50 câu trắc nghiệm phương trình mũ theo dạng giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
Phương pháp:
1) Phương trình mũ cơ bản
• Nếu $a > 0,a \ne 1$ thì ${a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)$
• Nếu a chứa ẩn thì ${a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow \left( {a – 1} \right)\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 1} \\
{f\left( x \right) = g\left( x \right)}
\end{array}} \right.$
2) Phương pháp đưa về cùng cơ số
• ${a^x} = {a^\alpha } \Leftrightarrow x = \alpha $
• ${a^{u\left( x \right)}} = {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) = v\left( x \right)$
Câu 1. Nghiệm của phương trình ${3^{x – 1}} = 9$ là:
A. $x = – 2$.
B. $x = 3$.
C. $x = 2$.
D. $x = – 3$.
Lời giải
Chọn B.
${3^{x – 1}} = 9 \Leftrightarrow x – 1 =lo{g_3}9 \Leftrightarrow x – 1 = 2 \Leftrightarrow x = 3$
Câu 2. Nghiệm của phương trình ${3^{x + 2}} = 27$ là
A. $x = – 2$.
B. $x = – 1$.
C. $x = 2$.
D. $x = 1$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có ${3^{x + 2}} = 27 \Leftrightarrow {3^{x + 2}} = {3^3} \Leftrightarrow x + 2 = 3 \Leftrightarrow x = 1$.
Câu 3. Nghiệm của phương trình ${3^{2x + 1}} = {3^{2 – x}}$ là
A. $x = \frac{1}{3}$.
B. $x = 0$.
C. $x = – 1$.
D. $x = 1$.
Lời giải
Chọn A.
Xét phương trình ${3^{2x + 1}} = {3^{2 – x}} \Leftrightarrow 2x + 1 = 2 – x \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}$
Câu 4. Nghiệm của phương trình ${2^{2x – 3}} = {2^x}$ là
A. $x = 8$.
B. $x = – 8$.
C. $x = 3$.
D. $x = – 3$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có ${2^{2x – 3}} = {2^x} \Leftrightarrow 2x – 3 = x \Leftrightarrow x = 3$. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm $x = 3$.
Câu 5. Phương trình ${2^{2{x^2} + 5x + 4}} = 4$ có tổng tất cả các nghiệm bằng
A. 1 .
B. $\frac{5}{2}$.
C. -1 .
D. $ – \frac{5}{2}$.
Lời giải
Chọn D.
Cách 1:
Ta có: ${2^{2{x^2} + 5x + 4}} = 4 \Leftrightarrow {2^{2{x^2} + 5x + 4}} = {2^2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 4 = 2 \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = – 2} \\
{x = – \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là: $ – 2 + \left( { – \frac{1}{2}} \right) = – \frac{5}{2}$.
Cách 2:
Ta có: ${2^{2{x^2} + 5x + 4}} = 4 \Leftrightarrow {2^{2{x^2} + 5x + 4}} = {2^2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 4 = 2 \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 2 = 0$ (1)
Xét phương trình (1): $\Delta = 9 > 0 \Rightarrow $ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$.
Theo định lý Viet ta có: ${x_1} + {x_2} = – \frac{5}{2}$.
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là: $ – \frac{5}{2}$.
Câu 6. Tập nghiệm $S$ của phương trình ${3^{{x^2} – 2x}} = 27$.
A. $S = \left\{ {1;3} \right\}$.
B. $S = \left\{ { – 3;1} \right\}$.
C. $S = \left\{ { – 3; – 1} \right\}$.
D. $S = \left\{ { – 1;3} \right\}$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có: ${3^{{x^2} – 2x}} = 27 \Leftrightarrow {x^2} – 2x = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1} \\
{x = 3}
\end{array}} \right.$.
Vậy tập nghiệm $S$ của phương trình ${3^{{x^2} – 2x}} = 27$ là $S = \left\{ { – 1;3} \right\}$.
Câu 7. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình ${e^{{x^2}}} = \sqrt 3 $ là:
A. 1 .
B. 0 .
C. 3 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn D.
Ta có ${e^{{x^2}}} = \sqrt 3 \Leftrightarrow {x^2} = {\text{ln}}\sqrt 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {{\text{ln}}\sqrt 3 } $.
Vậy phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt.
Câu 8. Phương trình ${(\sqrt 5 )^{{x^2} + 4x + 6}} =lo{g_2}128$ có bao nhiêu nghiệm?
A. 1
B. 3
C. 2
D. 0
Lời giải
Chọn C.
Phương trình đã cho tương đương với: ${x^2} + 4x + 6 =lo{g_{\sqrt 5 }}7 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 6 -lo{g_{\sqrt 5 }}7 = 0$
Sử dụng máy tính bỏ túi ta thấy phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.
Câu 9. Tổng các nghiệm của phương trình ${2^{{x^2} – 2x + 1}} = 8$ bằng
A. 0 .
B. -2 .
C. 2 .
D. 1 .
Lời giải
Chọn C.
Ta có: ${2^{{x^2} – 2x + 1}} = 8 \Leftrightarrow {2^{{x^2} – 2x + 1}} = {2^3} \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 = 3 \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – \sqrt 3 } \\
{x = 1 + \sqrt 3 }
\end{array}} \right.$.
