Đề kiểm tra học kỳ 1 Toán 11 Cánh diều giải chi tiết-Đề 3 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Tập giá trị của hàm số $y = 2sin3x + 3$ là
A. $\left[ {1;5} \right]$. B. $\left[ { – 1;1} \right]$. C. $\left( {1;5} \right)$ D. $\;\mathbb{R}$.
Câu 2: Cho góc lượng giác thỏa mãn $ – \pi < \alpha < – \frac{\pi }{2}$ và $cos\alpha = – \frac{3}{5}$. Khi đó $sin\alpha $
A. $\frac{4}{5}$. B. $ – \frac{4}{5}$ C. $ – \frac{2}{5}$ D. $\frac{2}{5}$
Câu 3: Tích $sinacosb$ bằng
A. $\frac{1}{2}\left[ {sin\left( {a – b} \right) + sin\left( {a + b} \right)} \right]$. B. $\frac{1}{2}\left[ {sin\left( {a – b} \right) – sin\left( {a + b} \right)} \right]$.
C. $\frac{1}{2}\left[ {cos\left( {a – b} \right) – cos\left( {a + b} \right)} \right]$. D. $\frac{1}{2}\left[ {cos\left( {a – b} \right) + cos\left( {a + b} \right)} \right]$.
Câu 4: Tập giá trị của hàm số $y = cos2x$ là
A. $\left[ { – 1;1} \right]$. B. $\left( { – 1;1} \right)$. C. $\mathbb{R}$. D. $\left[ { – 2;2} \right]$.
Câu 5: Chu kỳ của hàm số $y = tanx$ là
A. $\frac{\pi }{2}$. B. $k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ C. $2\pi $ D. $\pi $
Câu 6: Tập nghiệm của phương trình $tanx = – 1$ là
A. $S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$. B. $S = \left\{ { – \frac{\pi }{4} + k\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
C. $S = \left\{ {\frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}$. D. $S = \left\{ { \pm \frac{\pi }{4} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
Câu 7: Phương trình $cosx + m – 1 = 0$ có nghiệm khi:
A. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m < 0} \\
{m > 2}
\end{array}} \right.$. B. $m > 1$ C. $ – 1 \leqslant m \leqslant 1$ D. $0 \leqslant m \leqslant 2$
Câu 8: Cho dãy số ${u_n} = \frac{{3n}}{{{n^2} + 2}}$ với Số $\frac{7}{{33}}$ là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy số?
A. 12 . B. 13 . C. 14 . D. 15 .
Câu 9: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được xác định như sau ${u_1} = – 1$ và ${u_{n + 1}} = {u_n} – 2$ với $n \geqslant 1$. Số hạng ${u_2}$ bằng.
A. -3 . B. -1 . C. 3 . D. 1 .
Câu 10: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có công thức số hạng tổng quát ${u_n} = {n^2} + 5$. Có bao nhiêu số hạng của dãy số có giá trị nằm trong khoảng $\left( {100;1000} \right)$ ?
A. 21 . B. 22 . C. 20 . D. 23 .
Câu 11: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_5} = 19} \\
{{u_9} = 35}
\end{array}} \right.$.
A. ${u_1} = 3,d = 4$. B. ${u_1} = – 3,d = 4$. C. ${u_1} = 3,d = – 4$. D. ${u_1} = – 3,d = – 4$.
Câu 12: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 2$ và công sai $d = 3$. Số hạng thứ 10 của cấp số đó là:
A. 32 . B. 23 . C. 29 . D. 30 .
Câu 13: Cho cấp số cộng với ${u_1} = \frac{{ – 1}}{3}$ và ${u_1} + {u_2} + {u_3} = 5$. Số hạng tổng quát của cấp số cộng là
A. ${u_n} = 2n – 7$ B. ${u_n} = 2n – \frac{7}{3}$. C. ${u_n} = \frac{4}{3}n – \frac{5}{3}$. D. ${u_n} = \frac{7}{3} – 2n$.
Câu 14: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng đầu ${u_1} = 2$ và công bội $q = 3$. Số hạng thứ ${\;^5}$ của cấp số nhân đó là
A. 14 . B. 162 . C. 17 . D. 486 .
Câu 15: Cho cấp số nhân với ${u_1} = – 1;q = \frac{{ – 1}}{{10}}$. Số $\frac{1}{{{{10}^{103}}}}$ là số hạng thứ mấy của $\left( {{u_n}} \right)$ ?
