50 câu trắc nghiệm rút gọn biểu thức lôgarit giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Câu 1. Cho hai số dương $a,b\left( {a \ne 1} \right)$. Mệnh đề nào dưới đây SAI?
A. ${log_a}a = 2a$. .
B. ${log_a}{a^\alpha } = \alpha $.
C. ${log_a}1 = 0$.
D. ${a^{{log_a}b}} = b$.
Lời giải
Chọn A.
${log_a}a = 1 \ne 2a$
Câu 2. Với các số thực dương $a,b$ bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $log\left( {ab} \right) = loga \cdot logb$.
B. $log\frac{a}{b} = logb – loga$. .
C. $log\frac{a}{b} = \frac{{loga}}{{logb}}$.
D. $log\left( {ab} \right) = loga + logb$.
Lời giải
Chọn D.
Với các số thực dương $a,b$ bất kì ta có:
+) $log\frac{a}{b} = loga – logb$ nên $B,C$ sai.
$ + )log\left( {ab} \right) = loga + logb$ nên $A$ sai, $D$ đúng.
Câu 3. Với mọi số thực dương $a,b,x,y$ và $a,b \ne 1$, mệnh đề nào sau đây sai?
A. ${log_a}\frac{1}{x} = \frac{1}{{{log_a}x}}$.
B. ${log_a}\left( {xy} \right) = {log_a}x + {log_a}y$.
C. ${log_b}a \cdot {log_a}x = {log_b}x$.
D. ${log_a}\frac{x}{y} = {log_a}x – {log_a}y$.
Lời giải
Chọn A.
Với mọi số thực dương $a,b,x,y$ và $a,b \ne 1$.
Ta có: ${log_a}\frac{1}{x} = {log_a}{x^{ – 1}} \ne \frac{1}{{{log_a}x}}$.
Vậy $A$ sai.
Theo các tính chất logarit thì các phương án $B,C$ và $D$ đều đúng.
Câu 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. ${log_a}{b^\alpha } = \alpha {log_a}b$ với mọi số $a,b$ dương và $a \ne 1$.
B. ${log_a}b = \frac{1}{{{log_b}a}}$ với mọi số $a,b$ dương và $a \ne 1$.
C. ${log_a}b + {log_a}c = {log_a}bc$ với mọi số $a,b$ dương và $a \ne 1$.
D. ${log_a}b = \frac{{{log_c}a}}{{{log_c}b}}$ với mọi số $a,b,c$ dương và $a \ne 1$.
Lời giải
Chọn A.
Câu 5. Với các số thực dương $a,b$ bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $log\left( {ab} \right) = loga \cdot logb$.
B. $log\frac{a}{b} = \frac{{loga}}{{logb}}$.
C. $log\left( {ab} \right) = loga + logb$.
D. $log\frac{a}{b} = logb – loga$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có $log\left( {ab} \right) = loga + logb$.
Câu 6. Cho $a,b,c$ là các số dương $\left( {a,b \ne 1} \right)$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
A. ${log_a}\left( {\frac{b}{{{a^3}}}} \right) = \frac{1}{3}{log_a}b$
B. ${a^{{log_b}a}} = b$.
C. ${log_{{a^\alpha }}}b = \alpha {log_a}b\left( {\alpha \ne 0} \right)$.
D. ${log_a}c = {log_b}c \cdot {log_a}b$.
Lời giải
Chọn D.
Câu 7. Cho $a,b,c > 0,a \ne 1$ và số $\alpha \in \mathbb{R}$, mệnh đề nào dưới đây sai?
A. ${log_a}{a^c} = c$
B. ${log_a}a = 1$
C. ${log_a}{b^\alpha } = \alpha {log_a}b$
D. ${log_a}\left| {b – c} \right| = {log_a}b – {log_a}c$
Lời giải
Chọn D.
