Đề kiểm tra giữa HK2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới giải chi tiết-Đề 2 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Lớp 10A có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh của lớp $10\;A$ để làm lớp trưởng?
A. 300 . B. 15 . C. 35 . D. 20 .
Câu 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số?
A. $C_{10}^2$. B. 81 . C. 100 . D. 90 .
Câu 3: Số các số hạng trong khai triển ${(x + 1)^8}$ là
A. 9 . B. 7 . C. 8 . D. 10 .
Câu 4: Cho $k,n \in {\mathbb{N}^*}$ và $n \geqslant k$. Công thức nào dưới đây đúng?
A. $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}$. B. $C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}$. C. $C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!k!}}$. D. $C_n^k = n!$.
Câu 5: Viết số gần đúng $\sqrt[3]{7}$ theo quy tắc làm tròn đến hai, ba chữ số thập phân?
A. 1,92 B. 1,93 C. 1,91 D. 1,912
Câu 6: Chiều dài (đơn vị feet) của 7 con cá voi trưởng thành được cho như sau:
| 48 | 53 | 51 | 31 | 53 | 112 | 52 |
Số trung bình của mẫu số liệu trên là: $(1$ feet $ = 0,3048m)$
A. 51,14 . B. 57,14 . C. 55,2 . D. 52,26 .
Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $A\left( {5;3} \right),B\left( {7;8} \right)$. Tìm tọa độ $\overrightarrow {AB} $.
A. $\left( {15;10} \right)$. B. $\left( { – 2;5} \right)$. C. $\left( {2;5} \right)$. D. $\left( {2;6} \right)$.
Câu 8: Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, cho $\vec a = \left( {2;5} \right)$ và $\vec b = \left( { – 3;1} \right)$. Khi đó, giá trị của $\vec a \cdot \vec b$ bằng
A. -5 . B. 1 . C. 13 . D. -1 .
Câu 9: Cho điểm $A\left( { – 3;2} \right),B\left( {2; – 3} \right)$. Toạ độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ ?
A. $M\left( { – \frac{1}{2}; – \frac{1}{2}} \right)$. B. $M\left( { – \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)$. C. $M\left( { – 1; – 1} \right)$. D. $M\left( { – 1;1} \right)$.
Câu 10: Cho hai điểm $A\left( {1;0} \right)$ và $B\left( {0; – 2} \right)$. Tọa độ điểm $D$ thỏa $\overrightarrow {AD} = – 3\overrightarrow {AB} $ là:
A. $\left( {4; – 6} \right)$. B. $\left( {2;0} \right)$. C. $\left( {0;4} \right)$. D. $\left( {4;6} \right)$.
Câu 11: Cho đường thẳng $d:2x + 3y – 4 = 0$. Véctơ nào sau đây là véctơ chỉ phương của $d$ ?
A. $\vec u = \left( {2;3} \right)$. B. $\vec u = \left( {3;2} \right)$. C. $\vec u = \left( {3; – 2} \right)$. D. $\vec u = \left( { – 3; – 2} \right)$.
Câu 12: Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm $A\left( {1;2} \right)$ và có $VTPT\vec n = \left( {2;3} \right)$ là
A. $x + 2y – 8 = 0$. B. $x + 2y + 8 = 0$. C. $2x + 3y + 8 = 0$. D. $2x + 3y – 8 = 0$.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4 . Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Cho tập $A$ gồm $n$ phần tử và $1 \leqslant k \leqslant n$. Kết quả của việc lấy $k$ phần tử từ $n$ phần tử từ tập $A$ và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho.
b) Với $n$ là số nguyên dương bất kì $n \geqslant 3$ thì ta có $A_n^3 = \frac{{n!}}{{\left( {n – 3} \right)!}}$.
c) Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử nhiều gấp $k$ ! lần số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử
d) Với $n$ nguyên dương bất kỳ và $n \geqslant 3$ thì ta có $C_n^3 = \frac{{n!}}{{3!\left( {n – 3} \right)!}}$.
