35 câu trắc nghiệm bất phương trình mũ theo dạng giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Phương pháp
Đưa về cùng cơ số hoặc Logarit hóa: Biến đổi đưa về phương trình mũ dạng: ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}}$ hoặc ${a^{f\left( x \right)}} \geqslant {a^{g\left( x \right)}}$ rồi áp dụng bất phương trình mũ cơ bản.
• Nếu $a > 1$ thì ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right).\,$ (cùng chiều)
• Nếu $0 < a < 1$ thì ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)$. $\,$ (ngược chiều)
• Nếu a chứa ẩn thì ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow \left( {a – 1} \right)\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right] > 0$.
Câu 1. Tập nghiệm của bất phương trình ${2^x} > 6$ là
A. $\left( {lo{g_2}6; + \infty } \right)$.
B. $\left( { – \infty ;3} \right)$.
C. $\left( {3; + \infty } \right)$.
D. $\left( { – \infty ;lo{g_2}6} \right)$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có ${2^x} > 6 \Leftrightarrow x > lo{g_2}6$.
Câu 2. Tập nghiệm của bất phương trình ${3^x} < 2$ là
A. $\left( { – \infty ;lo{g_3}2} \right)$.
B. $\left( {lo{g_3}2; + \infty } \right)$.
C. $\left( { – \infty ;lo{g_2}3} \right)$.
D. $\left( {lo{g_2}3; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chon A.
Ta có ${3^x} < 2 \Leftrightarrow x < lo{g_3}2$
Vậy $S = \left( { – \infty ;lo{g_3}2} \right)$.
Câu 3. Tập nghiệm của bất phương trình ${2^{2x}} < {2^{x + 6}}$ là:
A. $\left( { – \infty ;6} \right)$
B. $\left( {0;64} \right)$
C. $\left( {6; + \infty } \right)$
D. $\left( {0;6} \right)$
Lời giải
Chọn A.
Cách 1: ${2^{2x}} < {2^{x + 6}} \Leftrightarrow 2x < x + 6 \Leftrightarrow x < 6$
Cách 2:
Đặt $t = {2^x},t > 0$
Bất phương trình trở thành: ${t^2} – 64t < 0 \Leftrightarrow 0 < t < 64 \Leftrightarrow 0 < {2^x} < 64 \Leftrightarrow x < 6$.
Câu 4. Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${5^{x + 1}} – \frac{1}{5} > 0$.
A. $S = \left( { – \infty ; – 2} \right)$.
B. $S = \left( {1; + \infty } \right)$.
C. $S = \left( { – 1; + \infty } \right)$.
D. $S = \left( { – 2; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn D.
Bất phương trình tương đương ${5^{x + 1}} > {5^{ – 1}} \Leftrightarrow x + 1 > – 1 \Leftrightarrow x > – 2$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { – 2; + \infty } \right)$.
Câu 5. Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} > 9$ trên tập số thực là
A. $\left( {2; + \infty } \right)$.
B. $\left( { – \infty ; – 2} \right)$.
C. $\left( { – \infty ;2} \right)$.
D. $\left( { – 2; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn B.
${\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} > 9 \Leftrightarrow {3^{ – x}} > {3^2} \Leftrightarrow – x > 2 \Leftrightarrow x < – 2$.
Vậy tập nghiệm là: $S = \left( { – \infty ; – 2} \right)$.
Câu 6. Tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${5^{x + 2}} < {\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^{ – x}}$ là
A. $S = \left( { – \infty ;2} \right)$
B. $S = \left( { – \infty ;1} \right)$
C. $S = \left( {1; + \infty } \right)$
D. $S = \left( {2; + \infty } \right)$
Lời giải
Chọn D.
${5^{x + 2}} < {\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^{ – x}} \Leftrightarrow {5^{x + 2}} < {5^{2x}} \Leftrightarrow x + 2\left\langle {2x \Leftrightarrow x} \right\rangle 2$
Câu 7. Tìm nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x – 1}} \geqslant \frac{1}{4}$.
