Trắc nghiệm bài 20 Hàm số mũ và hàm số lôgarit được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 16 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
DẠNG 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT
Phương pháp:
I. HÀM SỐ MŨ
1. Dạng: $y = f\left( x \right) = {a^x}$ với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a > 0} \\
{a \ne 1}
\end{array}} \right.$.
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
2. Dạng: $y = f\left( u \right) = {u^x}$ với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u > 0} \\
{u \ne 1}
\end{array}} \right.$.
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
II. HÀM SỐ LOGARIT
1. Dạng: $y = f\left( x \right) = lo{g_a}x$ với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a > 0} \\
{a \ne 1}
\end{array}} \right.$.
Đặc biệt: $lo{g_a}x = lnx;lo{g_a}x = logx = {\text{lg}}x$.
Điều kiện xác định: $x > 0$.
2. Dạng: $y = f\left( u \right) = lo{g_a}u$ với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u > 0} \\
{u \ne 1}
\end{array}} \right.$.
Đặc biệt: $lo{g_a}u = lnu;lo{g_a}u = logu = {\text{lg}}u$.
Điều kiện xác định: $u > 0$.
Câu 1. Tập xác định của hàm số $y = {9^x}$ là
A. $\mathbb{R}$.
B. $\left[ {0; + \infty } \right)$.
C. $\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}$.
D. $\left( {0; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn A.
Vì hàm số $y = {9^x}$ là hàm số mũ nên có tập xác định là tập $\mathbb{R}$.
Câu 2. Tập xác định của hàm số $y = {7^x}$ là:
A. $\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}$.
B. $\left[ {0; + \infty } \right)$.
C. $\left( {0; + \infty } \right)$.
D. $\mathbb{R}$.
Lời giải
Chọn D.
Hàm số mũ $y = {a^x},0 < a \ne 1$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.
Câu 3. Tập xác định của hàm số $y = lo{g_3}\left( {x – 4} \right)$ là
A. $\left( {5; + \infty } \right)$.
B. $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$.
C. $\left( {4; + \infty } \right)$.
D. $\left( { – \infty ;4} \right)$.
Lời giải
Chọn C.
Điều kiện: $x – 4 > 0 \Leftrightarrow x > 4$.
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: $D = \left( {4; + \infty } \right)$.
Câu 4. Tập xác định của hàm số $y = lo{g_2}\left( {x – 1} \right)$ là
A. $\left( {2; + \infty } \right)$.
B. $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$.
C. $\left( {1; + \infty } \right)$.
D. $\left( { – \infty ;1} \right)$.
Lời giải
Chọn C.
Hàm số xác định khi $x – 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$.
Tập xác định của hàm số là $D = \left( {1; + \infty } \right)$.
Câu 5. Tập xác định của hàm số $y = lo{g_{2024}}x$ là
A. $\left[ {0; + \infty } \right)$.
B. $\left( { – \infty ;0} \right)$.
C. $\left( {0; + \infty } \right)$.
D. $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn C.
Điều kiện: $x > 0$.
Tập xác định: $D = \left( {0; + \infty } \right)$.
Câu 6. Có bao nhiêu số nguyên thuộc tập xác định của hàm số $y = log\left[ {\left( {6 – x} \right)\left( {x + 2} \right)} \right]$ ?
A. 7 .
B. 8 .
C. 9 .
D. Vô số.
Lời giải
Chọn A.
Điều kiện $\left( {6 – x} \right)\left( {x + 2} \right) > 0 \Leftrightarrow – 2 < x < 6 \Rightarrow D = \left( { – 2;6} \right)$.
Vậy có 7 số nguyên $x$ thuộc tập xác định của hàm số đã cho.
Câu 7. Tìm tập xác định của hàm số $y = lo{g_{2024}}\left( {3x – {x^2}} \right)$.
A. $D = \mathbb{R}$
B. $D = \left( {0; + \infty } \right)$
C. $D = \left( { – \infty ;0} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$
D. $D = \left( {0;3} \right)$
Lời giải
Chọn D.
Hàm số xác định khi: $3x – {x^2} > 0 \Leftrightarrow x \in \left( {0;3} \right)$
Vậy $D = \left( {0;3} \right)$
Câu 8. Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = lo{g_2}\left( {{x^2} – 2x – 3} \right)$
A. $D = \left( { – \infty ; – 1\left] \cup \right[3; + \infty } \right)$
B. $D = \left[ { – 1;3} \right]$
C. $D = \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$
D. $D = \left( { – 1;3} \right)$
Lời giải
Chọn C.
$y = lo{g_2}\left( {{x^2} – 2x – 3} \right)$. Hàm số xác định khi ${x^2} – 2x – 3 > 0 \Leftrightarrow x < – 1$ hoặc $x > 3$
Vậy tập xác định: $D = \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$
Câu 9. Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = log\left( {{x^2} – 4x + 3} \right)$.
A. $D = \left( {1;3} \right)$
B. $D = \left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$
C. $D = \left( { – \infty ;2 – \sqrt 2 } \right) \cup \left( {2 + \sqrt 2 ; + \infty } \right)$.
D. $D = \left( {2 – \sqrt 2 ;1} \right) \cup \left( {3;2 + \sqrt 2 } \right)$
Lời giải
Chọn B.
Điều kiện ${x^2} – 4x + 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < 1} \\
{x > 3}
\end{array}} \right.$.
Câu 10. Tập xác định của $y = ln\left( { – {x^2} + 5x – 6} \right)$ là
A. $\left[ {2;3} \right]$
B. $\left( {2;3} \right)$
C. $\left( { – \infty ;2\left] \cup \right[3; + \infty } \right)$
D. $\left( { – \infty ;2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$
Lời giải
Chọn B.
Hàm số xác định khi và chỉ khi $ – {x^2} + 5x – 6 > 0 \Leftrightarrow 2 < x < 3$.
Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left( {2;3} \right)$.
Câu 11. Tìm tập xác định của hàm số $y = lo{g_{\sqrt 5 }}\frac{1}{{6 – x}}$.
A. $\left( { – \infty ;6} \right)$
B. $\mathbb{R}$
C. $\left( {0; + \infty } \right)$
D. $\left( {6; + \infty } \right)$
Lời giải
Chọn A.
Điều kiện: $\frac{1}{{6 – x}} > 0 \Leftrightarrow 6 – x > 0 \Leftrightarrow x < 6$. Do đó tập xác định của hàm số là $\left( { – \infty ;6} \right)$.
Câu 12. Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = lo{g_5}\frac{{x – 3}}{{x + 2}}$.
A. $D = \left( { – \infty ; – 2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$
B. $D = \left( { – 2;3} \right)$
C. $D = \left( { – \infty ; – 2} \right) \cup \left[ {3; + \infty } \right)$
D. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { – 2} \right\}$
Lời giải
Chọn A.
