20 câu trắc nghiệm bài đường thẳng song song với mặt phẳng giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Câu 1: Cho đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối của $a$ và $\left( P \right)$?
A. $2.$ B. $3.$ C. $1.$ D. $4.$
Câu 2: Cho hai đường thẳng phân biệt $a,\;b$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Giả sử $a\,\parallel \,b$, $b\,\parallel \,\left( \alpha \right)$. Khi đó:
A. $a\,\parallel \,\left( \alpha \right).$ B. $a \subset \left( \alpha \right).$
C. $a$ cắt $\left( \alpha \right).$ D. $a\,\parallel \,\left( \alpha \right)$ hoặc $a \subset \left( \alpha \right).$
Câu 3: Cho hai đường thẳng phân biệt $a,\;b$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Giả sử $a\,\parallel \,\left( \alpha \right)$, $b \subset \left( \alpha \right)$. Khi đó:
A. $a\,\parallel \,b.$ B. $a,\;b$ chéo nhau.
C. $a\,\parallel \,b$ hoặc $a,\;b$ chéo nhau. D. $a,\;b$ cắt nhau.
Câu 4: Cho đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Giả sử $b \not\subset \left( \alpha \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếu $b\,\parallel \,\left( \alpha \right)$ thì $b\,\parallel \,a.$
B. Nếu $b$ cắt $\left( \alpha \right)$ thì $b$ cắt $a.$
C. Nếu $b\,\parallel \,a$ thì $b\,\parallel \,\left( \alpha \right).$
D. Nếu $b$ cắt $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ chứa $b$ thì giao tuyến của $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ là đường thẳng cắt cả $a$ và $b.$
Câu 5: Cho hai đường thẳng phân biệt $a,\;b$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Giả sử $a\,\parallel \,\left( \alpha \right)$ và $b\,\parallel \,\left( \alpha \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $a$ và $b$ không có điểm chung.
B. $a$ và $b$ hoặc song song hoặc chéo nhau.
C. $a$ và $b$ hoặc song song hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau.
D. $a$ và $b$ chéo nhau.
Câu 6: Cho mặt phẳng $\left( P \right)$ và hai đường thẳng song song $a$ và $b$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Nếu $\left( P \right)$ song song với $a$ thì $\left( P \right)$ cũng song song với $b.$
B. Nếu $\left( P \right)$ cắt $a$ thì $\left( P \right)$ cũng cắt $b.$
C. Nếu $\left( P \right)$ chứa $a$ thì $\left( P \right)$ cũng chứa $b.$
D. Các khẳng định A, B, C đều sai.
Câu 7: Cho $d\,\parallel \,\left( \alpha \right)$, mặt phẳng $\left( \beta \right)$ qua $d$ cắt $\left( \alpha \right)$ theo giao tuyến $d’$. Khi đó:
A. $d\,\parallel \,d’.$ B. $d$ cắt $d’$. C. $d$ và $d’$ chéo nhau. D. $d \equiv d’.$
Câu 8: Có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng chéo nhau?
A. $1.$ B. $2.$ C. $3.$ D. Vô số.
Câu 9: Cho hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Có duy nhất một mặt phẳng song song với $a$ và $b.$
B. Có duy nhất một mặt phẳng qua $a$ và song song với $b.$
C. Có duy nhất một mặt phẳng qua điểm $M$, song song với $a$ và $b$ (với $M$ là điểm cho trước).
D. Có vô số đường thẳng song song với $a$ và cắt $b.$
Câu 10: Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau $a,\;b,\;c$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $a$, $\left( Q \right)$ là mặt phẳng qua $b$ sao cho giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ song song với $c$. Có nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ thỏa mãn yêu cầu trên?
