Đề kiểm tra HK2 Toán 10 kết nối tri thức theo form mới giải chi tiết-Đề 7 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.
Câu 1. Giá trị nào của $m$ thì đồ thị hàm số $y = {x^2} + 3x + m$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt?
A. $m < – \frac{9}{4}$. B. $m > – \frac{9}{4}$. C. $m > \frac{9}{4}$. D. $m < \frac{9}{4}$.
Câu 2. Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt {2{x^2} – 5x + 2} $.
A. $\left( { – \infty ;\frac{1}{2}} \right]$. B. $\left[ {2; + \infty } \right)$. C. $\left( { – \infty ;\frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$. D. $\left[ {\frac{1}{2};2} \right]$.
Câu 3. Cho ba điểm $A\left( {1; – 2} \right),B\left( {5; – 4} \right),C\left( { – 1;4} \right)$. Đường cao $AA’$ của tam giác $ABC$ có phương trình tổng quát là:
A. $3x – 4y + 8 = 0$. B. $3x – 4y – 11 = 0$. C. $ – 6x + 8y + 11 = 0$. D. $8x + 6y + 13 = 0$.
Câu 4. Phương trình đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1;3} \right)$ và tiếp xúc $Ox$ có dạng:
A. ${(x – 3)^2} + {(y – 1)^2} = 4$. B. ${x^2} + {y^2} – 6x – 3y – 1 = 0$.
C. $4{x^2} + 3{y^2} – 2x – y + 1 = 0$. D. ${(x – 1)^2} + {(y – 3)^2} = 9$.
Câu 5. Cho Elip $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{20}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$. Một đường thẳng qua $A\left( {2;2} \right)$ và song song với trục hoành cắt $\left( E \right)$ tại 2 điểm phân biệt $M,N$. Tính độ dài $MN$.
A. $3\sqrt 5 $. B. $15\sqrt 2 $. C. $2\sqrt {15} $. D. $5\sqrt 3 $.
Câu 6. Một hộp đồ chơi có 6 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 1 viên?
A. 11 B. 5 C. 6 D. 30
Câu 7. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau mà hai số này đều lẻ?
A. $A_5^2$ B. $C_5^2$ C. 5 ! D. ${5^2}$
Câu 8. Từ các chữ số $0,1,2,3,4$ có thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau?
A. 60 B. 100 C. 48 D. 24
Câu 9. Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển của nhị thức ${\left( {{x^3} – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5}$
A. -10 . B. -5 . C. 10 . D. 5 .
Câu 10. Số hạng chính giữa trong khai triển ${(3x + 2y)^4}$ là:
A. $C_4^2{x^2}{y^2}$. B. $6{(3x)^2}{(2y)^2}$. C. $6C_4^2{x^2}{y^2}$. D. $36C_4^2{x^2}{y^2}$.
Câu 11. Một hộp đựng 10 thẻ, đánh số từ 1 đến 10. Chọn ngẫu nhiên 3 thẻ.
Gọi $A$ là biến cố để tổng số của 3 thẻ được chọn không vượt quá 8 . Số phần tử của biến cố $A$ là:
A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 .
Câu 12. Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 Lần. Tính xác suất của biến cố $A$ : “Có đúng 2 lần xuất hiện mặt sấp”?
A. $P\left( A \right) = \frac{1}{2}$. B. $P\left( A \right) = \frac{3}{8}$. C. $P\left( A \right) = \frac{7}{8}$. D. $P\left( A \right) = \frac{1}{4}$.
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai
Câu 1. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình dưới đây.
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) $f\left( x \right) < 0$ khi và chỉ khi $x \in \left( {1;3} \right)$;
b) $f\left( x \right) \leqslant 0$ khi và chỉ khi $x \in \left( { – \infty ;1\left] \cup \right[3; + \infty } \right)$;
c) $f\left( x \right) > 0$ khi và chỉ khi $x \in \left( {1;3} \right)$;
d) $f\left( x \right) \geqslant 0$ khi và chỉ khi $x \in \left[ {1;3} \right]$.