Theo tính chất của logarit, mệnh đề sai là ${log_a}\left| {b – c} \right| = {log_a}b – {log_a}c$.
Câu 8. Cho $a,b$ là hai số thực dương tùy ý và $b \ne 1$.Tìm kết luận đúng.
A. $lna + lnb = ln\left( {a + b} \right)$.
B. $ln\left( {a + b} \right) = lna \cdot lnb$.
C. $lna – lnb = ln\left( {a – b} \right)$.
D. ${log_b}a = \frac{{lna}}{{lnb}}$.
Lời giải
Chọn D.
Theo tính chất làm Mũ-Log.
Câu 9. Với các số thực dương $a,b$ bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $ln\left( {ab} \right) = lna + lnb$
B. $ln\left( {\frac{a}{b}} \right) = \frac{{lna}}{{lnb}}$
C. $ln\left( {ab} \right) = lna \cdot lnb$
D. $ln\left( {\frac{a}{b}} \right) = lnb – lna$
Lời giải
Chọn A.
Câu 10. Với các số thực dương $a$, b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. ${log_2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + 3{log_2}a + {log_2}b$.
B. ${log_2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + \frac{1}{3}{log_2}a + {log_2}b$.
C. ${log_2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + 3{log_2}a – {log_2}b$.
D. ${log_2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + \frac{1}{3}{log_2}a – {log_2}b$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: ${log_2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = {log_2}\left( {2{a^3}} \right) – {log_2}\left( b \right) = {log_2}2 + {log_2}{a^3} – {log_2}b = 1 + 3{log_2}a – logb$.
Câu 11. Cho hai số thực $a$ và $b$, với $1 < a < b$. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. ${log_b}a < 1 < {log_a}b$
B. $1 < {log_a}b < {log_b}a$
C. ${log_b}a < {log_a}b < 1$
D. ${log_a}b < 1 < {log_b}a$
Lời giải
Chọn A.
Cách 1- Tự luận: Vì $b > a > 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{log_a}b > {log_a}a} \\
{{log_b}b > {log_b}a}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{log_a}b > 1} \\
{1 > {log_b}a}
\end{array} \Rightarrow {log_b}a < 1 < {log_a}b} \right.} \right.$
Cách 2- Casio: Chọn $a = 2;b = 3 \Rightarrow {log_3}2 < 1 < {log_2}3 \Rightarrow $ Đáp án D.
Câu 12. Với $a$ là số thực dương tùy ý, $4log\sqrt a $ bằng
A. $ – 2loga$.
B. $2loga$.
C. $ – 4loga$.
D. $8loga$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có $4log\sqrt a = 4log{a^{\frac{1}{2}}} = 4 \cdot \frac{1}{2}loga = 2loga$.
Câu 13. Với $a$ là số thực dương tùy ý, $log\left( {100a} \right)$ bằng
A. $1 – loga$.
B. $2 + loga$.
C. $2 – loga$.
D. $1 + loga$.
Lời giải
Chọn B.
$log\left( {100a} \right) = log\left( {100} \right) + loga = 2 + loga$
Câu 14. Với mọi số thực $a$ dương, ${log_2}\frac{a}{2}$ bằng
A. $\frac{1}{2}{log_2}a$.
B. ${log_2}a + 1$.
C. ${log_2}a – 1$.
D. ${log_2}a – 2$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có ${log_2}\frac{a}{2} = {log_2}a – {log_2}2 = {log_2}a – 1$.
Câu 15. Cho $a > 0$ và $a \ne 1$, khi đó ${log_a}\sqrt[4]{a}$ bằng
A. 4 .
B. $\frac{1}{4}$.
C. $ – \frac{1}{4}$.
D. -4 .
Lời giải
Chọn B.
Ta có: ${log_a}\sqrt[4]{a} = {log_a}{a^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{4}$.