A. Một mặt phẳng $\left( P \right)$, một mặt phẳng $\left( Q \right).$
B. Một mặt phẳng $\left( P \right)$, vô số mặt phẳng $\left( Q \right).$
C. Một mặt phẳng $\left( Q \right)$, vô số mặt phẳng $\left( P \right).$
D. Vô số mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right).$
Câu 11: Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SC\,.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $MN$//$mp\,\,\left( {ABCD} \right).$ B. $MN$//$mp\,\,\left( {SAB} \right).$ C. $MN$//$mp\,\,\left( {SCD} \right).$ D. $MN$//$mp\,\,\left( {SBC} \right).$
Câu 12: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, $M$ và $N$ là hai điểm trên $SA,\,\,SB$ sao cho $\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{1}{3}.$ Vị trí tương đối giữa $MN$ và $\left( {ABCD} \right)$ là:
A. $MN$ nằm trên $mp\,\,\left( {ABCD} \right).$ B. $MN$cắt $mp\,\,\left( {ABCD} \right).$
C. $MN$song song $mp\,\,\left( {ABCD} \right).$ D. $MN$ và $mp\,\,\left( {ABCD} \right)$ chéo nhau.
Câu 13: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABD,\,\,\,Q$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $AQ = 2\,QB,\,\,\,P$ là trung điểm của $AB\,.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $MN$//$\left( {BCD} \right).$ B. $GQ$//$\left( {BCD} \right).$
C. $MN$cắt $\left( {BCD} \right).$ D. $Q$ thuộc mặt phẳng $\left( {CDP} \right).$
Câu 14: Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi $O,\,\,{O_1}$ lần lượt là tâm của $ABCD,\,\,ABEF\,.$ $M$ là trung điểm của $CD\,.$ Khẳng định nào sau đây sai?
A. $O{O_1}$//$\left( {BEC} \right).$ B. $O{O_1}$//$\left( {AFD} \right).$
C. $O{O_1}$//$\left( {EFM} \right).$ D. $M{O_1}$ cắt $\left( {BEC} \right).$
Câu 15: Cho tứ diện $ABCD\,.$ Gọi $M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q,\,\,R,\,\,S$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $AC,\,\,BD,\,\,AB,\,\,CD,\,\,AD,\,\,BC\,.$ Bốn điểm nào sau đây không đồng phẳng?
A. $P,\,\,Q,\,\,R,\,\,S.$ B. $M,\,\,P,\,\,R,\,\,S.$ C. $M,\,\,R,\,\,S,\,\,N.$ D. $M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q.$
Câu 16: Cho tứ diện $ABCD\,.$ Gọi $H$ là một điểm nằm trong tam giác $ABC,\,\,\,\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua $H$ song song với $AB$ và $CD\,.$ Mệnh đề nào sau đây đúng về thiết diện của $\left( \alpha \right)$ của tứ diện?
A. Thiết diện là hình vuông. B. Thiết diện là hình thang cân.
C. Thiết diện là hình bình hành. D. Thiết diện là hình chữ nhật.
Câu 17: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $10.$ $M$ là điểm trên $SA$ sao cho $\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{2}{3}.$ Một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $M$ song song với $AB$ và $CD,$ cắt hình chóp theo một tứ giác có diện tích là:
A. $\frac{{400}}{9}.$ B. $\frac{{20}}{3}.$ C. $\frac{4}{9}.$ D. $\frac{{16}}{9}.$
Câu 18: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình thang cân đáy lớn $AD\,.$ $M,\,\,N$ lần lượt là hai trung điểm của $AB$ và $CD\,.$ $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $MN$ và cắt mặt bên $\left( {SBC} \right)$ theo một giao tuyến. Thiết diện của $\left( P \right)$ và hình chóp là
A. Hình bình hành. B. Hình thang. C. Hình chữ nhật. D. Hình vuông
Câu 19: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O\,.$ Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $SA$ (không trùng với $S$ hoặc $A$). $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $OM$ và song song với $AD\,.$ Thiết diện của $\left( P \right)$ và hình chóp là
A. Hình bình hành. B. Hình thang. C. Hình chữ nhật. D. Hình tam giác.
Câu 20: Cho tứ diện $ABCD\,.$ Gọi $I,\,\,J$ lần lượt thuộc cạnh $AD,\,\,BC$ sao cho $IA = 2\,ID$ và $JB = 2\,JC\,.$ Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $IJ$ và song song với $AB\,.$ Thiết diện của $\left( P \right)$ và tứ diện $ABCD$ là
A. Hình thang. B. Hình bình hành. C. Hình tam giác. D. Tam giác đều.
ĐÁP ÁN
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| B | D | C | C | C |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| B | A | D | A | A |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| A | C | B | D | C |
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| C | A | B | B | B |
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Cho đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối của $a$ và $\left( P \right)$?
