Đề thi giữa học kì 2 Toán 10 KNTT cấu trúc mới giải chi tiết-Đề 2 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 5 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là tam thức bậc hai?
A. $f\left( x \right) = {x^2} + 3$. B. $f\left( x \right) = 2x + 3$. C. $f\left( x \right) = m{x^2} + 3$. D. $f\left( x \right) = \sqrt {2{x^2} + 3} $.
Câu 2: Cho hàm số $f\left( x \right) = 2x + 1$. Giá trị của $f\left( 1 \right)$ bằng
A. $\frac{1}{2}$. B. 3 . C. 0 . D. 2 .
Câu 3: Parabol $\left( P \right):y = {x^2} – 4x + 5$ có phương trình trục đối xứng là:
A. $x = – 1$. B. $x = – 2$. C. $x = 1$. D. $x = 2$.
Câu 4: Cho tam thức $f\left( x \right) = {x^2} – 4x + 8$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $f\left( x \right) < 0$ khi $x \ne 4$. B. $f\left( x \right) > 0$ khi $x \ne 4$.
C. $f\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. D. $f\left( x \right) < 0$ khi $x < 4$.
Câu 5: Cho tam thức $f\left( x \right) = {x^2} – 6x + 2024$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $f\left( x \right) < 0$ khi $x \ne 3$. B. $f\left( x \right) > 0$ khi $x \ne 3$.
C. $f\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. D. $f\left( x \right) < 0$ khi $x > 3$.
Câu 6: Nghiệm của phương trình $\sqrt {2x – 6} = \sqrt {x – 2} $ là
A. $x = 2$. B. $x = 4$. C. $x = 3$, D. $x = 1$.
Câu 7: Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua $M\left( { – 3;1} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec n = \left( {2;3} \right)$ là:
A. $2x + 3y + 3 = 0$. B. $2x + 3y + 5 = 0$. C. $3x + 2y – 9 = 0$. D. $ – 3x + y + 2 = 0$.
Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta :3x + y – 4 = 0$. Tọa độ một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $ là
A. $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3;1} \right)$. B. $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; – 3} \right)$. C. $\overrightarrow {{u_3}} = \left( {3; – 1} \right)$. D. $\overrightarrow {{u_3}} = \left( { – 1; – 3} \right)$.
Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A\left( {1; – 2} \right)$ và $B\left( {3;2} \right)$. Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ là
A. $2x + 4y + 6 = 0$. B. $2x – y + 4 = 0$. C. $x + 2y – 10 = 0$. D. $2x – y – 4 = 0$.
Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta :3x + 4y + 5 = 0$. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng $\Delta $ bằng:
A. 2 . B. 1 . C. 3 . D. 4 .
Câu 11: Cho hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + t} \\
{y = 5 – 2t}
\end{array}} \right.$ và $\left( {{d_2}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 4 – s} \\
{y = 3 – 3s}
\end{array}} \right.$, $(t,s$ là các tham số). Tính góc giữa hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ là:
A. ${90^ \circ }$. B. ${45^ \circ }$. C. ${60^ \circ }$. D. ${30^ \circ }$.
Câu 12: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right):{(x – 3)^2} + {(y – 1)^2} = 10$. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $A\left( {4;4} \right)$ là
A. $x + 3y – 16 = 0$. B. $x + 3y – 4 = 0$. C. $x – 3y + 5 = 0$. D. $x – 3y + 16 = 0$.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho hàm số $y = 2{x^2} + 4x + 1$ có đồ thị là $\left( C \right)$
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$
b) Tập giá trị của hàm số là $\left[ { – 1; + \infty } \right]$
c) Điểm $M\left( {1;3} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $\left( C \right)$
d) Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A\left( { – 2; – 1} \right),B\left( {4; – 4} \right)$ và đường thẳng $\left( d \right):2x + 5y – 3m = 0$.
a) Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\left( d \right)$ là $\overrightarrow {{n_d}} = \left( {2;5} \right)$.