Câu 16. Cho $a > 0$ và $a \ne 1$, khi đó ${log_a}\sqrt[3]{a}$ bằng
A. -3 .
B. $\frac{1}{3}$.
C. $ – \frac{1}{3}$.
D. 3 .
Lời giải
Chọn B.
${log_a}\sqrt[3]{a} = {log_a}{a^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3}$.
Câu 17. Với $a$ là số thực dương tùy ý, ${log_5}{a^3}$ bằng
A. $\frac{1}{3}{log_5}a$.
B. $\frac{1}{3} + {log_5}a$.
C. $3 + {log_5}a$.
D. $3{log_5}a$.
Lời giải
Chọn D.
${log_5}{a^3} = 3{log_5}a$
Câu 18. Với $a$ là số thực dương tùy ý, ${log_2}{a^{2023}}$ bằng:
A. $2023 + {log_2}a$.
B. $\frac{1}{{2023}} + {log_2}a$.
C. $2023{log_2}a$.
D. $\frac{1}{{2023}}{log_2}a$.
Lời giải
Chọn C.
Với $a > 0;b > 0;a \ne 1$. Với mọi $\alpha $.
Ta có công thức: ${log_a}{b^\alpha } = \alpha {log_a}b$.
Vậy: ${log_2}{a^{2023}} = 2023{log_2}a$.
Câu 19. Với $a,b$ là các số thực dương tùy ý và $a \ne 1,{log_{{a^5}}}b$ bằng:
A. $5{log_a}b$.
B. $\frac{1}{5} + {log_a}b$.
C. $5 + {log_a}b$.
D. $\frac{1}{5}{log_a}b$.
Lời giải
Chọn D.
${log_{{a^5}}}b = \frac{1}{5}{log_a}b$
Câu 20. Cho $a$ là số thực dương $a \ne 1$ và ${log_{\sqrt[3]{a}}}{a^3}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $P = \frac{1}{3}$
B. $P = 3$
C. $P = 1$
D. $P = 9$
Lời giải
Chọn D.
${log_{\sqrt[3]{a}}}{a^3} = {log_{{a^{\frac{1}{3}}}}}{a^3} = 9$.
Câu 21. Với $a$ là số thực dương tùy ý, ${log_3}\left( {\frac{3}{a}} \right)$ bằng:
A. $1 – {log_3}a$
B. $3 – {log_3}a$
C. $\frac{1}{{{log_3}a}}$
D. $1 + {log_3}a$
Lời giải
Chọn A.
Ta có ${log_3}\left( {\frac{3}{a}} \right) = {log_3}3 – {log_3}a = 1 – {log_3}a$.
Câu 22. Với $a$ là số thực dương tùy ý, ${log_5}\left( {5a} \right)$ bằng
A. $5 + {log_5}a$.
B. $5 – {log_5}a$.
C. $1 + {log_5}a$.
D. $1 – {log_5}a$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: ${log_5}\left( {5a} \right) = {log_5}5 + {log_5}a = 1 + {log_5}a$.
Câu 23. Với $a,b$ là hai số dương tùy ý, $log\left( {a{b^2}} \right)$ bằng
A. $2\left( {loga + logb} \right)$
B. $loga + \frac{1}{2}logb$
C. $2loga + logb$
D. $loga + 2logb$
Lời giải
Chọn D.
Có $log\left( {a{b^2}} \right) = loga + log{b^2} = loga + 2logb$.
Câu 24. Với $a$ là số thực dương tùy ý, $ln\left( {7a} \right) – ln\left( {3a} \right)$ bằng
A. $\frac{{ln7}}{{ln3}}$
B. $ln\frac{7}{3}$
C. $ln\left( {4a} \right)$
D. $\frac{{ln\left( {7a} \right)}}{{ln\left( {3a} \right)}}$
Lời giải
Chọn B.
$ln\left( {7a} \right) – ln\left( {3a} \right) = ln\left( {\frac{{7a}}{{3a}}} \right) = ln\frac{7}{3}$.