A. $2.$ B. $3.$ C. $1.$ D. $4.$
Lời giải
Chọn B
Có 3 vị trí tương đối của $a$ và $\left( P \right)$, đó là: $a$ nằm trong $\left( P \right)$, $a$ song song với $\left( P \right)$ và $a$ cắt $\left( P \right)$.
Câu 2: Cho hai đường thẳng phân biệt $a,\;b$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Giả sử $a\,\parallel \,b$, $b\,\parallel \,\left( \alpha \right)$. Khi đó:
A. $a\,\parallel \,\left( \alpha \right).$ B. $a \subset \left( \alpha \right).$
C. $a$ cắt $\left( \alpha \right).$ D. $a\,\parallel \,\left( \alpha \right)$ hoặc $a \subset \left( \alpha \right).$
Lời giải
Chọn D
Câu 3: Cho hai đường thẳng phân biệt $a,\;b$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Giả sử $a\,\parallel \,\left( \alpha \right)$, $b \subset \left( \alpha \right)$. Khi đó:
A. $a\,\parallel \,b.$ B. $a,\;b$ chéo nhau.
C. $a\,\parallel \,b$ hoặc $a,\;b$ chéo nhau. D. $a,\;b$ cắt nhau.
Lời giải
Chọn C
Vì $a\,\parallel \,\left( \alpha \right)$ nên tồn tại đường thẳng $c \subset \left( \alpha \right)$ thỏa mãn $a\,\parallel \,c.$ Suy ra $b,\;c$ đồng phẳng và xảy ra các trường hợp sau:
• Nếu $b$ song song hoặc trùng với $c$ thì $a\,\parallel \,b$.
• Nếu $b$ cắt $c$ thì $b$ cắt $\left( \beta \right) \equiv \left( {a,c} \right)$ nên $a,\;b$ không đồng phẳng. Do đó $a,\;b$ chéo nhau.
Câu 4: Cho đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Giả sử $b \not\subset \left( \alpha \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếu $b\,\parallel \,\left( \alpha \right)$ thì $b\,\parallel \,a.$
B. Nếu $b$ cắt $\left( \alpha \right)$ thì $b$ cắt $a.$
C. Nếu $b\,\parallel \,a$ thì $b\,\parallel \,\left( \alpha \right).$
D. Nếu $b$ cắt $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ chứa $b$ thì giao tuyến của $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ là đường thẳng cắt cả $a$ và $b.$
Lời giải
Chọn C
• A sai. Nếu $b\,\parallel \,\left( \alpha \right)$ thì $b\,\parallel \,a$ hoặc $a,\;b$ chéo nhau.
• B sai. Nếu $b$ cắt $\left( \alpha \right)$ thì $b$ cắt $a$ hoặc $a,\;b$ chéo nhau.
• D sai. Nếu $b$ cắt $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ chứa $b$ thì giao tuyến của $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ là đường thẳng cắt $a$ hoặc song song với $a$.
Câu 5: Cho hai đường thẳng phân biệt $a,\;b$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Giả sử $a\,\parallel \,\left( \alpha \right)$ và $b\,\parallel \,\left( \alpha \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $a$ và $b$ không có điểm chung.