Câu 2: Từ một hộp chứa 12 quả cầu trong đó có 8 quả màu đỏ, 3 quả màu xanh và 1 quả màu vàng, lấy ngẫu nhiên 3 quả.
a) Số cách chọn ra 3 quả cầu từ hộp là 792 cách.
b) Số cách chọn ra 3 quả cầu có đủ cả ba màu là 36 cách.
c) Số cách chọn ra 3 quả cầu chỉ có một màu là 108 cách.
d) Số cách để lấy được 3 quả cầu có đúng hai màu là 139 cách.
Câu 3: Cho bảng số liệu điểm kiểm tra môn Toán cuối học kỳ 2 của 40 học sinh lớp 10C như sau (thang điểm là 10 )
| Điểm | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | Cộng |
| Tần số | 5 | 12 | 8 | 9 | 4 | 2 | 40 |
a) Từ bảng số liệu thì lớp $10C$ có 4 học sinh đạt điểm 9 .
b) Điểm trung bình của 40 học sinh lớp 10C là 7,5.
c) Phương sai của mẫu số liệu bằng 1,784 .
d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đã cho bằng 1,335 .
Câu 4: Trong hệ trục tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ có $A\left( { – 2; – 2} \right),B\left( { – 2;1} \right)$ và $C\left( {2; – 2} \right)$.
a) Tam giác $\vartriangle ABC$ là một tam giác cân.
b) Chu vi tam giác $\vartriangle ABC$ bằng 12 .
c) Cosin góc tạo bởi vectơ $\overrightarrow {AC} $ và vectơ $\overrightarrow {BC} $ bằng $\frac{4}{5}$.
d) Giá trị biểu thức $T = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} = 16$.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1: Trên giá sách có 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Lý, 2 quyển sách Hóa. Số cách chọn ra 3 quyển sách trong đó có ít nhất 1 quyển là sách Toán
Câu 2: Một tổ học sinh có 12 bạn, gồm 7 nam và 5 nữ. Cần chọn một nhóm 3 học sinh của tổ đó để
làm vệ sinh lớp học. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong nhóm có cả nam và nữ?
Câu 3: Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức Newton ${\left( {x + \frac{8}{{{x^3}}}} \right)^8}$
Câu 4: Cho hai đường thẳng ${d_1}:2x – y – 2 = 0,{d_2}:x + y + 3 = 0$ và điểm $M\left( {0;\frac{1}{2}} \right)$. Phương trình đường thẳng $\Delta $ qua $M$, cắt ${d_1}$ và ${d_2}$ lần lượt tại điểm $A$ và $B$ sao cho $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ có dạng $ax + by + 2 = 0$. Tính giá trị biểu thức $S = a + b$.
Câu 5: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $d:2x – 3y – 1 = 0$ và hai điểm $A\left( {3;1} \right),B\left( {1;2} \right)$. Gọi điểm $M\left( {a;b} \right)$ trên đường thẳng $d$ sao cho $\left| {MA – MB} \right|$ đạt giá trị lớn nhất. Tính $T = 13a + 39b$
Câu 6: Một con thuyền chở khách qua sông từ vị trí điểm $A\left( {3;4} \right)$ đến vị trí điểm $B\left( {3;50} \right)$ bên kia sông. Tuy nhiên do chịu ảnh hưởng của gió và nước chảy mạnh nên con thuyền đã qua bên kia sông tại vị trí điểm $C\left( {38;50} \right)$. Tính góc lệch của con thuyền so với dự định lúc ban đầu của nó (làm tròn đến hàng phần trăm và đơn vị là độ).
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
PHẦN I.
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Chọn | C | D | A | C | C | B | C | D | A | D | C | D |
PHẦN II.
| Câu 1 | Câu 2 | Câu 3 | Câu 4 |
| a) S | a) S | a) Đ | a) Đ |
| b) Đ | b) S | b) S | b) Đ |
| c) Đ | c) S | c) S | c) S |
| d) Đ | d) Đ | d) S | d) Đ |
PHẦN III.
