Đề ôn thi HK 2 Toán 10 kết nối tri thức giải chi tiết-Đề 4 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 5 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
I. TRẮC NGHIỆM (7 điểm)
Câu 1. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ.
Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$;
B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$;
C. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – 1;1} \right)$;
D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – 1;0} \right)$.
Câu 2. Parabol $y = – {x^2} + 2x + 3$ có phương trình trục đối xứng là
A. $x = – 1$; B. $x = 2$; C. $x = 1$; D. $x = – 2$.
Câu 3. Tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${x^2} – 4 > 0$ là
A. $S = \left( { – \infty ; – 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$; B. $S = \left( { – 2;2} \right)$;
C. $S = \left( { – \infty ; – 2\left] \cup \right[2; + \infty } \right)$; D. $S = \left( { – \infty ;0} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)$.
Câu 4. Số nghiệm của phương trình $\sqrt {{x^2} – 4x + 3} = \sqrt {1 – x} $
A. 1 ; B. 2 ; C. 3 ; D. 4 .
Câu 5. Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y = – 2 + 3t} \\
{y = 2}
\end{array}} \right.$
c. $\;\overrightarrow u = \left( {3;4} \right)$;
A. $\;\overrightarrow u = \left( { – 4;3} \right)$; B. $\;\overrightarrow u = \left( {4;3} \right)$; C. $\;\overrightarrow u = \left( {1; – 2} \right)$.
Câu 6. Phương trình đường thẳng đi qua điểm $A\left( {1; – 3} \right)$ nhận vectơ $\overrightarrow u \left( {2;5} \right)$ là vectơ chỉ phương là
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2t} \\
{y = – 3 + 5t}
\end{array};\;} \right.$ B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – 2t} \\
{y = – 3 + 5t}
\end{array};\;} \right.$ C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + t} \\
{y = 5 – 3t}
\end{array};\;} \right.$ D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – t} \\
{y = – 3 + 5t}
\end{array}} \right.$
Câu 7. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( {2; – 1} \right)$ và $B\left( {2;5} \right)$ là
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2t} \\
{y = – 6t}
\end{array}} \right.$ B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + t} \\
{y = 5 + 6t}
\end{array}} \right.$ C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{y = 2 + 6t}
\end{array};} \right.$ D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2} \\
{y = – 1 + 6t}
\end{array}} \right.$.
Câu 8. Cho đường thẳng $d$ có phương trình tham số $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 5 + t} \\
{y = – 9 – 2t}
\end{array}} \right.$. Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là
A. $2x + y – 1 = 0$; B. $ – 2x + y – 1 = 0$; C. $x + 2y + 1 = 0$; D. $2x + 3y – 1 = 0$.
Câu 9. Kết luận nào đúng về hai đường thẳng ${d_1}:7x – 3y + 6 = 0$ và ${d_2}:2x – 5y – 4 = 0$ ?
A. ${d_1}$ và ${d_2}$ song song với nhau; B. ${d_1}$ và ${d_2}$ trùng nhau;
C. ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau; D. ${d_1}$ và ${d_2}$ vuông góc với nhau;
Câu 10. Cho hai đường thẳng ${d_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0$ và ${d_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$. Khi đó góc $\alpha $ giữa hai đường thẳng được xác định thông qua công thức
A. $cos\left( \alpha \right) = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} – {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} \cdot \sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}$ B. $cos\left( \alpha \right) = \frac{{\left| {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} \cdot \sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}$
C. $cos\left( \alpha \right) = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} \cdot \sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}$; D. $cos\left( \alpha \right) = \frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} \cdot \sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}$.
Câu 11. Phương trình đường thẳng nào sau đây tạo với đường thẳng $d:2x – y – 1 = 0$ một góc ${45^ \circ }$ ?
A. $2x – y + 5 = 0$; B. $x – y – 5 = 0$; C. $x + 3y = 0$; D. $x – 3y – 2 = 0$.
Câu 12. Với giá trị nào của $m$ thì hai đường thẳng ${d_1}:2x + y + 4 – m = 0$ và ${d_2}:\left( {m + 3} \right)x + y + 2m – 1 = 0$ song song?