A. $x \leqslant 3$.
B. $x > 3$.
C. $x \geqslant 3$.
D. $1 < x \leqslant 3$.
Lời giải
Chọn A.
${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x – 1}} \geqslant \frac{1}{4} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x – 1}} \geqslant {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow x – 1 \leqslant 2 \Leftrightarrow x \leqslant 3$
Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^x} > 1$ là
A. $\mathbb{R}$
B. $\left( { – \infty ;0} \right)$
C. $\left( {0; + \infty } \right)$
D. $\left[ {0; + \infty } \right)$
Lời giải
Chọn B.
Vì $\frac{e}{\pi } < 1$ nên ${\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^x} > 1 \Leftrightarrow lo{g_{\frac{e}{\pi }}}{\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^x} < lo{g_{\frac{e}{\pi }}}1 \Leftrightarrow x < 0$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { – \infty ;0} \right)$.
Câu 9. Tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${3^x} < {e^x}$ là:
A. $S = \mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}$.
B. $S = \left( {0; + \infty } \right)$.
C. $S = \mathbb{R}$.
D. $S = \left( { – \infty ;0} \right)$.
Lời giải
Chọn D.
${3^x} < {e^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{e}} \right)^x} < 1 \Leftrightarrow x < 0$. Tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { – \infty ;0} \right)$.
Câu 10. Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x + 1}} > 1$ là
A. $\left( { – \infty ;0} \right)$.
B. $\left( {0; + \infty } \right)$.
C. $\left( { – \infty ; – \frac{1}{2}} \right)$.
D. $\left( { – \frac{1}{2}; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x + 1}} > 1 \Leftrightarrow 2x + 1 < 0 \Leftrightarrow x < – \frac{1}{2}$.
Vây: Tập nghiệm của bất phương trình là $\left( { – \infty ; – \frac{1}{2}} \right)$.
Câu 11. Tập nghiệm của bất phương trình ${2^{\sqrt x }} < 2$ là
A. $\left[ {0;1} \right)$.
B. $\left( { – \infty ;1} \right)$.
C. $\mathbb{R}$.
D. $\left( {1; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn A.
${2^{\sqrt x }} < 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \geqslant 0} \\
{\sqrt x < 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \geqslant 0} \\
{x < 1}
\end{array} \Leftrightarrow x \in \left[ {0;1} \right)} \right.} \right.$
Câu 12. Bất phương trình ${\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^{x – 1}} \leqslant {\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^{2x + 3}}$ có nghiệm là
A. $x \leqslant – 4$.
B. $x > – 4$.
C. $x < – 4$.
D. $x \geqslant – 4$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có:
${\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^{x – 1}} \leqslant {\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^{2x + 3}}$$ \Leftrightarrow x – 1 \leqslant 2x + 3$$ \Leftrightarrow x \geqslant – 4$
Câu 13. Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^{\frac{1}{x}}} \leqslant {\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^2}$ là:
A. $\left( {0;\frac{1}{2}} \right)$.
B. $\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$.
C. $\left( {0;\frac{1}{2}} \right]$.
D. $\left( { – \infty ;\frac{1}{2}} \right)$.
Lời giải
Chọn C.
Cơ số $a = \frac{1}{{\sqrt 3 }} < 1$ nên bất phương trình: ${\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^{\frac{1}{x}}} \leqslant {\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} \Leftrightarrow \frac{1}{x} \geqslant 2 \Leftrightarrow \frac{{1 – 2x}}{x} \geqslant 0 \Leftrightarrow 0 < x \leqslant \frac{1}{2}$.
Câu 14. Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${2^{{x^2} + 3x}} \leqslant 16$ là số nào sau đây ?
A. 5 .
B. 6 .
C. 4 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn B.
${2^{{x^2} + 3x}} \leqslant 16 \Leftrightarrow {2^{{x^2} + 3x}} \leqslant {2^4} \Leftrightarrow {x^2} + 3x \leqslant 4 \Leftrightarrow x \in \left[ { – 4;1} \right]$.