A. Số hạng thứ 105 . B. Không là số hạng của cấp số đã cho.
C. Số hạng thứ 104 . D. Số hạng thứ 103 .
Câu 16: Dãy số có công thức số hạng tổng quát nào dưới đây có biểu diễn hình học như hình vẽ?
A. ${u_n} = 6 + \frac{1}{n}$. B. ${u_n} = 6 – \frac{1}{n}$. C. ${u_n} = 1 – \frac{6}{n}$. D. ${u_n} = 1 + \frac{6}{n}$.
Câu 17: Cho dãy số $\left( {{a_n}} \right):{a_n} = \frac{{1 – 2{n^2}}}{{{n^2}}}$. Tìm giới hạn $lim{a_n}$
A. 0 . B. -2 . C. 1 . D. $ – \infty $.
Câu 18: Giá trị của giới hạn $lim\left( { – {n^2} + 2n + 2023} \right)$ là
A. -1 . B. $ – \infty $. C. $ + \infty $. D. 2023 .
Câu 19: Giá trị của giới hạn $lim\frac{{1 – 2{n^2}}}{{{n^2} + 3}}$ là
A. $-2$ B. $ 0$ C. $\frac{1}{3}$. D. $ 1$
Câu 20: Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (3{x^2} + 2x – 1)$ là
A. 3 . B. 4 . C. -1 . D. ${{ + \infty }}$.
Câu 21: Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (3{x^2} + 7x + 11)$ là
A. 37 . B. 38 . C. 39 . D. 40 .
Câu 22: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} – 12x + 35}}{{25 – 5x}}$.
A. $ – \frac{2}{5}$. B. ${{ + \infty }}$ C. $\frac{2}{5}$ D. ${{ – \infty }}$
Câu 23: Chi phí (đơn vị: triệu đồng) để sản xuất $x$ sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số $C\left( x \right) = 2x + 55$. Gọi $\overline C \left( x \right)$ là chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm. Khi số lượng sản phẩm sản xuất được càng lớn thì chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm càng gần với số tiền nào dưới đây (đơn vị triệu đồng)?
A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1 .
Câu 24: Hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {1 – x} }}$ liên tục trên khoảng nào?
A. $\left( { – \infty ;2} \right)$. B. $\left( {1; + \infty } \right)$ C. $R$. D. $\left( { – \infty ;1} \right)$.
Câu 25: Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{sinx – 2cosx}}{x}$. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số liên tục trên khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$. B. Hàm số liên tục trên khoảng $\left( { – 1;1} \right)$.
C. Hàm số liên tục trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$. D. Hàm số liên tục trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.
Câu 26: Cho tứ diện $ABCD$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$. Đường thẳng $MN$ song song với mặt phẳng nào sau đây?
A. $\left( {ABC} \right)$. B. $\left( {BCD} \right)$. C. $\left( {ABD} \right)$. D. $\left( {ACD} \right)$.
Câu 27: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $CD$ và $AD,G$ là trọng tâm tam giác $ACD.BG$ là giao tuyến của hai mặt phẳng nào?
A. $\left( {ABM} \right)$ và $\left( {BCN} \right)$. B. $\left( {ABM} \right)$ và $\left( {BDM} \right)$. C. $\left( {BCN} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$. D. $\left( {BMN} \right)$ và $\left( {ABD} \right)$.
Câu 28: Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng không có điểm chung.
B. Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song.
C. Hai đường thẳng cùng thuộc một mặt phẳng thì trùng nhau.
D. Hai đường thẳng chéo nhau thì cắt nhau.
Câu 29: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trọng tâm $\vartriangle ABC$ và $\vartriangle ABD$. Chọn khẳng định đúng.
A. $IJ$ cắt $AB$. B. $IJ$ song song với $AB$.
C. $IJ$ chéo nhau với $CD$. D. $IJ$ song song với $CD$.
Câu 30: Cho hình lăng trụ $ABC \cdot A’B’C’$. Gọi $I,J,K$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ABC,ACC’,A’B’C’$. Mặt phẳng nào sau đây song song với mặt phẳng (IJK)
A. $\left( {ABC} \right)$. B. $\left( {BB’C’} \right)$. C. $\left( {AA’C} \right)$. D. $\left( {A’BC’} \right)$.
Câu 31: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa
B. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
C. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
D. Hai mặt phẳng cùng đi qua ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng thì hai mặt phẳng đó trùng nhau
Câu 32: Cho hình chóp tứ giác $S \cdot ABCD$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SC$. Đường thẳng $MN$ song song với mặt phẳng nào dưới đây?
A. Mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$. B. Mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$. C. Mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$. D. Mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$.
Câu 33: Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
B. Phép chiếu song song biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
C. Phép chiếu song song biến tia thành tia.
D. Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song.
Câu 34: Cho lăng trụ tam giác $ABC \cdot A’B’C’$, gọi $M$ là trung điểm của $AC$. Khi đó hình chiếu song song của điểm $\;M$ lên $\left( {AA’B’B} \right)$ theo phương chiếu $CB$ là
A. Trung điểm $BC$. B. Trung điểm $AB$. C. Điểm $A$. D. Điểm $B$.
Câu 35: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M$ là điểm thuộc đoạn thẳng $AC$ sao cho $AM = 3 \cdot MC$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $M,\left( \alpha \right)$ song song với $BD,SC$. Giao điểm của $\left( \alpha \right)$ và các cạnh của hình chóp tạo thành đa giác có bao nhiêu cạnh?
A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 .
II. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 1: (0,5 điểm) Giải phương trình $sin\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.
Câu 2: (1,0 điểm) Trong sân vận động có tất cả 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 15 ghế. Các dãy sau, mỗi dãy nhiều hơn dãy ngay trước nó 4 ghế. Hỏi sân vận động có tất cả bao nhiêu ghế?
Câu 3: (1,0 điểm) Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
\frac{{\sqrt {x + 8} – 3}}{{x – 1}}\,khi\,x > 1 \hfill \\
2x + a\,khi\,x \leqslant 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Tìm tất cả các giá trị của $a$để hàm số đã cho liên tục tại điểm $x = 1$.
Câu 4: (0,5 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang với $AD//BC$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $\;SAD;\;E$ là điểm thuộc đoạn $\;AC$ sao cho $EC = xEA,(x > 0)$. Tìm $\;x$ để $GE//\left( {SBC} \right)$
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
| 1.A | 2.B | 3.A | 4.A | 5.D |
| 6.B | 7.D | 8.C | 9.A | 10.B |
| 11.A | 12.C | 13.B | 14.B | 15.C |
| 16.D | 17.B | 18.B | 19.A | 20.B |
| 21.A | 22.C | 23.C | 24.D | 25.B |
| 26.B | 27.A | 28.A | 29.D | 30.B |
| 31.B | 32.A | 33.D | 34.B | 35.C |
LỜI GIẢI
Câu 1: Tập giá trị của hàm số $y = 2sin3x + 3$ là
A. $\left[ {1;5} \right]$.
B. $\left[ { – 1;1} \right]$.
C. $\left( {1;5} \right)$
D. $\;\mathbb{R}$.
Lời giải
Ta có: $ – 1 \leqslant sin3x \leqslant 1 \Leftrightarrow – 2 \leqslant 2sin3x \leqslant 2$
$ \Leftrightarrow – 2 + 3 \leqslant 2sin3x + 3 \leqslant 2 + 3$
$ \Leftrightarrow 1 \leqslant 2sin3x + 3 \leqslant 5$.
Vậy tập giá giá trị của hàm số $y = 2sin3x + 3$ là $\left[ {1;5} \right]$.
Câu 2: Cho góc lượng giác thỏa mãn $ – \pi < \alpha < – \frac{\pi }{2}$ và $cos\alpha = – \frac{3}{5}$. Khi đó $sin\alpha $
A. $\frac{4}{5}$.
B. $ – \frac{4}{5}$
C. $ – \frac{2}{5}$
D. $\frac{2}{5}$
Lời giải
Ta có: $si{n^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1 \Leftrightarrow si{n^2}\alpha = 1 – {\left( { – \frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}$ mà $ – \pi < \alpha < – \frac{\pi }{2}$ nên $sin\alpha < 0$
Suy ra $sin\alpha = – \frac{4}{5}$.