Câu 25. Với $a$ là số thực dương tùy ý, $ln\left( {5a} \right) – ln\left( {3a} \right)$ bằng:
A. $ln\frac{5}{3}$
B. $\frac{{ln5}}{{ln3}}$
C. $\frac{{ln\left( {5a} \right)}}{{ln\left( {3a} \right)}}$
D. $ln\left( {2a} \right)$
Lời giải
Chọn A.
$ln\left( {5a} \right) – ln\left( {3a} \right) = ln\frac{5}{3}$.
Câu 26. Cho a là số thực dương khác 2 . Tính $I = {log_{\frac{a}{2}}}\left( {\frac{{{a^2}}}{4}} \right)$.
A. $I = 2$
B. $I = – \frac{1}{2}$
C. $I = – 2$
D. $I = \frac{1}{2}$
Lời giải
Chọn A. $I = {log_{\frac{a}{2}}}\left( {\frac{{{a^2}}}{4}} \right) = {log_{\frac{a}{2}}}{\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = 2$
Câu 27. Với $a,b$ là các số thực dương tùy ý và $a \ne 1,{log_{\frac{1}{a}}}\frac{1}{{{b^3}}}$ bằng
A. $3{log_a}b$.
B. ${log_a}b$.
C. $ – 3{log_a}b$.
D. $\frac{1}{3}{log_a}b$.
Lời giải
Chọn A.
${log_{\frac{1}{a}}}\frac{1}{{{b^3}}} = – {log_a}{b^{ – 3}} = 3{log_a}b$
Câu 28. Với mọi $a,b$ thỏa mãn ${log_2}a – 3{log_2}b = 2$, khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $a = 4{b^3}$.
B. $a = 3b + 4$.
C. $a = 3b + 2$.
D. $a = \frac{4}{{{b^3}}}$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có ${log_2}a – 3{log_2}b = 2 \Leftrightarrow {log_2}a – {log_2}{b^3} = 2 \Leftrightarrow {log_2}\frac{a}{{{b^3}}} = 2 \Leftrightarrow \frac{a}{{{b^3}}} = {2^2} \Leftrightarrow a = 4{b^3}$.
Câu 29. Với mọi $a,b$ thỏa mãn ${log_2}{a^3} + {log_2}b = 6$, khẳng định nào dưới đây đúng:
A. ${a^3}b = 64$
B. ${a^3}b = 36$
C. ${a^3} + b = 64$.
D. ${a^3} + b = 36$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có ${log_2}{a^3} + {log_2}b = 6 \Leftrightarrow {a^3}b = {2^6} \Leftrightarrow {a^3}b = 64$
Câu 30. Với moi $a,b$ thỏa mãn ${log_2}{a^3} + {log_2}b = 8$, khẳng đinh nào dưới đây đúng?
A. ${a^3} + b = 64$.
B. ${a^3}b = 256$.
C. ${a^3}b = 64$.
D. ${a^3} + b = 256$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có ${log_2}{a^3} + {log_2}b = 8 \Leftrightarrow {log_2}{a^3}b = 8 \Leftrightarrow {a^3}b = 256$.
Câu 31. Với $a,b$ là các số thực dương tùy ý thỏa mãn ${log_3}a – 2{log_9}b = 2$, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $a = 9{b^2}$.
B. $a = 9b$.
C. $a = 6b$.
D. $a = 9{b^2}$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có: ${log_3}a – 2{log_9}b = 2 \Leftrightarrow {log_3}a – {log_3}b = 2 \Leftrightarrow {log_3}\left( {\frac{a}{b}} \right) = 2 \Leftrightarrow a = 9b$.
Câu 32. Với $a$, blà các số thực dương tùy ý thỏa mãn ${log_2}a – 2{log_4}b = 4$, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $a = 16{b^2}$.