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Chọn | 74 | 175 | 1792 | -1 | 116 | 37,27 |
LỜI GIẢI CHI TIẾT
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phuơng án.
Câu 1: Lớp 10A có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh của lớp $10\;A$ để làm lớp trưởng?
A. 300 .
B. 15 .
C. 35 .
D. 20 .
Lời giải
Lớp có $20 + 15$ = 35 học sinh.
Suy ra số cách chọn một học sinh của lớp $10\;A$ để làm lớp trưởng là $C_{35}^1 = 35$.
Câu 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số?
A. $C_{10}^2$.
B. 81 .
C. 100 .
D. 90 .
Lời giải
Số tự nhiên có hai chữ số có $9.10 = 90$ (số).
Câu 3: Số các số hạng trong khai triển ${(x + 1)^8}$ là
A. 9 .
B. 7 .
C. 8 .
D. 10 .
Lời giải
Số số hạng trong khai triển ${(a + b)^n}$ là: $n + 1 = 9$ (số hạng).
Câu 4: Cho $k,n \in {\mathbb{N}^*}$ và $n \geqslant k$. Công thức nào dưới đây đúng?
A. $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}$.
B. $C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}$.
C. $C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!k!}}$.
D. $C_n^k = n!$.
Lời giải
Công thức tính số các tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử là $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}}$.
Câu 5: Viết số gần đúng $\sqrt[3]{7}$ theo quy tắc làm tròn đến hai, ba chữ số thập phân?
A. 1,92
B. 1,93
C. 1,91
D. 1,912
Lời giải
Ta có: $\sqrt[3]{7}$ làm tròn đến hai chữ số thập phân bằng 1,91 .
Câu 6: Chiều dài (đơn vị feet) của 7 con cá voi trưởng thành được cho như sau:
| 48 | 53 | 51 | 31 | 53 | 112 | 52 |
Số trung bình của mẫu số liệu trên là: $(1$ feet $ = 0,3048m)$
A. 51,14 .
B. 57,14 .
C. 55,2 .
D. 52,26 .
Lời giải
Số trung bình của mẫu số liệu $\frac{{48 + 53 + 51 + 31 + 53 + 112 + 52}}{7} \approx 57,142857$ (feet).
Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $A\left( {5;3} \right),B\left( {7;8} \right)$. Tìm tọa độ $\overrightarrow {AB} $.
A. $\left( {15;10} \right)$.
B. $\left( { – 2;5} \right)$.
C. $\left( {2;5} \right)$.
D. $\left( {2;6} \right)$.
Lời giải
Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} – {x_A};{y_B} – {y_A}} \right) = \left( {2;5} \right)$.
Câu 8: Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, cho $\vec a = \left( {2;5} \right)$ và $\vec b = \left( { – 3;1} \right)$. Khi đó, giá trị của $\vec a \cdot \vec b$ bằng
A. -5 .
B. 1 .
C. 13 .
D. -1 .
Lời giải
Ta có: $\vec a \cdot \vec b = 2 \times \left( { – 3} \right) + 5 \times 1 = – 6 + 5 = – 1$.
Câu 9: Cho điểm $A\left( { – 3;2} \right),B\left( {2; – 3} \right)$. Tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ ?
A. $M\left( { – \frac{1}{2}; – \frac{1}{2}} \right)$.
B. $M\left( { – \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)$.
C. $M\left( { – 1; – 1} \right)$.
D. $M\left( { – 1;1} \right)$.
Lời giải
Toạ độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{ – 3 + 2}}{2} = – \frac{1}{2}} \\
{{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{2 – 3}}{2} = – \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$
Vậy $M\left( { – \frac{1}{2}; – \frac{1}{2}} \right)$.