B. $a$ và $b$ hoặc song song hoặc chéo nhau.
C. $a$ và $b$ hoặc song song hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau.
D. $a$ và $b$ chéo nhau.
Lời giải
Chọn C
Câu 6: Cho mặt phẳng $\left( P \right)$ và hai đường thẳng song song $a$ và $b$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Nếu $\left( P \right)$ song song với $a$ thì $\left( P \right)$ cũng song song với $b.$
B. Nếu $\left( P \right)$ cắt $a$ thì $\left( P \right)$ cũng cắt $b.$
C. Nếu $\left( P \right)$ chứa $a$ thì $\left( P \right)$ cũng chứa $b.$
D. Các khẳng định A, B, C đều sai.
Lời giải
Chọn B
Gọi $\left( Q \right) \equiv \left( {a,b} \right)$.
• A sai. Khi $b = \left( P \right) \cap \left( Q \right) \Rightarrow b \subset \left( P \right)$.
• C sai. Khi $\left( P \right) \ne \left( Q \right) \Rightarrow b\,\parallel \,\left( P \right)$.
• Xét khẳng định B, giả sử $\left( P \right)$ không cắt $b$ khi đó $b \subset \left( P \right)$ hoặc $b\,\parallel \,\left( P \right)$. Khi đó, vì $b\,\parallel \,a$ nên $a \subset \left( P \right)$ hoặc $a$ cắt $\left( P \right)$ (mâu thuẫn với giả thiết $\left( P \right)$ cắt $a$).
Vậy khẳng định B đúng.
Câu 7: Cho $d\,\parallel \,\left( \alpha \right)$, mặt phẳng $\left( \beta \right)$ qua $d$ cắt $\left( \alpha \right)$ theo giao tuyến $d’$. Khi đó:
A. $d\,\parallel \,d’.$ B. $d$ cắt $d’$. C. $d$ và $d’$ chéo nhau. D. $d \equiv d’.$
Lời giải
Chọn A
Ta có: $d’ = \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right)$. Do $d$ và $d’$ cùng thuộc $\left( \beta \right)$ nên $d$ cắt $d’$ hoặc $d\,\parallel \,d’$.
Nếu $d$ cắt $d’$. Khi đó, $d$ cắt $\left( \alpha \right)$ (mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy $d\,\parallel \,d’$.
Câu 8: Có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng chéo nhau?
A. $1.$ B. $2.$ C. $3.$ D. Vô số.
Lời giải
Chọn D
Gọi $a$ và $b$ là 2 đường thẳng chéo nhau, $c$ là đường thẳng song song với $a$ và cắt $b$.
Gọi $\left( \alpha \right) \equiv \left( {b,c} \right)$. Do $a\,\parallel \,c \Rightarrow a\,\parallel \,\left( \alpha \right)$.
Giả sử $\left( \beta \right)\,\parallel \,\left( \alpha \right)$. Mà $b \in \left( \alpha \right) \Rightarrow b\,\parallel \,\left( \beta \right)$.
Mặt khác, $a\,\parallel \,\left( \alpha \right) \Rightarrow a\,\parallel \,\left( \beta \right)$.
Có vô số mặt phẳng $\left( \beta \right)\,\parallel \,\left( \alpha \right)$. Vậy có vô số mặt phẳng song song với 2 đường thẳng chéo nhau.
Câu 9: Cho hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Có duy nhất một mặt phẳng song song với $a$ và $b.$
B. Có duy nhất một mặt phẳng qua $a$ và song song với $b.$
C. Có duy nhất một mặt phẳng qua điểm $M$, song song với $a$ và $b$ (với $M$ là điểm cho trước).
D. Có vô số đường thẳng song song với $a$ và cắt $b.$
Lời giải
Chọn A
Có có vô số mặt phẳng song song với 2 đường thẳng chéo nhau.
Do đó A sai.
Câu 10: Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau $a,\;b,\;c$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $a$, $\left( Q \right)$ là mặt phẳng qua $b$ sao cho giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ song song với $c$. Có nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ thỏa mãn yêu cầu trên?