Câu 3: Tích $sinacosb$ bằng
A. $\frac{1}{2}\left[ {sin\left( {a – b} \right) + sin\left( {a + b} \right)} \right]$.
B. $\frac{1}{2}\left[ {sin\left( {a – b} \right) – sin\left( {a + b} \right)} \right]$.
C. $\frac{1}{2}\left[ {cos\left( {a – b} \right) – cos\left( {a + b} \right)} \right]$.
D. $\frac{1}{2}\left[ {cos\left( {a – b} \right) + cos\left( {a + b} \right)} \right]$.
Lời giải
Câu 4: Tập giá trị của hàm số $y = cos2x$ là
A. $\left[ { – 1;1} \right]$.
B. $\left( { – 1;1} \right)$.
C. $\mathbb{R}$.
D. $\left[ { – 2;2} \right]$.
Lời giải
Vì $ – 1 \leqslant cos2x \leqslant 1,\forall x \in \mathbb{R}$ nên tập giá trị của hàm số $y = cos2x$ là $\left[ { – 1;1} \right]$.
Câu 5: Chu kỳ của hàm số $y = tanx$ là
A. $\frac{\pi }{2}$.
B. $k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
C. $2\pi $
D. $\pi $
Lời giải
Chu kỳ của hàm số $y = tanx$ là $\pi $.
Câu 6: Tập nghiệm của phương trình $tanx = – 1$ là
A. $S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
B. $S = \left\{ { – \frac{\pi }{4} + k\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
C. $S = \left\{ {\frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
D. $S = \left\{ { \pm \frac{\pi }{4} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
Lời giải
Ta có $tanx = – 1 \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{4} + k\pi ;k \in \mathbb{Z}$.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \left\{ { – \frac{\pi }{4} + k\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
Câu 7: Phương trình $cosx + m – 1 = 0$ có nghiệm khi:
A. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m < 0} \\
{m > 2}
\end{array}} \right.$.
B. $m > 1$
C. $ – 1 \leqslant m \leqslant 1$
D. $0 \leqslant m \leqslant 2$
Lời giải
Ta có: $cosx + m – 1 = 0 \Leftrightarrow cosx = 1 – m$.
Phương trình có nghiệm $ \Leftrightarrow – 1 \leqslant 1 – m \leqslant 1 \Leftrightarrow – 1 \leqslant m – 1 \leqslant 1 \Leftrightarrow 0 \leqslant m \leqslant 2$.
Câu 8: Cho dãy số ${u_n} = \frac{{3n}}{{{n^2} + 2}}$ với Số $\frac{7}{{33}}$ là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy số?
A. 12 .
B. 13 .
C. 14 .
D. 15 .
Lời giải
Ta có
$\frac{7}{{33}} = \frac{{3n}}{{{n^2} + 2}} \Leftrightarrow 7{n^2} + 14 = 99n \Leftrightarrow 7{n^2} – 99n + 14 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 14\left( {tm} \right)} \\
{n = \frac{1}{7}}
\end{array}} \right.$
Số $\frac{7}{{33}}$ là số hạng thứ 14 trong dãy số.
Câu 9: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được xác định như sau ${u_1} = – 1$ và ${u_{n + 1}} = {u_n} – 2$ với $n \geqslant 1$. Số hạng ${u_2}$ bằng.
A. -3 .
B. -1 .
C. 3 .
D. 1 .
Lời giải
Vì ${u_{n + 1}} = {u_n} – 2$ nên ${u_2} = {u_1} – 2 = – 1 – 2 = – 3$.
Câu 10: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có công thức số hạng tổng quát ${u_n} = {n^2} + 5$. Có bao nhiêu số hạng của dãy số có giá trị nằm trong khoảng $\left( {100;1000} \right)$ ?
A. 21 .
B. 22 .
C. 20 .
D. 23 .
Lời giải
Ta có $100 < {u_n} < 1000 \Leftrightarrow 100 < {n^2} + 5 < 1000 \Leftrightarrow 95 < {n^2} < 995 \Leftrightarrow \sqrt {95} < n < \sqrt {995} $. Vì $n \in {\mathbb{N}^*}$ nên $n \in \left\{ {10;11;12; \ldots \ldots .;31} \right\}$. Vậy có 22 số hạng.
Câu 11: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_5} = 19} \\
{{u_9} = 35}
\end{array}} \right.$.
A. ${u_1} = 3,d = 4$.
B. ${u_1} = – 3,d = 4$.
C. ${u_1} = 3,d = – 4$.
D. ${u_1} = – 3,d = – 4$.
Lời giải
Cấp số cộng có số hạng tổng quát ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d$.