Câu 10: Cho hai điểm $A\left( {1;0} \right)$ và $B\left( {0; – 2} \right)$. Tọa độ điểm $D$ thỏa $\overrightarrow {AD} = – 3\overrightarrow {AB} $ là:
A. $\left( {4; – 6} \right)$.
B. $\left( {2;0} \right)$.
C. $\left( {0;4} \right)$.
D. $\left( {4;6} \right)$.
Lời giải
Ta có: $\overrightarrow {AD} = – 3\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_D} – {x_A} = – 3\left( {{x_B} – {x_A}} \right)} \\
{{y_D} – {y_A} = – 3\left( {{y_B} – {y_A}} \right)}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_D} – 1 = – 3\left( {0 – 1} \right)} \\
{{y_D} – 0 = – 3\left( { – 2 – 0} \right)}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_D} = 4} \\
{{y_D} = 6}
\end{array}} \right.} \right.$.
Câu 11: Cho đường thẳng $d:2x + 3y – 4 = 0$. Véctơ nào sau đây là véctơ chỉ phương của $d$ ?
A. $\vec u = \left( {2;3} \right)$.
B. $\vec u = \left( {3;2} \right)$.
C. $\vec u = \left( {3; – 2} \right)$.
D. $\vec u = \left( { – 3; – 2} \right)$.
Lời giải
Đường thẳng $d:2x + 3y – 4 = 0$ có một véctơ pháp tuyến $\vec n = \left( {2;3} \right)$ nên chọn một véctơ chỉ phương của $d$ là $\vec u = \left( {3; – 2} \right)$.
Câu 12: Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm $A\left( {1;2} \right)$ và có $VTPT\vec n = \left( {2;3} \right)$ là
A. $x + 2y – 8 = 0$.
B. $x + 2y + 8 = 0$.
C. $2x + 3y + 8 = 0$.
D. $2x + 3y – 8 = 0$.
Lời giải
Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua $A\left( {1;2} \right)$ và có VTPT $\vec n = \left( {2;3} \right)$ là
2. $\left( {x – 1} \right) + 3.\left( {y – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y – 8 = 0$.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Cho tập $A$ gồm $n$ phần tử và $1 \leqslant k \leqslant n$. Kết quả của việc lấy $k$ phần tử từ $n$ phần tử từ tập $A$ và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho.
b) Với $n$ là số nguyên dương bất kì $n \geqslant 3$ thì ta có $A_n^3 = \frac{{n!}}{{\left( {n – 3} \right)!}}$.
c) Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử nhiều gấp $k$ ! lần số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử
d) Với $n$ nguyên dương bất kỳ và $n \geqslant 3$ thì ta có $C_n^3 = \frac{{n!}}{{3!\left( {n – 3} \right)!}}$.
Lời giải
a) Sai: Cho tập $A$ gồm $n$ phần tử và $1 \leqslant k \leqslant n$. Kết quả của việc lấy $k$ phần tử từ $n$ phần tử từ tập $A$ và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho.
b) Đúng: Với $n$ là số nguyên dương bất kì $n \geqslant 3$ thì ta có $A_n^3 = \frac{{n!}}{{\left( {n – 3} \right)!}}$.
c) Đúng: Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử nhiều gấp $k$ ! lần số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử
d) Đúng: Với $n$ nguyên dương bất kỳ và $n \geqslant 3$ thì ta có $C_n^3 = \frac{{n!}}{{3!\left( {n – 3} \right)!}}$.
Câu 2: Từ một hộp chứa 12 quả cầu trong đó có 8 quả màu đỏ, 3 quả màu xanh và 1 quả màu vàng, lấy ngẫu nhiên 3 quả.
a) Số cách chọn ra 3 quả cầu từ hộp là 792 cách.
b) Số cách chọn ra 3 quả cầu có đủ cả ba màu là 36 cách.
c) Số cách chọn ra 3 quả cầu chỉ có một màu là 108 cách.
d) Số cách để lấy được 3 quả cầu có đúng hai màu là 139 cách.
Lời giải
Số cách lấy 3 quả bất kì: $C_{12}^3 = 220$.
Số cách lấy 3 quả có đủ 3 màu: $C_8^1 \cdot C_3^1 \cdot C_1^1 = 24$.
