 3C | 4A | 5B | 6D |
| 7C | 8B | 9B | 10D | 11A | 12C |
Câu 1. Tập xác định của hàm số $y = \frac{{3x + 4}}{{\left( {x – 2} \right)\sqrt {x + 4} }}$ là:
A. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ 2 \right\}$.
B. $D = \left( { – 4; + \infty } \right) \setminus \left\{ 2 \right\}$.
C. $D = \left[ { – 4; + \infty } \right) \setminus \left\{ 2 \right\}$.
D. $D = \emptyset $.
Chọn B
Lời giải
Hàm số xác định $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – 2 \ne 0} \\
{x + 4 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne 2} \\
{x > – 4}
\end{array}} \right.} \right.$.
Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left( { – 4; + \infty } \right) \setminus \left\{ 2 \right\}$.
Câu 2. Phương trình $\left( {4x – 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} = 2{x^2} + 2x + 1$ có nghiệm $x = \frac{a}{b}$ trong đó $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $2a – 3b$.
A. -2 .
B. 0 .
C. 2 .
D. -1 .
Chọn D
Lời giải
Đặt $t = \sqrt {{x^2} + 1} \left( {t \geqslant 1} \right) \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 \Rightarrow {t^2} – 1 = {x^2}$.
Phương trình đã cho trở thành:
$\left( {4x – 1} \right)t = 2{t^2} + 2x – 1 \Leftrightarrow 2{t^2} – \left( {4x – 1} \right)t + 2x – 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 2x – 1} \\
{t = \frac{1}{2} < 1}
\end{array}} \right.$
Với $t = \sqrt {{x^2} + 1} $ thì $\sqrt {{x^2} + 1} = 2x – 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x – 1 \geqslant 0} \\
{{x^2} + 1 = {{(2x – 1)}^2}}
\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \geqslant \frac{1}{2}} \\
{3{x^2} – 4x = 0}
\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{4}{3} = \frac{a}{b}} \right.$.
Suy ra $a = 4,b = 3 \Rightarrow 2a – 3b = – 1$.
Câu 3. Cho đường thẳng $\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + 3t} \\
{y = – 1 + t}
\end{array}} \right.$ và điểm $M\left( { – 1;6} \right)$. Phương trình tổng quát đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $\Delta $ là:
A. $3x – y + 9 = 0$.
B. $x + 3y – 17 = 0$.
C. $3x + y – 3 = 0$.
D. $x – 3y + 19 = 0$.
Chọn C
Lời giải
Đường thẳng $\Delta $ có một vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {3;1} \right)$. Vì đường thẳng $d$ vuông góc với $\Delta $ nên $d$ có một véctơ pháp tuyến là $\vec n = \vec u = \left( {3;1} \right)$.
Phương trình tổng quát của $d$ là: $3\left( {x + 1} \right) + 1\left( {y – 6} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y – 3 = 0$.
Câu 4. Cho đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} – \frac{3}{5}x – \frac{1}{2}y – 1 = 0$. Tìm khẳng định đúng.
A. (C) có tâm $I\left( {\frac{3}{{10}};\frac{1}{4}} \right),R = \frac{{\sqrt {461} }}{{20}}$.
B. $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {3;1} \right),R = 3$.
C. $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {\frac{{ – 2}}{3};\frac{1}{{\sqrt {66} }}} \right),R = 4$.
D. $\left( C \right)$ không phải là phương trình đường tròn.
Lời giải
Phương trình có dạng ${x^2} + {y^2} – 2ax – 2ay + c = 0$
Ta có: $a = \frac{3}{{10}};\,b = \frac{1}{4};c = – 1$;
${a^2} + {b^2} – c = \frac{{461}}{{400}} > 0$
Vậy $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {\frac{3}{{10}};\frac{1}{4}} \right),R = \frac{{\sqrt {461} }}{{20}}.$
Câu 5. Elip $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{81}} = 1$ có độ dài trục lớn là:
A. 100 .
B. 20 .
C. 10
D. 9 .
Chọn B
Lời giải
Câu 6. Một liên đoàn bóng đá có 10 đội, mỗi đội phải đá 4 trận với mỗi đội khác, 2 trận ở sân nhà và 2 trận ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là:
A. 45
B. 160
C. 90
D. 180
Chọn D
Lời giải
Mối đội sẽ gặp 9 đội khác (trong hai lượt trận sân nhà và sân khách) có $10.9 = 90$ trận. Mỗi đội đá 2 trận sân nhà, 2 trận sân khách. Nên số trận đấu là $2.90 = 180$ trận.
Câu 7. Số tập con có ba phần tử của một tập hợp gồm 10 phần tử là?