b) Khi $m = 1$ thì khoảng cách từ điểm $A\left( { – 2; – 1} \right)$ đến đường thẳng $\left( d \right)$ bằng $\frac{{12}}{{29}}$.
c) Đường thẳng $AB$ có phương trình $x – 2y – 4 = 0$.
d) Khi $m < – 3$ thì đường thẳng $d$ cắt đường thẳng $AB$ tại một điểm nằm ngoài đoạn thẳng $AB$
Câu 3: Một cửa hàng hoa quả bán dưa hấu với giá 50.000 đồng một quả. Với mức giá này thì chủ cửa hàng nhận thấy họ chỉ bán được 40 quả mỗi ngày. Cửa hàng nghiên cứu thị trường cho thấy, nếu giảm giá mỗi quả 1000 đồng thì số dưa hấu bán mỗi ngày tăng thêm 2 quả. Biết rằng giá nhập về của mỗi quả dưa là 20.000 đồng.
a) Số lượng dưa bán ra khi giảm giá là 40 trái.
b) Lợi nhuận trên mỗi trái dưa sau khi giảm giá 30.000 đồng.
c) Lợi nhuận bán dưa mỗi ngày được biểu thị bằng tam thức $f\left( x \right) = – 2{x^2} + 20x + 1200$
d) Giá bán mỗi quả dưa 45.000 đồng thì cửa hàng thu được lợi nhuận mỗi ngày cao nhất.
Câu 4: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có đỉnh $B\left( { – 12;1} \right)$ và đường phân giác trong góc $A$ có phương trình $d:x + 2y – 5 = 0$. Điểm $G\left( {\frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.
a) Hình chiếu của điểm $B$ trên đường thẳng $d$ có tọa độ $\left( { – 9;7} \right)$.
b) Tung độ điểm $B’$ là điểm đối xứng với $B$ qua đường thẳng $d$ là một số âm.
c) Hai vectơ $\overrightarrow {AB’} $ và $\overrightarrow {B’C} $ cùng phương với nhau.
d) Có hai điểm . C . thỏa mãn yêu cầu bài toán.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số $m$ để hàm số $y = \sqrt {{x^2} – 2mx – 2m + 3} $ có tập xác định là $\mathbb{R}$.
Câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in \left[ {0;30} \right]$ để bất phương trình ${x^2} – \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 \leqslant 0$ vô nghiệm?
Câu 3: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $d:x – 2y + 1 = 0$ và điểm $M\left( {2; – 2} \right)$. Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm $M$ lên đường thẳng $d$ là $N\left( {a;b} \right)$. Khi đó $a.b$ bằng bao nhiêu?
Câu 4: Một quả bóng được đá lên từ độ cao 1,5 mét so với mặt đất. Biết quỹ đạo của quả bóng là một đường parabol trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ có phương trình $h = a{t^2} + bt + c(a < 0)$ trong đó $t$ là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi quả bóng được đá lên và $h$ là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Biết rằng sau 2 giây thì nó đạt độ cao $5\;m$; sau 4 giây nó đạt độ cao $4,5\;m$. Hỏi sau 5,5 giây quả bóng đạt độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất?
Câu 5: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta :ax + by + c = 0\;\left( {a;b;c \in \mathbb{N};a \leqslant 4} \right)$ vuông góc với đường thẳng $d:3x – y + 4 = 0$ và $\Delta $ cách $A\left( {1;2} \right)$ một khoảng $\sqrt {10} $. Xác định $T = a + b + c$
Câu 6: Cho đường thẳng ${\Delta _m}:\left( {m – 2} \right)x + \left( {m + 1} \right)y – 5m + 1 = 0$ với $m$ là tham số, và điểm $A\left( { – 3;9} \right)$. Giả sử $m = \frac{a}{b}$ (là phân số tối giản) để khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng ${\Delta _m}$ là lớn nhất. Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức $S = 2a – b$.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
PHẦN I.