Số cách lấy 3 quả chỉ có 1 màu: $C_8^3 + C_3^3 = 57$.
Vậy số cách lấy thỏa mãn yêu cầu bài toán là $220 – 24 – 57 = 139$.
a) Sai: Số cách chọn ra 3 quả cầu từ hộp là 220 cách.
b) Sai: Số cách chọn ra 3 quả cầu có đủ cả ba màu là 24 cách.
c) Sai: Số cách chọn ra 3 quả cầu chỉ có một màu là 57 cách.
d) Đúng: Số cách để lấy được 3 quả cầu có đúng hai màu là 139 cách.
Câu 3: Cho bảng số liệu điểm kiểm tra môn Toán cuối học kỳ 2 của 40 học sinh lớp $10C$ như sau (thang điểm là 10 )
| Điểm | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | Cộng |
| Tần số | 5 | 12 | 8 | 9 | 4 | 2 | 40 |
a) Từ bảng số liệu thì lớp 10C có 4 học sinh đạt điểm 9 .
b) Điểm trung bình của 40 học sinh lớp 10C là 7,5 .
c) Phương sai của mẫu số liệu bằng 1,784 .
d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đã cho bằng 1,335 .
Lời giải
Ta có điểm trung bình của 40 em học sinh là:
$\overline x = \frac{{5 \cdot 5 + 12 \cdot 6 + 8 \cdot 7 + 9 \cdot 8 + 4 \cdot 9 + 2 \cdot 10}}{{40}} = \frac{{281}}{{40}} = 7,025.$
$ \Rightarrow S_x^2 = \frac{{5 \cdot {{(5 – \overline x )}^2} + 12 \cdot \left( {6 – \overline x } \right) + 8 \cdot {{(7 – \overline x )}^2} + 9 \cdot {{(8 – \overline x )}^2} + 4 \cdot {{(9 – \overline x )}^2} + 2 \cdot {{(10 – \overline x )}^2}}}{{40}}$
Với $\overline x = 7,025 \Rightarrow S_x^2 = 1,874$
Độ lệch chuẩn bằng: $\sqrt {S_x^2} = \sqrt {1,874} = 1,368$.
a) Đúng: Từ bảng số liệu thì lớp $10C$ có 4 học sinh đạt điểm 9 .
b) Sai: Điểm trung bình của 40 học sinh lớp 10C là 7,025 .
c) Sai: Phương sai của mẫu số liệu bằng 1,874 .
d) Sai: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đã cho bằng 1,368 .
Câu 4: Trong hệ trục tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ có $A\left( { – 2; – 2} \right),B\left( { – 2;1} \right)$ và $C\left( {2; – 2} \right)$.
a) Tam giác $\vartriangle ABC$ là một tam giác cân.
b) Chu vi tam giác $\vartriangle ABC$ bằng 12 .
c) Cosin góc tạo bởi vectơ $\overrightarrow {AC} $ và vectơ $\overrightarrow {BC} $ bằng $\frac{4}{5}$.
d) Giá trị biểu thức $T = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} = 16$.
Lời giải
Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {0;3} \right) \Rightarrow AB = 3$
$\overrightarrow {AC} = \left( {4;0} \right) \Rightarrow AC = 4$
$\overrightarrow {BC} = \left( {4; – 3} \right) \Rightarrow BC = 5$
Do $A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$ nên $\vartriangle ABC$ vuông và chu vi tam giác $P = 12$.
Mặt khác, $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} = 16 \Rightarrow cos\left( {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {CB} } \right) = \frac{{ – \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{AC \cdot CB}} = \frac{{ – 16}}{{4.5}} = – \frac{4}{5}$.
a) Đúng: Tam giác $\vartriangle ABC$ là một tam giác cân.
b) Đúng: Chu vi tam giác $\vartriangle ABC$ bằng 12 .
c) Sai: Cosin góc tạo bởi vectơ $\overrightarrow {AC} $ và vectơ $\overrightarrow {BC} $ bằng $\frac{4}{5}$.
d) Đúng: Giá trị biểu thức $T = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} = 16$.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1: Trên giá sách có 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Lý, 2 quyển sách Hóa. Số cách chọn ra 3 quyển sách trong đó có ít nhất 1 quyển là sách Toán
Lời giải
Số cách chọn ra 3 quyển sách bất kì là $C_9^3$ cách.