Tập xác định của là tập các số $x$ để $\frac{{x – 3}}{{x + 2}} > 0 \Leftrightarrow \left( {x – 3} \right)\left( {x + 2} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 3} \\
{x < – 2}
\end{array}} \right.$
Suy ra $D = \left( { – \infty ; – 2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$.
Câu 13. Tìm tập xác định của hàm số: $y = {2^{\sqrt x }} + log\left( {3 – x} \right)$
A. $\left[ {0; + \infty } \right)$.
B. $\left( {0;3} \right)$.
C. $\left( { – \infty ;3} \right)$.
D. $\left[ {0;3} \right)$.
Lời giải
Chọn D.
Điều kiện xác định: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \geqslant 0} \\
{3 – x > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \geqslant 0} \\
{x < 3}
\end{array} \Rightarrow D = \left[ {0;3} \right)} \right.} \right.$
Câu 14. Tập xác định của hàm số $y = {[ln\left( {x – 2} \right)]^\pi }$ là
A. $\mathbb{R}$.
B. $\left( {3; + \infty } \right)$.
C. $\left( {0; + \infty } \right)$.
D. $\left( {2; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn B.
ĐKХĐ: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ln\left( {x – 2} \right) > 0} \\
{x – 2 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – 2 > 1} \\
{x – 2 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow x – 2 > 1 \Leftrightarrow x > 3} \right.} \right.$.
TXĐ: $D = \left( {3; + \infty } \right)$.
Câu 15. Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = lo{g_{2024}}\left( {4 – {x^2}} \right) + {(2x – 3)^{ – 2024}}$.
A. $D = \left[ { – 2;\frac{3}{2}} \right) \cup \left( {\frac{3}{2};2} \right]$.
B. $D = \left( { – 2;\frac{3}{2}} \right) \cup \left( {\frac{3}{2};2} \right)$.
C. $D = \left( {\frac{3}{2};2} \right)$.
D. $D = \left( { – 2;2} \right)$.
Lời giải
Chọn B.
Điều kiện có nghĩa của hàm số là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{4 – {x^2} > 0} \\
{2x – 3 \ne 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 2 < x < 2} \\
{x \ne \frac{3}{2}}
\end{array}} \right.} \right.$
Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left( { – 2;\frac{3}{2}} \right) \cup \left( {\frac{3}{2};2} \right)$
Câu 16. Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt {{{(x – 2)}^0}} + lo{g_2}\left( {9 – {x^2}} \right)$ là
A. $D = \left( {2;3} \right)$.
B. $D = \left( { – 3;3} \right) \setminus \left\{ 2 \right\}$.
C. $D = \left( {3; + \infty } \right)$.
D. $D = \left( { – 3;3} \right)$.
Lời giải
Chọn B.
• Điều kiện xác định: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – 2 \ne 0} \\
{9 – {x^2} > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne 2} \\
{ – 3 < x < 3}
\end{array}} \right.} \right.$
• Vậy tập xác định của hàm số là: $D = \left( { – 3;3} \right) \setminus \left\{ 2 \right\}$.
DẠNG 2: TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ MŨ, LOGARIT CHỨA THAM SỐ
Câu 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = log\left( {{x^2} – 4x – m + 1} \right)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.
A. $m > – 4$.
B. $m < 0$.
C. $m < – 4$.
D. $m < – 3$.
Lời giải
Chọn D
Hàm số $y = log\left( {{x^2} – 4x – m + 1} \right)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi ${x^2} – 4x – m + 1 > 0\forall x \in \mathbb{R}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a > 0} \\
{\Delta< 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 > 0} \\
{16 – 4\left( { – m + 1} \right) < 0}
\end{array} \Leftrightarrow m < – 3} \right.} \right.$
Câu 18. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = lo{g_{2024}}\left( {{x^2} – 2mx + 4} \right)$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$ ?
A. 2 .
B.3.
C. 4 .
D. 5 .
Lời giải
Chọn B.
Hàm số xác định $\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {x^2} – 2mx + 4 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$.
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a > 0} \\
{\Delta< 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 > 0} \\
{4{m^2} – 16 < 0}
\end{array} \Leftrightarrow – 2 < m < 2.} \right.} \right.$
Do $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ { – 1;0;1} \right\}$.
Câu 19. Hàm số $y = ln\left( {{x^2} + mx + 1} \right)$ xác định với mọi giá trị của $x$ khi.
A. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m < – 2} \\
{m > 2}
\end{array}} \right.$.
B. $m > 2$.
C. $ – 2 < m < 2$.
D. $m < 2$.
Lời giải
Chọn C
Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow {x^2} + mx + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a > 0} \\
{\Delta< 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 > 0} \\
{{m^2} – 4 < 0}
\end{array} \Leftrightarrow – 2 < m < 2} \right.} \right.$
Câu 20. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ trên [-2024; 2024] để hàm số $y = ln\left( {{x^2} – 2x – m + 1} \right)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ ?
A. 4046
B. 2025
C. 2024
D. 4047
Lời giải
Chọn C
Hàm số $y = ln\left( {{x^2} – 2x – m + 1} \right)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi:
${x^2} – 2x – m + 1 > 0\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta ‘ < 0 \Leftrightarrow 1 + m – 1 < 0 \Leftrightarrow m < 0$.
Kết hợp với điều kiện $m$ nguyên thuộc [-2024; 2024] ta có 2024 giá trị của $m$.
Câu 21. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = log\left( {{x^2} – 2mx + 4} \right)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ ?
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
Lời giải
Chọn D
$y = log\left( {{x^2} – 2mx + 4} \right)$
Điều kiện xác định của hàm số trên: ${x^2} – 2mx + 4 > 0$.
Để tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$ thì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a > 0} \\
{\Delta ‘ < 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 > 0,\forall m} \\
{{m^2} – 4 < 0}
\end{array} \Leftrightarrow – 2 < m < 2} \right.} \right.$.
Kết hợp với điều kiện $m$ nguyên ta có 3 giá trị của $m$.
Câu 22. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ nằm trong khoảng $\left( { – 2024;2024} \right)$ để hàm số $y = lo{g_2}\left[ {\left( {m + 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 2} \right)x + m + 3} \right]$ có tập xác định $D = \mathbb{R}$.
A. 2027 .
B. 2025
C. 2026
D. 4052
Lời giải
Chọn C.
Hàm số xác định trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow \left( {m + 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 2} \right)x + m + 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$
Trường hợp 1: $m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = – 2$, ta có
$\left( * \right) \Leftrightarrow 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$ (đúng), suy ra $m = – 2$ thỏa mãn. (1)
Truờng hợp 2: $m \ne – 2$.