A. Một mặt phẳng $\left( P \right)$, một mặt phẳng $\left( Q \right).$
B. Một mặt phẳng $\left( P \right)$, vô số mặt phẳng $\left( Q \right).$
C. Một mặt phẳng $\left( Q \right)$, vô số mặt phẳng $\left( P \right).$
D. Vô số mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right).$
Lời giải
Chọn A
Vì $c$ song song với giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ nên $c\,\parallel \,\left( P \right)$ và $c\,\parallel \,\left( Q \right)$.
Khi đó, $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa $a$ và song song với $c,$ mà $a$ và $c$ chéo nhau nên chỉ có một mặt phẳng như vậy.
Tương tự cũng chỉ có một mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $b$ và song song với $c$.
Vậy có nhiều nhất một mặt phẳng $\left( P \right)$ và một mặt phẳng $\left( Q \right)$ thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 11: Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SC\,.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $MN$//$mp\,\,\left( {ABCD} \right).$ B. $MN$//$mp\,\,\left( {SAB} \right).$ C. $MN$//$mp\,\,\left( {SCD} \right).$ D. $MN$//$mp\,\,\left( {SBC} \right).$
Lời giải
Chọn A
Xét tam giác $SAC$ có $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,\,\,SC\,.$
Suy ra $MN$//$AC$ mà $AC \subset \left( {ABCD} \right)\,\,\xrightarrow{{}}\,\,MN$//$mp\left( {ABCD} \right)\,.$
Câu 12: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, $M$ và $N$ là hai điểm trên $SA,\,\,SB$ sao cho $\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{1}{3}.$ Vị trí tương đối giữa $MN$ và $\left( {ABCD} \right)$ là:
A. $MN$ nằm trên $mp\,\,\left( {ABCD} \right).$ B. $MN$cắt $mp\,\,\left( {ABCD} \right).$
C. $MN$song song $mp\,\,\left( {ABCD} \right).$ D. $MN$ và $mp\,\,\left( {ABCD} \right)$ chéo nhau.
Lời giải
Chọn C
Theo định lí Talet, ta có $\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}}$ suy ra $MN$ song song với $AB\,.$
Mà $AB$ nằm trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ suy ra $MN$//$\left( {ABCD} \right)\,.$
Câu 13: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABD,\,\,\,Q$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $AQ = 2\,QB,\,\,\,P$ là trung điểm của $AB\,.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $MN$//$\left( {BCD} \right).$ B. $GQ$//$\left( {BCD} \right).$
C. $MN$cắt $\left( {BCD} \right).$ D. $Q$ thuộc mặt phẳng $\left( {CDP} \right).$
Lời giải
Chọn B
Gọi $M$ là trung điểm của $BD\,.$
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABD$$ \Rightarrow \,\,\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{2}{3}.$
Điểm $Q \in AB$ sao cho $AQ = 2\,QB\,\, \Leftrightarrow \,\,\frac{{AQ}}{{AB}} = \frac{2}{3}.$ Suy ra $\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{{AQ}}{{AB}}\,\,\xrightarrow{{}}\,\,GQ$//$BD\,.$
Mặt khác $BD$ nằm trong mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ suy ra $GQ$//$\left( {BCD} \right)\,.$
Câu 14: Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi $O,\,\,{O_1}$ lần lượt là tâm của $ABCD,\,\,ABEF\,.$ $M$ là trung điểm của $CD\,.$ Khẳng định nào sau đây sai?
A. $O{O_1}$//$\left( {BEC} \right).$ B. $O{O_1}$//$\left( {AFD} \right).$
C. $O{O_1}$//$\left( {EFM} \right).$ D. $M{O_1}$ cắt $\left( {BEC} \right).$
Lời giải
Chọn D
Xét tam giác $ACE$ có $O,\,\,{O_1}$ lần lượt là trung điểm của $AC,\,\,AE\,.$
Suy ra $O{O_1}$ là đường trung bình trong tam giác $ACE$ $ \Rightarrow \,\,O{O_1}$//$EC\,.$
Tương tự, $O{O_1}$ là đường trung bình của tam giác $BFD$ nên $O{O_1}$//$FD\,.$
Vậy $O{O_1}$//$\left( {BEC} \right)$, $O{O_1}$//$\left( {AFD} \right)$ và $O{O_1}$//$\left( {EFC} \right)$. Chú ý rằng: $\left( {EFC} \right) = \left( {EFM} \right)\,.$
Câu 15: Cho tứ diện $ABCD\,.$ Gọi $M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q,\,\,R,\,\,S$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $AC,\,\,BD,\,\,AB,\,\,CD,\,\,AD,\,\,BC\,.$ Bốn điểm nào sau đây không đồng phẳng?