Câu 2. Khai triển ${(1 – x)^6}$. Khi đó
a) Hệ số của ${x^2}$ trong khai triển là $C_6^2$
b) Hệ số của ${x^3}$ trong khai triển là $C_6^3$
c) Hệ số của ${x^5}$ trong khai triển là $ – C_6^5$
d) $C_6^0 – C_6^1 + C_6^2 – C_6^3 + C_6^4 – C_6^5 + C_6^6 = 1$
Câu 3. Cho elip $\left( E \right)$ có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1(a > b > 0)$, đi qua các điểm $A\left( {7;0} \right)$ và $B\left( {0;5} \right)$. Khi đó:
a) ${a^2} = 7$
b) ${a^2} – {b^2} = 6$
c) Điểm $C\left( {1;1} \right)$ nằm bên trong elip $\left( E \right)$
d) Tiêu cự của elip bằng $2\sqrt 6 $
Câu 4. Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Khi đó:
a) Xác suất để “Số chấm xuất hiện trên hai mặt bằng nhau” bằng: $\frac{1}{6}$
b) Xác suất để “Có đúng một mặt 6 chấm xuất hiện” bằng: $\frac{5}{8}$
c) Xác suất để “Có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện” bằng: $\frac{{11}}{{36}}$
d) Xác suất để “Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 9” bằng: $\frac{3}{{14}}$.
Phần 3. Câu trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Cho phương trình $\sqrt {2{x^2} – 2mx – 4} = x – 1$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho phương trình đã cho có nghiệm.
Câu 2. Với giá trị nào của $m$ thì hai đường thẳng ${\Delta _1}:2x – 3my + 10 = 0$ và ${\Delta _2}:mx + 4y + 1 = 0$ cắt nhau?
Câu 3. Cho Parabol $\left( P \right):{y^2} = 16x$ và đường thẳng $\left( d \right):x = a(a > 0)$. Tìm $a$ để $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ sao cho $\widehat {AOB} = {120^ \circ }$.
Câu 4. Cho 18 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác $\vec 0$ sao cho điểm đầu và điểm cuối của mỗi vectơ đó là 2 trong 18 điểm đã cho?
Câu 5. Tính tổng sau $S = C_{10}^0 + C_{10}^1 + \ldots + C_{10}^{10}$.
Câu 6. Gieo đồng thời hai viên xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai viên xúc xắc bằng: 12 .
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI THAM KHẢO
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thi sinh chỉ chọn một phuơng án đúng nhất.
| 1D | 2C | 3B | 4D | 5C | 6A |
| 7A | 8C | 9A | 10D | 11C | 12B |
Câu 1. Giá trị nào của $m$ thì đồ thị hàm số $y = {x^2} + 3x + m$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt?
A. $m < – \frac{9}{4}$.
B. $m > – \frac{9}{4}$.
C. $m > \frac{9}{4}$.
D. $m < \frac{9}{4}$.
Chọn D
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol với trục hoành: ${x^2} + 3x + m = 0\left( * \right)$. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow $ Phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt
$ \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow {3^2} – 4m > 0 \Leftrightarrow 9 – 4m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{9}{4}$.
Câu 2. Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt {2{x^2} – 5x + 2} $.
A. $\left( { – \infty ;\frac{1}{2}} \right]$.
B. $\left[ {2; + \infty } \right)$.
C. $\left( { – \infty ;\frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$.
D. $\left[ {\frac{1}{2};2} \right]$.
Chọn C
Lời giải
Hàm số xác định $ \Leftrightarrow 2{x^2} – 5x + 2 \geqslant 0$.
Xét $f\left( x \right) = 2{x^2} – 5x + 2;f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2} \\
{x = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$
Bảng xét dấu:
Ta có: $f\left( x \right) \geqslant 0 \Leftrightarrow x \in \left( { – \infty ;\frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$.
Vậy, tập xác định hàm số: $D = \left( { – \infty ;\frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$.