A. $m = 1$; B. $m = – 1$; C. $m = 2$; D. $m = 3$.
Câu 13. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right):{(x – 2)^2} + {(y + 3)^2} = 9$. Đường tròn có tâm và bán kính là
A. $I\left( {2;3} \right),R = 9$; B. $I\left( {2; – 3} \right),R = 3$; C. $I\left( { – 3;2} \right),R = 3$; D. $I\left( { – 2;3} \right),R = 3$.
Câu 14. Từ một điểm nằm ngoài đường tròn có thể vẽ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đường tròn đó?
A. 0 ; B. 1 ; C. 2 ; D. vô số.
Câu 15. Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( { – 1;3} \right)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d:3x – 4y + 5 = 0$. Bán kính cửa đường tròn $\left( C \right)$ là
A. 2 ; B. $\sqrt 2 $; C. 4 ; D. 15 .
Câu 16. Cho đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} – 2x – 4y – 4 = 0$ và điểm $A\left( {1;5} \right)$. Đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây là tiếp tuyến của đường tròn $\left( C \right)$ tại điểm $A$.
A. $y – 5 = 0$; B. $y + 5 = 0$; C. $x + y – 5 = 0$; D. $x – y – 5 = 0$.
Câu 17. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho điểm $M$ nằm trên đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 8x – 6y + 16 = 0$. Độ dài nhỏ nhất của $OM$ là
A. 3 ; B. 1 ; C. 5 ; D. 2 .
Câu 18. Phương trình chính tắc của elip là
A. $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1(a > b > 0)$; B. $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1(a > b > 0)$;
C. $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = – 1(a > b > 0)$; D. $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = – 1(a > b > 0)$
Câu 19. Tiêu cự của Hypebol
$\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{4} – \frac{{{y^2}}}{9} = 1$
A. 6 ; B. 4 ; C. $2\sqrt {13} $; D. 13 .
Câu 20. Phương trình chính tắc của parabol biết rằng Parabol đi qua điểm $A\left( {2;4} \right)$ là
A. ${y^2} = 4x$; B. ${y^2} = 2x$; C. ${y^2} = 8x$; D. ${y^2} = 16x$.
Câu 21. Một tổ có 5 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một học sinh của tổ đó đi trực nhật?
A. 20 ; B. 11 ; C. 30 ; D. 10 .
Câu 22. Từ các chữ số $1;5;6;7$ có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên có 4 chữ số?
A. 324 ; B. 256 ; C. 248 ; D. 124 .
Câu 23. Cần chọn 3 người đi công tác từ một tổ có 30 người, khi đó số cách chọn là
A. $A_{30}^3$; B. ${3^{30}}$; C. 10 ; D. $C_{30}^3$.
Câu 24. Một lớp có 15 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn học sinh sao cho trong đó có đúng 3 học sinh nữ?
A. $\;324632$; B. 119700 ; C. 1245 ; D. 15504 .
Câu 25. Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp $12A,3$ học sinh lớp $12B$ và 2 học sinh lớp $12C$. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh từ đội văn nghệ để biễu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn?
A. 120 ; B. 72 ; C. 150 ; D. 360 .
Câu 26. Trong khai triển của nhị thức ${(a – b)^5}$ có bao nhiêu số hạng âm ?
A. 0 ; B. Tất cả các số hạng;
C. 3 ; D. Không xác định được.
Câu 27. Bình phương hệ số của số hạng không chứa $x$ trong khai triển của nhị thức ${\left( {{x^3} – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5}$ là
A. -10 ; B. 25 ; C. 100 ; D. 1 .
Câu 28. Gieo một con xúc xắc 2 lần. Biến cố $A$ : “Tổng số chấm trên hai mặt bằng 2 “. Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là
A. $\left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {3;3} \right);\left( {4;4} \right);\left( {5;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}$;
B. $\left\{ {\left( {1;1} \right)} \right\}$; C. $\emptyset $;
D. $\left\{ {\left( {1;3} \right);\left( {2;4} \right);\left( {3;5} \right);\left( {4;6} \right)} \right\}$.
Câu 29. Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất hai lần. Số phần tử biến cố đối của biến cố “Mặt ngửa xuất hiện đúng một lần” là
A. 2 . B. 4 . C. 5 . D. 6 .
Câu 30. Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất ba lần liên tiếp. Gọi $A$ là biến cố “Lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp”. Xác định biến cố $A$.