Các nghiệm nguyên của bất phương trình là : -4;-3;-2;-1;0;1.
Câu 15. Tập nghiệm của bất phương trình ${3^{{x^2} – 2x}} < 27$ là
A. $\left( {3; + \infty } \right)$
B. $\left( { – 1;3} \right)$
C. $\left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$
D. $\left( { – \infty ; – 1} \right)$
Lời giải
Chọn B.
Ta có ${3^{{x^2} – 2x}} < 27 \Leftrightarrow {x^2} – 2x < 3 \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 3 < 0 \Leftrightarrow – 1 < x < 3$.
Câu 16. Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^{2{x^2} – 3x – 7}} > {3^{2x – 21}}$ là
A. 7 .
B. 6 .
C. vô số.
D. 8 .
Lời giải
Chọn A.
Ta có ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^{2{x^2} – 3x – 7}} > {3^{2x – 21}} \Leftrightarrow {3^{ – \left( {2{x^2} – 3x – 7} \right)}} > {3^{2x – 21}}$
$ \Leftrightarrow – \left( {2{x^2} – 3x – 7} \right) > 2x – 21 \Leftrightarrow – 2{x^2} + 3x + 7 > 2x – 21$
$ \Leftrightarrow – 2{x^2} + x + 28 > 0 \Leftrightarrow – \frac{7}{2} < x < 4$
Do $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \left\{ { – 3; – 2; – 1;0;1;2;3} \right\}$.
Vậy bất phương trình đã cho có 7 nghiệm nguyên.
Câu 17. Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{3}{4}} \right)^{ – {x^2}}} > \frac{{81}}{{256}}$ là
A. $\left( { – \infty ; – 2} \right)$.
B. $\left( { – \infty ; – 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.
C. $\mathbb{R}$.
D. $\left( { – 2;2} \right)$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: ${\left( {\frac{3}{4}} \right)^{ – {x^2}}} > \frac{{81}}{{256}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{ – {x^2}}} > {\left( {\frac{3}{4}} \right)^4} \Leftrightarrow – {x^2} < 4 \Leftrightarrow – {x^2} – 4 < 0 \Leftrightarrow x \in R$
Câu 18. Bất phương trình ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} – 2x}} \geqslant \frac{1}{8}$ có tập nghiệm là
A. $\left[ {3; + \infty } \right)$.
B. $\left( { – \infty ; – 1} \right]$.
C. $\left[ { – 1;3} \right]$.
D. $\left( { – 1;3} \right)$.
Lời giải
Chọn C.
Bất phương trình đã cho tương đương với
${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} – 2x}} \geqslant {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} \Leftrightarrow {x^2} – 2x \leqslant 3 \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 3 \leqslant 0 \Leftrightarrow – 1 \leqslant x \leqslant 3$
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: $S = \left[ { – 1;3} \right]$.
Câu 19. Tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} – 4x}} < 8$ là
A. $S = \left( { – \infty ;3} \right)$.
B. $S = \left( {1; + \infty } \right)$.
C. $S = \left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$.
D. $S = \left( {1;3} \right)$.
Lời giải
Chọn C.
Bất phương trình ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} – 4x}} < 8 \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} – 4x}} < {2^3} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} – 4x}} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – 3}}$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 4x > – 3 \Leftrightarrow {x^2} – 4x + 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 3} \\
{x < 1}
\end{array}} \right.$
Nên tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} – 4x}} < 8$ là $S = \left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$.
Câu 20. Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – {x^2} + 3x}} < \frac{1}{4}$.
A. $S = \left[ {1;2} \right]$
B. $S = \left( { – \infty ;1} \right)$
C. $S = \left( {1;2} \right)$
D. $S = \left( {2; + \infty } \right)$
Lời giải
Chọn C.
${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – {x^2} + 3x}} < \frac{1}{4} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – {x^2} + 3x}} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}$
$ \Leftrightarrow – {x^2} + 3x > 2 \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 2 < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 2$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S = \left( {1;2} \right)$.