B. $a = 8b$.
C. $a = 16b$.
D. $a = 16{b^4}$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có ${log_2}a – 2{log_4}b = 4$
$ \Leftrightarrow {log_2}a – 2{log_{{2^2}}}b = 4$
$ \Leftrightarrow {log_2}a – 2 \cdot \frac{1}{2}{log_2}b = 4$
$ \Leftrightarrow {log_2}a – {log_2}b = 4$
$ \Leftrightarrow {log_2}\frac{a}{b} = 4$
$ \Leftrightarrow \frac{a}{b} = {2^4}$
$ \Leftrightarrow a = 16b$
Câu 33. Xét tất cả các số dương $a$ và $b$ thỏa mãn ${log_2}a = {log_8}\left( {ab} \right)$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $a = {b^2}$.
B. ${a^3} = b$.
C. $a = b$.
D. ${a^2} = b$.
Lời giải
Chọn D.
Theo đề ta có:
$\begin{array}{*{20}{r}}
{{log_2}a = {log_8}\left( {ab} \right)}&{\; \Leftrightarrow {log_2}a = \frac{1}{3}{log_2}\left( {ab} \right) \Leftrightarrow 3{log_2}a = {log_2}\left( {ab} \right)} \\
{}&{\; \Leftrightarrow {log_2}{a^3} = {log_2}\left( {ab} \right) \Leftrightarrow {a^3} = ab \Leftrightarrow {a^2} = b}
\end{array}$
Câu 34. Xét số thực $a$ và $b$ thỏa mãn ${log_3}\left( {{3^a} \cdot {9^b}} \right) = {log_9}3$. Mệnh đề nào dưới đây đúng
A. $a + 2b = 2$.
B. $4a + 2b = 1$.
C. $4ab = 1$.
D. $2a + 4b = 1$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có:
${log_3}\left( {{3^a}{{.9}^b}} \right) = {log_9}3 \Leftrightarrow {log_3}\left( {{3^a} \cdot {3^{2b}}} \right) = {log_{{3^2}}}3$
$ \Leftrightarrow {log_3}{3^{a + 2b}} = {log_3}{3^{\frac{1}{2}}} \Leftrightarrow a + 2b = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2a + 4b = 1.$
Câu 35. Với mọi $a,b,x$ là các số thực dương thoả mãn ${log_2}x = 5{log_2}a + 3{log_2}b$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $x = 5a + 3b$
B. $x = {a^5} + {b^3}$
C. $x = {a^5}{b^3}$
D. $x = 3a + 5b$
Lời giải
Chọn C.
Có ${log_2}x = 5{log_2}a + 3{log_2}b = {log_2}{a^5} + {log_2}{b^3} = {log_2}{a^5}{b^3} \Leftrightarrow x = {a^5}{b^3}$.
Câu 36. Với $a,b$ là các số thực dương tùy ý và $a$ khác 1 , đặt $P = {log_a}{b^3} + {log_{{a^2}}}\,{b^6}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $P = 6{log_a}b$
B. $P = 27{log_a}b$
C. $P = 15{log_a}b$
D. $P = 9{log_a}b$
Lời giải
Chọn A.
$P = {log_a}{b^3} + {log_{{a^2}}}\,{b^6} = 3{log_a}b + \frac{6}{2}{log_a}b = 6{log_a}b$
Câu 37. Với a là số thực dương bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $log\left( {3a} \right) = \frac{1}{3}loga$
B. $log\left( {3a} \right) = 3loga$
C. $log{a^3} = \frac{1}{3}loga$
D. $log{a^3} = 3loga$
Lời giải
Chọn D.
Câu 38. Với $a$ và $b$ là hai số thực dương tùy ý; ${log_2}\left( {{a^3}{b^4}} \right)$ bằng
A. $\frac{1}{3}{log_2}a + \frac{1}{4}{log_2}b$
B. $3{log_2}a + 4{log_2}b$
C. $2\left( {{log_2}a + {log_4}b} \right)$
D. $4{log_2}a + 3{log_2}b$
Lời giải
Chọn B.