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Chọn | A | B | D | C | C | B | A | B | D | B | B | A |
PHẦN II.
| Câu 1 | Câu 2 | Câu 3 | Câu 4 |
| a) Đ | a) Đ | a) S | a) Đ |
| b) Đ | b) S | b) S | b) S |
| c) S | c) S | c) Đ | c) Đ |
| d) Đ | d) S | d) Đ | d) S |
PHẦN III.
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Chọn | 3 | 2 | 0,48 | 1,5 | 10 | 3 |
LỜI GIẢI CHI TIẾT
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phuơng án.
Câu 1: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là tam thức bậc hai?
A. $f\left( x \right) = {x^2} + 3$.
B. $f\left( x \right) = 2x + 3$.
C. $f\left( x \right) = m{x^2} + 3$.
D. $f\left( x \right) = \sqrt {2{x^2} + 3} $.
Lời giải
Tam thức bậc hai là tam thức có dạng $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c,a \ne 0$.
Phương án A có dạng $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$, với $a = 1;b = 0;c = 3$ nên $f\left( x \right) = {x^2} + 3$ là tam thức bậc hai.
Phương án B có dạng $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$, với $a = 0;b = 2;c = 3$ nên không phải là tam thức bậc hai.
Phương án C có dạng $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$, với $a = m;b = 0;c = 3$, vì $m$ chưa xác định nên $f\left( x \right) = m{x^2} + 3$ không phải là tam thức bậc hai.
Phương án D không có dạng $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ nên $f\left( x \right) = \sqrt {2{x^2} + 3} $ không phải là tam thức bậc hai.
Câu 2: Cho hàm số $f\left( x \right) = 2x + 1$. Giá trị của $f\left( 1 \right)$ bằng
A. $\frac{1}{2}$.
B. 3 .
C. 0 .
D. 2 .
Lời giải
Ta có: $f\left( x \right) = 2x + 1 \Rightarrow f\left( 1 \right) = 2 \cdot 1 + 1 = 3$. Vậy $I\left( {\frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)$.
Câu 3: Parabol $\left( P \right):y = {x^2} – 4x + 5$ có phương trình trục đối xứng là:
A. $x = – 1$.
B. $x = – 2$.
C. $x = 1$.
D. $x = 2$.
Lời giải
Parabol $\left( P \right):y = {x^2} – 4x + 5$ có trục đối xứng là đường thẳng $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 2 \geqslant 0} \\
{x – 5 \ne 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \geqslant – 2} \\
{x \ne 5}
\end{array} \Rightarrow x = 2} \right.} \right.$.
Câu 4: Cho tam thức $f\left( x \right) = {x^2} – 4x + 8$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $f\left( x \right) < 0$ khi $x \ne 4$.
B. $f\left( x \right) > 0$ khi $x \ne 4$.
C. $f\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
D. $f\left( x \right) < 0$ khi $x < 4$.
Lời giải
Ta có: $f\left( x \right) = {x^2} – 4x + 8 = {(x – 2)^2} + 4 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$
Câu 5: Cho tam thức $f\left( x \right) = {x^2} – 6x + 2024$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $f\left( x \right) < 0$ khi $x \ne 3$.
B. $f\left( x \right) > 0$ khi $x \ne 3$.
C. $f\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
D. $f\left( x \right) < 0$ khi $x > 3$.
Lời giải
Xét phương trình $f\left( x \right) = {x^2} – 6x + 2024 = 0$, ta có $\Delta = {( – 6)^2} – 4.1.2024 = – 8060 < 0$.
Suy ra $f\left( x \right)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$. Vậy $f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}$.