A. $A = \left\{ {SSS;SNN} \right\}$; B. $A = \left\{ {SNS;SSN;SSS} \right\}$;
C. $A = \left\{ {SNN} \right\}$; D. $A = \left\{ {SNN;SNS;SSN;SSS} \right\}$.
Câu 31. Gọi $\overline A $ là biến cố đối của biến cố $A$ và $P\left( A \right) = \frac{4}{5}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $P\left( {\overline A } \right) = 0$; B. $P\left( {\overline A } \right) = 1$; C. $P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{5}$ D. $P\left( {\overline A } \right) = \frac{3}{5}$.
Câu 32. Trong một cuộc tổng điều tra dân số, điều tra viên chọn ngẫu nhiên một gia đình có ba người con và quan tâm tới giới tính của ba người con này. Sơ đồ cây dưới đây mô tả các phần tử của không gian mẫu:
Số phần tử của không gian mẫu là
A. 2 ; B. 4 ; C. 8 ; D. 14 .
Câu 33. Một lớp có 20 học sinh nam và 18 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Xác suất chọn được một học sinh nữ bằng
A. $\frac{1}{{38}}$; B. $\frac{{10}}{{19}}$; C. $\frac{9}{{19}}$; D. $\frac{{19}}{9}$.
Câu 34. Gieo ngẫu nhiên hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất để sau hai lần gieo kết quả như nhau là:
A. $\frac{5}{{36}}$; B. $\frac{1}{6}$; C. $\frac{1}{2}$; D. 1 .
Câu 35. Cho hai đường thẳng ${d_1}:x + y – 1 = 0,{d_2}:x – 3y + 3 = 0$. Phương trình đường thẳng $d$ đối xứng với ${d_1}$ qua đường thẳng ${d_2}$ là
A. $\;x – 7y + 1 = 0$; B. $\;x + 7y + 1 = 0$; C. $7x + y + 1 = 0$; D. $7x – y + 1 = 0$.
II. PHẦN TỰ LUẬN (3 điểm)
Bài 1. (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $M\left( {2;0} \right)$ là trung điểm của cạnh $AB$. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh $A$ lần lượt có phương trình là $7x – 2y – 3 = 0$ và $6x – y – 4 = 0$. Viết phương trình đường thẳng $AC$.
Bài 2. (1 điểm)
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên $k$ sao cho $C_{14}^k + C_{14}^{k + 2} = 2C_{14}^{k + 1}$. Tính tổng tất cả các phần tử của $S$.
Bài 3. (1 điểm) Một nhóm có 10 học sinh gồm 6 nam trong đó có Quang, và 4 nữ trong đó có Huyền được xếp ngẫu nhiên vào 10 ghế trên một hàng ngang để dự lễ sơ kết năm học. Xác suất để xếp được giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
I. PHẦN TRÁC NGHIỆM (7 điểm)
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM
| 1. C | 2. C | 3. A | 4. A | 5. A | 6. A | 7. D |
| 8. A | 9. C | 10. C | 11. D | 12. B | 13. B | 14. C |
| 15. A | 16. A | 17. D | 18. B | 19. C | 20. C | 21. B |
| 22. B | 23. D | 24. B | 25. B | 26. C | 27. C | 28. A |
| 29. A | 30. D | 31. C | 32. C | 33. C | 34. B | 35. D |
HƯỚNG DẪN CHI TIẾT
Câu 1.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Từ đồ thị hàm số ta thấy:
Trên khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$ đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$
Trên các khoảng $\left( { – 1;0} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$ đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải nên hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { – 1;0} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$
Khẳng định C sai
Câu 2.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Parabol $y = – {x^2} + 2x + 3$ có trục đối xứng là đường thẳng $x = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{2}{{2 \cdot \left( { – 1} \right)}} = 1$.
Câu 3.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Tam thức $f\left( x \right) = {x^2} – 4$ có $a = 1 > 0$ và có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = 2;{x_2} = – 2$
Ta có bảng xét dấu:
Tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { – \infty ; – 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.