$\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = m + 2 > 0} \\
{\Delta= 4{{(m + 2)}^2} – 4\left( {m + 2} \right)\left( {m + 3} \right) < 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m > – 2} \\
{ – m – 2 < 0}
\end{array} \Leftrightarrow m > – 2} \right.} \right.$. (2)
Từ (1) và (2) suy ra $m \geqslant – 2$ thì hàm số có tập xác định $D = \mathbb{R}$.
Suy ra có 2026 giá trị nguyên của tham số $m$ nằm trong khoảng $\left( { – 2024;2024} \right)$ thỏa mãn.
Câu 23. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ trên $\left( { – 100;2024} \right]$ để hàm số $y = lo{g_{2026}}\left( {mx – m + 2} \right)$ có tập xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$ ?
A. 4042
B. 2023
C. 2025
D. 2024
Lời giải
Chọn C
Điều kiện: $mx – m + 2 > 0 \Leftrightarrow mx > m – 2$
• Trường hợp 1: $m = 0 \Rightarrow \left( 1 \right)$ trở thành $0 > – 1$ (luôn thỏa mãn).
• Trường hợp 2: $m > 0 \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow x > \frac{{m – 2}}{m} \Rightarrow $ Tập xác định của hàm số là $D = \left( {\frac{{m – 2}}{m}; + \infty } \right)$. Khi đó, yêu cầu bài toán trở thành $\frac{{m – 2}}{m} < 1 \Leftrightarrow m – 2 < m \Leftrightarrow – 2 < 0$ (luôn thỏa mãn).
• Trường hợp $3:m < 0 \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow x < \frac{{m – 2}}{m} \Rightarrow $ Tập xác định của hàm số là $D = \left( { – \infty ;\frac{{m – 2}}{m}} \right)$. Do đó không tồn tại $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy tất cả các giá trị cần tìm là $m \geqslant 0$.
Kết hợp với điều kiện $m$ nguyên thuộc (-100; 2024] ta có 2025 giá trị của $m$.
Câu 24. Số các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = log\left( {mx – m + 2} \right)$ xác định trên $\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$ là
A. 4
B. 5
C. Vô số
D. 3
Lời giải
Chọn A
Điều kiện xác định: $mx – m + 2 > 0 \Leftrightarrow mx > m – 2$
Trường hợp 1. $m = 0$.
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2 > 0$ (luôn đúng với $\forall x \in \left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$ ).
Trường hợp 2. $m > 0$.
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow x > \frac{{m – 2}}{m}$
Để hàm số $y = log\left( {mx – m + 2} \right)$ xác định trên $\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$ thì $\frac{{m – 2}}{m} < \frac{1}{2} \Leftrightarrow 0 < m < 4$.
Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ {1;2;3} \right\}$.
Trường họ̣p 3. $m < 0$.
(1) $ \Leftrightarrow x < \frac{{m – 2}}{m}$.
Suy ra tập xác định của hàm số $y = log\left( {mx – m + 2} \right)$ là $D = \left( { – \infty ;\frac{{m – 2}}{m}} \right)$.
Do đó $\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right) \not\subset D$ suy ra không có giá trị $m < 0$ nào thỏa yêu cầu bài toán.
Từ 3 trường hợp trên ta được $m \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}$.
Câu 25. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đọ̣n $\left[ { – 1000;1000} \right]$ để hàm số $y = ln\left( { – {x^2} + mx + 2m + 1} \right)$ xác định với mọi $x \in \left( {1;2} \right)$ ?
A. 1001 .
B. 2000 .
C. 2001 .
D. 1000 .
Lời giải
Chọn D.
Hàm số xác định với mọi $x \in \left( {1;2} \right)$ khi $ – {x^2} + mx + 2m + 1 > 0,\forall x \in \left( {1;2} \right)$.
$ \Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^2} – mx – 2m – 1 < 0,\forall x \in \left( {1;2} \right)$.
$ \Rightarrow f\left( x \right) = 0$ có 2 nghiệm thỏa mãn ${x_1} \leqslant 1 < 2 \leqslant {x_2}$.
$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f\left( 1 \right) \leqslant 0} \\
{f\left( 2 \right) \leqslant 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 3m \leqslant 0} \\
{ – 4m + 3 \leqslant 0}
\end{array} \Leftrightarrow m \geqslant \frac{3}{4}} \right.} \right.$
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m \in \mathbb{Z}} \\
{m \in \left[ { – 1000;1000} \right]}
\end{array} \Rightarrow m \in \left\{ {1,2,3, \ldots ,1000} \right\}} \right.$.
Kết luận: có 1000 giá trị của $m$ thỏa mãn bài toán.
Câu 26. Tìm tất cả giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = lo{g_3}\left( {{x^2} – \left( {m + 1} \right)x + m} \right)$ xác định trên $\left( {1;4} \right)$
A. $ – \frac{3}{4} \leqslant m \leqslant 1$.
B. $m \leqslant 1$.
C. $m > 1$.
D. $m \leqslant – \frac{3}{4}$.
Lời giải
Chọn B.
Để hàm số $y = lo{g_3}\left( {{x^2} – \left( {m + 1} \right)x + m} \right)$ xác định trên $\left( {1;4} \right)$ thì
${x^2} – \left( {m + 1} \right)x + m > 0,\forall x \in \left( {1;4} \right) \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {x – m} \right) > 0,\forall x \in \left( {1;4} \right)$.
Do $1 < x < 4$ nên có các trường hợp sau
TH1: $m < 1 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 1} \\
{x < m < 1}
\end{array}} \right.$ vậy hàm số xác định trên $\left( {1;4} \right)$.
TH2: $m = 1$ thì ${(x – 1)^2} > 0 \Leftrightarrow x \ne 1$ vậy hàm số xác định trên $\left( {1;4} \right)$.
TH3: $m > 1 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < 1} \\
{x > m > 1}
\end{array}} \right.$ như vậy hàm số không xác định trên $\left( {1;4} \right)$ (loại).
Kết luận: $m \leqslant 1$.
Câu 27. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{3}{{\sqrt {x – m} }} + lo{g_5}\sqrt {2m + 1 – x} $ xác định trên khoảng $\left( {2;3} \right)$ ?
A.1.
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn B.
Hàm số xác định $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – m > 0} \\
{2m + 1 – x > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > m} \\
{x < 2m + 1}
\end{array}} \right.} \right.$.
Xét các trường hợp sau:
+) Nếu $2m + 1 \leqslant m \Leftrightarrow m \leqslant – 1 \Rightarrow D = \phi $, suy ra không thỏa mãn.