Câu 6: Nghiệm của phương trình $\sqrt {2x – 6} = \sqrt {x – 2} $ là
A. $x = 2$.
B. $x = 4$.
C. $x = 3$.
D. $x = 1$.
Lời giải
Ta có phương trình tương đương $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x – 6 \geqslant 0} \\
{\sqrt {2x – 6} = \sqrt {x – 2} }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \geqslant 3} \\
{2x – 6 = x – 2}
\end{array}} \right.} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \geqslant 3} \\
{x = 4}
\end{array} \Leftrightarrow x = 4} \right.$.
Vậy $x = 4$ là nghiệm duy nhất của phương trình.
Câu 7: Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua $M\left( { – 3;1} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec n = \left( {2;3} \right)$ là:
A. $2x + 3y + 3 = 0$.
B. $2x + 3y + 5 = 0$.
C. $3x + 2y – 9 = 0$.
D. $ – 3x + y + 2 = 0$.
Lời giải
Đường thẳng $d$ đi qua $M\left( { – 3;1} \right)$, có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {2;3} \right)$.
$ \Rightarrow d:2\left( {x + 3} \right) + 3\left( {y – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y + 3 = 0$.
Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta :3x + y – 4 = 0$. Tọa độ một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $ là
A. $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3;1} \right)$.
B. $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; – 3} \right)$.
C. $\overrightarrow {{u_3}} = \left( {3; – 1} \right)$.
D. $\overrightarrow {{u_3}} = \left( { – 1; – 3} \right)$.
Lời giải
Đường thẳng $\Delta $ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {3;1} \right)$ nên tọa độ của một vectơ chỉ phương của $\Delta $ là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; – 3} \right)$.
Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A\left( {1; – 2} \right)$ và $B\left( {3;2} \right)$. Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ là
A. $2x + 4y + 6 = 0$.
B. $2x – y + 4 = 0$.
C. $x + 2y – 10 = 0$.
D. $2x – y – 4 = 0$.
Lời giải
Ta có đường thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {2;4} \right)$ là một vectơ chỉ phương nên đường thẳng $AB$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {2; – 1} \right)$.
Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ là: $2\left( {x – 1} \right) – 1\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x – y – 4 = 0$
Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta :3x + 4y + 5 = 0$. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng $\Delta $ bằng:
A. 2 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 4 .
Lời giải
Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng $\Delta $ là: $d\left( {O;\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.0 + 4.0 + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 1$.
Câu 11: Cho hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + t} \\
{y = 5 – 2t}
\end{array}} \right.$ và $\left( {{d_2}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 4 – s} \\
{y = 3 – 3s}
\end{array}} \right.$, $(t,s$ là các tham số). Tính góc giữa hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ là:
A. ${90^ \circ }$.
B. ${45^ \circ }$.
C. ${60^ \circ }$.
D. ${30^ \circ }$.
Lời giải
Vectơ chỉ phương của ${d_1}$ là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; – 2} \right)$, của ${d_2}$ là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( { – 1; – 3} \right)$.
Gọi $\varphi $ là góc giữa hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$.
Ta có: $cos\varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot \left( { – 1} \right) + \left( { – 2} \right) \cdot \left( { – 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( – 2)}^2}} \cdot \sqrt {{{( – 1)}^2} + {{( – 3)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
Do đó góc giữa hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ là $\varphi = {45^ \circ }$.
Câu 12: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right):{(x – 3)^2} + {(y – 1)^2} = 10$. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $A\left( {4;4} \right)$ là
A. $x + 3y – 16 = 0$.
B. $x + 3y – 4 = 0$.
C. $x – 3y + 5 = 0$.
D. $x – 3y + 16 = 0$.
Lời giải
Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {3;1} \right)$. Điểm $A\left( {4;4} \right)$ thuộc đường tròn.
Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $A\left( {4;4} \right)$ có véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow {IA} = \left( {1;3} \right)$ nên tiếp tuyến $d$ có phương trình dạng $x + 3y + c = 0$.
$d$ đi qua $A\left( {4;4} \right)$ nên $4 + 3.4 + c = 0 \Leftrightarrow c = – 16$.