Ta có: ${log_2}\left( {{a^3}{b^4}} \right) = {log_2}{a^3} + {log_2}{b^4} = 3{log_2}a + 4{log_2}b$ nên ${\mathbf{B}}$ đúng.
Câu 39. Cho các số dương $a,b,c,d$. Biểu thức $S = ln\frac{a}{b} + ln\frac{b}{c} + ln\frac{c}{d} + ln\frac{d}{a}$ bằng
A. 1 .
B. 0 .
C. $ln\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a}} \right)$.
D. $ln\left( {abcd} \right)$.
Lời giải
Chọn B.
Cách 1:
Ta có $S = ln\frac{a}{b} + ln\frac{b}{c} + ln\frac{c}{d} + ln\frac{d}{a} = ln\left( {\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{d} \cdot \frac{d}{a}} \right) = ln1 = 0$.
Cách 2:
Ta có: $S = ln\frac{a}{b} + ln\frac{b}{c} + ln\frac{c}{d} + ln\frac{d}{a} = lna – lnb + lnb – lnc + lnc – lnd + lnd – lna = 0$.
Câu 40. Với các số thực dương $a,b$ bất kỳ $a \ne 1$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. ${log_a}\frac{{\sqrt[3]{a}}}{{{b^2}}} = \frac{1}{3} – 2{log_a}b$.
B. ${log_a}\frac{{\sqrt[3]{a}}}{{{b^2}}} = 3 – \frac{1}{2}{log_a}b$.
C. ${log_a}\frac{{\sqrt[3]{a}}}{{{b^2}}} = \frac{1}{3} – \frac{1}{2}{log_a}b$.
D. ${log_a}\frac{{\sqrt[3]{a}}}{{{b^2}}} = 3 – 2{log_a}b$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có:
${log_a}\frac{{\sqrt[3]{a}}}{{{b^2}}} = {log_a}\sqrt[3]{a} – {log_a}{b^2}$
$ = {log_a}{a^{\frac{1}{3}}} – 2{log_a}b$
$ = \frac{1}{3}{log_a}a – 2{log_a}b = \frac{1}{3} – 2{log_a}b$
Câu 41. Cho các số thực dương $a,b,c$ với $a$ và $b$ khác 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. ${log_a}{b^2} \cdot {log_{\sqrt b }}c = {log_a}c$.
B. ${log_a}{b^2} \cdot {log_{\sqrt b }}c = \frac{1}{4}{log_a}c$.
C. ${log_a}{b^2} \cdot {log_{\sqrt b }}c = 4{log_a}c$.
D. ${log_a}{b^2} \cdot {log_{\sqrt b }}c = 2{log_a}c$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: ${log_a}{b^2} \cdot {log_{\sqrt b }}c = 2{log_a}b \cdot {log_{{b^{\frac{1}{2}}}}}c = 2{log_a}b \cdot 2{log_b}c = 4{log_a}b \cdot {log_b}c = 4{log_a}c$.
Câu 42. Giả sử $a,b$ là các số thực dương bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. $log{(10ab)^2} = 2 + log{(ab)^2}$
B. $log{(10ab)^2} = {(1 + loga + logb)^2}$
C. $log{(10ab)^2} = 2 + 2log\left( {ab} \right)$
D. $log{(10ab)^2} = 2\left( {1 + loga + logb} \right)$
Lời giải
Chọn B.