Câu 4.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Xét phương trình $\sqrt {{x^2} – 4x + 3} = \sqrt {1 – x} $
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
${x^2} – 4x + 3 = 1 – x$
$ \Rightarrow {x^2} – 3x + 2 = 0$
$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1} \\
{x = 2}
\end{array}} \right.$
Thay lần lượt hai giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có $x = 1$ thoả mãn Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.
Câu 5.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – 4t} \\
{y = – 2 + 3t}
\end{array}} \right.$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { – 4;3} \right)$.
Câu 6.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua $A\left( {1; – 3} \right)$ nhận vectơ $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {u} \left( {2;5} \right)$ là vectơ chỉ phương có dạng: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2t} \\
{y = – 3 + 5t}
\end{array}} \right.$.
Câu 7.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Phương trình đường thẳng $AB$ đi qua $A\left( {2; – 1} \right)$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = \left( {0;6} \right)$ có dạng $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2} \\
{y = – 1 + 6t}
\end{array}} \right.$
Câu 8.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( {5; – 9} \right)$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u \left( {1; – 2} \right)$ vậy đường thẳng $d$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n \;\left( {2;1} \right)$. Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ có dạng: $2\left( {x – 5} \right) + 1\left( {y + 9} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y – 1 = 0$.
Câu 9.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}} \left( {7; – 3} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( {2; – 5} \right)$ không cùng phương nên ${d_1}$ và ${d_2}$ không song song.
Xét $\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 7 \cdot 2 + \left( { – 3} \right) \cdot \left( { – 5} \right) = 29 \ne 0$ nên ${d_1}$ và ${d_2}$ không vuông góc với nhau. Vậy kết luận $C$ đúng.
Câu 10.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Hai đường thẳng ${d_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0$ và ${d_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$ có các vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}} \left( {{a_1};{b_1}} \right)$ và $\overrightarrow {{n_2}} \left( {{a_2};{b_2}} \right)$ Khi đó góc $\alpha $ giữa hai đường thẳng được xác định thông qua công thức
$cos\left( \alpha \right) = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} \cdot \sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}$
Câu 11.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
+) Đường thẳng $d$ và đường thẳng ${d_1}:2x – y + 5 = 0$ có hai vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n \left( {2; – 1} \right);\overrightarrow {{n_1}} \left( {2; – 1} \right)$ cùng phương nên đường thẳng $d$ và đường thẳng $2x – y + 5 = 0$ song song hoặc trùng nhau. Suy ra góc giữa hai đường thẳng bằng ${0^ \circ }$. Do đó $A$ sai.
+ Đường thẳng $d$ và đường thẳng ${d_2}:x – y – 5 = 0$ có hai vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n \left( {2; – 1} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( {1; – 1} \right)$.
Ta có:
$cos\left( {d;{d_2}} \right) = \left| {cos\left( {\overrightarrow n ;\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + \left( { – 1} \right) \cdot \left( { – 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( – 1)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{( – 1)}^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}.$
Suy ra góc giữa hai đường thẳng này bằng $18,{4^ \circ }$. Do đó $B$ sai.
$ + )$ Đường thẳng $d$ và đường thẳng ${d_3}:x + 3y = 0$ có hai vectơ pháp tuyến là $\;\overrightarrow n \left( {2; – 1} \right);\overrightarrow {{n_3}} \left( {1;3} \right)$
Ta có:
$cos\left( {d;{d_3}} \right) = \left| {cos\left( {\overrightarrow n ;\overrightarrow {{n_3}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + \left( { – 1} \right) \cdot 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( – 1)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{{5\sqrt 2 }}.$
Suy ra góc giữa hai đường thẳng này bằng $81,{9^ \circ }$. Do đó $C$ sai.
• Đường thẳng $d$ và đường thẳng ${d_4}:x – 3y – 2 = 0$ có hai vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n \left( {2; – 1} \right);\overrightarrow {{n_4}} \left( {1; – 3} \right)$.
Ta có:
$cos\left( {d;{d_4}} \right) = \left| {cos\left( {n;{n_4}} \right)} \right| = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + \left( { – 1} \right) \cdot \left( { – 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( – 1)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$
Suy ra góc giữa hai đường thẳng này bằng ${45^ \circ }$. Do đó $D$ đúng.