Khi đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_5} = 19} \\
{{u_9} = 35}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} + 4d = 19} \\
{{u_1} + 8d = 35}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 3} \\
{d = 4.}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$
Câu 12: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 2$ và công sai $d = 3$. Số hạng thứ 10 của cấp số đó là:
A. 32 .
B. 23 .
C. 29 .
D. 30 .
Lời giải
Ta có: ${u_{10}} = {u_1} + \left( {10 – 1} \right) \cdot d = 2 + 9.3 = 29$
Câu 13: Cho cấp số cộng với ${u_1} = \frac{{ – 1}}{3}$ và ${u_1} + {u_2} + {u_3} = 5$. Số hạng tổng quát của cấp số cộng là
A. ${u_n} = 2n – 7$
B. ${u_n} = 2n – \frac{7}{3}$.
C. ${u_n} = \frac{4}{3}n – \frac{5}{3}$.
D. ${u_n} = \frac{7}{3} – 2n$.
Lời giải
Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng.
Ta có ${u_1} + {u_2} + {u_3} = 5 \Leftrightarrow {u_1} + \left( {{u_1} + d} \right) + \left( {{u_1} + 2d} \right) = 5 \Leftrightarrow 3{u_1} + 3d = 5$.
Mà ${u_1} = \frac{{ – 1}}{3}$, suy ra $3\left( {\frac{{ – 1}}{3}} \right) + 3d = 5 \Leftrightarrow d = 2$.
Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ là: ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d = \frac{{ – 1}}{3} + \left( {n – 1} \right)2 = 2n – \frac{7}{3}\forall n \geqslant 1$.
Câu 14: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng đầu ${u_1} = 2$ và công bội $q = 3$. Số hạng thứ $5$ của cấp số nhân đó là
A. 14 .
B. 162 .
C. 17 .
D. 486 .
Lời giải
Ta có ${u_5} = {u_1} \cdot {q^4} = 2 \cdot {3^4} = 162$.
Câu 15: Cho cấp số nhân với ${u_1} = – 1;q = \frac{{ – 1}}{{10}}$. Số $\frac{1}{{{{10}^{103}}}}$ là số hạng thứ mấy của $\left( {{u_n}} \right)$ ?
A. Số hạng thứ 105 .
B. Không là số hạng của cấp số đã cho.
C. Số hạng thứ 104 .
D. Số hạng thứ 103 .
Lời giải
Ta có ${u_n} = {u_1} \cdot {q^{n – 1}} \Rightarrow \frac{1}{{{{10}^{103}}}} = – 1 \cdot {\left( { – \frac{1}{{10}}} \right)^{n – 1}} \Rightarrow n – 1 = 103 \Rightarrow n = 104$
Vậy số $\frac{1}{{{{10}^{103}}}}$ là số hạng thứ 104 của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$
Câu 16: Dãy số có công thức số hạng tổng quát nào dưới đây có biểu diễn hình học như hình vẽ?
A. ${u_n} = 6 + \frac{1}{n}$.
B. ${u_n} = 6 – \frac{1}{n}$.
C. ${u_n} = 1 – \frac{6}{n}$.
D. ${u_n} = 1 + \frac{6}{n}$.
Lời giải
Dãy số $\left( {{u_n}} \right)\;$ với ${u_n} = 1 + \frac{6}{n}$ có biểu diễn hình học như hình vẽ.
Câu 17: Cho dãy số $\left( {{a_n}} \right):{a_n} = \frac{{1 – 2{n^2}}}{{{n^2}}}$. Tìm giới hạn $lim{a_n}$
A. 0 .
B. -2 .
C. 1 .
D. $ – \infty $.
Lời giải
Ta có $lim{a_n} = lim\frac{{1 – 2{n^2}}}{{{n^2}}} = lim\left( {\frac{1}{{{n^2}}} – 2} \right) = 0 – 2 = – 2$
Câu 18: Giá trị của giới hạn $lim\left( { – {n^2} + 2n + 2023} \right)$ là
A. -1 .
B. $ – \infty $.
C. $ + \infty $.
D. 2023 .
Lời giải
Ta có $lim\left( { – {n^2} + 2n + 2023} \right) = lim{n^2}\left( { – 1 + \frac{2}{n} + \frac{{2023}}{{{n^2}}}} \right) = – \infty $
Vì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{lim{n^2} = + \infty } \\
{lim\left( { – 1 + \frac{2}{n} + \frac{{2023}}{{{n^2}}}} \right) = – 1 < 0}
\end{array}} \right.$
Câu 19: Giá trị của giới hạn $lim\frac{{1 – 2{n^2}}}{{{n^2} + 3}}$ là
A. $-2$ B. $ 0$ C. $\frac{1}{3}$. D. $ 1$
Lời giải
Ta có
$lim\frac{{1 – 2{n^2}}}{{{n^2} + 3}} = lim\frac{{\frac{1}{{{n^2}}} – 2}}{{1 + \frac{3}{{{n^2}}}}} = – 2$
Câu 20: Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (3{x^2} + 2x – 1)$ là