Số cách chọn ra 3 quyển sách trong đó không có quyển sách Toán là $C_5^3$ cách.
Vậy số cách chọn ra 3 quyển sách trong đó có ít nhất một quyển sách Toán là $C_9^3 – C_5^3 = 74$ cách.
Câu 2: Một tổ học sinh có 12 bạn, gồm 7 nam và 5 nữ. Cần chọn một nhóm 3 học sinh của tổ đó để làm vệ sinh lớp học. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong nhóm có cả nam và nữ?
Lời giải
TH1: Nhóm 3 học sinh cần chọn có 1 nam và 2 nữ
Chọn 1 nam từ 7 nam có $C_7^1 = 7$ cách
Chọn 2 nữ từ 5 nữ có $C_5^2 = 10$ cách
Vậy có $7.10 = 70$ cách.
TH2: Nhóm 3 học sinh cần chọn có 2 nam và 1 nữ
Chọn 2 nam từ 7 nam có $C_7^2 = 21$ cách
Chọn 1 nữ từ 5 nữ có $C_5^1 = 5$ cách
Vậy có $21.5 = 105$ cách.
Do đó có tất cả các cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là $70 + 105 = 175$ cách.
Câu 3: Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức Newton ${\left( {x + \frac{8}{{{x^3}}}} \right)^8}$
Lời giải
Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_8^k{x^{8 – k}}{\left( {\frac{8}{{{x^3}}}} \right)^k} = C_8^k{8^k}{x^{8 – 4k}}$.
Ta có: ${x^{8 – 4k}} = {x^0} \Leftrightarrow 8 – 4k = 0 \Leftrightarrow k = 2$.
Vậy số hạng không chứa $x$ là $C_8^2 \cdot {8^2} = 1792$.
Câu 4: Cho hai đường thẳng ${d_1}:2x – y – 2 = 0,{d_2}:x + y + 3 = 0$ và điểm $M\left( {0;\frac{1}{2}} \right)$. Phương trình đường thẳng $\Delta $ qua $M$, cắt ${d_1}$ và ${d_2}$ lần lượt tại điểm $A$ và $B$ sao cho $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ có dạng $ax + by + 2 = 0$. Tính giá trị biểu thức $S = a + b$.
Lời giải
Gọi $A\left( {{x_1};2{x_1} – 2} \right) \in {d_1}$ và $B\left( {{x_2}; – {x_2} – 3} \right) \in {d_2}$
Vì $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ nên
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} + {x_2} = 0} \\
{\left( {2{x_1} – 2} \right) + \left( { – {x_2} – 3} \right) = 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} + {x_2} = 0} \\
{2{x_1} – {x_2} = 6}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} = 2} \\
{{x_2} = – 2}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$
Khi đó $A\left( {2;2} \right)$ và $B\left( { – 2; – 1} \right)$
Phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua 2 điểm $A$ và $B$ là $3x – 4y + 2 = 0$.
Vậy $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 3} \\
{b = – 4}
\end{array} \Rightarrow a + b = – 1} \right.$.
Câu 5: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $d:2x – 3y – 1 = 0$ và hai điểm $A\left( {3;1} \right),B\left( {1;2} \right)$. Gọi điểm $M\left( {a;b} \right)$ trên đường thẳng $d$ sao cho $\left| {MA – MB} \right|$ đạt giá trị lớn nhất. Tính $T = 13a + 39b$
Thay tọa độ điểm $A,B$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta có:
$\left( {2 \cdot 3 – 3 \cdot 1 – 1} \right) \cdot \left( {2 \cdot 1 – 3 \cdot 2 – 1} \right) = \left( 2 \right) \cdot \left( { – 5} \right) = – 10 < 0$. Do đó $A,B$ nằm khác phía so với đường thẳng $d$.