+) Nếu $2m + 1 > m \Leftrightarrow m > – 1 \Rightarrow D = \left( {m;2m + 1} \right)$
Hàm số đã cho xác định trên khoảng (2;3) khi và chỉ khi
$\left( {2;3} \right) \subset D \Leftrightarrow m \leqslant 2 < 3 \leqslant 2m + 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m \leqslant 2} \\
{m \geqslant 1}
\end{array} \Leftrightarrow 1 \leqslant m \leqslant 2.} \right.$
Vì $m$ nguyên nên $m = \left\{ {1;2} \right\}$.
Câu 28. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {2m + 1 – x} }} + lo{g_3}\sqrt {x – m} $ xác định trên khoảng $\left( {2;3} \right)$ ?
A. 1 .
B. 2 .
C. 4
D. 3 .
Lời giải
Chọn B
Hàm số xác định $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2m + 1 – x > 0} \\
{x – m > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < 2m + 1} \\
{x > m}
\end{array} \Rightarrow D = \left( {m;2m + 1} \right)} \right.} \right.$.
Hàm số đã cho xác định trên khoảng $\left( {2;3} \right)$ nên $\left( {2;3} \right) \subset D = \left( {m;2m + 1} \right) \Leftrightarrow m \leqslant 2 < 3 \leqslant 2m + 1$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m \leqslant 2} \\
{2m + 1 \geqslant 3}
\end{array} \Leftrightarrow 1 \leqslant m \leqslant 2} \right.$.
Vì $m$ nguyên dương nên $m \in \left\{ {1;2} \right\}$.
Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số
$y = \frac{1}{{\sqrt {7m – 5 – x} }} + lo{g_5}\left( {\sqrt {x – 3m + 1} } \right)$ xác định trên $\left( { – 1;3} \right).$
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn A.
Để hàm số xác định ta có .
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < 7m – 5} \\
{x > 3m – 1}
\end{array}} \right.$
TH1: của hàm số là $D = \emptyset $ (loại).
TH2: $3m – 1\left\langle {7m – 5 \Leftrightarrow m} \right\rangle 1 \Rightarrow $ TXĐ của hàm số là $D = \left( {3m – 1;7m – 5} \right)$.
Để hàm số xác định trên $\left( { – 1;3} \right)$ thì
$\left( { – 1;3} \right) \subset D \Leftrightarrow \left( { – 1;3} \right) \subset \left( {3m – 1;7m – 5} \right)$
$ \Leftrightarrow 3m – 1 \leqslant – 1 < 3 \leqslant 7m – 5 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m \leqslant 0} \\
{m \geqslant \frac{8}{7}}
\end{array}} \right.$ (Vô nghiệm)
Vậy không có giá trị nào của $m$ để hàm số xác định trên (-1;3).
DẠNG 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT
Phương pháp
Câu 30. Cho $a,b,c$ là ba số dương khác 1 . Đồ thị các hàm số $y = lo{g_a}x,y = lo{g_b}x,y = lo{g_c}x$ được cho trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
A. $a < b < c$.
B. $c < a < b$.
C. $c < b < a$.
D. $b < c < a$.
Lời giải
Chọn B.
• Đồ thị các hàm số $y = lo{g_a}x,y = lo{g_b}x,y = lo{g_c}x$ lần lượt đi qua các điểm $A\left( {a;1} \right),B\left( {b;1} \right)$, $C\left( {c;1} \right)$
• Từ hình vẽ ta có: $c < a < b$.
Câu 31. Cho ba số thực dương $a,b,c$ khác 1 . Đồ thị các hàm số $y = {a^x},y = {b^x},y = {c^x}$ được cho trong hình vẽ dưới đây. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $1 < a < c < b$.
B. $a < 1 < c < b$.
C. $a < 1 < b < c$.
D. $1 < a < b < c$.
Lời giải
Chọn B.
Đồ thị của hàm số $y = {a^x}$ có hướng đi xuống nên $a < 1$.
Đồ thị của các hàm số $y = {b^x}$ và $y = {c^x}$ có hướng đi lên nên $b > 1$ và $c > 1$. Hơn nữa đồ thị hàm số $y = {b^x}$ ở phía trên đồ thị hàm số $y = {c^x}$ nên $b > c$.
Vậy $a < 1 < c < b$.
Câu 32. Cho bốn hàm số $y = {(\sqrt 3 )^x}\left( 1 \right),y = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^x}\left( 2 \right),y = {4^x}\left( 3 \right),y = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x}$ (4) có đồ thị là 4 đường cong theo phía trên đồ thị, thứ tự từ trái qua phải là $\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right),\left( {{C_3}} \right),\left( {{C_4}} \right)$ như hình vẽ bên.
Tương ứng hàm số – đồ thị đúng là
A. $\left( 1 \right) – \left( {{C_2}} \right),\left( 2 \right) – \left( {{C_3}} \right),\left( 3 \right) – \left( {{C_4}} \right),\left( 4 \right) – \left( {{C_1}} \right)$.
B. $\left( 1 \right) – \left( {{C_1}} \right),\left( 2 \right) – \left( {{C_2}} \right),\left( 3 \right) – \left( {{C_3}} \right),\left( 4 \right) – \left( {{C_4}} \right)$.
C. $\left( 1 \right) – \left( {{C_4}} \right),\left( 2 \right) – \left( {{C_1}} \right),\left( 3 \right) – \left( {{C_3}} \right),\left( 4 \right) – \left( {{C_2}} \right)$.
D. $\left( 1 \right) – \left( {{C_1}} \right),\left( 2 \right) – \left( {{C_2}} \right),\left( 3 \right) – \left( {{C_3}} \right),\left( 4 \right) – \left( {{C_4}} \right)$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có $y = {(\sqrt 3 )^x}$ và $y = {4^x}$ có cơ số lớn hơn 1 nên hàm đồng biến nên nhận đồ thị là $\left( {{C_3}} \right)$ hoặc $\left( {{C_4}} \right)$. Lấy $x = 2$ ta có ${(\sqrt 3 )^2} < {4^2}$ nên đồ thị $y = {4^x}$ là $\left( {{C_3}} \right)$ và đồ thị $y = {(\sqrt 3 )^x}$ là $\left( {{C_4}} \right)$.
Ta có đồ thị hàm số $y = {4^x}$ và $y = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x}$ đối xứng nhau qua $Oy$ nên đồ thị $y = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x}$ là $\left( {{C_2}} \right)$. Còn lại $\left( {{C_1}} \right)$ là đồ thị của $y = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^x}$.
Vậy (1) $ – \left( {{C_4}} \right),\left( 2 \right) – \left( {{C_1}} \right),\left( 3 \right) – \left( {{C_3}} \right),\left( 4 \right) – \left( {{C_2}} \right)$
Câu 33. Trong hình vẽ dưới đây có đồ thị của các hàm số $y = {a^x},y = {b^x},y = lo{g_c}x$.
Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
A. $c < a < b$.
B. $a < c < b$.
C. $b < c < a$.
D. $a < b = c$.
Lời giải
Chọn B.
Từ đồ thị Ta thấy hàm số $y = {a^x}$ nghịch biến $ \Rightarrow 0 < a < 1$.
Hàm số $y = {b^x},y = lo{g_c}x$ đồng biến $ \Rightarrow b > 1,c > 1$
$ \Rightarrow a < b,a < c$ nên loại A, C
Nếu $b = c$ thì đồ thị hàm số $y = {b^x}$ và $y = lo{g_c}x$ phải đối xứng nhau qua đường phân giác góc phần tư thứ nhất $y = x$. Nhưng ta thấy đồ thị hàm số $y = lo{g_c}x$ cắt đường $y = x$ nên loại ${\mathbf{D}}$.
Câu 34. Cho hàm số $y = {a^x},y = {b^x}$ với $a,b$ là hai số thực dương khác 1 , lần lượt có đồ thị là $\left( {{C_1}} \right)$ và $\left( {{C_2}} \right)$ như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $0 < b < 1 < a$
B. $0 < a < b < 1$
C. $0 < b < a < 1$
D. $0 < a < 1 < b$
Lời giải
Chọn A.
Theo hình ta thấy hàm $y = {a^x}$ là hàm đồng biến nên $a > 1$, còn hàm $y = {b^x}$ là hàm nghịch biến nên $0 < b < 1$. Suy ra $0 < b < 1 < a$.
Câu 35. Cho ba số thực dương $a,b,c$ khác 1. Đồ thị các hàm số $y = {a^x},y = {b^x},y = {c^x}$ được cho trong hình vẽ bên
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $b < c < a$
B. $c < a < b$
C. $a < b < c$
D. $a < c < b$
Lời giải
Chọn D.
Đường thẳng $x = 1$ đồ thị các hàm số $y = {a^x},y = {b^x},y = {c^x}$ tại các điểm có tung độ lần lượt là $y = a,y = b,y = c$ như hình vẽ:
Từ đồ thị kết luận $a < c < b$
Câu 36. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
A. $y = – {e^x}$.
B. $y = \left| {lnx} \right|$.
C. $y = lnx$.
D. $y = {e^x}$.
Lời giải
Chọn C.
Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {e;1} \right)$ và nằm cả trên và dưới trục hoành nên chỉ có hàm số $y = lnx$ thoả mãn.
Câu 37. Cho đồ thị hàm số $y = {a^x}$ và $y = lo{g_b}x$ như hình vẽ.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $0 < a < \frac{1}{2} < b$.
B. $0 < a < 1 < b$.
C. $0 < b < 1 < a$.
D. $0 < a < 1,0 < b < \frac{1}{2}$.
Lời giải
Chọn B.
Xét hàm số $y = {a^x}$ đi qua $\left( {0;1} \right)$ suy ra đồ thị hàm số (1) là đồ thị của hàm nghịch biến nên $0 < a < 1$. Xét đồ thị hàm số $y = lo{g_b}x$ đi qua $\left( {1;0} \right)$ suy ra đồ thị của hàm số (2) là đồ thị của hàm đồng biến suy ra $b > 1$.
Vậy $0 < a < 1 < b$.
Câu 38. Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên?
A. $y = lo{g_3}x$.
B. $y = lo{g_2}x + 1$.
C. $y = lo{g_2}\left( {x + 1} \right)$.
D. $y = lo{g_3}\left( {x + 1} \right)$
Lời giải
Chọn C.
Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {0;0} \right)$ nên loại đáp án $A$ và
Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {1;1} \right)$ nên loại $D$.
Vậy đáp án $c$ thỏa mãn.
Câu 39. Cho đồ thị hàm số $y = {a^x}$ và $y = lo{g_b}x$ như hình vẽ. Trong các khẳng định sau, đâu là khẳng định đúng
A. $0 < a < 1,0 < b < 1$.
B. $a > 1,b > 1$.
C. $0 < b < 1 < a$.
D. $0 < a < 1 < b$.
Lời giải
Chọn C.
Dựa vào đồ thị ta thấy khi $x \to – \infty \Rightarrow y \to 0$ do đó đồ thị hàm số $y = {a^x}$ có $a > 1$. Nên ta loại đáp án $a$ và. D.
Ở đồ thị hàm số $y = lo{g_b}x \Leftrightarrow x = {b^y}$ ta thấy khi $x \to + \infty \Rightarrow y \to – \infty $ do đó ta có $0 < b < 1$.
Câu 40. Hình vẽ bên thể hiện đồ thị của ba trong bốn hàm số $y = {6^x},y = {8^x},y = \frac{1}{{{5^x}}}$ và $y = \frac{1}{{{{\sqrt 7 }^x}}}$.
Hỏi $\left( {{c_2}} \right)$ là đồ thị hàm số nào?
A. $y = {6^x}$.
B. $y = \frac{1}{{{{\sqrt 7 }^x}}}$.
C. $y = \frac{1}{{{5^x}}}$.
D. $y = {8^x}$
Lời giải
Chọn B.
Hàm số có đồ thị $\left( {{c_2}} \right)$ là hàm số nghịch biến, do đó loại đáp án A, D.
Cho $x = 1$ suy ra $\frac{1}{{\sqrt 7 }} > \frac{1}{5}$
Do đó đồ thị hàm số $\left( {{c_2}} \right)$ là $y = \frac{1}{{{5^x}}}$.
Câu 41. Hàm số $y = lo{g_a}x$ và $y = lo{g_b}x$ có đồ thị như hình bên.
Đường thẳng $y = 3$ cắt hai đồ thị tại các điểm có hoành độ là ${x_1};{x_2}$. Biết rằng ${x_1} = 2{x_2}$. Giá trị của $\frac{a}{b}$ bằng
A. $\frac{1}{3}$.
B. $\sqrt 3 $.
C. 2 .
D. $\sqrt[3]{2}$.
Lời giải
Chọn D.
Xét phương trình hoành độ giao điểm $lo{g_a}x = 3 \Leftrightarrow {x_1} = {a^3}$, và $lo{g_b}x = 3 \Leftrightarrow {x_2} = {b^3}$.
Ta có ${x_1} = 2{x_2} \Leftrightarrow {a^3} = 2{b^3} \Leftrightarrow {\left( {\frac{a}{b}} \right)^3} = 2 \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \sqrt[3]{2}$.
Câu 42. Trong hình dưới đây, điểm $B$ là trung điểm của đoạn thẳng $AC$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $a + c = 2b$.