Câu 12.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
+) Với $m = 4 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{d_1}:2x + y = 0} \\
{{d_2}:7x + y + 7 = 0}
\end{array}} \right.$
Đường thẳng ${d_1}$ và đường thẳng ${d_2}$ có hai vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} \left( {2;1} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( {7;1} \right)$ không cùng phương nên đường thẳng ${d_1}$ và đường thẳng ${d_2}$ không song song.
Vậy $m = 4$ không thoả mãn.
+) Với $m \ne 4$ thì đường thẳng ${d_1}$ và đường thẳng ${d_2}$ có hai vectơ pháp tuyến là ${n_1}\left( {2;1} \right);{n_2}\left( {\;m + 3;1} \right)$
Để đường thẳng thẳng ${d_1}$ và đường thẳng ${d_2}$ song song thì $\frac{{m + 3}}{2} = \frac{1}{1} \ne \frac{{ – 2m – 1}}{{4 – m}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = – 1} \\
{m \ne – 5}
\end{array} \Leftrightarrow m = – 1} \right.$
Câu 13.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Phương trình đường tròn tâm $I\left( {a;b} \right)$ có bán kính $R$ có dạng :
${(x – a)^2} + {(y – b)^2} = {R^2}$
Vậy đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {2; – 3} \right)$ và bán kính $R = 3$.
Câu 14.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Từ một điểm nằm ngoài đường tròn có thể vẽ được 2 tiếp tuyến đến đường tròn đó.
Câu 15.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Đường tròn tâm $I$ và tiếp xúc với đường thẳng $\left( d \right)$ có bán kính
$R = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot \left( { – 1} \right) – 4 \cdot 3 + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( – 4)}^2}} }} = 2$
Vậy đường tròn có phương trình là: $R = 2$.
Câu 16.
Lời giải
Đáp án đúng là: ${\mathbf{A}}$
Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \left( {0;3} \right)$.
Gọi $d$ là tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $A$, khi đó $d$ đi qua $A$ và nhận vectơ $\overrightarrow {IA} $ là một vectơ pháp tuyến
Vậy phương trình đường thẳng $d$ là $0\left( {x – 1} \right) + 3\left( {y – 5} \right) = 0 \Leftrightarrow y – 5 = 0$.
Câu 17.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( { – 4;3} \right)$, bán kính $R = 3$.
Ta có $\overrightarrow {OI} = \left( { – 4;3} \right)$ suy ra phương trình đường thẳng $OI$ là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 4t} \\
{y = 3t}
\end{array}} \right.$.
Gọi $OI \cap \left( C \right) = \left\{ M \right\}$. Khi đó $M\left( { – 4t;3t} \right)$.
Vì $M \in \left( C \right)$ nên ta có: ${( – 4t)^2} + {(3t)^2} + 8 \cdot \left( { – 4t} \right) – 6 \cdot \left( {3t} \right) + 16 = 0$
$ \Leftrightarrow 25{t^2} – 50t + 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = \frac{8}{5}} \\
{t = \frac{2}{5}}
\end{array}} \right.$
Với $t = \frac{8}{5} \Rightarrow {M_1}\left( { – \frac{{32}}{5};\frac{{24}}{5}} \right)$.
Với $t = \frac{2}{5} \Rightarrow {M_2}\left( { – \frac{8}{5};\frac{6}{5}} \right)$.
Ta có
$O{M_1} = \sqrt {{{\left( { – \frac{{32}}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{24}}{5}} \right)}^2}} = 8,O{M_2} = \sqrt {{{\left( { – \frac{8}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{6}{5}} \right)}^2}} = 2$
Vì vậy độ dài nhỏ nhất của $OM$ là $O{M_{min\;}} = O{M_2} = 2$
Câu 18.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Phương trình chính tắc của Elip có dạng: $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1;(a > b > 0)$.
Câu 19.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Xét Hypebol $\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{4} – \frac{{{y^2}}}{9} = 1$ có $a = 2,b = 3 \Rightarrow c = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} $.
Vì vậy tiêu cự của $\left( H \right)$ là $2c = 2\sqrt {13} $.
Câu 20.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Phương trình chính tắc của Parabol có dạng: ${y^2} = 2px(p > 0)$.
Vì Parabol đi qua điểm $A\left( {2;4} \right)$ ta có: ${4^2} = 2p.2 \Leftrightarrow p = 4$
Vậy phương trình chính tắc là: ${y^2} = 8x$.