A. 120
B. 30
C. 120
D. 6
Lời giải
Chọn C
Số tập con có ba phần tử của một tập hợp gồm 10 phần tử là: $C_{10}^3 = 120$.
Câu 8. Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được lập từ các số $1,2,3,5,7$.
A. 15
B. 120
C. 10
D. 24
Chọn B
Lời giải
Số các số cần lập là $A_5^4 = 120$.
Câu 9. Trong khai triển ${(2a – b)^5}$ bằng nhị thức Newton với lũy thừa $a$ giảm dần, hệ số của số hạnng thứ 3 bằng:
A. -80 .
B. 80 .
C. -10 .
D. 10
Chọn B
Lời giải
Ta có: ${(2a – b)^5} = C_5^0{(2a)^5} + C_5^1{(2a)^4}\left( { – b} \right) + C_5^2{(2a)^3}{( – b)^2}$
$ + C_5^3{(2a)^2}{( – b)^3} + C_5^4\left( {2a} \right){( – b)^4} + C_5^5{( – b)^5}$
Số hạng thứ ba trong khai triển là $C_5^2{(2a)^3}{( – b)^2} = 80{a^3}{b^2}$ nên hệ số bằng 80 .
Câu 10. Số hạng có chứa ${x^6}$ trong khai triển ${\left( {{x^2} – 1} \right)^4}$ là:
A. $ – C_4^2{x^6}$.
B. $C_4^3{x^6}$.
C. ${x^6}$.
D. $ – C_4^1{x^6}$.
Chọn D
Lời giải
Ta có: ${\left( {{x^2} – 1} \right)^4} = C_4^0{\left( {{x^2}} \right)^4} – C_4^1{\left( {{x^2}} \right)^3} + C_4^2{\left( {{x^2}} \right)^2} – C_4^3\left( {{x^2}} \right) + C_4^4$.
Số hạng chứa ${x^6}$ là $ – C_4^1{\left( {{x^2}} \right)^3} = – C_4^1{x^6}$.
Câu 11. Trong một chiếc hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính số phân tử của không gian mẫu?
A. 10626 .
B. 14241 .
C. 14284 .
D. 31311 .
Chọn A
Lời giải
Ta có: $n\left( \Omega \right) = C_{24}^4 = 10626$.
Câu 12. Rút ra một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác suất để được lá ách $A$ hay lá rô là:
A. $\frac{1}{{52}}$.
B. $\frac{2}{{13}}$.
C. $\frac{4}{{13}}$.
D. $\frac{{17}}{{52}}$.
Chọn C
Lời giải
$n\left( \Omega \right) = 52$. Số phần tử của biến cố xuất hiện lá ách hay lá rô:
$n\left( A \right) = 4 + 12 = 16,P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{16}}{{52}} = \frac{4}{{13}}$.
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mối ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai
Câu 1. Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau
a) $7{x^2} – 4x – 3 < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { – \infty ; – \frac{3}{7}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$
b) $ – {x^2} + 6x – 9 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}$
c) $ – 5{x^2} + 4x + 12 < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { – \infty ; – \frac{6}{5}} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$
d) $3{x^2} – 4x + 4 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}$.
a) Sai
b) Sai
Lời giải:
a) Xét $7{x^2} – 4x – 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = – \frac{3}{7}$.
Bảng xét dấu:
Ta có: $7{x^2} – 4x – 3 < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { – \frac{3}{7};1} \right)$.
Vậy, tập nghiệm bất phương trình là: $S = \left( { – \frac{3}{7};1} \right)$.
b) Xét $ – {x^2} + 6x – 9 = 0 \Leftrightarrow x = 3$.
Bảng xét dấu:
Ta có: $ – {x^2} + 6x – 9 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ 3 \right\}$.
Vậy, tập nghiệm bất phương trình là: $S = \left\{ 3 \right\}$.
c) Xét $ – 5{x^2} + 4x + 12 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \vee x = – \frac{6}{5}$.
Bảng xét dấu:
Ta có: $ – 5{x^2} + 4x + 12 < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { – \infty ; – \frac{6}{5}} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.
Vậy, tập nghiệm bất phương trình là: $S = \left( { – \infty ; – \frac{6}{5}} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.
d) Xét $3{x^2} – 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow x \in \emptyset $.
Bảng xét dấu:
Ta có: $3{x^2} – 4x + 4 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}$.
Vậy, tập nghiệm bất phương trình là: $S = \mathbb{R}$.