A. 3 .
B. 4 .
C. -1 .
D. ${{ + \infty }}$.
Lời giải
Ta có
Câu 21: Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (3{x^2} + 7x + 11)$ là
A. 37 .
B. 38 .
C. 39 .
D. 40 .
Lời giải
Câu 22: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} – 12x + 35}}{{25 – 5x}}$.
A. $ – \frac{2}{5}$.
B. ${{ + \infty }}$
C. $\frac{2}{5}$
D. ${{ – \infty }}$
Lời giải
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} – 12x + 35}}{{25 – 5x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{\left( {x – 5} \right)\left( {x – 7} \right)}}{{ – 5\left( {x – 5} \right)}}$
Câu 23: Chi phí (đơn vị: triệu đồng) để sản xuất $x$ sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số $C\left( x \right) = 2x + 55$. Gọi $\overline C \left( x \right)$ là chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm. Khi số lượng sản phẩm sản xuất được càng lớn thì chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm càng gần với số tiền nào dưới đây (đơn vị triệu đồng)?
A. 4 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 1 .
Lời giải
Chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm là $\overline C \left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x} = \frac{{2x + 55}}{x}$ (triệu đồng)
Vậy khi số lượng sản phẩm sản xuất được càng lớn thì chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm càng gần với 2 (triệu đồng).
Câu 24: Hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {1 – x} }}$ liên tục trên khoảng nào?
A. $\left( { – \infty ;2} \right)$.
B. $\left( {1; + \infty } \right)$
C. ${R}$.
D. $\left( { – \infty ;1} \right)$.
Lời giải
Điều kiện xác định: $1 – x > 0 \Leftrightarrow x < 1$ nên hàm số trên liên tục trên khoảng $\left( { – \infty ;1} \right)$.
Câu 25: Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{sinx – 2cosx}}{x}$. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số liên tục trên khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$.
B. Hàm số liên tục trên khoảng $\left( { – 1;1} \right)$.
C. Hàm số liên tục trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.
D. Hàm số liên tục trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.
Lời giải
Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}$ nên hàm số liên tục trên các khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$; $\left( {1; + \infty } \right)$; $\left( {0; + \infty } \right)$ và không liên tục trên khoảng $\left( { – 1;1} \right)$.
Câu 26: Cho tứ diện $ABCD$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$. Đường thẳng $MN$ song song với mặt phẳng nào sau đây?
A. $\left( {ABC} \right)$.
B. $\left( {BCD} \right)$.
C. $\left( {ABD} \right)$.
D. $\left( {ACD} \right)$.
Lời giải
Vì $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN//BC$. Mà $BC \subset \left( {BCD} \right)$ nên $MN/\left( {BCD} \right)$.
Câu 27: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $CD$ và $AD,G$ là trọng tâm tam giác $ACD.BG$ là giao tuyến của hai mặt phẳng nào?
A. $\left( {ABM} \right)$ và $\left( {BCN} \right)$.
B. $\left( {ABM} \right)$ và $\left( {BDM} \right)$.
C. $\left( {BCN} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$.
D. $\left( {BMN} \right)$ và $\left( {ABD} \right)$.
Lời giải
Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{B \in \left( {ABM} \right)} \\
{B \in \left( {BCN} \right)}
\end{array} \Rightarrow B \in \left( {ABM} \right) \cap \left( {BCN} \right)} \right.$
$AM \cap CN = G \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{G \in AM,AM \subset \left( {ABM} \right)} \\
{G \in CN,CN \subset \left( {BCN} \right)}
\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow G \in \left( {ABM} \right) \cap \left( {BCN} \right)$
Vậy $\left( {ABM} \right) \cap \left( {BCN} \right) = BG$.
Câu 28: Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng không có điểm chung.
B. Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song.
C. Hai đường thẳng cùng thuộc một mặt phẳng thì trùng nhau.
D. Hai đường thẳng chéo nhau thì cắt nhau.
Lời giải
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không thuộc cùng một mặt phẳng nên chúng không có điểm chung.