A. $P,\,\,Q,\,\,R,\,\,S.$ B. $M,\,\,P,\,\,R,\,\,S.$ C. $M,\,\,R,\,\,S,\,\,N.$ D. $M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q.$
Lời giải
Chọn C
Theo tính chất của đường trung bình của tam giác ta có
$PS$//$AC$//$QR$ suy ra $P,\,\,Q,\,\,R,\,\,S$ đồng phẳng
Tương tự, ta có được $PM$//$BC$//$NQ$ suy ra $P,\,\,M,\,\,N,\,\,Q$ đồng phẳng.
Và $NR$//$CD$//$SN$ suy ra $M,\,\,R,\,\,S,\,\,N$ đồng phẳng.
Câu 16: Cho tứ diện $ABCD\,.$ Gọi $H$ là một điểm nằm trong tam giác $ABC,\,\,\,\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua $H$ song song với $AB$ và $CD\,.$ Mệnh đề nào sau đây đúng về thiết diện của $\left( \alpha \right)$ của tứ diện?
A. Thiết diện là hình vuông. B. Thiết diện là hình thang cân.
C. Thiết diện là hình bình hành. D. Thiết diện là hình chữ nhật.
Lời giải
Chọn C
Qua $H$ kẻ đường thẳng $\left( d \right)$ song song $AB$ và cắt $BC,\,\,\,AC$ lần lượt tại $M,\,\,N.$
Từ $N$ kẻ $NP$ song song vớ $CD\,\,\,\left( {P \in CD} \right).$ Từ $P$ kẻ $PQ$ song song với $AB\,\,\,\left( {Q \in BD} \right)\,.$
Ta có $MN$//$PQ$//$AB$ suy ra $M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q$ đồng phẳng và $AB$//$\left( {MNPQ} \right)\,.$
Suy ra $MNPQ$ là thiết diện của $\left( \alpha \right)$ và tứ diện.
Vậy thiết diện là hình bình hành.
Câu 17: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $10.$ $M$ là điểm trên $SA$ sao cho $\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{2}{3}.$ Một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $M$ song song với $AB$ và $CD,$ cắt hình chóp theo một tứ giác có diện tích là:
A. $\frac{{400}}{9}.$ B. $\frac{{20}}{3}.$ C. $\frac{4}{9}.$ D. $\frac{{16}}{9}.$
Lời giải
Chọn A
Ta có $\left( \alpha \right)\parallel AB$ và $CD$ mà $A,\,\,B,\,\,C,\,\,D$ đồng phẳng suy ra $\left( \alpha \right)\parallel \left( {ABCD} \right).$
Giả sử $\left( \alpha \right)$ cắt các mặt bên $\left( {SAB} \right),\,\,\left( {SBC} \right),\,\,\left( {SCD} \right),\,\,\left( {SDA} \right)$ lần lượt tại các điểm $N,\,\,P,\,\,Q$ với $N \in SB,\,\,P \in SC,\,\,Q \in SD\,$suy ra $\left( \alpha \right) \equiv \left( {MNPQ} \right)\,.$
Khi đó $MN$//$AB$$ \Rightarrow $$MN$ là đường trung bình tam giác $SAB$ $ \Rightarrow \,\,\,\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{2}{3}\,.$
Tương tự, ta có được $\frac{{NP}}{{BC}} = \frac{{PQ}}{{CD}} = \frac{{QM}}{{DA}} = \frac{2}{3}$ và $MNPQ$ là hình vuông.