Câu 2. An và Bình cùng 7 bạn khác rủ nhau đi xem bóng đá. Cả 9 bạn được xếp vào 9 ghế theo hàng ngang, khi đó:
a) Có 362880 cách xếp chỗ ngồi từy ý
b) Có 40320 cách xếp An và Bình ngồi cạnh nhau
c) Có 282240 cách xếp An và Bình không ngồi cạnh nhau
d) Có 5040 cách xếp để An và Bình ngồi 2 đầu dãy ghế
Lời giải:
a) Đúng
b) Đúng
c) Đúng
d) Sai
a) Xếp từy ý 9 bạn lên hàng ghé nằm ngang, ta có $9! = 362880$ (cách xếp).
b) Xếp chỗ cho An và Bình ngồi cạnh nhau (thành nhóm $X$ ), số cách xếp trong $X$ là 2 !.
Số cách xếp nhóm $X$ với 7 người còn lại (ta xem là hoán vị của 8 phần tử), số cách xếp là 8 !.
Số cách xếp hàng thỏa mãn là $2!8! = 80640$ (cách).
c) Số cách xếp 9 bạn vào 9 chỗ là 9 ! cách. Vậy số cách xếp để An và Bình không ngồi cạnh nhau là :
$9! – 2!8! = 282240$ (cách).
d) Số cách xếp để An, Bình ngồi 2 đầu dãy ghế là: $2!.7! = 10080$
Câu 3. Trước một tòa nhà, người ta làm một cái hồ bơi có dạng hình elip với độ dài hai bán trục lần lượt là $3m$ và $5m$. Xét hệ trục tọa độ $Oxy$ (đơn vị trên các trục là mét) có hai trục tọa độ chứa hai trục của elip, gốc tọa độ $O$ là tâm của elip (hình)
Khi đó:
a) Phương trình chính tác của đường elip là: $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$.
b) Xét các điểm $M,N$ cùng thuộc trục lớn của elip và đều cách $O$ một khoảng bằng $4m$ về hai phía của $O$. Tổng khoảng cách từ mọi điểm trên đường elip đến $M$ và $N$ luôn bằng $10m$
c) Một người đứng ở vị trí $P$ cách $O$ một khoảng bằng $6\;m$. Người đó đứng ở trong hồ
d) Xét vị trí $C$ trên mép hồ cách trục lớn một khoảng bằng $2m$. Khi đó vị trí $C$ cách trục nhỏ một khoảng bằng $\frac{5}{3}m$
Lời giải
| a) Đúng | b) Đúng c) Sai | d) Sai |
a) Phương trình chính tác của đường elip là: $\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$.
b) Ta có: $a = 5,b = 3$ nên ${c^2} = {a^2} – {b^2} = 25 – 9 = 16$, suy ra $c = 4$.
Các tiêu điểm của elip có tọa độ là $\left( { – 4;0} \right)$ và $\left( {4;0} \right)$.
Vậy $M$ và $N$ chính là các tiêu điểm của elip. Vì vậy, tổng khoảng cách từ mọi điểm trên đường elip đến $M$ và $N$ luôn bằng $2a = 10m$ không đổi.
c) Gọi giao điểm của đường thẳng $OP$ và elip là $Q$.
Vì độ dài bán trục lớn là $5\;m$ nên $OQ \leqslant 5$. Suy ra $OQ < OP = 6\;m$.
Vậy vị trí $P$ ở ngoài hồ.
d) Giả sử $C\left( {{x_0};{y_0}} \right)$. Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{x_0^2}}{{25}} + \frac{{y_0^2}}{9} = 1} \\
{\left| {{y_0}} \right| = 2}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{x_0^2}}{{25}} + \frac{4}{9} = 1} \\
{\left| {{y_0}} \right| = 2}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left| {{x_0}} \right| = \frac{{5\sqrt 5 }}{3}} \\
{\left| {{y_0}} \right| = 2}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$
Vậy $C$ cách trục nhỏ một khoảng bằng $\frac{{5\sqrt 5 }}{3}m$.
Câu 4. Trong hộp có chứa 7 bi xanh, 5 bi đo, 2 bi vàng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên từ trong hộp 6 viên bi. Khi đó:
a) Xác suất để có đúng một màu bằng: $\frac{1}{{429}}$
b) Xác suất để có đúng hai màu đỏ và vàng bằng: $\frac{1}{{429}}$
c) Xác suất để có ít nhất 1 bi đỏ bằng: $\frac{{139}}{{143}}$
d) Xác suất để có ít nhất 2 bi xanh bằng: $\frac{{32}}{{39}}$
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Đúng
d) Sai
Chọn ngẫu nhiên 6 viên bi trong 14 viên bi, có $C_{14}^6$ cách.