Câu 21. Cho bất phương trình ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{x^2} – x + 1}} > {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x – 1}}$ có tập nghiệm $S = \left( {a;b} \right)$. Giá trị của $b – a$ bằng
A. -2 .
B. -1 .
C. 1 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn C.
${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{x^2} – x + 1}} > {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x – 1}} \Leftrightarrow {x^2} – x + 1 < 2x – 1\,$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 2 < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 2 \Rightarrow S = \left( {1;2} \right)$
Vậy $a = 1;b = 2 \Rightarrow b – a = 1$.
Câu 22. Tìm tập nghiệm của bất phương trình ${2^x} + {2^{x + 1}} \leqslant {3^x} + {3^{x – 1}}$.
A. $\left( {2; + \infty } \right)$.
B. $\left( { – \infty ;2} \right)$.
C. $\left( { – \infty ;2} \right]$.
D. $\left[ {2; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có ${2^x} + {2^{x + 1}} \leqslant {3^x} + {3^{x – 1}} \Leftrightarrow 3 \cdot {2^x} \leqslant {4.3^{x – 1}} \Leftrightarrow {2^{x – 2}} \leqslant {3^{x – 2}}$
$ \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{x – 2}} \leqslant 1 \Leftrightarrow x – 2 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant 2$
Câu 23. Tập nghiệm của bất phương trình ${3^{x + 1}} + {5^{x + 2}} \geqslant {3^{x + 2}} + {5^{x + 1}}$ là
A. $S = \left( { – \infty ;lo{g_{\frac{5}{3}}}\frac{3}{{10}}} \right)$.
B. $S = \left( {lo{g_{\frac{5}{3}}}3; + \infty } \right)$.
C. $S = \left( {lo{g_{\frac{5}{3}}}10; + \infty } \right)$.
D. $S = \left( {lo{g_{\frac{5}{3}}}\frac{3}{{10}}; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn D.
${3^{x + 1}} + {5^{x + 2}} \geqslant {3^{x + 2}} + {5^{x + 1}}$
$ \Leftrightarrow {25.5^x} – {5.5^x} > {9.3^x} – {3.3^x}$
$ \Leftrightarrow {20.5^x} > {6.3^x}$
$ \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{3}} \right)^x} > \frac{3}{{10}}$
$ \Leftrightarrow x > lo{g_{\frac{5}{3}}}\frac{3}{{10}}$
$ \Rightarrow S = \left( {lo{g_{\frac{5}{3}}}\frac{3}{{10}}; + \infty } \right)$
Câu 24. Cho hàm số $f\left( x \right) = {2^x} \cdot {7^{{x^2}}}$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. $f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow x + {x^2}lo{g_2}7 < 0$
B. $f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow xln2 + {x^2}ln7 < 0$
C. $f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow xlo{g_7}2 + {x^2} < 0$
D. $f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow 1 + xlo{g_2}7 < 0$
Lời giải
Chọn D.
Đáp án A đúng vì $f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow lo{g_2}f\left( x \right) < lo{g_2}1 \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {{2^x}{{.7}^{{x^2}}}} \right) < 0 \Leftrightarrow lo{g_2}{2^x} + lo{g_2}{7^{{x^2}}} < 0$ $ \Leftrightarrow x + {x^2} \cdot lo{g_2}7 < 0$
Đáp án B đúng vì $f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow lnf\left( x \right) < ln1 \Leftrightarrow ln\left( {{2^x}{{.7}^{{x^2}}}} \right) < 0 \Leftrightarrow ln{2^x} + ln{7^{{x^2}}} < 0$ $ \Leftrightarrow x \cdot ln2 + {x^2} \cdot ln7 < 0$
Đáp án $C$ đúng vì $f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow lo{g_7}f\left( x \right) < lo{g_7}1 \Leftrightarrow lo{g_7}\left( {{2^x} \cdot {7^{{x^2}}}} \right) < 0 \Leftrightarrow lo{g_7}{2^x} + lo{g_7}{7^{{x^2}}} < 0$ $ \Leftrightarrow x.lo{g_7}2 + {x^2} < 0$
Vậy D sai vì $f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow lo{g_2}f\left( x \right) < lo{g_2}1 \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {{2^x}{{.7}^{{x^2}}}} \right) < 0 \Leftrightarrow lo{g_2}{2^x} + lo{g_2}{7^{{x^2}}} < 0$ $ \Leftrightarrow x + {x^2}lo{g_2}7 < 0$
Câu 25. Tập nghiệm của bất phương trình ${(2 – \sqrt 3 )^{{x^2} + 4x – 14}} \geqslant 7 + 4\sqrt 3 $ là:
A. $\left[ { – 6;2} \right]$.
B. $\left( { – \infty – 6\left] \cup \right[2; + \infty } \right)$.
C. $\left( { – 6;2} \right)$.
D. $\left( { – \infty ; – 6} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có $7 + 4\sqrt 3 = {(2 + \sqrt 3 )^2},\left( {2 – \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right) = 1$ và $2 + \sqrt 3 = {(2 – \sqrt 3 )^{ – 1}} \Rightarrow 7 + 4\sqrt 3 = {(2 – \sqrt 3 )^{ – 2}}$.
Do đó, ${(2 – \sqrt 3 )^{{x^2} + 4x – 14}} \geqslant 7 + 4\sqrt 3 \Leftrightarrow {(2 – \sqrt 3 )^{{x^2} + 4x – 14}} \geqslant {(2 – \sqrt 3 )^{ – 2}}$
$ \Leftrightarrow {x^2} + 4x – 14 \leqslant – 2 \Leftrightarrow {x^2} + 4x – 12 \leqslant 0 \Leftrightarrow – 6 \leqslant x \leqslant 2$.
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm $\left[ { – 6;2} \right]$.
Câu 26. Số nghiệm nguyên của bất phương trình: ${(17 – 12\sqrt 2 )^x} \geqslant {(3 + \sqrt 8 )^{{x^2}}}$ là:
A. 3 .
B. 1.
C. 2 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn A.
Ta có: ${(17 – 12\sqrt 2 )^x} \geqslant {(3 + \sqrt 8 )^{{x^2}}} \Leftrightarrow {(3 – \sqrt 8 )^{2x}} \geqslant {(3 + \sqrt 8 )^{{x^2}}}$
$ \Leftrightarrow {(3 + \sqrt 8 )^{{x^2} + 2x}} \leqslant 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2x \leqslant 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { – 2;0} \right]$.
Vậy bất phương trình đã cho có 3 nghiệm nguyên.
Câu 27. Tập nghiệm của bất phương trình ${2^x} – {3^{x + 1}} > 0$ là
A. $S = \left( { – \infty ;lo{g_{\frac{2}{3}}}3} \right)$.
B. $S = \left( {lo{g_{\frac{2}{3}}}3; + \infty } \right)$.
C. $S = \left( {lo{g_2}3; + \infty } \right)$.
D. $\left( {1;3} \right)$.
Lời giải
Chọn A.
${2^x} – {3^{x + 1}} > 0 \Leftrightarrow {2^x} > {3.3^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} > 3 \Leftrightarrow x < lo{g_{\frac{2}{3}}}3$