Vậy phương trình của $d:x + 3y – 16 = 0$.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho hàm số $y = 2{x^2} + 4x + 1$ có đồ thị là $\left( C \right)$
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$
b) Tập giá trị của hàm số là $\left[ { – 1; + \infty } \right]$
c) Điểm $M\left( {1;3} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $\left( C \right)$
d) Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$
Lời giải
Hàm số đã cho có tập xác định là $D = \mathbb{R}$.
Ta có $y = 2{x^2} + 4x + 1 = 2\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) – 1 = 2{(x + 1)^2} – 1 \geqslant – 1,\forall x \in \mathbb{R}$ nên tập giá trị của hàm số đã cho là $\left[ { – 1; + \infty } \right]$.
Thay $M\left( {1;3} \right)$ vào đồ thị thấy không thỏa mãn.
Giả sử ${x_1},{x_2} \in \left( {1; + \infty } \right)$ và ${x_1} < {x_2}$.
Xét $\frac{{f\left( {{x_1}} \right) – f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} – {x_2}}} = 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 > 0,\forall {x_1},{x_2} \in \left( {1; + \infty } \right)$
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.
a) Đúng: Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$.
b) Đúng: Tập giá trị của hàm số là $\left[ { – 1; + \infty } \right]$.
c) Sai: Điểm $M\left( {1;3} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $\left( C \right)$.
d) Đúng: Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A\left( { – 2; – 1} \right),B\left( {4; – 4} \right)$ và đường thẳng $\left( d \right):2x + 5y – 3m = 0$.
a) Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\left( d \right)$ là $\overrightarrow {{n_d}} = \left( {2;5} \right)$.
b) Khi $m = 1$ thì khoảng cách từ điểm $A\left( { – 2; – 1} \right)$ đến đường thẳng $\left( d \right)$ bằng $\frac{{12}}{{29}}$.
c) Đường thẳng $AB$ có phương trình $x – 2y – 4 = 0$.
d) Khi $m < – 3$ thì đường thẳng $d$ cắt đường thẳng $AB$ tại một điểm nằm ngoài đoạn thẳng $AB$
Lời giải
Tọa độ vectơ $AB$ là : $\overrightarrow {AB} = \left( {6; – 3} \right) = \left( {2; – 1} \right)$
Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $AB$ là: $\overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {1;2} \right)$
Phương trình đường thẳng $AB$ là : $\left( {x + 2} \right) + 2\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 4 = 0$
Khi $m = 1$ thì khoảng cách từ điểm $A\left( { – 2; – 1} \right)$ đến $\left( d \right)$ là $d\left( {A;d} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot \left( { – 2} \right) + 5 \cdot \left( { – 1} \right) – 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {5^2}} }} = \frac{{12}}{{\sqrt {29} }}$
Đường thẳng $d$ cắt đường thẳng $AB$ tại một điểm nằm ngoài đoạn thẳng $AB$.
$ \Leftrightarrow A,B$ nằm cùng phía đối với đường thẳng $d \Leftrightarrow \left( { – 4 – 5 – 3m} \right)\left( {8 – 20 – 3m} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m > – 3} \\
{m < – 4}
\end{array}} \right.$.
a) Đúng: Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\left( d \right)$ là $\overrightarrow {{n_d}} = \left( {2;5} \right)$.
b) Sai: Khi $m = 1$ thì khoảng cách từ điểm $A\left( { – 2; – 1} \right)$ đến đường thẳng $\left( d \right)$ bằng $\frac{{12}}{{29}}$.
c) Sai: Đường thẳng $AB$ có phương trình $x – 2y – 4 = 0$
d) Sai: Khi $m < – 3$ thì đường thẳng $d$ cắt đường thẳng $AB$ tại một điểm nằm ngoài đoạn thẳng $AB$.