Như vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: $1 – \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 $.
Tổng hai nghiệm là: $\left( {1 – \sqrt 3 } \right) + \left( {1 + \sqrt 3 } \right) = 2$.
Câu 10. Cho a, b là hai số thực khác 0 , biết: ${\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{{a^2} + 4ab}} = {(\sqrt[3]{{625}})^{3{a^2} – 8ab}}$. Tỉ số $\frac{a}{b}$ là:
A. $\frac{{ – 8}}{7}$
B. $\frac{1}{7}$
C. $\frac{4}{7}$
D. $\frac{{ – 4}}{{21}}$
Lời giải
Chọn D.
Ta có : ${\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{{a^2} + 4ab}} = {(\sqrt[3]{{625}})^{3{a^2} – 8ab}} \Leftrightarrow {5^{ – 3\left( {{a^2} + 4ab} \right)}} = {5^{\frac{4}{3}\left( {3{a^2} – 8ab} \right)}}$
$ \Leftrightarrow – 3\left( {{a^2} + 4ab} \right) = \frac{4}{3}\left( {3{a^2} – 8ab} \right) \Leftrightarrow 21{a^2} = – 4ab \Leftrightarrow \frac{a}{b} = – \frac{4}{{21}}$
Câu 11. Phương trình ${7^{2{x^2} + 5x + 4}} = 49$ có tổng tất cả các nghiệm bằng
A. $ – \frac{5}{2}$.
B. 1 .
C. -1 .
D. $\frac{5}{2}$.
Lời giải
Chọn A.
${7^{2{x^2} + 5x + 4}} = 49 \Leftrightarrow {7^{2{x^2} + 5x + 4}} = {7^2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 4 = 2 \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2} \\
{x = – \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$.
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng: $ – 2 + \left( { – \frac{1}{2}} \right) = – \frac{5}{2}$.
Câu 12. Tính tổng $S = {x_1} + {x_2}$ biết ${x_1},{x_2}$ là các giá trị thực thỏa mãn đẳng thức ${2^{{x^2} – 6x + 1}} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{x – 3}}$.
A. $S = – 5$.
B. $S = 8$.
C. $S = 4$.
D. $S = 2$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có ${2^{{x^2} – 6x + 1}} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{x – 3}} \Leftrightarrow {2^{{x^2} – 6x + 1}} = {(2)^{ – 2\left( {x – 3} \right)}} \Leftrightarrow {x^2} – 6x + 1 = – 2x + 6$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 4x – 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} = – 1} \\
{{x_2} = 5}
\end{array} \Rightarrow S = {x_1} + {x_2} = 4} \right.$.
Câu 13. Gọi ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${7^{x + 1}} = {\left( {\frac{1}{7}} \right)^{{x^2} – 2x – 3}}$. Khi đó $x_1^2 + x_2^2$ bằng:
A. 17 .
B. 1 .
C. 5 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn C.
${7^{x + 1}} = {\left( {\frac{1}{7}} \right)^{{x^2} – 2x – 3}} \Leftrightarrow {7^{x + 1}} = {7^{ – \left( {{x^2} – 2x – 3} \right)}} \Leftrightarrow x + 1 = – {x^2} + 2x + 3 \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} = – 1} \\
{{x_2} = 2}
\end{array}} \right.$.
Vậy $x_1^2 + x_2^2 = 5$.
Câu 14. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình ${5^{3x – 2}} = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{ – {x^2}}}$ bằng
A. 2 .
B. 5 .
C. 0 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn B.
Ta có ${5^{3x – 2}} = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{ – {x^2}}} \Leftrightarrow {5^{3x – 2}} = {5^{{x^2}}} \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{x = 2}
\end{array}} \right.$.
Vậy tổng bình phương các nghiệm của phương trình ${5^{3x – 2}} = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{ – {x^2}}}$ bằng 5 .
Câu 15. Cho phương trình ${2^{\left| {\frac{{28}}{3}x + 4} \right|}} = {16^{{x^2} – 1}}$. Khẳng định nào sau đây là đúng:
A. Nghiệm của phương trình là các số vô tỷ.
B. Tổng các nghiệm của một phương trình là một số nguyên.
C. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.
D. Phương trình vô nghiệm.
Lời giải
Chọn C.
${2^{\left| {\frac{{28}}{3}x + 4} \right|}} = {16^{{x^2} – 1}} \Leftrightarrow {2^{\left| {\frac{{28}}{3}x + 4} \right|}} = {2^{4{x^2} – 4}} \Leftrightarrow \left| {\frac{{28}}{3}x + 4} \right| = 4{x^2} – 4\left( 1 \right)$.
TH1: Nếu $x > – \frac{3}{7}$. PT (1): $\frac{{28}}{3}x + 4 = 4{x^2} – 4 \Leftrightarrow 4{x^2} – \frac{{28}}{3}x – 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3{\text{(TM)}}} \\
{x = – \frac{2}{3}\left( L \right)}
\end{array}} \right.$
TH1: Nếu $x \leqslant – \frac{3}{7}$. PT (1): $ – \frac{{28}}{3}x – 4 = 4{x^2} – 4 \Leftrightarrow 4{x^2} + \frac{{28}}{3}x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0\,\left( L \right)} \\
{x = – \frac{7}{3}\left( {TM} \right)}
\end{array}} \right.$
Phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ { – \frac{7}{3};3} \right\}$.