Câu 28. Tập nghiệm của bất phương trình ${5^{2x – 1}} < {7^{3 – x}}$ là
A. $S = \left( { – \infty ;\frac{{1 + 3lo{g_5}7}}{{2 + lo{g_5}7}}} \right)$.
B. $S = \left( {lo{g_{\frac{5}{7}}}7; + \infty } \right)$.
C. $S = \left( {lo{g_{\frac{5}{7}}}5; + \infty } \right)$.
D. $S = \left( {\frac{{1 + 3lo{g_5}7}}{{2 + lo{g_5}7}}; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn A.
${5^{2x – 1}} < {7^{3 – x}}$
$ \Leftrightarrow lo{g_5}{5^{2x – 1}} < lo{g_5}{7^{3 – x}}$
$ \Leftrightarrow 2x – 1 < \left( {3 – x} \right)lo{g_5}7$
$ \Leftrightarrow 2x + xlo{g_5}7 < 3lo{g_5}7 + 1$
$ \Leftrightarrow x\left( {2 + lo{g_5}7} \right) < 3lo{g_5}7 + 1$
$ \Leftrightarrow x < \frac{{1 + 3lo{g_5}7}}{{2 + lo{g_5}7}}$
Câu 29. Nghiệm dương nhỏ nhất của bất phương trình ${6^{2x + 3}} \leqslant {2^{x + 7}} \cdot {3^{3x – 1}}$ là
A. 4 .
B. 6 .
C. 2 .
D. 7 .
Lời giải
Chọn A.
${6^{2x + 3}} \leqslant {2^{x + 7}} \cdot {3^{3x – 1}}$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}{6^{2x + 3}} \leqslant lo{g_2}\left( {{2^{x + 7}} \cdot {3^{3x – 1}}} \right)$
$ \Leftrightarrow \left( {2x + 3} \right)lo{g_2}6 \leqslant \left( {x + 7} \right)lo{g_2}2 + \left( {3x – 1} \right)lo{g_2}3$
$ \Leftrightarrow \left( {2x + 3} \right)\left( {1 + lo{g_2}3} \right) \leqslant x + 7 + \left( {3x – 1} \right)lo{g_2}3$
$ \Leftrightarrow \left( {1 – lo{g_2}3} \right)x \leqslant 4 – 4lo{g_2}3$
$\Leftrightarrow x \geqslant 4$
$ \Rightarrow S = \left[ {4; + \infty } \right)$
Câu 30. Có bao nhiêu số nguyên thuộc (-2022;2022) là nghiệm của bất phương trình ${3^x} \cdot {2^{{x^2}}} > 1$ ?
A. 4041 .
B. 4042 .
C. 2022 .
D. 2021 .
Lời giải
Chọn A.
${3^x} \cdot {2^{{x^2}}} > 1$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {{3^x} \cdot {2^{{x^2}}}} \right) > 0$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}{3^x} + lo{g_2}{2^{{x^2}}} > 0$
$ \Leftrightarrow xlo{g_2}3 + {x^2} > 0$
$ \Leftrightarrow x\left( {lo{g_2}3 + x} \right) > 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x > 0} \\
{x < – lo{g_2}3}
\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow S = \left( { – \infty ; – lo{g_2}3} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)$
Có 4041số nguyên thuộc (-2022; 2022)
Câu 31. Tập nghiệm của bất phương trình ${2^{{x^2} – 4}} – {3^{x – 2}} \geqslant 0$ là
A. $S = \left( {4; + \infty } \right)$.
B. $S = \left[ {4; + \infty } \right)$.
C. $S = \left[ { – 4; + \infty } \right)$.
D. $S = \left( { – \infty ; – 2 + lo{g_3}2} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn D.
${2^{{x^2} – 4}} – {3^{x – 2}} \geqslant 0$
$ \Leftrightarrow {2^{{x^2} – 4}} \geqslant {3^{x – 2}}$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}{2^{{x^2} – 4}} \geqslant lo{g_2}{3^{x – 2}}$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 4 \geqslant \left( {x – 2} \right)lo{g_2}3$
$ \Leftrightarrow \left( {x – 4} \right)\left( {x + 2 – lo{g_3}2} \right) \geqslant 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \leqslant – 2 + lo{g_3}2} \\
{x \geqslant 4}
\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow S = \left( { – \infty ; – 2 + lo{g_3}2} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)$
Câu 32. Tập nghiệm của bất phương trình ${2^{{x^2}}} \cdot {4^x} – 256 > 0$ là
A. $S = \left( { – 4;2} \right)$.
B. $S = \left[ { – 4;2} \right)$.
C. $S = \left( { – \infty ; – 4} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.
D. $S = \left[ {2; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn C.
${2^{{x^2}}} \cdot {4^x} – 256 > 0$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {{2^{{x^2}}} \cdot {4^x}} \right) > lo{g_2}256$
$ \Leftrightarrow {x^2} + 2x – 8 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < – 4} \\
{x > 2}
\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow S = \left( { – \infty ; – 4} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$
Câu 33. Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} \right)^{2x + 1}} > 1$ (với $a$ là tham số, $a \ne 0$ ) là:
A. $\left( { – \infty ;0} \right)$
B. $\left( { – \infty ; – \frac{1}{2}} \right)$
C. $\left( {0; + \infty } \right)$
D. $\left( { – \frac{1}{2}; + \infty } \right)$
Lời giải
Chọn B.