Suy ra ${S_{MNPQ}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}{S_{ABCD}} = \frac{4}{9}{S_{ABCD}} = \frac{4}{9}.10.10 = \frac{{400}}{9}.$
Câu 18: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình thang cân đáy lớn $AD\,.$ $M,\,\,N$ lần lượt là hai trung điểm của $AB$ và $CD\,.$ $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $MN$ và cắt mặt bên $\left( {SBC} \right)$ theo một giao tuyến. Thiết diện của $\left( P \right)$ và hình chóp là
A. Hình bình hành. B. Hình thang. C. Hình chữ nhật. D. Hình vuông
Lời giải
Chọn B
Xét hình thang $ABCD$, có $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,CD\,.$
Suy ra $MN$ là đường trung bình của hình thang $ABCD\,\,\, \Rightarrow \,\,\,MN$//$BC\,.$
Lấy điểm $P \in SB$, qua $P$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ và cắt $BC$ tại $Q\,.$
Suy ra $\left( P \right) \cap \left( {SBC} \right) = PQ$ nên thiết diện $\left( P \right)$ và hình chóp là tứ giác $MNQP$ có $MN$//$PQ$//$BC$. Vậy thiết diện là hình thang $MNQP\,.$
Câu 19: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O\,.$ Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $SA$ (không trùng với $S$ hoặc $A$). $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $OM$ và song song với $AD\,.$ Thiết diện của $\left( P \right)$ và hình chóp là
A. Hình bình hành. B. Hình thang. C. Hình chữ nhật. D. Hình tam giác.
Lời giải
Chọn B
Qua $M$ kẻ đường thẳng $MN$//$AD$ và cắt $SD$ tại $N\,\, \Rightarrow \,\,MN$//$AD\,.$
Qua $O$ kẻ đường thẳng $PQ$//$AD$ và cắt $AB,\,\,CD$ lần lượt tại $Q,\,\,P\,\, \Rightarrow \,\,PQ$//$AD\,.$
Suy ra $MN$//$PQ$//$AD$$\xrightarrow{{}}\,\,M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q$ đồng phẳng $ \Rightarrow $ $\left( P \right)$ cắt hình chóp $S.ABCD$ theo thiết diện là hình thang $MNPQ\,.$
Câu 20: Cho tứ diện $ABCD\,.$ Gọi $I,\,\,J$ lần lượt thuộc cạnh $AD,\,\,BC$ sao cho $IA = 2\,ID$ và $JB = 2\,JC\,.$ Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $IJ$ và song song với $AB\,.$ Thiết diện của $\left( P \right)$ và tứ diện $ABCD$ là
A. Hình thang. B. Hình bình hành. C. Hình tam giác. D. Tam giác đều.
Lời giải
Chọn B
Giả sử $\left( P \right)$ cắt các mặt của tứ diện $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {ABD} \right)$ theo hai giao tuyến $JH$ và $IK\,.$
Ta có $\left( P \right) \cap \left( {ABC} \right) = JH,\,\,\,\left( P \right) \cap \left( {ABD} \right) = IK\,$
$\left( {ABC} \right) \cap \left( {ABD} \right) = AB,\,\,\,\left( P \right)$//$AB\,\,\xrightarrow{{}}\,\,JH$//$IK$//$AB\,.$
Theo định lí Thalet, ta có $\frac{{JB}}{{JC}} = \frac{{HA}}{{HC}} = 2$ suy ra $\frac{{HA}}{{HC}} = \frac{{IA}}{{ID}}\,\, \Rightarrow \,\,IH$//$CD\,.$
Mà $IH \in \left( P \right)$ suy ra $IH$ song song với mặt phẳng $\left( P \right)\,.$
Vậy $\left( P \right)$ cắt các mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$, $\left( {ABD} \right)$ theo các giao tuyến $IH,\,\,JK$ với $IH$//$JK\,.$
Do đó, thiết diện của $\left( P \right)$ và tứ diện $ABCD$ là hình bình hành.