$log{(10ab)^2} = log{10^2} + log{(ab)^2} = 2 + log{(ab)^2} \Rightarrow A$ đúng
$1 + loga + logb = log\left( {10ab} \right) \Rightarrow {(1 + loga + logb)^2} = {log^2}\left( {10ab} \right) \ne log{(10ab)^2} \Rightarrow B$ sai
$log{(10ab)^2} = log{10^2} + log{(ab)^2} = 2 + 2log\left( {ab} \right) \Rightarrow C$ đúng
$log{(10ab)^2} = log{10^2} + log{(ab)^2} = 2 + 2log\left( {ab} \right) = 2\left( {1 + loga + logb} \right) \Rightarrow D$ đúng
Câu 43. Rút gọn biểu thức $M = 3{log_{\sqrt 3 }}\sqrt x – 6{log_9}\left( {3x} \right) + {log_{\frac{1}{3}}}\frac{x}{9}$.
A. $M = – {log_3}\left( {3x} \right)$
B. $M = 2 + {log_3}\left( {\frac{x}{3}} \right)$
C. $M = – {log_3}\left( {\frac{x}{3}} \right)$
D. $M = 1 + {log_3}x$
Lời giải
Chọn A.
ĐK: $x > 0$.
$M = 3{log_3}x – 3\left( {1 + {log_3}x} \right) – {log_3}x + 2 = – 1 – {log_3}x = – \left( {1 + {log_3}x} \right) = – {log_3}\left( {3x} \right)$.
Câu 44. Cho ${log_{700}}490 = a + \frac{b}{{c + log7}}$ với $a,b,c$ là các số nguyên. Tính tổng $T = a + b + c$.
A. $T = 7$.
B. $T = 3$.
C. $T = 2$.
D. $T = 1$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có: ${log_{700}}490 = \frac{{log490}}{{log700}} = \frac{{log10 + log49}}{{log100 + log7}}$
$ = \frac{{1 + 2log7}}{{2 + log7}} = \frac{{4 + 2log7 – 3}}{{2 + log7}} = 2 + \frac{{ – 3}}{{2 + log7}}$
Suy ra $a = 2,b = – 3,c = 2$
Vậy $T = 1$.
Câu 45. Cho hai số thực dương $a,b$. Nếu viết ${log_2}\frac{{\sqrt[6]{{64{a^3}{b^2}}}}}{{ab}} = 1 + x{log_2}a + y{log_4}b\,\left( {x,y \in \mathbb{Q}} \right)$ thì biểu thức $P = xy$ có giá trị bằng bao nhiêu?
A. $P = \frac{1}{3}$
B. $P = \frac{2}{3}$
C. $P = – \frac{1}{{12}}$
D. $P = \frac{1}{{12}}$
Lời giải
Chọn B.
Ta có ${log_2}\frac{{\sqrt[6]{{64{a^3}{b^2}}}}}{{ab}} = {log_2}{64^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{2}{log_2}a + \frac{1}{3}{log_2}b – {log_2}a – {log_2}b = 1 – \frac{1}{2}{log_2}a – \frac{4}{3}{log_4}b$.
$ \Rightarrow 1 – \frac{1}{2}{log_2}a – \frac{4}{3}{log_4}b = 1 + x{log_2}a + y{log_4}b$
Khi đó $x = – \frac{1}{2};y = – \frac{4}{3} \Rightarrow P = xy = \frac{2}{3}$
Câu 46. Tính giá trị biểu thức $P = {log_{{a^2}}}\left( {{a^{10}}{b^2}} \right) + {log_{\sqrt a }}\left( {\frac{a}{{\sqrt b }}} \right) + {log_{\sqrt[3]{b}}}\left( {{b^{ – 2}}} \right)($ với $0 < a \ne 1;0 < b \ne 1)$.
A. $\sqrt 3 $.
B. 1 .
C. $\sqrt 2 $.
D. 2 .
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $P = {log_{{a^2}}}\left( {{a^{10}}{b^2}} \right) + {log_{\sqrt a }}\left( {\frac{a}{{\sqrt b }}} \right) + {log_{\sqrt[3]{b}}}\left( {{b^{ – 2}}} \right) = 5 + {log_a}b + 2 – {log_a}b – 6 = 1$.