Câu 21.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Chọn một học sinh của tổ đó đi trực nhật được chia thành hai phương án:
• Phương án 1: Chọn học sinh nữ có 5 cách chọn;
• Phương án 2: Chọn học sinh nam có 6 cách chọn;
Áp dụng quy tắc cộng ta có $5 + 6 = 11$ cách.
Câu 22.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Gọi số cần tìm có dạng $\overline {abcd} $ với $a,b,c,d \in \left\{ {1;5;6;7} \right\}$.
Vì số cần tìm có 4 chữ số không nhất thiết khác nhau nên:
Chọn $a$ có 4 cách chọn (vì $a$ có thể chọn một trong các số $1;5;6;7$ )
Chọn $b$ có 4 cách chọn (vì $b$ có thể chọn một trong các số $1;5;6;7$ )
Chọn $c$ có 4 cách chọn (vì $c$ có thể chọn một trong các số $1;5;6;7$ )
Chọn $d$ có 4 cách chọn (vì $d$ có thể chọn một trong các số $1;5;6;7$ )
Như vậy, ta có 4.4.4.4 = 256 số cần tìm.
Câu 23.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Mỗi cách chọn 3 người bất kì trong 30 người là một tổ hợp chập 3 của 30 phần tử
Vậy có $C_{30}^3$ cách chọn.
Câu 24.
Lời giải.
Đáp án đúng là: B
Số cách chọn 3 học sinh nữ là: $C_{20}^3 = 1140$ cách.
Số cách chọn 2 bạn học sinh nam là: $C_{15}^2 = 105$ cách.
Số cách chọn 5 bạn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 1140.105=119 700 .
Câu 25.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Vì cần chọn ra 4 học sinh có đủ cả 3 lớp nên ta có các trường hợp
Trường hợp 1: Chọn 1 học sinh lớp 12A, 1 học sinh lớp 12B, 2 học sinh lớp $12C$ có: $C_4^1 \cdot C_3^1 \cdot C_2^2 = 12$.
Trường hợp 2: Chọn 1 học sinh lớp 12A, 2 học sinh lớp 12B, 1 học sinh lớp $12C$ có: $C_4^1 \cdot C_3^2 \cdot C_2^1 = 24$.
Trường hợp 3: Chọn 2 học sinh lớp 12A, 1 học sinh lớp $12B,1$ học sinh lớp $12C$ có: $C_4^2 \cdot C_3^1 \cdot C_2^1 = 36$.
Áp dụng quy tắc cộng có: $12 + 24 + 36 = 72$ cách chọn.
Câu 26.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: ${(a – b)^5} = {a^5} – 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} – 10{a^2} \cdot {b^3} + 5a{b^4} – {b^5}$.
Dấu của các số hạng còn phụ thuộc vào dấu của $a$ và $b$ nên không xác định được.
Câu 27.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có:
${\left( {{x^3} – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5} = {\left( {{x^3}} \right)^5} – 5{\left( {{x^3}} \right)^4}\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)$
$ + 10{\left( {{x^3}} \right)^3}{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} – 10{\left( {{x^3}} \right)^2}{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^3} + 5\left( {{x^3}} \right){\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^4} – {\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5}$
$ = {x^{15}} – 5{x^{10}} + 10{x^5} – 10 + \frac{5}{{{x^5}}} – \frac{1}{{{x^{10}}}}$
Số hạng không chứa $x$ trong khai triển là: $\left( { – 10} \right)$.
Bình phương hệ số của số hạng này là 100 .
Câu 28.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: $1 + 1 = 2$.
Do đó tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là $\left\{ {\left( {1;1} \right)} \right\}$.
Câu 29.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: $\Omega = \left\{ {SS;SN;NS;NN} \right\} \Rightarrow n\left( \Omega \right) = 4$.
Gọi $A$ là biến cố “mặt ngửa xuất hiện đúng một lần”
Suy ra $A = \left\{ {NS;SN} \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = 2$
Vậy số phần tử của biến cố $\overline A $ là $n\left( {\overline A } \right) = n\left( \Omega \right) – n\left( A \right) = 4 – 2 = 2$.