Câu 3. Cho ba điểm $A\left( {1; – 2} \right),B\left( {5; – 4} \right),C\left( { – 1;4} \right)$. Đường cao $AA’$ của tam giác $ABC$ có phương trình tổng quát là:
A. $3x – 4y + 8 = 0$.
B. $3x – 4y – 11 = 0$.
C. $ – 6x + 8y + 11 = 0$.
D. $8x + 6y + 13 = 0$.
Chọn B
Lời giải
Ta có:
$\overrightarrow {BC} = \left( { – 6;8} \right)$; đường thẳng $A\overrightarrow {A’} $ qua $A\left( {1; – 2} \right)$ và nhận $\vec n = – \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \left( {3; – 4} \right)$
là một vectơ pháp tuyến, vì vậy phương trình tổng quát của $AA’$ là:
$3\left( {x – 1} \right) – 4\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x – 4y – 11 = 0$.
Câu 4. Phương trình đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1;3} \right)$ và tiếp xúc $Ox$ có dạng:
A. ${(x – 3)^2} + {(y – 1)^2} = 4$.
B. ${x^2} + {y^2} – 6x – 3y – 1 = 0$.
C. $4{x^2} + 3{y^2} – 2x – y + 1 = 0$.
D. ${(x – 1)^2} + {(y – 3)^2} = 9$.
Lời giải
Chọn D (C) tiếp xúc $Ox \Rightarrow R = \left| b \right| = 3$. Vậy ${(x – 1)^2} + {(y – 3)^2} = 9$.
Câu 5. Cho Elip $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{20}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$. Một đường thẳng qua $A\left( {2;2} \right)$ và song song với trục hoành cắt $\left( E \right)$ tại 2 điểm phân biệt $M,N$. Tính độ dài $MN$.
A. $3\sqrt 5 $.
B. $15\sqrt 2 $.
C. $2\sqrt {15} $.
D. $5\sqrt 3 $.
Lời giải
Chọn $C$
d: $y = 2$. Tọa độ giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( E \right)$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y = 2} \\
{\frac{{{x^2}}}{{20}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y = 2} \\
{x = \pm \sqrt {15} }
\end{array}} \right.} \right.$
Câu 6. Một hộp đồ chơi có 6 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 1 viên?
A. 11
B. 5
C. 6
D. 30
Lời giải
Chọn A
Áp dụng quy tắc cộng ta có số cách lấy ra một viên bi là: $6 + 5 = 11$.
Câu 7. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau mà hai số này đều lẻ?
A. $A_5^2$
B. $C_5^2$
C. 5 !
D. ${5^2}$
Chọn A
Lời giải
Xét tập $A = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}$. Ta thấy tập $A$ gồm 5 chữ số chẵn và 5 chữ số lẻ.
Mỗi số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau mà hai chữ số này đều lẻ chính là một chỉnh hợp chập hai của năm chữ số lẻ.
Câu 8. Từ các chữ số $0,1,2,3,4$ có thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau?
A. 60
B. 100
C. 48
D. 24
Chọn C
Lời giải
Gọi $\overline {abc} $ là số tự nhiêm gồm ba chữ số khác nhau được lập từ các chữ số $0;1;2;3;4$.
Với $a \ne 0$ thì các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là $4 \cdot A_4^2 = 48$.
Câu 9. Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển của nhị thức ${\left( {{x^3} – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5}$
A. -10 .
B. -5 .
C. 10 .
D. 5 .
Lời giải
Chọn A
Số hạng tổng quát của khai triển ${\left( {{x^3} – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5}$ là: ${T_{k + 1}} = C_5^k{( – 1)^k}{x^{15 – 5k}}$. Úng với số hạng không chứa $x$ ta có $k = 3$.
Số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_5^3{( – 1)^3} = – 10$.