Câu 16. Tập nghiệm của phương trình: ${4^{x + 1}} + {4^{x – 1}} = 272$ là
A. $\left\{ {3;2} \right\}$.
B. $\left\{ 2 \right\}$.
C. $\left\{ 3 \right\}$.
D. $\left\{ {3;5} \right\}$.
Lời giải
Chọn C.
${4^{x + 1}} + {4^{x – 1}} = 272 \Leftrightarrow {4.4^x} + \frac{{{4^x}}}{4} = 272 \Leftrightarrow {4^x} = 64 \Leftrightarrow x = 3$
Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ 3 \right\}$.
Câu 17. Giải phương trình $5 \cdot {3^x} + 3 \cdot {2^x} = 7 \cdot {2^x} – 4 \cdot {3^x}$.
A. $x = 1$.
B. $x = – 1$.
C. $x = 2$.
D. $x = – 2$.
Lời giải
Chọn D.
${5.3^x} + {3.2^x} = {7.2^x} – {4.3^x} \Leftrightarrow {3^x}\left( {5 + 4} \right) = {2^x}\left( {7 – 3} \right)$
$ \Leftrightarrow {3^x}.9 = {2^x}.4 \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ – 2}} \Leftrightarrow x = – 2$
Câu 18. Giải phương trình ${5^x} + {5^{x – 1}} + {5^{x – 2}} = {3^{x + 1}} + {3^{x – 1}} + {3^{x – 2}}$.
A. $x = 2$.
B. $x = 3$.
C. $x = – 2$.
D. $x = 4$.
Lời giải
Chọn A.
${5^x} + {5^{x – 1}} + {5^{x – 2}} = {3^{x + 1}} + {3^{x – 1}} + {3^{x – 2}} \Leftrightarrow {5^{x – 2}}\left( {{5^2} + 5 + 1} \right) = {3^{x – 2}}\left( {{3^3} + 3 + 1} \right) $
$\Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{3}} \right)^{x – 2}} = 1 = {\left( {\frac{5}{3}} \right)^0} \Leftrightarrow x = 2$
Câu 19. Giải phương trình ${3^{x + 1}} + {5^{x + 2}} = {3^{x + 2}} + {5^{x + 1}}$.
A. $S = \left\{ {lo{g_{\frac{5}{3}}}\frac{3}{{10}}} \right\}$
B. $S = \left\{ {lo{g_{\frac{5}{3}}}3} \right\}$.
C. $S = \left\{ {lo{g_{\frac{5}{3}}}5} \right\}$.
D. $S = \left\{ {lo{g_3}\frac{3}{{10}}} \right\}$.
Lời giải
Chọn A.
${3^{x + 1}} + {5^{x + 2}} = {3^{x + 2}} + {5^{x + 1}}$
$ \Leftrightarrow {25.5^x} – 5 \cdot {5^x} = {9.3^x} – 3 \cdot {3^x}$
$ \Leftrightarrow {20.5^x} = {6.3^x}$
$ \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{3}} \right)^x} = \frac{3}{{10}}$
$ \Leftrightarrow x =lo{g_{\frac{5}{3}}}\frac{3}{{10}}$
$ \Rightarrow S = \left\{ {lo{g_{\frac{5}{3}}}\frac{3}{{10}}} \right\}$
Câu 20. Giải phương trình ${6^{2x + 3}} – {2^{x + 7}} \cdot {3^{3x – 1}} = 0$.
A. $S = \left\{ 1 \right\}$.
B. $S = \left\{ 2 \right\}$.
C. $S = \left\{ 4 \right\}$.
D. $S = \left\{ 3 \right\}$.
Lời giải
Chọn C.
${6^{2x + 3}} – {2^{x + 7}} \cdot {3^{3x – 1}} = 0$
$ \Leftrightarrow {6^{2x + 3}} = {2^{x + 7}} \cdot {3^{3x – 1}}$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}{6^{2x + 3}} =lo{g_2}\left( {{2^{x + 7}} \cdot {3^{3x – 1}}} \right)$
$ \Leftrightarrow \left( {2x + 3} \right)lo{g_2}6 = \left( {x + 7} \right)lo{g_2}2 + \left( {3x – 1} \right)lo{g_2}3$
$ \Leftrightarrow \left( {2x + 3} \right)\left( {1 +lo{g_2}3} \right) = x + 7 + \left( {3x – 1} \right)lo{g_2}3 \Leftrightarrow \left( {1 -lo{g_2}3} \right)x = 4 – 4lo{g_2}3 \Leftrightarrow x = 4$
$ \Rightarrow S = \left\{ 4 \right\}$
Câu 21. Phương trình ${3^x} \cdot {2^{x + 1}} = 72$ có nghiệm là
A. $x = \frac{5}{2}$.
B. $x = 2$.
C. $x = \frac{3}{2}$.
D. $x = 3$.
Lời giải
Chọn B.