Câu 3: Một cửa hàng hoa quả bán dưa hấu với giá 50.000 đồng một quả. Với mức giá này thì chủ cửa hàng nhận thấy họ chỉ bán được 40 quả mỗi ngày. Cửa hàng nghiên cứu thị trường cho thấy, nếu giảm giá mỗi quả 1000 đồng thì số dưa hấu bán mỗi ngày tăng thêm 2 quả. Biết rằng giá nhập về của mỗi quả dưa là 20.000 đồng.
a) Số lượng dưa bán ra khi giảm giá là 40 trái.
b) Lợi nhuận trên mỗi trái dưa sau khi giảm giá 30.000 đồng.
c) Lợi nhuận bán dưa mỗi ngày được biểu thị bằng tam thức $f\left( x \right) = – 2{x^2} + 20x + 1200$
d) Giá bán mỗi quả dưa 45.000 đồng thì cửa hàng thu được lợi nhuận mỗi ngày cao nhất.
Lời giải
Gọi $x$ (nghìn đồng) là số tiền giảm giá. Ta có $0 < x < 30$.
Số lượng dưa bán ra khi giảm giá: $40 + 2x$ (trái).
Lợi nhuận trên mỗi trái dưa sau khi giảm giá: $30 – x$ (nghìn đồng).
Lợi nhuận bán dưa mỗi ngày là: $\left( {40 + 2x} \right)\left( {30 – x} \right) = – 2{x^2} + 20x + 1200$ (nghìn đồng).
Xét hàm số $f\left( x \right) = – 2{x^2} + 20x + 1200$ trên khoảng $\left( {0;30} \right)$.
Do hàm số có hệ số $a = – 2 < 0$ nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x = – \frac{b}{{2a}} = 5$.
Vậy cửa hàng cần giảm giá 5000 đồng cho mỗi quả để đạt được lợi nhuận cao nhất.
Vậy giá bán mỗi quả dưa cần tìm là 45000 đồng.
a) Sai: Số lượng dưa bán ra khi giảm giá là 50 trái.
b) Sai: Lợi nhuận trên mỗi trái dưa sau khi giảm giá 25.000 đồng.
c) Đúng: Lợi nhuận bán dưa mỗi ngày được biểu thị bằng tam thức $f\left( x \right) = – 2{x^2} + 20x + 1200$
d) Đúng: Giá bán mỗi quả dưa 45.000 đồng thì cửa hàng thu được lợi nhuận mỗi ngày cao nhất.
Câu 4: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có đỉnh $B\left( { – 12;1} \right)$ và đường phân giác trong góc $A$ có phương trình $d:x + 2y – 5 = 0$. Điểm $G\left( {\frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.
a) Hình chiếu của điểm $B$ trên đường thẳng $d$ có tọa độ $\left( { – 9;7} \right)$.
b) Tung độ điểm $B’$ là điểm đối xứng với $B$ qua đường thẳng $d$ là một số âm.
c) Hai vectơ $\overrightarrow {AB’} $ và $\overrightarrow {B’C} $ cùng phương với nhau.
d) Có hai điểm . $C$. thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Lời giải
Gọi $H\left( {5 – 2t;t} \right);\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$ là hình chiếu của điểm $B$ trên đường thẳng $d$.
Ta có $\overrightarrow {BH} = \left( {17 – 2t;t – 1} \right)$ và $BH \bot d$.
Do đó $\overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {{u_d}} = 0 \Leftrightarrow \left( {17 – 2t} \right).2 – 1.\left( {t – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 7$.
Tọa độ điểm $H\left( { – 9;7} \right)$.
Gọi $B’$ là điểm đối xứng của $B$ qua $d$. Khi đó $H$ là trung điểm của $BB’$ nên tọa độ điểm $B’\left( { – 6;13} \right)$.
Gọi tọa độ điểm $A\left( {5 – 2a;a} \right)$. Vì $G\left( {\frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên tọa độ điểm $C$ là $C\left( {8 + 2a;1 – a} \right)$.