Câu 10. Số hạng chính giữa trong khai triển ${(3x + 2y)^4}$ là:
A. $C_4^2{x^2}{y^2}$.
B. $6{(3x)^2}{(2y)^2}$.
C. $6C_4^2{x^2}{y^2}$.
D. $36C_4^2{x^2}{y^2}$.
Chọn D
Lời giải
Số hạng tổng quát của khai triển ${(3x + 2y)^4}$ là: ${T_{k + 1}} = C_4^k{3^{4 – k}}{2^k}{x^{4 – k}}{y^k}$.
Suy ra hệ số của số hạng thứ ba là: ${T_3} = C_4^2{3^2}{2^2}{x^2}{y^2} = 36C_4^2{x^2}{y^2}$.
Hệ số của số hạng chính giữa là: $36C_4^2$.
Câu 11. Một hộp đựng 10 thẻ, đánh số từ 1 đến 10. Chọn ngẫu nhiên 3 thẻ.
Gọi $A$ là biến cố để tổng số của 3 thẻ được chọn không vượt quá 8 . Số phần tử của biến cố $A$ là:
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 5 .
Chọn C
Lời giải
Liệt kê ta có: $A = \left\{ {\left( {1;2;3} \right);\left( {1;2;4} \right);\left( {1;2;5} \right);\left( {1;3;4} \right)} \right\}$.
Câu 12. Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 Lần. Tính xác suất của biến cố $A$ : “Có đúng 2 lần xuất hiện mặt sấp”?
A. $P\left( A \right) = \frac{1}{2}$.
B. $P\left( A \right) = \frac{3}{8}$.
C. $P\left( A \right) = \frac{7}{8}$.
D. $P\left( A \right) = \frac{1}{4}$.
Chọn B
Lời giải
Chọn 2 trong 3 lần để xuất hiện mặt sấp có $C_3^2 = 3$ cách.
2 lần xuất hiện mặt sấp có xác suất mỗi lần là $\frac{1}{2}$. Lần xuất hiện mặt ngửa có xác suất là $\frac{1}{2},P\left( A \right) = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$.
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai
Câu 1. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình dưới đây.
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) $f\left( x \right) < 0$ khi và chỉ khi $x \in \left( {1;3} \right)$;
b) $f\left( x \right) \leqslant 0$ khi và chỉ khi $x \in \left( { – \infty ;1\left] \cup \right[3; + \infty } \right)$;
c) $f\left( x \right) > 0$ khi và chỉ khi $x \in \left( {1;3} \right)$;
d) $f\left( x \right) \geqslant 0$ khi và chỉ khi $x \in \left[ {1;3} \right]$.
Lời giải
a) Đúng
b) Sai
c) Sai
d) Sai
Nhìn vào đồ thị hàm số đã cho nằm phía dưới trục hoành ta suy ra được $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y < 0} \\
{x \in \left( {1;3} \right)}
\end{array}} \right.$
Câu 2. Khai triển ${(1 – x)^6}$. Khi đó
a) Hệ số của ${x^2}$ trong khai triển là $C_6^2$
b) Hệ số của ${x^3}$ trong khai triển là $C_6^3$
c) Hệ số của ${x^5}$ trong khai triển là $ – C_6^5$
d) $C_6^0 – C_6^1 + C_6^2 – C_6^3 + C_6^4 – C_6^5 + C_6^6 = 1$
Lời giải
| a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Ta có: ${(1 – x)^6} = C_6^0 – C_6^1x + C_6^2{x^2} – C_6^3{x^3} + C_6^4{x^4} – C_6^5{x^5} + C_6^6{x^6}\left( * \right)$.
Thay $x = 1$ vào $\left( * \right)$, ta được: ${(1 – 1)^6} = C_6^0 – C_6^1 + C_6^2 – C_6^3 + C_6^4 – C_6^5 + C_6^6 = S$. Vậy $S = 0$.