Vậy số phần tử của không gian mẫu $n\left( \Omega \right) = C_{14}^6 = 3003$
a) Gọi A: “6 viên được chọn có đúng một màu”.
$n\left( A \right) = C_7^6$. Suy ra $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_7^6}}{{C_{14}^6}} = \frac{1}{{429}}$.
b) Gọi biến cố $B$ : “6 viên được chọn có đúng hai màu đỏ và vàng”.
Số trường hợp thuận lợi cho $B$ là:
Trường hợp 1: Chọn được 1 vàng và 5 đỏ, có $C_2^1 \cdot C_5^5 = 2$ cách.
Trường hợp 2: Chọn được 2 vàng và 4 đỏ, có $C_2^2 \cdot C_5^4 = 5$ cách.
$n\left( B \right) = 2 + 5 = 7$. Suy ra $P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{7}{{C_{14}^6}} = \frac{1}{{429}}$.
c) Gọi C: “6 viên được chọn có ít nhất 1 bi đỏ”.
Biến cố đối $\bar C$ : “Tất cả 6 viên được chọn đều không có bi đỏ”.
$n(\bar C) = C_9^6 = 84$. Suy ra $P(\bar C) = \frac{{n(\bar C)}}{{n(\Omega )}} = \frac{4}{{143}}$.
$P(C) + P(\bar C) = 1 \Rightarrow P(C) = 1 – P(\bar C) = \frac{{139}}{{143}}$
d) Gọi biến cố D: “6 viên được chọn có ít nhất 2 bi xanh”.
Biến cố đối $\bar D$ : “6 viên được chọn có nhiều nhất 1 bi xanh”.
Số trường hợp thuận lợi cho $\bar D$ là:
Trường hợp 1: Chọn được 6 bi đo,vàng, có $C_7^6 = 7$ cách.
Trường hợp 2: Chọn được 1 bi xanh và 5 bi đỏ,vàng, có $C_7^1 \cdot C_7^5 = 147$ cách.
$n(\bar D) = 7 + 147 = 154$. Suy ra $P(\bar D) = \frac{{n(\bar D)}}{{n(\Omega )}} = \frac{2}{{39}}$.
$P(D) + P(\bar D) = 1 \Rightarrow P(D) = 1 – P(\bar D) = \frac{{37}}{{39}}$
Phần 3. Câu trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình: $\sqrt {2{x^2} + mx + 5} – x = 3$ có đúng một nghiệm.
Trả lời: $m > \frac{{23}}{3}$
Lời giải
Ta có $\sqrt {2{x^2} + mx + 5} – x = 3\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} + mx + 5} = x + 3$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \geqslant – 3} \\
{2{x^2} + mx + 5 = {{(x + 3)}^2}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \geqslant – 3} \\
{{x^2} + \left( {m – 6} \right)x – 4 = 0}
\end{array}} \right.$
Vì phương trình (2) có $a.c = – 4 < 0$ nên luôn có hai nghiệm ${x_1} < 0 < {x_2}$.
Vì ${x_2} \geqslant – 3$ nên ${x_2}$ là một nghiệm của (1). Do đó để (1) có nghiệm duy nhất thì
${x_1} < – 3 \Leftrightarrow \frac{{ – m + 6 – \sqrt \Delta }}{2} < – 3 \Leftrightarrow \sqrt \Delta > 12 – m$.
$ \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} – 12m + 52} > 12 – m $
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{12 – m < 0} \\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{12 – m \geqslant 0} \\
{{m^2} – 12m + 52 > {{(12 – m)}^2}}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m > 12} \\
{m > 12} \\
{m > \frac{{23}}{3}}
\end{array} \Leftrightarrow m > \frac{{23}}{3}.} \right.$
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để khoảng cách từ điểm $A\left( { – 1;2} \right)$ đến đường thẳng $\Delta :mx + y – m + 4 = 0$ bằng $2\sqrt 5 $.
Trả lời: $m = – 2$ và $m = \frac{1}{2}$
Lời giải
Ta có: $d\left( {A;\Delta } \right) = \frac{{\left| {m \cdot \left( { – 1} \right) + 2 – m + 4} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| { – m + 2 – m + 4} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = 2\sqrt 5 $
$ \Rightarrow \left| {m – 3} \right| = \sqrt 5 \cdot \sqrt {{m^2} + 1} $
$ \Leftrightarrow {(m – 3)^2} = 5\left( {{m^2} + 1} \right)$
$ \Leftrightarrow 4{m^2} + 6m – 4 = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = – 2} \\
{m = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$
Vậy với $m = – 2$ và $m = \frac{1}{2}$ thì thoả yêu cầu bài toán.