Mặt khác ba điểm $A,B’,C$ thẳng hàng nên $\overrightarrow {AB’} ,\overrightarrow {B’C} $ cùng phương
Suy ra $\frac{{ – 11 + 2a}}{{14 + 2a}} = \frac{{13 – a}}{{ – 12 – a}} \Rightarrow a = – 2$.
Vậy tọa độ điểm $C\left( {4;3} \right)$.
a) Đúng: Hình chiếu của điểm $B$ trên đường thẳng $d$ là điểm $H$ có tọa độ $\left( { – 9;7} \right)$.
b) Sai: Tung độ điểm $B’$ là điểm đối xứng với $B$ qua đường thẳng $d$ là một số dương.
c) Đúng: Hai vectơ $\overrightarrow {AB’} $ và $\overrightarrow {B’C} $ cùng phương với nhau.
d) Sai: Chỉ có duy nhất một điểm $C\left( {4;3} \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số $m$ để hàm số $y = \sqrt {{x^2} – 2mx – 2m + 3} $ có tập xác định là $\mathbb{R}$.
Lời giải
Hàm số $y = \sqrt {{x^2} – 2mx – 2m + 3} $ có tập xác định là $\mathbb{R}$ khi ${x^2} – 2mx – 2m + 3 \geqslant 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta ‘ \leqslant 0} \\
{a > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{m^2} + 2m – 3 \leqslant 0} \\
{1 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow – 3 \leqslant m \leqslant 1} \right.} \right.$
Do $m$ nguyên âm nên $m \in \left\{ { – 3; – 2; – 1} \right\}$.
Vậy có 3 giá trị nguyên âm của $m$ thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in \left[ {0;30} \right]$ để bất phương trình ${x^2} – \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 \leqslant 0$ vô nghiệm?
Lời giải
Bất phương trình ${x^2} – \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 \leqslant 0$ vô nghiệm $ \Leftrightarrow {x^2} – \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$.
Điều kiện: $\Delta < 0 \Leftrightarrow {(m + 2)^2} – 4\left( {8m + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} – 28m > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m < 0} \\
{m > 28}
\end{array}} \right.$.
Kết hợp điều kiện $m \in \left[ {0;30} \right]\xrightarrow{{m \in \mathbb{Z}}}m = \left\{ {29;30} \right\}$ nên có 2 giá trị thỏa mãn.
Câu 3: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $d:x – 2y + 1 = 0$ và điểm $M\left( {2; – 2} \right)$. Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm $M$ lên đường thẳng $d$ là $N\left( {a;b} \right)$. Khi đó $a.b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
Đường thẳng $d$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_d}} = \left( {1; – 2} \right)$
Suy ra vectơ pháp tuyến của $d$ là $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1} \right)$.
Gọi $d’$ là đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $d$, khi đó $d’$ nhận vectơ pháp tuyến của $d$ làm một vectơ pháp tuyến $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_{d’}}} = \left( {2;1} \right)$.
Phương trình đường thẳng $d’$ là: $2\left( {x – 2} \right) + \left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y – 2 = 0$.
Gọi $N$ là giao điểm của $d$ và $d’$, tọa độ điểm $N$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – 2y = – 1} \\
{2x + y = 2}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{3}{5}} \\
{y = \frac{4}{5}}
\end{array}} \right.$
Vậy hình chiếu vuông góc của $M$ lên đường thẳng $d$ là $N\left( {\frac{3}{5};\frac{4}{5}} \right) \Rightarrow a \cdot b = \frac{{12}}{{25}} = 0,48$.
Câu 4: Một quả bóng được đá lên từ độ cao 1,5 mét so với mặt đất. Biết quỹ đạo của quả bóng là một đường parabol trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ có phương trình $h = a{t^2} + bt + c(a < 0)$ trong đó $t$ là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi quả bóng được đá lên và $h$ là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Biết rằng sau 2 giây thì nó đạt độ cao $5\;m$; sau 4 giây nó đạt độ cao $4,5\;m$. Hỏi sau 5,5 giây quả bóng đạt độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất?