B. $ac = {b^2}$.
C. $ac = 2{b^2}$.
D. $ac = b$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có $A\left( {0;lna} \right),B\left( {0;lnb} \right),C\left( {0;lnc} \right)$ và $B$ là trung điểm của $AC$ nên $lna + lnc = 2lnb \Leftrightarrow ln\left( {ac} \right) = ln{b^2} \Leftrightarrow ac = {b^2}$.
Vậy $ac = {b^2}$.
Câu 43. Trong hình vẽ bên các đường cong $\left( {{C_1}} \right):y = {a^x},\left( {{C_2}} \right):y = {b^x},\left( {{C_3}} \right):y = {c^x}$ và đường thẳng $y = 4;y = 8$ tạo thành hình vuông $MNPQ$ có cạnh bằng 4 .
Biết rằng $abc = {2^{\frac{x}{y}}}$ với $x;y \in {\mathbb{Z}^ + }$và $\frac{x}{y}$ tối giản, giá trị của $x + y$ bằng
A. 34 .
B. 5 .
C. 43 .
D. 19 .
Lời giải
Chọn C.
Giả sử hoành độ điểm $M$ là $m$, ta suy ra $M\left( {m;4} \right);N\left( {m;8} \right);P\left( {m + 4;8} \right)$; Q $\left( {m + 4;4} \right)$.
Từ giả thiết ta có $M,P$ thuộc đường cong $y = {b^x}$ nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{b^m} = 4} \\
{{b^{m + 4}} = 8}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{b^m} = 4} \\
{{b^4} = 2}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 8} \\
{b = {2^{\frac{1}{4}}}}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$ $N,Q$ lần lượt thuộc đường cong $y = {a^x};y = {c^x}$ nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{a^8} = 8} \\
{{c^{12}} = 4}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{a^8} = {2^3}} \\
{{c^{12}} = {2^2}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = {2^{\frac{3}{8}}}} \\
{c = {2^{\frac{1}{6}}}}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$.
Khi đó $abc = {2^{\frac{3}{8}}} \cdot {2^{\frac{1}{4}}} \cdot {2^{\frac{1}{6}}} = {2^{\frac{3}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6}}} = {2^{\frac{{19}}{{24}}}}$.Vậy $x = 19;y = 24 \Rightarrow x + y = 43$.
Câu 44. Cho số thực dương $a$ khác 1 . Biết rằng bất kỳ đường thẳng nào song song với trục $Ox$ mà cắt các đường $y = {4^x},y = {a^x}$, trục tung lần lượt tại $M,N$ và $A$ thì $AN = 2AM$ ( hình vẽ bên). Giá trị của $a$ bằng
A. $\frac{1}{3}$.
B. $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
C. $\frac{1}{4}$.
D. $\frac{1}{2}$.
Lời giải
Chọn D.
Dựa vào ĐTHS ta thấy hàm số $y = {a^x}$ nghịch biến nên $0 < a < \frac{1}{2}$.
Mọi đường thẳng $y = m(\,m > 0)$ đều cắt các đường $y = {4^x},y = {a^x}$, trục tung lần lượt tại $M\left( {lo{g_4}m;m} \right),N\left( {lo{g_a}m;m} \right)$ và $A = \left( {0;m} \right)$, theo bài
$AN = 2AM \Leftrightarrow \left| {lo{g_a}m} \right| = 2\left| {lo{g_4}m} \right| \Leftrightarrow \left| {lo{g_a}m} \right| = \left| {lo{g_2}m} \right|$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{lo{g_a}m = lo{g_2}m} \\
{lo{g_a}m = – lo{g_2}m}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{lo{g_m}a = lo{g_m}2} \\
{lo{g_m}a = lo{g_m}\frac{1}{2}}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 2} \\
{a = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$
Vậy $a = \frac{1}{2}$.
Câu 45. Cho các hàm số $y = lo{g_a}x$ và $y = lo{g_b}x$ có đồ thị như hình vẽ bên. Đường thẳng $x = 5$ cắt trục hoành, đồ thị hàm số $y = lo{g_a}x$ và $y = lo{g_b}x$ lần lượt tại $A,B$ và $C$. Biết rằng $CB = 2AB$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. $a = 5b$.
B. $a = {b^2}$.
C. $a = {b^3}$.
D. ${a^3} = b$.
Lời giải
Chọn C.
Dễ thấy $A\left( {5;0} \right),B\left( {5;lo{g_a}5} \right),C\left( {5;lo{g_b}5} \right)$ và $lo{g_b}5 > lo{g_a}5 > 0$.
Do $CB = 2AB$ nên ta có $lo{g_b}5 – lo{g_a}5 = 2\left( {lo{g_a}5 – 0} \right)$.
$ \Leftrightarrow lo{g_b}5 = 3lo{g_a}5$
$ \Leftrightarrow \frac{1}{{lo{g_5}b}} = \frac{3}{{lo{g_5}a}}$
$ \Leftrightarrow lo{g_5}a = 3lo{g_5}b$
$ \Leftrightarrow lo{g_5}a = lo{g_5}{b^3}$
$ \Leftrightarrow a = {b^3}$.
Câu 46. Cho hàm số $y = {2^x}$ và $y = {2^{x – 2}}$ có đồ thị lần lượt là $\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right)$ như hình vẽ. Gọi $A$ là điểm thuộc $\left( {{C_1}} \right),B,C$ là các điểm thuộc $\left( {{C_2}} \right)$ sao cho tam giác $\vartriangle ABC$ là tam giác đều và $AB$ song song với $Ox$. Khi đó tọa độ điểm $C$ là $\left( {p;q} \right)$, giá trị của biểu thức ${2^p} + q$ bằng?
A. $5\sqrt 3 $.
B. $4\sqrt 3 $.
C. $6\sqrt 3 $.
D. $10\sqrt 3 $.
Lời giải
Chọn A.
Gọi $A\left( {a;{2^a}} \right)$ và $B\left( {a + 2;{2^a}} \right)$. Khi đó trung điểm của $AB$ là $M\left( {a + 1;{2^a}} \right)$.
Ta có: $AB = 2$, do đó $CM = \sqrt 3 $. Vì $CM//Oy$ nên $C\left( {a + 1;{2^a} – \sqrt 3 } \right) \in \left( {{C_2}} \right)$. Khi đó ta có:
${2^{a – 1}} = {2^a} – \sqrt 3 \Leftrightarrow {2^a} = 2\sqrt 3 \Leftrightarrow a = 1 + lo{g_2}\sqrt 3 $.
Khi đó: $C\left( {2 + lo{g_2}\sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right)$ hay ${2^p} + q = 5\sqrt 3 $.