Gọi $A’\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm đối xứng của $A$ qua đường thẳng $d$, khi đó $A’$ và $B$ nằm cùng phía so với đường thẳng $d$. Đường thẳng $AA’$ đi qua $A\left( {3;1} \right)$ và vuông góc với đường thẳng $d$ nên nhận $\vec n = \left( {3;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình: $3\left( {x – 3} \right) + 2\left( {y – 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow 3x + 2y – 11 = 0$.
Gọi $I = d \cap AA’$. Tọa độ điểm $I$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x – 3y – 1 = 0} \\
{3x + 2y – 11 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{35}}{{13}}} \\
{y = \frac{{19}}{{13}}}
\end{array}} \right.} \right.$.
Vậy $I\left( {\frac{{35}}{{13}};\frac{{19}}{{13}}} \right)$ là trung điểm $AA’$ nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{x_0} + 3}}{2} = \frac{{35}}{{13}}} \\
{\frac{{{y_0} + 1}}{2} = \frac{{19}}{{13}}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_0} = \frac{{31}}{{13}}} \\
{{y_0} = \frac{{25}}{{13}}}
\end{array}} \right.} \right.$.
Do đó $A’\left( {\frac{{31}}{{13}};\frac{{25}}{{13}}} \right)$.
Phương trình đường thẳng $A’B:\frac{{x – 1}}{{\frac{{31}}{{13}} – 1}} = \frac{{y – 2}}{{\frac{{25}}{{13}} – 2}}$
$ \Leftrightarrow \frac{{x – 1}}{{18}} = \frac{{y – 2}}{{ – 1}} \Leftrightarrow x + 18y – 37 = 0$.
Ta có: $\left| {MA – MB} \right| = \left| {MA’ – MB} \right| \leqslant A’B$.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $A’,B,M$ thẳng hàng hay $M = d \cap A’B$. Khi đó tọa độ điểm $M$ là nghiệm hệ phương trình:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x – 3y – 1 = 0} \\
{x + 18y – 37 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{43}}{{13}}} \\
{y = \frac{{73}}{{39}}}
\end{array}} \right.} \right.$.
Do đó $M\left( {\frac{{43}}{{13}};\frac{{73}}{{39}}} \right)$.
Suy ra $T = 13 \cdot \frac{{43}}{{13}} + 39 \cdot \frac{{73}}{{39}} = 116$.
Câu 6: Một con thuyền chở khách qua sông từ vị trí điểm $A\left( {3;4} \right)$ đến vị trí điểm $B\left( {3;50} \right)$ bên kia sông. Tuy nhiên do chịu ảnh hưởng của gió và nước chảy mạnh nên con thuyền đã qua bên kia sông tại vị trí điểm $C\left( {38;50} \right)$. Tính góc lệch của con thuyền so với dự định lúc ban đầu của nó (làm tròn đến hàng phần trăm và đơn vị là độ).
Lời giải
Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {0;46} \right)$ nên một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {1;0} \right)$.
Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ là: $x – 3 = 0$.
Ta có $\overrightarrow {AC} = \left( {35;46} \right)$ nên một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $AC$ là $\overrightarrow {{n_{AC}}} = \left( {46; – 35} \right)$.
Phương trình tổng quát của đường thẳng $AC$ là: $46x – 35y + 2 = 0$.
Tính góc lệch của con thuyền so với dự định lúc ban đầu là góc $\widehat {BAC}$.
Khi đó: $cos\widehat {BAC} = cos\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right)$
$ = \frac{{\left| {1.46 + 0 \cdot \left( { – 35} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} \cdot \sqrt {{{46}^2} + {{( – 35)}^2}} }} = \frac{{46}}{{\sqrt {3341} }}$
$ \Rightarrow \widehat {BAC} = 37,{27^0}$.
Vậy góc lệch của con thuyền so với dự định lúc ban đầu của nó bằng $37,{27^ \circ }$.