Câu 3. Cho elip $\left( E \right)$ có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1(a > b > 0)$, đi qua các điểm $A\left( {7;0} \right)$ và $B\left( {0;5} \right)$. Khi đó:
a) ${a^2} = 7$
b) ${a^2} – {b^2} = 6$
c) Điểm $C\left( {1;1} \right)$ nằm bên trong elip $\left( E \right)$
d) Tiêu cự của elip bằng $2\sqrt 6 $
Lời giải
| a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Vì elip $\left( E \right)$ đi qua các điểm $A\left( {7;0} \right)$ và $B\left( {0;5} \right)$ nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{7^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1} \\
{\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{5^2}}}{{{b^2}}} = 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{a^2} = 49} \\
{{b^2} = 25}
\end{array}} \right.} \right.$
Vậy phương trình chính tắc của đường elip $\left( E \right)$ là: $\frac{{{x^2}}}{{49}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1$.
Câu 4. Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Khi đó:
a) Xác suất để “Số chấm xuất hiện trên hai mặt bằng nhau” bằng: $\frac{1}{6}$
b) Xác suất để “Có đúng một mặt 6 chấm xuất hiện” bằng: $\frac{5}{8}$
c) Xác suất để “Có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện” bằng: $\frac{{11}}{{36}}$
d) Xác suất để “Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 9” bằng: $\frac{3}{{14}}$.
Lời giải
a) Đúng
b) Sai
c) Đúng
d) Sai
Không gian mẫu $\Omega = \left\{ {\left( {i;j} \right)\mid i,j = 1,2, \ldots ,6} \right\}$
Số phần tử của không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36$.
a) Biến cố $A$ : “Số chấm xuất hiện trên hai mặt bằng nhau”.
$A = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {3;3} \right);\left( {4;4} \right);\left( {5;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}$.
$n\left( A \right) = 6$. Xác suất của biến cố $A:P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{6}$.
b) Biến cố B: “Có đúng một mặt 6 chấm xuất hiện”.
$B = \left\{ {\left( {1;6} \right);\left( {2;6} \right);\left( {3;6} \right);\left( {4;6} \right);\left( {5;6} \right);\left( {6;1} \right);\left( {6;2} \right);\left( {6;3} \right);\left( {6;4} \right);\left( {6;5} \right)} \right\}$
$n\left( B \right) = 10$. Xác suất của biến cố $B:P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{{18}}$.
c) Biến cố C:”Có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện”.
$C = \left\{ {\left( {1;6} \right);\left( {2;6} \right);\left( {3;6} \right);\left( {4;6} \right);\left( {5;6} \right);\left( {6;1} \right)} \right.$$;\left. {\left( {6;2} \right);\left( {6;3} \right);\left( {6;4} \right);\left( {6;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}$.
$n\left( C \right) = 11$. Xác suất của biến cố $C:P\left( C \right) = \frac{{n\left( C \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{11}}{{36}}$.
d) Biến cố D: “Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 9”.
Biến cố đối $\overline D $ : “Tổng số chấm xuất hiện không nhỏ hơn 9”.
$\overline D = \left\{ {\left( {4;5} \right);\left( {4;6} \right);\left( {5;4} \right);\left( {5;5} \right);\left( {5;6} \right);\left( {6;3} \right)\left( {6;4} \right);\left( {6;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}$.
$n\left( {\overline D } \right) = 9$. Xác suất của biến cố $\overline D :P\left( {\overline D } \right) = \frac{{n\left( {\overline D } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{4}$.
$P\left( D \right) + P\left( {\overline D } \right) = 1 \Rightarrow P\left( D \right) = 1 – P\left( {\overline D } \right) = \frac{3}{4}$.
Phần 3. Câu trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Cho phương trình $\sqrt {2{x^2} – 2mx – 4} = x – 1$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho phương trình đã cho có nghiệm.
Trả lời: $m \in \left[ { – 1; + \infty } \right)$
$\sqrt {2{x^2} – 2mx – 4} = x – 1$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \geqslant 1} \\
{2{x^2} – 2mx – 4 = {x^2} – 2x + 1}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \geqslant 1} \\
{{x^2} – 2\left( {m – 1} \right)x – 5 = 0\left( {{\;^*}} \right)}
\end{array}} \right.$
Do pt $\left( * \right)$ có $ac = – 5 < 0$ nên pt $\left( * \right)$ luôn có 2 nghiệm trái dấu.