Câu 47. Cho hai hàm số $y = {2^x},y = lo{g_2}x$ có đồ thị như hình vẽ. Đường thẳng $\Delta $ cắt trục tung, đồ thị hàm số $y = {2^x}$, đồ thị hàm số $y = lo{g_2}x$ và trục hoành lần lượt tại $A,B,C,D$ thỏa mãn $AB = BC = CD$. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng $\Delta $ như thế ?
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. Vô số.
Lời giải
Chọn B.
Gọi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{B\left( {b;{2^b}} \right) \in y = {2^x}} \\
{C\left( {c;lo{g_2}c} \right) \in y = lo{g_2}x}
\end{array}} \right.$$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{A\left( {2b – c;{2^{b + 1}} – lo{g_2}c} \right)} \\
{D\left( {2c – b;2lo{g_2}c – {2^b}} \right)}
\end{array}} \right.$
Vì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{A \in Oy} \\
{D \in Ox}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2b – c = 0} \\
{2lo{g_2}c – {2^b} = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{c = 2b} \\
{lo{g_2}c = {2^{b – 1}}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{c = 2b} \\
{c = {2^{{2^{b – 1}}}}}
\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{b = 1,c = 2} \\
{b = 2,c = 4}
\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.} \right.$.
Vậy có hai bộ điểm $A,B,C,D$ thỏa yêu cầu bài toán. Hay có hai đường thẳng $\Delta$ như thế
Câu 48. Gọi $B$ và $C$ lần lượt là các điểm thuộc đồ thị hàm số $y = {2^x}$ và $y = lo{g_2}x$ sao cho tam giác $OBC$ đều. Giả sử điểm $B$ có hoành độ là $a$ khi đó tỉ số $\frac{{{2^x}}}{a}$ bằng
A. $2 – \sqrt 3 $.
B. $2 + \sqrt 3 $.
C. $2 – \sqrt 2 $.
D. $2 + \sqrt 2 $.
Lời giải
Chọn B.
Đồ thị hai hàm số $y = {2^x}$ và $y = lo{g_2}x$ đối xứng qua đường thẳng $y = x$ và theo yêu cầu bài toán là tam giác $OBC$ đều nên suy ra $B\left( {a;{2^a}} \right),C\left( {{2^a};a} \right)$ (theo đề điểm $B$ có hoành độ là $a$ ).
Tam giác $OBC$ đều $ \to OB = BC \Leftrightarrow O{B^2} = B{C^2} \Leftrightarrow {2^{2a}} – 4a \cdot {2^a} + {a^2} = 0$. Đấy là phương trình đẳng cấp và tìm được $\frac{{{2^x}}}{a} = 2 \pm \sqrt 3 $. Vì $B$ là điểm nằm trên đồ thị hàm số $y = {2^x}$ suy ra ${2^a} > a$ nên suy ra $\frac{{{2^x}}}{a} = 2 + \sqrt 3 $.
Câu 49. Gọi $A$ và $B$ là các điểm lần lượt nằm trên các đồ thị hàm số $y = lo{g_{\sqrt 2 }}x$ và $y = lo{g_{\frac{1}{2}}}x$ sao cho điểm $M\left( {2,0} \right)$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Diện tích tam giác $OAB$ là bao nhiêu biết rằng $O$ là gốc tọa độ?
A. $S = 8lo{g_2}\left( {\frac{{\sqrt {17} – 1}}{2}} \right)$
B. $S = 4lo{g_2}\left( {\frac{{\sqrt {17} – 1}}{2}} \right)$
C. $S = 8lo{g_2}\left( {\frac{{\sqrt {17} + 1}}{2}} \right)$
D. $S = 4lo{g_2}\left( {\frac{{\sqrt {17} + 1}}{2}} \right)$
Lời giải
Chọn B.
Gọi tọa độ các điểm $A\left( {a,2lo{g_2}a} \right),B\left( {b, – lo{g_2}b} \right)$.
Vì $M\left( {2,0} \right)$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ nên:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a + b = 4} \\
{2lo{g_2}a = lo{g_2}b}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{b = 4 – a} \\
{b = {a^2}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{b = 4 – a} \\
{{a^2} + a – 4 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow a = \frac{{\sqrt {17} – 1}}{2}} \right.} \right.} \right.$
Vì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a + b = 4} \\
{2lo{g_2}a = lo{g_2}b}
\end{array}} \right.$ nên $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {OA} \left( {a,2lo{g_2}a} \right)} \\
{\overrightarrow {OB} \left( {4 – a, – 2lo{g_2}a} \right)}
\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow S = \frac{{\left| {\left( {4 – a} \right)\left( {2lo{g_2}a} \right) – a\left( { – 2lo{g_2}a} \right)} \right|}}{2} = 4lo{g_2}\frac{{\sqrt {17} – 1}}{2}$
Câu 50. Với $a > 1$. Biết trên đồ thị của ba hàm số $y = lo{g_a}x,y = 2lo{g_a}x,y = 3lo{g_a}x$ lần lượt có 3 điểm $A,B,C$ sao cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $B,AB$ song song với trục hoành và có diện tích bằng 18. Giá trị của $a$ bằng
A. $\sqrt[6]{6}$.
B. $\sqrt[6]{3}$.
C. $\sqrt[3]{3}$.
D. $\sqrt[3]{6}$.
Lời giải
Chọn B.
Giả sử $B = \left( {m;2lo{g_a}m} \right)$ thì $A = \left( {{m^2};2lo{g_a}m} \right),C = \left( {m;3lo{g_a}m} \right),m > 0$.
Ta có $AB = \left| {{m^2} – m} \right|,BC = \left| {lo{g_a}m} \right|$.
Vì $AB = BC,{{\text{S}}_{\vartriangle ABC}} = 18$ nên $\frac{1}{2}AB \cdot BC = 18 \Rightarrow AB = BC = 6$.
$\left| {{m^2} – m} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{m^2} – m – 6 = 0} \\
{{m^2} – m + 6 = 0\left( {VN} \right)}
\end{array};m > 0 \Rightarrow m = 3} \right.$.
$\left| {lo{g_a}m} \right| = 6 \Leftrightarrow \left| {lo{g_a}3} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{lo{g_a}3 = 6} \\
{lo{g_a}3 = – 6 < 0}
\end{array},a > 1 \Rightarrow {a^6} = 3 \Leftrightarrow a = \sqrt[6]{3}} \right.$.