Câu 47. Đặt $M = {log_6}56,N = a + \frac{{{log_3}7 – b}}{{{log_3}2 + c}}$ với $a,b,c \in R$. Bộ số $a,b,c$ nào dưới đây để có $M = N$ ?
A. $a = 3,b = 3,c = 1$.
B. $a = 3,b = \sqrt 2 ,c = 1$.
C. $a = 1,b = 2,c = 3$.
D. $a = 1,b = – 3,c = 2$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: $M = {log_6}56 = \frac{{{log_3}56}}{{{log_3}6}} = \frac{{{log_3}{2^3} \cdot 7}}{{1 + {log_3}2}} = \frac{{3{log_3}2 + {log_3}7}}{{1 + {log_3}2}}$
$ = \frac{{3\left( {1 + {log_3}2} \right) + {log_3}7 – 3}}{{1 + {log_3}2}} = 3 + \frac{{{log_3}7 – 3}}{{{log_3}2 + 1}}$
Vậy $M = N \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 3} \\
{b = 3} \\
{c = 1}
\end{array}} \right.$
Câu 48. Giá trị của biểu thức $M = {log_2}2 + {log_2}4 + {log_2}8 + \ldots + {log_2}256$ bằng
A. 48
B. 56
C. 36
D. $8{log_2}256$
Lời giải
Chọn C.
Ta có $M = {log_2}2 + {log_2}4 + {log_2}8 + \ldots + {log_2}256 = {log_2}\left( {2.4.8 \ldots 256} \right) = {log_2}\left( {{2^1} \cdot {2^2} \cdot {2^3} \ldots {{.2}^8}} \right)$
$ = {log_2}\left( {{2^{1 + 2 + 3 + \ldots + 8}}} \right) = \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 8} \right){log_2}2 = 1 + 2 + 3 + \ldots + 8 = 36$.
Câu 49. Tính $T = log\frac{1}{2} + log\frac{2}{3} + log\frac{3}{4} + \ldots + log\frac{{2022}}{{2023}} + log\frac{{2023}}{{2024}}$.
A. 2024 .
B. $ – log2024$.
C. $log2024$.
D. 0 .
Lời giải
Chọn B.
$T = log\frac{1}{2} + log\frac{2}{3} + log\frac{3}{4} + \ldots + log\frac{{2022}}{{2023}} + log\frac{{2023}}{{2024}}$
$ = log\left( {\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \ldots \frac{{2022}}{{2023}} \cdot \frac{{2023}}{{2024}}} \right) = log\frac{1}{{2024}} = – log2024$.
Câu 50. Tính giá trị của biểu thức $P = ln\left( {tan{1^ \circ }} \right) + ln\left( {tan{2^ \circ }} \right) + ln\left( {tan{3^ \circ }} \right) + \ldots + ln\left( {tan{{89}^ \circ }} \right)$.
A. $P = 1$.
B. $P = \frac{1}{2}$.
C. $P = 0$.
D. $P = 2$.
Lời giải
Chọn C.
$P = ln\left( {tan{1^ \circ }} \right) + ln\left( {tan{2^ \circ }} \right) + ln\left( {tan{3^ \circ }} \right) + \ldots + ln\left( {tan{{89}^ \circ }} \right)$
$ = ln\left( {tan{1^ \circ } \cdot tan{2^ \circ } \cdot tan{3^ \circ } \ldots \cdot tan{{89}^ \circ }} \right)$
$\; = ln\left( {tan{1^ \circ } \cdot tan{2^ \circ } \cdot tan{3^ \circ } \ldots \cdot tan{{45}^ \circ } \cdot {\text{cot}}{{44}^ \circ } \cdot {\text{cot}}{{43}^ \circ } \ldots \cdot {\text{cot}}{1^ \circ }} \right)$
$\; = ln\left( {tan{{45}^ \circ }} \right) = ln1 = 0$ (vì $tan\alpha \cdot cot\alpha = 1$)