Câu 29: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trọng tâm $\vartriangle ABC$ và $\vartriangle ABD$. Chọn khẳng định đúng.
A. $IJ$ cắt $AB$.
B. $IJ$ song song với $AB$.
C. $IJ$ chéo nhau với $CD$.
D. $IJ$ song song với $CD$.
Lời giải
Gọi $E$ là trung điểm $AB$.
Vì và lần lượt là trọng tâm tam giác $\;ABC$ và $ABD$ nên: $\frac{{EI}}{{EC}} = \frac{{EJ}}{{ED}} = \frac{1}{3}$.
Suy ra: $IJ//CD$.
Câu 30: Cho hình lăng trụ $ABC \cdot A’B’C’$. Gọi $I,J,K$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ABC,ACC’,A’B’C’$. Mặt phẳng nào sau đây song song với mặt phẳng (IJK)
A. $\left( {ABC} \right)$.
B. $\left( {BB’C’} \right)$.
C. $\left( {AA’C} \right)$.
D. $\left( {A’BC’} \right)$.
Lời giải
Gọi $M$ là trung điểm của $AC$, ta có $\frac{{MI}}{{MB}} = \frac{{MJ}}{{MC’}} = \frac{1}{3} \Rightarrow IJ//BC’$.
Gọi $N$ là trung điểm của $A’C’$, khi đó $MN//BB’,\frac{{MI}}{{MB}} = \frac{{NK}}{{NB’}} = \frac{1}{3} \Rightarrow IK//BB’$.
Do $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{IJ//BC’} \\
{IK//BB’} \\
{IJ,IK \subset \left( {IJK} \right)} \\
{BC’,BB’ \subset \left( {BC’B’} \right)}
\end{array}} \right.$$ \Rightarrow \left( {IJK} \right)//\left( {BB’C} \right)$
Vậy mặt phẳng $\left( {IJK} \right)$ song song với mặt phẳng $\left( {BB’C’} \right)$.
Câu 31: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa
B. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
C. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
D. Hai mặt phẳng cùng đi qua ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng thì hai mặt phẳng đó trùng nhau
Lời giải
Mệnh đề $A$ sai vì: Nếu hai mặt phẳng trùng nhau, khi đó hai mặt phẳng có vô số điểm chung và chung nhau vô số đường thẳng.
Câu 32: Cho hình chóp tứ giác $S \cdot ABCD$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SC$. Đường thẳng $MN$ song song với mặt phẳng nào dưới đây?
A. Mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.
B. Mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$.
C. Mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$.
D. Mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$.
Lời giải
Do $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SC$ nên $MN$ là đường trung bình của $\Delta SAC$.
Suy ra $MN//AC$.
Khi đó, $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{MN//AC} \\
{AC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow MN//\left( {ABCD} \right)} \\
{MN \not\subset \left( {ABCD} \right)}
\end{array}} \right.$
Câu 33: Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
B. Phép chiếu song song biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
C. Phép chiếu song song biến tia thành tia.
D. Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song.
Lời giải
Câu $D$ sai vì phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Câu 34: Cho lăng trụ tam giác $ABC \cdot A’B’C’$, gọi $M$ là trung điểm của $AC$. Khi đó hình chiếu song song của điểm $\;M$ lên $\left( {AA’B’B} \right)$ theo phương chiếu $CB$ là
A. Trung điểm $BC$.
B. Trung điểm $AB$.
C. Điểm $A$.
D. Điểm $B$.
Lời giải
Gọi $N$ là trung điểm của $AB \Rightarrow MN//CB$.
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{MN//CB} \\
{N \in AB \subset \left( {AA’B’B} \right)}
\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow $ Hình chiếu song song của điểm $M$ lên $\left( {AA’B’} \right)$ theo phương chiếu $CB$ là điểm $N$.
Câu 35: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M$ là điểm thuộc đoạn thẳng $AC$ sao cho $AM = 3 \cdot MC$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $M,\left( \alpha \right)$ song song với $BD,SC$. Giao điểm của $\left( \alpha \right)$ và các cạnh của hình chóp tạo thành đa giác có bao nhiêu cạnh?
A. 3 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 6 .
Lời giải
Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{M \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right)} \\
{BD \subset \left( {ABCD} \right)} \\
{BD//\left( \alpha \right)}
\end{array}} \right.$
$\left( \alpha \right)\;\left( {ABCD} \right)$ song song với $BD$, cắt $BC,CD$ lần lượt tại $E$ và $F$.