${3^x} \cdot {2^{x + 1}} = 72 \Leftrightarrow {3^x} \cdot {2^x} \cdot 2 = 72 \Leftrightarrow {6^x} = 36 \Leftrightarrow x = 2$.
Câu 22. Tập nghiệm $S$ của phương trình ${\left( {\frac{4}{7}} \right)^x}{\left( {\frac{7}{4}} \right)^{3x – 1}} – \frac{{16}}{{49}} = 0$ là
A. $S = \left\{ {\frac{{ – 1}}{2}} \right\}$
B. $S = \left\{ 2 \right\}$
C. $S = \left\{ {\frac{1}{2};\frac{{ – 1}}{2}} \right\}$
D. $S = \left\{ {\frac{{ – 1}}{2};2} \right\}$
Lời giải
Chọn A.
Ta có
$\begin{array}{*{20}{r}}
{}&{{{\left( {\frac{4}{7}} \right)}^x}{{\left( {\frac{7}{4}} \right)}^{3x – 1}} – \frac{{16}}{{49}} = {{\left( {\frac{4}{7}} \right)}^x}{{\left( {\frac{7}{4}} \right)}^x}{{\left( {\frac{7}{4}} \right)}^{2x – 1}} – \frac{{16}}{{49}} = {{\left( {\frac{7}{4}} \right)}^{2x – 1}} – \frac{{16}}{{49}} = 0} \\
{}&{\; \Leftrightarrow {{\left( {\frac{7}{4}} \right)}^{2x – 1}} = \frac{{16}}{{49}} = {{\left( {\frac{7}{4}} \right)}^{ – 2}} \Leftrightarrow 2x – 1 = – 2 \Leftrightarrow x = \frac{{ – 1}}{2}.}
\end{array}$
Câu 23. Giải phương trình ${3^{2x – 1}} \cdot {15^{3x}} \cdot {5^{ – 3x}} = \sqrt[3]{9}$.
A. $x = \frac{1}{7}$.
B. $x = \frac{4}{3}$.
C. $x = 2$.
D. $x = \frac{1}{3}$.
Lời giải
Chọn D.
${3^{2x – 1}} \cdot {15^{3x}} \cdot {5^{ – 3x}} = \sqrt[3]{9} \Leftrightarrow {3^{2x – 1}} \cdot {3^{3x}} \cdot \left( {{5^{3x}} \cdot {5^{ – 3x}}} \right) = {3^{\frac{2}{3}}}$
$ \Leftrightarrow {3^{5x – 1}} = {3^{\frac{2}{3}}} \Leftrightarrow 5x – 1 = \frac{2}{3} \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}$
Câu 24. Phương trình ${3^{{x^2}}} \cdot {4^{x + 1}} – \frac{1}{{{3^x}}} = 0$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$. Tính $T = {x_1} \cdot {x_2} + {x_1} + {x_2}$.
A. $T = -lo{g_3}4$.
B. $T =lo{g_3}4$.
C. $T = – 1$.
D. $T = 1$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có ${3^{{x^2}}} \cdot {4^{x + 1}} – \frac{1}{{{3^x}}} = 0$
$ \Leftrightarrow {3^{x\left( {x + 1} \right)}} \cdot {4^{x + 1}} = 1$
$ \Leftrightarrow log\left( {{3^{x\left( {x + 1} \right)}} \cdot {4^{x + 1}}} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow log{3^{x\left( {x + 1} \right)}} + log{4^{x + 1}} = 0$
$ \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right)log3 + \left( {x + 1} \right)log4 = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {xlog3 + log4} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1} \\
{x = -lo{g_3}4}
\end{array}} \right.$
Do đó $T = {x_1} \cdot {x_2} + {x_1} + {x_2} =lo{g_3}4 – \left( {1 +lo{g_3}4} \right) = – 1$
Câu 25. Cho phương trình ${\left( {{x^2} – x + 1} \right)^{{x^2} – 1}} = 1$. Số nghiệm phương trình là
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn C.
${\left( {{x^2} – x + 1} \right)^{{x^2} – 1}} = 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – x + 1 > 0} \\
{\left( {{x^2} – x} \right)\left( {{x^2} – 1} \right) = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1} \\
{x = 0} \\
{x = 1}
\end{array} \Rightarrow S = \left\{ { – 1;0;1} \right\}} \right.} \right.$
Câu 26. Cho phương trình ${(x + 1)^{\sqrt {x – 3} }} = 1$. Số nghiệm phương trình là
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn A.
• Điều kiện: $x \geqslant 3$
${(x + 1)^{\sqrt {x – 3} }} = 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 1 > 0} \\
{x\sqrt {x – 3} = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{x = 3}
\end{array}} \right.} \right.$
• Đối chiếu điều kiện: $ \Rightarrow S = \left\{ 3 \right\}$
Câu 27. Cho phương trình ${\left( {{x^2} + 3} \right)^{\left| {{x^2} – 5x + 4} \right|}} = {\left( {{x^2} + 3} \right)^{x + 4}}$. Số nghiệm phương trình là
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn B.