Nên để pt đã cho có nghiệm thì pt $\left( {{\;^*}} \right)$ có 2 nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} < 1 \leqslant {x_2} \Leftrightarrow \left( {{x_1} – 1} \right)\left( {{x_2} – 1} \right) \leqslant 0$ $ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} – \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 \leqslant 0$
$ \Leftrightarrow – 5 – 2\left( {m – 1} \right) + 1 \leqslant 0 \Leftrightarrow m \geqslant – 1$.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi $m \in \left[ { – 1; + \infty } \right)$.
Câu 2. Với giá trị nào của $m$ thì hai đường thẳng ${\Delta _1}:2x – 3my + 10 = 0$ và ${\Delta _2}:mx + 4y + 1 = 0$ cắt nhau?
Trả lời: $m \in \mathbb{R}$
Lời giải
Hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ có cặp vectơ pháp tuyến ${\vec n_1} = \left( {2; – 3m} \right),{\vec n_2} = \left( {m;4} \right)$.
Điều kiện để ${\Delta _1}$ cắt ${\Delta _2}$. là ${\vec n_1},{\vec n_2}$ không cùng phương
$ \Leftrightarrow 2.4 \ne – 3m.m \Leftrightarrow {m^2} \ne – \frac{8}{3}$ (đúng với mọi $m \in \mathbb{R}$ ).
Vậy với mọi số thực $m$ thì ${\Delta _1},{\Delta _2}$ luôn cắt nhau tại một điểm.
Câu 3. Cho Parabol $\left( P \right):{y^2} = 16x$ và đường thẳng $\left( d \right):x = a(a > 0)$. Tìm $a$ để $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ sao cho $\widehat {AOB} = {120^ \circ }$.
Trả lời: $a = \frac{{16}}{3}$
Lời giải
Tìm $a$ để $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ sao cho $\widehat {AOB} = {120^ \circ }$.
Ta có: $x = a \Rightarrow {y^2} = 16a \Rightarrow y = \pm 4\sqrt a (a > 0)$$ \Rightarrow A\left( {a; – 4\sqrt a } \right),B\left( {a;4\sqrt a } \right)$.
$\widehat {AOB} = {120^ \circ } \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = {120^ \circ }$$ \Leftrightarrow cos\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = cos{120^ \circ }$
$ \Leftrightarrow \frac{{{a^2} – 16a}}{{\sqrt {{a^2} + 16a} \cdot \sqrt {{a^2} + 16a} }} = – \frac{1}{2} \Leftrightarrow a = \frac{{16}}{3}.$
Câu 4. Cho 18 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác $\vec 0$ sao cho điểm đầu và điểm cuối của mỗi vectơ đó là 2 trong 18 điểm đã cho?
Trả lời: 306
Lời giải
Mỗi cách chọn một vectơ là một cách chọn 2 điểm trong 18 điểm đã cho rồi xếp thứ tự điểm đầu và điểm cuối, tức là một chỉnh hợp chập 2 của 18 phần tử. Vậy số vectơ thoả mãn đề bài là: $A_{18}^2 = 306$.
Câu 5. Tính tổng sau $S = C_{10}^0 + C_{10}^1 + \ldots + C_{10}^{10}$.
Trả lời: 1024
Lời giải
Xét khai triển .
Ta chọn $a = b = 1$, thu được ${(1 + 1)^{10}} = C_{10}^0 + C_{10}^1 + \ldots + C_{10}^{10}$.
Vậy $S = {2^{10}} = 1024$.
Câu 6. Gieo đồng thời hai viên xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai viên xúc xắc bằng: 12 .
Trả lời: $\frac{1}{{36}}$
Ta có $n\left( \Omega \right) = 36$.
Lời giải
Gọi $B$ là biến cố tổng số chấm trên hai viên xúc xắc bằng 12 .
$B = \left\{ {\left( {6;6} \right)} \right\}$. Do đó, ta có $n\left( B \right) = 1$.
Vậy xác suất của biến cố $B$ là: $P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{{36}}$.