Câu 30.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Biến cố lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp: $A = \left\{ {SNN;SNS;SSN;SSS} \right\}$.
Câu 31.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có:
$P\left( {\overline A } \right) = 1 – P\left( A \right) = 1 – \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$
Câu 32.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Dựa vào sơ đồ cây ta thấy số phần tử của không gian mẫu là 8 .
Câu 33.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Gọi A là biến cố: “chọn được một học sinh nữ.”
Số phần tử của không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = C_{38}^1 = 38$.
Gọi $A$ là biến cố: “chọn được một học sinh nữ.”
Số phần tử của biến cố $A$ là: $n\left( A \right) = C_{18}^1 = 18$
Xác suất của biến cố $A$ là:
$P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{18}}{{38}} = \frac{9}{{19}}$
Câu 34.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Số phần tử của không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36$
Biến cố xuất hiện hai lần như nhau: $A = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {3;3} \right);\left( {4;4} \right);\left( {5;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}$
Số phần tử của biến cố $A$ là: $n\left( A \right) = 6$
Suy ra
$P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}$
Câu 35.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Giao điểm $A$ của ${d_1}$ và ${d_2}$ là nghiệm của hệ
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + y – 1 = 0} \\
{x – 3y + 3 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + y = 1} \\
{x – 3y = – 3}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{y = 1}
\end{array} \Rightarrow A\left( {0;1} \right)} \right.} \right.} \right.$
Lấy $M\left( {1;0} \right) \in {d_1}$. Tìm $M’$ đối xứng $M$ qua ${d_2}$
Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua $M$ và vuông góc với ${d_2}:\Delta :3x + y – 3 = 0$
Gọi $H$ là giao điểm của $\Delta $ và đường thẳng ${d_2}$. Tọa độ $H$ là nghiệm của hệ
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3x + y – 3 = 0} \\
{x – 3y + 3 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3x + y = 3} \\
{x – 3y = – 3}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{3}{5}} \\
{y = \frac{6}{5}}
\end{array} \Rightarrow H\left( {\frac{3}{5};\frac{6}{5}} \right)} \right.} \right.} \right.$
Ta có $H$ là trung điểm của $MM’$. Từ đó suy ra tọa độ $M’\left( {\frac{1}{5};\frac{{12}}{5}} \right)$
Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua 2 điểm $A$ và $M’$ :
+$d$ đi qua 2 điểm $A\left( {0;1} \right)$,
+$d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AM’} = \left( {\frac{1}{5};\frac{7}{5}} \right)$ $ \Rightarrow $$d$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {\frac{7}{5}; – \frac{1}{5}} \right)$
Suy ra, $d:\frac{7}{5}\left( {x – 0} \right) – \frac{1}{5}\left( {y – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 7x – y + 1 = 0$
II. PHẦN TỰ LUẬN (3 điểm)
Bài 1. (1 điểm)
Lời giải
+) Gọi $AH$ và $AD$ lần lượt là các đường cao và trung tuyến kẻ từ $A$ của tam giác $ABC$.
$ + )$ Tọa độ $A$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{7x – 2y – 3 = 0} \\
{6x – y – 4 = 0}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{y = 2}
\end{array} \Rightarrow A\left( {1;2} \right)} \right.} \right.$.
+) $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_B} = 2{x_M} – {x_A} = 3} \\
{{y_B} = 2{y_M} – {y_A} = – 2}
\end{array} \Rightarrow B\left( {3; – 2} \right)} \right.$.
+) Đường thẳng $BC$ đi qua $B\left( {3; – 2} \right)$ và vuông góc với đường thẳng $AH:6x – y – 4 = 0$ nên có phương trình $1\left( {x – 3} \right) + 6\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 6y + 9 = 0$.
+) $D$ là giao điểm của $BC$ và $AD$ nên tọa độ $D$ là nghiệm của hệ
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{7x – 2y – 3 = 0} \\
{x + 6y + 9 = 0}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{y = – \frac{3}{2}}
\end{array} \Rightarrow D\left( {0; – \frac{3}{2}} \right)} \right.} \right.$
Mà $D$ là trung điểm của $BC$ suy ra $C\left( { – 3; – 1} \right)$.