${\left( {{x^2} + 3} \right)^{\left| {{x^2} – 5x + 4} \right|}} = {\left( {{x^2} + 3} \right)^{x + 4}} \Leftrightarrow \left| {{x^2} – 5x + 4} \right| = x + 4$
+Xét ${x^2} – 5x + 4 \geqslant 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \leqslant 1} \\
{x \geqslant 4}
\end{array}} \right.$
$\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} – 5x + 4 = x + 4 \Leftrightarrow {x^2} – 6x = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{x = 6}
\end{array}{\text{(thỏa mãn)}} \Rightarrow {S_1} = \left\{ {0;6} \right\}} \right.$
+xét: ${x^2} – 5x + 4 < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 4$
$\left( 2 \right) \Leftrightarrow – \left( {{x^2} – 5x + 4} \right) = x + 4 \Leftrightarrow {x^2} – 4x + 8 = 0\left( {VN} \right) \Rightarrow {S_2} = \emptyset $
Vậy nghiệm là: $S = {S_1} \cap {S_1} = \left\{ {0,6} \right\}$
Câu 28. Giải phương trình ${(2,5)^{5x – 7}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{x + 1}}$.
A. $x \geqslant 1$.
B. $x = 1$.
C. $x < 1$.
D. $x = 2$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có ${(2,5)^{5x – 7}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{x + 1}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{2}} \right)^{5x – 7}} = {\left( {\frac{5}{2}} \right)^{ – x – 1}} \Leftrightarrow 5x – 7 = – x – 1 \Leftrightarrow x = 1$.
Câu 29. Tìm nghiệm của phương trình ${(7 + 4\sqrt 3 )^{2x + 1}} = 2 – \sqrt 3 $.
A. $x = \frac{1}{4}$.
B. $x = – 1 +lo{g_{7 + 4\sqrt 3 }}\left( {2 – \sqrt 3 } \right)$.
C. $x = – \frac{3}{4}$.
D. $x = \frac{{25 – 15\sqrt 3 }}{2}$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
${(7 + 4\sqrt 3 )^{2x + 1}} = 2 – \sqrt 3 \Leftrightarrow {(2 + 2\sqrt 3 )^{4x + 2}} = {(2 + \sqrt 3 )^{ – 1}} $
$\Leftrightarrow 4x + 2 = – 1 \Leftrightarrow 4x = – 3 \Leftrightarrow x = – \frac{3}{4}$.
Câu 30. Tích các nghiệm của phương trình ${(\sqrt 5 + 2)^{x – 1}} = {(\sqrt 5 – 2)^{\frac{{x – 1}}{{x + 1}}}}$ là
A. -2 .
B. -4 .
C. 4 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn A.
ĐКXĐ : $x \ne – 1$
Vì $\left( {\sqrt 5 – 2} \right)\left( {\sqrt 5 + 2} \right) = 1$ nên $\left( {\sqrt 5 – 2} \right) = {(\sqrt 5 + 2)^{ – 1}}$.
Khi đó phương trình đã cho tương đương ${(\sqrt 5 + 2)^{x – 1}} = {(\sqrt 5 + 2)^{\frac{{ – x + 1}}{{x + 1}}}}$
$ \Leftrightarrow x – 1 = \frac{{ – x + 1}}{{x + 1}}$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{x = – 2}
\end{array}} \right.$. (thỏa điều kiện) Suy ra tích hai nghiệm là -2 .
Câu 31. Phương trình ${(5 + 2\sqrt 6 )^{3x + 1}} = {(5 – 2\sqrt 6 )^{5x + 8}}$ có tích các nghiệm là?
A. $ – \frac{7}{8}$
B. 4
C. $ – \frac{9}{8}$
D. $\frac{1}{7}$
Lời giải
Chọn C.
Nhận xét: $\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right) \cdot \left( {5 – 2\sqrt 6 } \right) = 1 \Rightarrow 5 – 2\sqrt 6 = \frac{1}{{5 + 2\sqrt 6 }} \Leftrightarrow 5 – 2\sqrt 6 = {(5 + 2\sqrt 6 )^{ – 1}}$.
Do đó
$\begin{array}{*{20}{r}}
{}&{\;{{(5 + 2\sqrt 6 )}^{3x + 1}} = {{(5 – 2\sqrt 6 )}^{5x + 8}}} \\
{}&{\; \Leftrightarrow {{(5 + 2\sqrt 6 )}^{3x + 1}} = {{(5 + 2\sqrt 6 )}^{ – 5x – 8}}} \\
{}&{\; \Leftrightarrow 3x + 1 = – 5x – 8 \Leftrightarrow x = – \frac{9}{8}}
\end{array}$
Câu 32. Tổng các nghiệm thực của phương trình ${(3 + 2\sqrt 2 )^{x + 1}} = {(3 – 2\sqrt 2 )^{2x + 8}}$ là:
A. 6
B. -4
C. 3
D. -3
Lời giải
Chọn D.
Nhận xét: $\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right) \cdot \left( {3 – 2\sqrt 2 } \right) = 1 \Rightarrow 3 – 2\sqrt 2 = \frac{1}{{3 + 2\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left( {3 – 2\sqrt 2 } \right) = {(3 + 2\sqrt 2 )^{ – 1}}$.