Ta có: ${\left( {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} \right)^{2x + 1}} > 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} \right)^{2x + 1}} > {\left( {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} \right)^0}\left( 1 \right)$.
Nhận thấy $1 + {a^2} > 1,\forall a \ne 0$ nên: $\frac{1}{{1 + {a^2}}} < 1$. Khi đó bất phương trình (1) tương đương $2x + 1 < 0 \Leftrightarrow x < – \frac{1}{2}$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho : $S = \left( { – \infty ; – \frac{1}{2}} \right)$.
Câu 34. Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {{x^2} + \frac{1}{2}} \right)^{2{x^2} + x + 1}} \leqslant {\left( {{x^2} + \frac{1}{2}} \right)^{1 – x}}$ là
A. $S = \left( { – \infty ; – 1} \right)$.
B. $S = \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left[ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}; + \infty } \right]$.
C. $S = \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left[ { – \frac{1}{{\sqrt 2 }};0} \right] \cup \left[ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}; + \infty } \right]$.
D. $S = \left[ { – \frac{1}{{\sqrt 2 }};0} \right] \cup \left[ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}; + \infty } \right]$.
Lời giải
Chọn C.
${\left( {{x^2} + \frac{1}{2}} \right)^{2{x^2} + x + 1}} \leqslant {\left( {{x^2} + \frac{1}{2}} \right)^{1 – x}}$
$ \Leftrightarrow \left[ {\left( {{x^2} + \frac{1}{2}} \right) – 1} \right] \cdot \left[ {\left( {2{x^2} + x + 1} \right) – \left( {1 – x} \right)} \right] \leqslant 0$
$ \Leftrightarrow \left( {{x^2} – \frac{1}{2}} \right)\left( {2{x^2} + 2x} \right) \leqslant 0$
$ \Leftrightarrow x \in \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left[ { – \frac{1}{{\sqrt 2 }};0} \right] \cup \left[ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}; + \infty } \right]$
Câu 35. Tập nghiệm của bất phương trình ${(x – 1)^{4{x^2} – 2x – 2}} > {(x – 1)^{x – 1}}$ là
A. $S = \left( {0;2} \right)$.
B. $S = \left( { – \infty ; – 1} \right)$.
C. $S = \left( {0;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.
D. $S = \left( {2; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn C.
${(x – 1)^{4{x^2} – 2x – 2}} > {(x – 1)^{x – 1}}$
TH 1: $0 < x – 1 < 1 \Leftrightarrow 0 < x < 2\left( * \right)$
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow 4{x^2} – 2x – 2 < x – 1 \Leftrightarrow 4{x^2} – 3x – 1 < 0 \Leftrightarrow – \frac{1}{4} < x < 1$.
Đối chiếu Đk $\left( * \right) \Rightarrow 0 < x < 1$ (I)
TH 2: $x – 1 = 1 \Leftrightarrow x = 2:\left( 1 \right) \Leftrightarrow 1 > 1$ vô lý
TH 3: $x – 1 > 1 \Leftrightarrow x > 2\left( {**} \right)$
$(1) \Leftrightarrow 4{x^2} – 2x – 2 > x – 1 \Leftrightarrow 4{x^2} – 3x – 1 > 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x < – \frac{1}{4} \hfill \\
x > 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Đối chiếu điều kiện (**) ta được $x > 2$ (11)
Hợp (1) và $\left( {11} \right) \Rightarrow S = \left( {0;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$