+) Đường thẳng $AC$ đi qua $A\left( {1;2} \right)$ và có một vectơ chỉ phương là vectơ $AC = \left( { – 4; – 3} \right)$ vậy đường thẳng $AC$ có một vectơ chỉ phương là $AC\left( { – 4; – 3} \right)$ suy ra đường thẳng $AC$ có một vectơ pháp tuyến là $\mathop n\limits^\varpi \left( {3; – 4} \right)$ phương trình đường thẳng $AC$ là $3\left( {x – 1} \right) – 4\left( {y – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x – 4y + 5 = 0$.
Bài 2. (1 điểm)
Lời giải
a)
$C_{14}^k + C_{14}^{k + 2} = 2C_{14}^{k + 1} \Leftrightarrow \frac{{14!}}{{k!\left( {14 – k} \right)!}} + \frac{{14!}}{{\left( {k + 2} \right)!\left( {12 – k} \right)!}} = 2\frac{{14!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {13 – k} \right)!}}$
$ \Leftrightarrow \frac{1}{{\left( {14 – k} \right)\left( {13 – k} \right)}} + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{2}{{\left( {k + 1} \right)\left( {13 – k} \right)}}$
$ \Leftrightarrow \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) + \left( {14 – k} \right)\left( {13 – k} \right) = 2\left( {k + 2} \right)\left( {14 – k} \right)$
$ \Leftrightarrow {k^2} + 3k + 2 + 182 – 27k + {k^2} = – 2{k^2} + 24k + 56$
$ \Leftrightarrow 4{k^2} – 48k + 128 = 0$
$ \Leftrightarrow {k^2} – 12k + 32 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k = 8} \\
{k = 4.}
\end{array}} \right.$
Tổng các phần tử của $S$ là: $8 + 4 = 12$.
b) Xét $C_n^2 + \frac{{A_n^3}}{n} = 12\left( 1 \right)$ (Điều kiện : $n \in \mathbb{V},n \geqslant 3$ ).
$C_n^2 + \frac{{A_n^3}}{n} = 12 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!\left( {n – 2} \right)!}} + \frac{{n!}}{{n \cdot \left( {n – 3} \right)!}} = 12$
$ \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2} + \left( {n – 1} \right)\left( {n – 2} \right) = 12$
$ \Leftrightarrow 3{n^2} – 7n – 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 4} \\
{n = – \frac{5}{3}}
\end{array}} \right.$
Do đó $n = 4$ thoả mãn điều kiện
Với $n = 4$ ta có
${\left( {x – {x^2}} \right)^4} = C_4^0{x^4}{\left( { – {x^2}} \right)^0} + C_4^1{x^3}\left( { – {x^2}} \right) + C_4^2{x^2}{\left( { – {x^2}} \right)^2} + C_4^3x{\left( { – {x^2}} \right)^3} + C_4^4{x^0}{\left( { – {x^2}} \right)^4}$
$ = {x^4} – 4{x^5} + 6{x^6} – 4{x^7} + {x^8}$
Vậy hệ số của ${x^7}$ trong khai triển bằng -4 .
Bài 3. (1 điểm)
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu $n\left( \Omega \right) = 10$ !
Giả sử các ghế được đánh số từ 1 đến 10 .
Để có cách xếp sao cho giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam thì các bạn nữ phải ngồi ở các ghế đánh số 1;4;7;10. Số cách xếp chỗ ngồi loại này là: 6!.4! cách.
Ta tính số cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho Huyền và Quang ngồi cạnh nhau
Nếu Huyền ngồi ở ghế 1 hoặc 10 thì có 1 cách xếp chỗ ngồi cho Quang. Nếu Huyền ngồi ở ghế 4 hoặc 7 thì có 2 cách xếp chỗ ngồi cho Quang.
Do đó, số cách xếp chỗ ngồi cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là $2 + 2.2 = 6$
Suy ra, số cách xếp chỗ ngồi cho 10 người sao cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là 6.3!.5! cách
Gọi $A$ là biến cố: ” Giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền”.
Số phần tử của biến cố $A$ là: $n\left( A \right) = 4!.6! – 6.5! \cdot 3! = 12960$.
Xác suất của biến cố $A$ là: $P\left( A \right) = \frac{{12960}}{{10!}} = \frac{1}{{280}}$