Do đó
${(3 + 2\sqrt 2 )^{x + 1}} = {(3 – 2\sqrt 2 )^{2x + 8}}$
$ \Leftrightarrow {(3 + 2\sqrt 2 )^{x + 1}} = {(3 + 2\sqrt 2 )^{ – 2x – 8}}$
$ \Leftrightarrow x + 1 = – 2x – 8 \Leftrightarrow x = – 3$
DẠNG 2: LÔGARIT HÓA
Phương pháp:
Logarit hóa: ${a^{f\left( x \right)}} = b \Leftrightarrow f\left( x \right) =lo{g_a}b$
${a^{f\left( x \right)}} = {b^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) =lo{g_a}b.g\left( x \right)$
Câu 33. Giải phương trình ${3^{{5^x}}} = {5^{{3^x}}}$.
A. $x = 2$.
B. $x =lo{g_5}\left( {lo{g_3}5} \right)$.
C. $x =lo{g_3}\left( {lo{g_3}5} \right)$.
D. $x =lo{g_{\frac{5}{3}}}\left( {lo{g_3}5} \right)$.
Lời giải
Chọn D.
${3^{{5^x}}} = {5^{{3^x}}} \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {{3^{{5^x}}}} \right) =lo{g_3}\left( {{5^{{3^x}}}} \right) \Leftrightarrow {5^x} = {3^x}lo{g_3}5 \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{3}} \right)^x} =lo{g_3}5 \Leftrightarrow x =lo{g_{\frac{5}{3}}}\left( {lo{g_3}5} \right)$
Câu 34. Giải phương trình ${3^x} = {2^{5 – 2x}}$.
A. $x = \frac{{1 + 2lo{g_3}2}}{{5lo{g_3}2}}$.
B. $x = \frac{{5lo{g_3}2}}{{1 + 2lo{g_3}2}}$.
C. $x = 5lo{g_3}2$.
D. $x = 3$.
Lời giải
Chọn B.
${3^x} = {2^{5 – 2x}} \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {{3^x}} \right) =lo{g_3}\left( {{2^{5 – 2x}}} \right) \Leftrightarrow x = \left( {5 – 2x} \right)lo{g_3}2$
$ \Leftrightarrow x\left( {1 + 2lo{g_3}2} \right) = 5lo{g_3}2 \Leftrightarrow x = \frac{{5lo{g_3}2}}{{1 + 2lo{g_3}2}}$
Câu 35. Giải phương trình ${2^{x – 3}} = {3^{{x^2} – 5x + 6}}$.
A. $S = \left\{ {2 +lo{g_3}2;3} \right\}$.
B. $S = \left\{ {lo{g_3}2;3} \right\}$.
C. $S = \left\{ {2 +lo{g_3}2} \right\}$.
D. $S = \left\{ {2 +lo{g_3}2;1} \right\}$.
Lời giải
Chọn B.
Lấy logarit cơ số 2 hai vế (hoặc có thể lấy $lo{g_3}$ hai vế), ta được:
${2^{x – 3}} = {3^{{x^2} – 5x + 6}}$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}{2^{x – 3}} =lo{g_3}{3^{{x^2} – 5x + 6}}$
$ \Leftrightarrow \left( {x – 3} \right)lo{g_2}2 = \left( {{x^2} – 5x + 6} \right)lo{g_2}3$
$ \Leftrightarrow \left( {x – 3} \right) – \left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right)lo{g_2}3 = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {x – 3} \right) \cdot \left[ {1 – \left( {x – 2} \right)lo{g_2}3} \right] = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – 3 = 0} \\
{1 – \left( {x – 2} \right)lo{g_2}3}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3} \\
{\left( {x – 2} \right)lo{g_2}3 = 1}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3} \\
{x – 2 = \frac{1}{{lo{g_2}3}}}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3} \\
{x =lo{g_3}2 + 2}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3} \\
{x =lo{g_3}2 +lo{g_3}9}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3} \\
{x =lo{g_3}18}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3} \\
{x = 2 +lo{g_3}2}
\end{array}} \right.$
Câu 36. Cho phương trình ${5^{2{x^4} – 5{x^2} + 3}} – {7^{{x^2} – \frac{3}{2}}} = 0$. Số nghiệm của phương trình là:
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn D.
${5^{2{x^4} – 5{x^2} + 3}} – {7^{{x^2} – \frac{3}{2}}} = 0$
$ \Leftrightarrow lo{g_5}{5^{2{x^4} – 5{x^2} + 3}} -lo{g_5}{7^{{x^2} – \frac{3}{2}}} = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {2{x^4} – 5{x^2} + 3} \right)lo{g_5}5 – \left( {{x^2} – \frac{3}{2}} \right)lo{g_5}7 = 0$
$ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} – 1} \right)\left( {{x^2} – \frac{3}{2}} \right) – \left( {{x^2} – \frac{3}{2}} \right)lo{g_5}7 = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {{x^2} – \frac{3}{2}} \right) \cdot \left[ {2\left( {{x^2} – 1} \right) -lo{g_5}7} \right] = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} = \frac{3}{2}} \\
{{x^2} = 1 + \frac{1}{2}lo{g_5}7}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \pm \frac{{\sqrt 6 }}{2}} \\
{x = \pm \sqrt {1 + \frac{1}{2}lo{g_5}7} }
\end{array}} \right.$
Câu 37. Cho phương trình ${3^x} \cdot {2^{{x^2}}} = 1$. Số nghiệm của phương trình là:
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn B.