Câu 3. Một mảnh đất hình Elip có độ dài trục lớn bằng $120\;m$, độ dài trục bé bằng $90\;m$. Tập đoàn VinGroup dự định xây dựng một trung tâm thương mại Vincom trong một hình chữ nhật nội tiếp của Eip như hình vẽ. Tính diện tích xây dựng Vincom lớn nhất.
Trả lời: $5400\left( {\;{m^2}} \right)$
Phương trình chính tắc của $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
Lời giải
Ta có: $2a = 120 \Rightarrow a = 60,2b = 90 \Rightarrow b = 45$.
Suy ra $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{3600}} + \frac{{{y^2}}}{{2025}} = 1$.
Chọn $M\left( {{x_M};{y_M}} \right)$ là đỉnh hình chữ nhật và ${x_M} > 0,{y_M} > 0$.
Ta có: $\frac{{x_M^2}}{{3600}} + \frac{{y_M^2}}{{2025}} = 1$.
Diện tích hình chữ nhật là $S = 4{x_M} \cdot {y_M} = 5400 \cdot 2 \cdot \frac{{{x_M}}}{{60}} \cdot \frac{{{y_M}}}{{45}} \leqslant 5400\left( {\frac{{x_M^2}}{{3600}} + \frac{{y_M^2}}{{2025}}} \right) = 5400\left( {\;{m^2}} \right)$.
Câu 4. Cho hai đường thẳng song song ${d_1}$ và ${d_2}$. Trên ${d_1}$ lấy 17 điểm phân biệt, trên ${d_2}$ lấy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã chọn trên ${d_1}$ và ${d_2}$.
Trả lò̀: 5950
Trường hợp 1: 1 điểm thuộc ${d_1}$ và 2 điểm thuộc ${d_2}$.
Lời giải
Số tam giác lập được là: $C_{17}^1 \cdot C_{20}^2 = 3230$.
Trường hợp $2:2$ điểm thuộc ${d_1}$ và 1 điểm thuộc ${d_2}$.
Số tam giác lập được là: $C_{17}^2 \cdot C_{20}^1 = 2720$.
Vậy có $3230 + 2720 = 5950$ tam giác thoả mãn đề bài.
Câu 5. Số dân ở thời điểm hiện tại của một tỉnh là 1 triệu người. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của tỉnh đó là $5\% $. Sử dụng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa ${(a + b)^n}$, hỏi sau bao nhiêu năm thì số dân của tỉnh đó là 1,2 triệu người?
Trả lời: 4
Lời giải
Gọi $A$ là số dân ban đầu, $r$ là tỉ lệ tăng dân số hàng năm, ${A_n}$ là số dân của tỉnh đó sau $n$ năm. Khi đó: ${A_n} = A{(1 + r)^n}$.
Theo giả thiết: $1,2 = {\left( {1 + \frac{5}{{100}}} \right)^n}$
$ \Leftrightarrow 1,2 = \left[ {C_n^0 + C_n^1 \cdot \left( {\frac{5}{{100}}} \right) + C_n^2 \cdot {{\left( {\frac{5}{{100}}} \right)}^2} + \ldots + C_n^{n – 1} \cdot {{\left( {\frac{5}{{100}}} \right)}^{n – 1}}} \right.$
$ \Leftrightarrow 1,2 \approx C_n^0 + C_n^1 \cdot \frac{5}{{100}} \Leftrightarrow 1,2 \approx 1 + 0,05n \Leftrightarrow n \approx 4$.
Vậy: Sau khoảng 4 năm thì số dân của tỉnh đó là 1,2 triệu người.
Câu 6. Từ bộ bài tây gồm 52 quân bài, người ta rút ra ngẫu nhiên 2 quân bài. Tính xác suất để rút được 2 quân bài khác màu.
Trả lời: $\frac{{26}}{{51}}$
Lời giải
Số cách để rút ra ngẫu nhiên 2 quân bài từ bộ bài tây gồm 52 quân bài mà không quan trọng thứ tự là: $C_{52}^2 = 1326$ (cách). Do đó, ta có $n\left( \Omega \right) = 1326$.
Gọi $A$ là biến cố rút được hai quân bài khác màu.
Vì bộ bài tây gồm 26 quân bài đỏ và 26 quân bài đen nên số cách rút được hai quân bài khác màu là: $C_{26}^1 \cdot C_{26}^1 = 676$ (cách). Do đó, ta có $n\left( A \right) = 676$.
Vậy xác suất của biến cố $A$ là: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{676}}{{1326}} = \frac{{26}}{{51}}$.