Lời giải
Theo giả thiết ta có hệ phương trình sau:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{h\left( 0 \right) = \frac{3}{2}} \\
{h\left( 2 \right) = 5} \\
{h\left( 4 \right) = \frac{9}{2}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a{{(0)}^2} + b\left( 0 \right) + c = \frac{3}{2}} \\
{a{{(2)}^2} + b\left( 2 \right) + c = 5} \\
{a{{(4)}^2} + b\left( 4 \right) + c = \frac{9}{2}}
\end{array}} \right.} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{c = \frac{3}{2}} \\
{4a + 2b + c = 5} \\
{16a + 4b + c = \frac{9}{2}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a = – \frac{1}{2}} \\
{b = \frac{{11}}{4}.} \\
{c = \frac{3}{2}}
\end{array}} \right.} \right.$.
Suy ra: $h = – \frac{1}{2}{t^2} + \frac{{11}}{4}t + \frac{3}{2}$.
Khi $t = 5,5$ suy ra $h = 1,5$
Vậy sau 5,5 giây thì quả bóng đạt độ cao 1,5 mét so với mặt đất.
Câu 5: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta :ax + by + c = 0\;\left( {a;b;c \in \mathbb{N};a \leqslant 4} \right)$ vuông góc với đường thẳng $d:3x – y + 4 = 0$ và $\Delta $ cách $A\left( {1;2} \right)$ một khoảng $\sqrt {10} $. Xác định $T = a + b + c$
Lời giải.
Ta có: $\Delta \bot d \Rightarrow \Delta : x + 3y + m = 0$
Theo đề: $d\left( {A;\Delta } \right) = \sqrt {10} \Leftrightarrow \frac{{\left| {7 + m} \right|}}{{\sqrt {10} }} = \sqrt {10} $
$ \Leftrightarrow \left| {7 + m} \right| = 10 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m = 3} \\
{m = – 17}
\end{array}} \right.$
Vậy ${\Delta _1}:3x + 4y + 3 = 0;{\Delta _2}:3x + 4y – 17 = 0$
Vì $\left( {a;b;c \in \mathbb{N};a \leqslant 4} \right) \Rightarrow a = 3;b = 4;c = 3 \Rightarrow T = 10$.
Câu 6: Cho đường thẳng ${\Delta _m}:\left( {m – 2} \right)x + \left( {m + 1} \right)y – 5m + 1 = 0$ với $m$ là tham số, và điểm $A\left( { – 3;9} \right)$.
Giả sử $m = \frac{a}{b}$ (là phân số tối giản) để khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng ${\Delta _m}$ là lớn nhất. Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức $S = 2a – b$.
Lời giải
Ta có ${\Delta _m}:\left( {m – 2} \right)x + \left( {m + 1} \right)y – 5m + 1 = 0 \Leftrightarrow m\left( {x + y – 5} \right) + \left( { – 2x + y + 1} \right) = 0$
Khi đó, ${\Delta _m}$ luôn đi qua điểm cố định $M\left( {2;3} \right)$.
Gọi $d = d\left( {A,{\Delta _m}} \right) = AH,H \in {\Delta _m} \Rightarrow d \leqslant AM$.
$ \Rightarrow d$ lớn nhất khi $H \equiv M$ hay $M$ là hình chiếu của $A$ trên $\Delta $.
Ta có $\overrightarrow {AM} \left( {5; – 6} \right)$ và ${\Delta _m}$ có vectơ chỉ phương $\vec u\left( {m + 1;2 – m} \right)$.
Đường thẳng $AM \bot {\Delta _m} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} \cdot \vec u = 0$
$ \Leftrightarrow 5\left( {m + 1} \right) – 6\left( {2 – m} \right) = 0 \Leftrightarrow 11m – 7 = 0$
$ \Leftrightarrow m = \frac{7}{{11}} \Rightarrow S = 2a – b = 2.7 – 11 = 3$.