${3^x} \cdot {2^{{x^2}}} = 1$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {{3^x} \cdot {2^{{x^2}}}} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}{3^x} +lo{g_2}{2^x} = 0$
$ \Leftrightarrow xlo{g_2}3 + {x^2} = 0$
$ \Leftrightarrow x\left( {lo{g_2}3 + x} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{x = -lo{g_2}3}
\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow S = \left\{ { -lo{g_2}3;0} \right\}$
Câu 38. Giải phương trình ${2^{{x^2} – 4}} = {3^{x – 2}}$.
A. $S = \left\{ {2 +lo{g_3}2;3} \right\}$.
B. $S = \left\{ { – 2 +lo{g_2}3;2} \right\}$.
C. $S = \left\{ {2 +lo{g_3}2} \right\}$.
D. $S = \left\{ {2 +lo{g_3}2;1} \right\}$.
Lời giải
Chọn B.
${2^{{x^2} – 4}} = {3^{x – 2}}$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}{2^{{x^2} – 4}} =lo{g_2}{3^{x – 2}}$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 4 = \left( {x – 2} \right)lo{g_2}3$
$ \Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left( {x + 2 -lo{g_2}3} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2} \\
{x = – 2 +lo{g_2}3}
\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow S = \left\{ { – 2 +lo{g_2}3;2} \right\}$
Có thể làm cách này nếu nhóm nhân tử chung không được nhưng dài dòng:
${2^{{x^2} – 4}} = {3^{x – 2}}$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}{2^{{x^2} – 4}} =lo{g_2}{3^{x – 2}}$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 4 = \left( {x – 2} \right)lo{g_2}3$
$ \Leftrightarrow {x^2} – x \cdot lo{g_2}3 + 2lo{g_2}3 – 4 = 0$
$\begin{array}{*{20}{r}}
{}&{\Delta = {{\left( {lo{g_2}3} \right)}^2} – 4\left( {2lo{g_2}3 – 4} \right) = {{\left( {lo{g_2}3 – 4} \right)}^2} \Rightarrow \sqrt \Delta = \left| {lo{g_2}3 – 4} \right|} \\
{}&{\; \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{{lo{g_2}3 – \left( {lo{g_2}3 – 4} \right)}}{2} = 2} \\
{x = \frac{{lo{g_2}3 + \left( {lo{g_2}3 – 4} \right)}}{2} = – 2 +lo{g_2}3}
\end{array} \Rightarrow S = \left\{ { – 2 +lo{g_2}3;2} \right\}} \right.}
\end{array}$
Câu 39. Cho phương trình ${3^x} \cdot {4^{\frac{{x – 1}}{x}}} = 18$. Số nghiệm của phương trình là:
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn B.
• Điều kiện: $x \ne 0$
${3^x} \cdot {4^{\frac{{x – 1}}{x}}} = 18$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {{3^x} \cdot {4^{\frac{{x – 1}}{x}}}} \right) =lo{g_2}18$
$ \Leftrightarrow xlo{g_2}3 + 2 \cdot \left( {\frac{{x – 1}}{x}} \right) = 1 + 2lo{g_2}3$
$ \Leftrightarrow \left( {lo{g_2}3} \right) \cdot {x^2} + \left( {1 – 2lo{g_2}3} \right) \cdot x – 2 = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {lo{g_2}3} \right) \cdot {x^2} + \left( {1 – 2lo{g_2}3} \right) \cdot x – 2 = 0$
$\Delta = {\left( {1 – 2lo{g_2}3} \right)^2} + 8lo{g_2}3 = {\left( {1 + 2lo{g_2}3} \right)^2} \Rightarrow \sqrt \Delta = \left| {1 + 2lo{g_2}3} \right|$
$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{ – \left( {1 – 2lo{g_2}3} \right) + \left( {1 + 2lo{g_2}3} \right)}}{{2lo{g_2}3}} = 2} \\
{x = \frac{{ – \left( {1 – 2lo{g_2}3} \right) – \left( {1 + 2lo{g_2}3} \right)}}{{2lo{g_2}3}} = \frac{{ – 1}}{{lo{g_2}3}}}
\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow S = \left\{ {\frac{{ – 1}}{{lo{g_2}3}};2} \right\}$
Câu 40. Cho phương trình ${2^{{x^2}}} \cdot {4^x} = 256$. Tổng các nghiệm của phương trình là:
A. 1 .
B. 2 .
C. -2 .
D. -1 .
Lời giải
Chọn C.