Câu 51. Cho ba hàm số $y = lo{g_a}x;y = lo{g_b}x;y = lo{g_c}x$ có đồ thị biểu diễn như hình vẽ. Biết rằng $5MA = 4MB = 3MC$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = {a^6} + 3{b^{10}} + {c^{10}}$ bằng
A. $2\sqrt[8]{{243}}$.
B. $\frac{7}{{\sqrt[7]{{16}}}}$.
C. $\frac{7}{{\sqrt[8]{{16}}}}$.
D. $4\sqrt[3]{{60}}$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $c > a > 1 > b > 0$. Tiếp theo, ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{5MA = 3MC = 5lo{g_a}m = 3lo{g_c}m} \\
{5MA = 4MB = 5lo{g_a}m = 4lo{g_b}m}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{5}{{lo{g_m}a}} = \frac{3}{{lo{g_m}c}}} \\
{\frac{5}{{lo{g_m}a}} = \frac{4}{{lo{g_m}b}}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3lo{g_m}a = 5lo{g_m}c} \\
{4lo{g_m}a = 5lo{g_m}b}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{a^3} = {c^5}} \\
{{a^4} = {b^5}}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$
Suy ra $T = {a^6} + 3{b^{10}} + {c^{10}} = {a^6} + \frac{3}{{{a^8}}} + {a^6} = 2{a^6} + \frac{3}{{{a^8}}} = \frac{{{a^6}}}{2} + \frac{{{a^6}}}{2} + \frac{{{a^6}}}{2} + \frac{{{a^6}}}{2} + \frac{1}{{{a^8}}} + \frac{1}{{{a^8}}} + \frac{1}{{{a^8}}}$
Theo Cosi, ta có: $T = \frac{{{a^6}}}{2} + \frac{{{a^6}}}{2} + \frac{{{a^6}}}{2} + \frac{{{a^6}}}{2} + \frac{1}{{{a^8}}} + \frac{1}{{{a^8}}} + \frac{1}{{{a^8}}} \geqslant 7\sqrt[7]{{\frac{{{a^6}}}{2} \cdot \frac{{{a^6}}}{2} \cdot \frac{{{a^6}}}{2} \cdot \frac{{{a^6}}}{2} \cdot \frac{1}{{{a^8}}} \cdot \frac{1}{{{a^8}}} \cdot \frac{1}{{{a^8}}}}} = \frac{7}{{\sqrt[7]{{16}}}}$
Nên suy ra ${T_{{\text{min}}}} = \frac{7}{{\sqrt[7]{{16}}}}$ khi và chỉ khi $\frac{{{a^6}}}{2} = \frac{1}{{{a^8}}} \Leftrightarrow a = \sqrt[{14}]{2} > 1$
Câu 52. Cho các số thực $a,b$ sao cho $0 < a,b \ne 1$, biết rằng đồ thị các hàm số $y = {a^x}$ và $y = lo{g_b}x$ cắt nhau tại điểm $M\left( {\sqrt {2018} ;\sqrt[5]{{{{2019}^{ – 1}}}}} \right)$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $a > 1,b > 1$
B. $a > 1,0 < b < 1$
C. $0 < a < 1,b > 1$
D. $0 < a < 1,0 < b < 1$
Lời giải
Chọn C.
$M\left( {\sqrt {2018} ;\sqrt[5]{{{{2019}^{ – 1}}}}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y = {a^x}$ nên ta có:
${a^{\sqrt {2018} }} = \sqrt[5]{{{{2019}^{ – 1}}}} = \frac{1}{{\sqrt[5]{{2019}}}} < 1 = {a^0} \Rightarrow 0 < a < 1$
$M\left( {\sqrt {2018} ;\sqrt[5]{{{{2019}^{ – 1}}}}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y = lo{g_b}x$ nên ta có: $lo{g_b}\sqrt {2018} = \sqrt[5]{{{{2019}^{ – 1}}}} \Rightarrow {b^{\frac{1}{{\sqrt[5]{{2019}}}}}} = \sqrt {2018} > 1 = {b^0} \Rightarrow b > 1$
Vậy $0 < a < 1,b > 1$.
Câu 53. Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ đối xứng với đồ thị hàm số $y = {a^x}(a > 0,a \ne 1)$ qua điểm $I\left( {1;1} \right)$. Giá trị của biểu thức $f\left( {2 + lo{g_a}\frac{1}{{2018}}} \right)$ bằng
A. 2016 .
B. -2016 .
C. 2020 .
D. -2020 .
Lời giải
Chọn B.
Gọi $\left( C \right)$ là đồ thị hàm số $y = {a^x};\left( {{C_1}} \right)$ là đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$.
$M\left( {2 + lo{g_a}\frac{1}{{2018}};{y_M}} \right) \in \left( {{C_1}} \right) \Leftrightarrow {y_M} = f\left( {2 + lo{g_a}\frac{1}{{2018}}} \right)$.
Gọi $N$ đối xứng với $M$ qua $I\left( {1;1} \right) \Rightarrow N\left( { – lo{g_a}\frac{1}{{2018}};2 – {y_M}} \right)$.
Do đồ thị $\left( {{C_1}} \right)$ đối xứng $\left( C \right)$ qua $I\left( {1;1} \right)$ nên $N\left( { – lo{g_a}\frac{1}{{2018}};2 – {y_M}} \right) \in \left( C \right)$.
$N \in \left( C \right) \Leftrightarrow 2 – {y_M} = {a^{ – lo{g_a}\frac{1}{{2018}}}} \Leftrightarrow 2 – {y_M} = {a^{lo{g_a}2018}} \Leftrightarrow 2 – {y_M} = 2018 \Leftrightarrow {y_M} = – 2016$.
Vậy $f\left( {2 + lo{g_a}\frac{1}{{2018}}} \right) = – 2016$.
Câu 54. Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ đối xứng với đồ thị hàm số $y = lo{g_a}x,(0 < a \ne 1)$ qua điểm $I\left( {2;1} \right)$. Giá trị của biểu thức $f\left( {4 – {a^{2019}}} \right)$ bằng
A. 2023 .
B. -2023 .
C. 2017 .
D. -2017 .
Lời giải
Chọn D.
Lấy điểm $A\left( {4 – {a^{2019}};f\left( {4 – {a^{2019}}} \right)} \right)$ thuộc đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$ và điểm $B\left( {x;lo{g_a}x} \right)$ thuộc đồ thị của hàm số $y = lo{g_a}x$.
Hai điểm $A$ và $B$ đối xứng nhau qua điểm $I$ khi và chỉ khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{4 – {a^{2019}} + x = 2.2} \\
{f\left( {4 – {a^{2019}}} \right) + lo{g_a}x = 2.1}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {a^{2019}}} \\
{f\left( {4 – {a^{2019}}} \right) + lo{g_a}{a^{2019}} = 2}
\end{array} \Rightarrow f\left( {4 – {a^{2019}}} \right) = – 2017} \right.} \right.$.