Chứng minh tương tự, ta được:
Giao tuyến của $\left( \alpha \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ là đường thẳng qua $\;E$, song song với $SC$, cắt $SB$ tại $K$
Giao tuyến của $\left( \alpha \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ là đường thẳng qua $F$, song song với $SC$, cắt $SB$ tại $H$.
Giao tuyến của $\left( \alpha \right)$ và $\left( {SAC} \right)$ là đường thẳng qua $M$, song song với $SC$, cắt $SA$ tại $\;I$.
Đa giác tạo bởi các giao điểm của $\left( \alpha \right)$ và các cạnh là ngũ giác $EFHIK$.
II. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 1: (0,5 điểm) Giải phương trình $sin\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.
Lời giải
Ta có $sin\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow sin\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = sin\frac{\pi }{3}$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} + k2\pi } \\
{2x + \frac{\pi }{3} = \pi – \frac{\pi }{3} + k2\pi }
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x = k2\pi } \\
{2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi }
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = k\pi } \\
{x = \frac{\pi }{6} + k\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.} \right.} \right.$.
Vậy nghiệm của phương trình là: $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = k\pi } \\
{x = \frac{\pi }{6} + k\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.
Câu 2: Trong sân vận động có tất cả 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 15 ghế. Các dãy sau, mỗi dãy nhiều hơn dãy ngay trước nó 4 ghế. Hỏi sân vận động có tất cả bao nhiêu ghế?
Lời giải
Số ghế trong mỗi dãy của sân vận động lập thành một cấp số cộng có ${U_1} = 15$ và $d = 4$.
Vậy tổng tất cả các ghế của sân vận động là tổng 30 số hạng đầu của cấp số cộng trên, do đó áp dụng công thức ${S_n} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n – 1} \right)d}}{2}$ ta có ${S_{30}} = 30.15 + \frac{{30\left( {30 – 1} \right)4}}{2} = 2190$
Vậy sân vận động có tất cả 2190 ghế.
Câu 3: Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
\frac{{\sqrt {x + 8} – 3}}{{x – 1}}\,khi\,x > 1 \hfill \\
2x + a\,khi\,x \leqslant 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Tìm tất cả các giá trị của $a$để hàm số đã cho liên tục tại điểm $x = 1$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R};x = 1 \in D$. .
Ta có: $f\left( 1 \right) = 2 + a$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {x + 8} – 3}}{{x – 1}}$
$\mathop { = \lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x – 1}}{{(x – 1)\left( {\sqrt {x + 8} – 3} \right)}}\mathop { = \lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{\sqrt {x + 8} – 3}} = \frac{1}{6}$
Để hàm số đã cho liên tục tại $x = 1$ thì $ \Leftrightarrow \frac{1}{6} = 2 + a \Leftrightarrow a = – \frac{{11}}{6}$.
Vậy $a = – \frac{{11}}{6}$.
Câu 4: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang với $AD//BC$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $SAD;\;E$ là điểm thuộc đoạn $\;AC$ sao cho $EC = xEA,(x > 0)$. Tìm $\;x$ để $GE//\left( {SBC} \right)$
Lời giải
Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $AD$.
Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ giả sử $IE$ và $BC$ cắt nhau tại điểm $Q$.
Dễ thấy $SQ = \left( {IGE} \right) \cap \left( {SBC} \right)$.
Do đó:
$GE//\left( {SBC} \right) \Leftrightarrow GE//SQ \Leftrightarrow \frac{{IE}}{{IQ}} = \frac{{IG}}{{IS}} \Rightarrow \frac{{IE}}{{IQ}} = \frac{1}{3}$.
Ta lại có, $\Delta EIA$ đồng dạng với $\Delta EQC$ nên
$\frac{{EI}}{{EQ}} = \frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{EA}}{{xEA}} = \frac{1}{x}$
suy ra $EQ = x \cdot EI$
$ \Rightarrow \frac{{IE}}{{IQ}} = \frac{{IE}}{{IE + EQ}} = \frac{{IE}}{{IE + x \cdot IE}} = \frac{1}{{1 + x}}$
Từ (1) và (2) $ \Rightarrow \frac{1}{{1 + x}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = 2$.
Vậy $GE//\left( {SBC} \right) \Leftrightarrow x = 2$.