${2^{{x^2}}} \cdot {4^x} = 256$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {{2^{{x^2}}} \cdot {4^x}} \right) =lo{g_2}256$
$ \Leftrightarrow {x^2} + 2x – 8 = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 4} \\
{x = 2}
\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow S = \left\{ { – 4;2} \right\}$
Câu 41. Cho phương trình ${3^{{x^2} – 4x}} = {2^{x – 4}}$. Tổng các nghiệm của phương trình là:
A. $4 -lo{g_2}3$.
B. $4 -lo{g_3}2$.
C. $4 +lo{g_3}2$.
D. $4 +lo{g_2}3$.
Lời giải
Chọn C.
${3^{{x^2} – 4x}} = {2^{x – 4}}$
$ \Leftrightarrow lo{g_3}{3^{{x^2} – 4x}} =lo{g_3}{2^{x – 4}}$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 4x = \left( {x – 4} \right)lo{g_3}2$
$ \Leftrightarrow \left( {x – 4} \right)\left( {x -lo{g_3}2} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 4} \\
{x =lo{g_3}2}
\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow S = \left\{ {lo{g_3}2;4} \right\}$
Có thể làm cách này nếu nhóm nhân tử chung không được, nhưng dài dòng:
${3^{{x^2} – 4x}} = {2^{x – 4}} \Leftrightarrow lo{g_3}{3^{{x^2} – 4x}} =lo{g_3}{2^{x – 4}}$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 4x = \left( {x – 4} \right)lo{g_3}2 \Leftrightarrow {x^2} – \left( {4 +lo{g_3}2} \right)x + 4lo{g_3}2 = 0$
$\Delta = {\left( {4 +lo{g_3}2} \right)^2} – 16lo{g_3}2 = {\left( {4 -lo{g_3}2} \right)^2} \Rightarrow \sqrt \Delta = \left| {4 -lo{g_3}2} \right|$
$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{{\left( {4 +lo{g_3}2} \right) – \left( {4 -lo{g_3}2} \right)}}{2} =lo{g_3}2} \\
{x = \frac{{\left( {4 +lo{g_3}2} \right) + \left( {4 -lo{g_3}2} \right)}}{2} = 4}
\end{array} \Rightarrow S = \left\{ {lo{g_3}2;4} \right\}} \right.$
Câu 42. Cho phương trình ${5^{{x^2} – 5x + 6}} = {2^{x – 2}}$. Tổng các nghiệm của phương trình là:
A. $5 +lo{g_5}2$.
B. $5 -lo{g_5}2$.
C. $5 -lo{g_2}5$.
D. $5 +lo{g_2}5$.
Lời giải
Chọn A.
${5^{{x^2} – 5x + 6}} = {2^{x – 2}}$
$ \Leftrightarrow lo{g_5}{5^{{x^2} – 5x + 6}} =lo{g_5}{2^{x – 2}}$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 5x + 6 = \left( {x – 2} \right)lo{g_5}2$
$ \Leftrightarrow {x^2} – \left( {5 +lo{g_5}2} \right)x + 6 + 2lo{g_5}2 = 0$
$\Delta = {\left( {5 +lo{g_5}2} \right)^2} – 4\left( {6 + 2lo{g_5}2} \right) = {\left( {1 +lo{g_5}2} \right)^2} \Rightarrow \sqrt \Delta = \left| {1 +lo{g_5}2} \right|$
$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{{\left( {5 +lo{g_5}2} \right) – \left( {1 +lo{g_5}2} \right)}}{2} = 2} \\
{x = \frac{{\left( {5 +lo{g_5}2} \right) + \left( {1 +lo{g_5}2} \right)}}{2} = 3 +lo{g_5}2}
\end{array} \Rightarrow S = \left\{ {2;3 +lo{g_5}2} \right\}} \right.$
Câu 43. Số giao điểm của các đồ thị hàm số $y = {3^{{x^2} + 1}}$ và $y = 5$ là
A. 0 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 1 .
Lời giải
Chọn C.
Số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = {3^{{x^2} + 1}}$ và $y = 5$ bằng số nghiệm của phương trình ${3^{{x^2} + 1}} = 5$ $ + ){3^{{x^2} + 1}} = 5 \Leftrightarrow {x^2} + 1 =lo{g_3}5 \Leftrightarrow {x^2} =lo{g_3}5 – 1 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {lo{g_3}5 – 1} $
+) Vậy số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = {3^{{x^2} + 1}}$ và $y = 5$ bằng 2
Câu 44. Tính tích các nghiệm thực của phương trình ${2^{{x^2} – 1}} = {3^{2x + 3}}$
A. $ – 3lo{g_2}3$.
B. $ -lo{g_2}54$.
C. -1 .
D. $1 -lo{g_2}3$.
Lời giải
Chọn B.
$PT \Leftrightarrow lo{g_2}{2^{{x^2} – 1}} =lo{g_2}{3^{2x + 3}}$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 1 = \left( {2x + 3} \right)lo{g_2}3$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 2x \cdot lo{g_2}3 – 1 – 3lo{g_2}3 = 0$
Do 1. $\left( { – 1 – 3lo{g_2}3} \right) < 0$ nên phương trình luôn có 2 nghiệm thực phân biệt ${x_1},{x_2}$.
Theo Vi-ét ta có ${x_1}{x_2} = – 1 – 3lo{g_2}3 = -lo{g_2}2 -lo{g_2}27 = -lo{g_2}54$.
