30 câu trắc nghiệm bài Hai mặt phẳng vuông góc giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Câu 1: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B,SA \bot \left( {ABC} \right)$, gọi $M$ là trung điểm của $AC$. Mệnh đề nào sai ?
A. $\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right)$.
B. $BM \bot AC$.
C. $\left( {SBM} \right) \bot \left( {SAC} \right)$.
D. $\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)$.
Lời giải
Chọn A
Có tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B,M$ là trung điểm của $AC \Rightarrow BM \bot AC$
Có $\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{BM \bot AC} \\
{BM \bot SA}
\end{array}} \right\} \Rightarrow BM \bot \left( {SAC} \right)$
$ \Rightarrow \left( {SBM} \right) \bot \left( {SAC} \right)$.
Có $\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{BC \bot SA} \\
{BC \bot AB}
\end{array}} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)$
$ \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)$
Vậy A sai.
Câu 2: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, tâm $O,SA \bot \left( {ABCD} \right)$, $SA = a\sqrt 6 $ (như hình vẽ). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. $\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$.
B. $\left( {SBC} \right) \bot \left( {SCD} \right)$.
C. $\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAD} \right)$
D. $\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)$.
Lời giải
Chọn D
$\left. {\begin{array}{*{20}{l}}
{\begin{array}{*{20}{c}}
{BC \bot SA\left( {\;do\;SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)} \\
{BC \bot AB\left( {gt} \right)}
\end{array}} \\
{SA \cap AB = A}
\end{array}} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)$ mà $BC \subset \left( {SBC} \right)$. Vậy $\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)$.
Câu 3: Cho hình lăng trụ tứ giác đều $ABCD \cdot A’B’C’D’$. Mặt phẳng $\left( {AB’C} \right)$ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
A. $\left( {D’BC} \right)$.
B. $\left( {B’BD} \right)$.
C. $\left( {D’AB} \right)$.
D. $\left( {BA’C’} \right)$.
Lời giải
Chọn B
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{AC \bot BD} \\
{AC \bot BB’}
\end{array} \Rightarrow AC \bot \left( {BB’D} \right)} \right.$ mà $AC \subset \left( {AB’C} \right) \Rightarrow \left( {AB’C} \right) \bot \left( {BB’D} \right)$.
Câu 4: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, cạnh bên $SA$ vuông góc với $\left( {ABC} \right)$. Gọi $I$ là trung điểm cạnh $AC,H$ là hình chiếu của $I$ trên $SC$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\left( {SBC} \right) \bot \left( {IHB} \right)$.
B. $\left( {SAC} \right) \bot \left( {SAB} \right)$.
C. $\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBC} \right)$.
D. $\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)$.
Lời giải
Chọn B.
Vì $AB \bot \left( {SAC} \right)$ nên $\left( {SAC} \right) \bot \left( {SAB} \right)$.
Câu 5: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$, đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$. Biết $SA = AD = DC = a,AB = 2a$. Khẳng định nào sau đây sai?
A. $\left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)$.
B. $\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAD} \right)$.
C. $\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBC} \right)$.
D. $\left( {SAD} \right) \bot \left( {SCD} \right)$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{AB \bot AD} \\
{AB \bot SA}
\end{array} \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {SAD} \right)} \right.$, suy ra phương án B đúng.
Lại có $A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 2 $.
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Khi đó $B{C^2} = M{B^2} + M{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2} \Rightarrow BC = a\sqrt 2 $. Ta thấy $A{B^2} = A{C^2} + C{B^2} \Rightarrow BC \bot AC$.
Như vậy $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BC \bot AC} \\
{BC \bot SA}
\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)} \right.$ $ \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)$, suy ra phương án C đúng.
Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{DC \bot AD} \\
{DC \bot SA}
\end{array} \Rightarrow DC \bot \left( {SAD} \right)} \right.$ $ \Rightarrow \left( {SCD} \right) \bot \left( {SAD} \right)$, suy ra phương án D đúng.
Câu 6: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông. Mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.Trong số các mặt phẳng chứa mặt đáy và các mặt bên của hình chóp, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ ?
A. 4 .
B. 3 .
C. 1 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn B
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)} \\
{\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) =AB} \\
{BC \bot AB}
\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)$
$\Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)$
Tương tự suy ra $\left( {SAD} \right) \bot \left( {SAB} \right)$.
$\left( {\widehat {\left( {SCD} \right);\left( {SAB} \right)}} \right) = \widehat {ISJ} \ne {90^ \circ }$
Vậy có 3 mặt phẳng $\left( {ABCD} \right);\left( {SAD} \right);\left( {SBC} \right)$ vuông góc với $\left( {SAB} \right)$.
Câu 7: Cho hình hộp $ABCD \cdot A’B’C’D’$, khẳng định nào đúng về hai mặt phẳng $\left( {A’BD} \right)$ và $\left( {CB’D’} \right)$.
A. $\left( {A’BD} \right) \bot \left( {CB’D’} \right)$.
B. $\left( {A’BD} \right)//\left( {CB’D’} \right)$.
C. $\left( {A’BD} \right) \equiv \left( {CB’D’} \right)$.
D. $\left( {A’BD} \right) \cap \left( {CB’D’} \right) = BD’$.
Lời giải
Ta có $CD’//A’B$ mà $A’B \subset \left( {A’BD} \right)$ nên $CD’//\left( {A’BD} \right)$.
$CB’//A’D$ mà $A’D \subset \left( {A’BD} \right)$ nên $CB’//\left( {A’BD} \right)$.
Vậy $\left( {CB’D’} \right)$ chứa hai đường thẳng $CD’,CB’$ cắt nhau và cùng song song với $\left( {A’BD} \right)$ từ đó ta có $\left( {A’BD} \right)//\left( {CB’D’} \right)$.
Câu 8: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi, $SA = SC$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.
B. Mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.
C. Mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.
D. Mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.
Lời giải
Gọi $O = AC \cap BD$.
Tứ giác $ABCD$ là hình thoi nên $AC \bot BD\left( 1 \right)$.
Mặt khác tam giác $SAC$ cân tại $S$ nên $SO \bot AC$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra $AC \bot \left( {SBD} \right)$ nên $\left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$.
Câu 9: Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’BC’D’$. Tính góc giữa mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ và $\left( {ACC’A’} \right)$.
A. ${45^ \circ }$.
B. ${60^ \circ }$.
C. ${30^ \circ }$.
D. ${90^ \circ }$.
Lời giải
Do $AA’ \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {ACC’A’} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$.
Câu 10: Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$. Góc giữa $\left( {ABCD} \right)$ và $\left( {A’B’C’D’} \right)$ bằng
A. ${45^ \circ }$.
B. ${60^ \circ }$.
C. ${0^ \circ }$.
D. ${90^ \circ }$.
Lời giải
Chọn C
Ta thấy hai mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ và $\left( {A’B’C’D’} \right)$ là hai mặt đáy của hình lập phương nên chúng song song với nhau.
Vậy góc giữa $\left( {ABCD} \right)$ và $\left( {A’B’C’D’} \right)$ bằng $\left( {\widehat {\left( {ABCD} \right),\left( {A’B’C’D’} \right)}} \right) = {0^ \circ }$.
Câu 11: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $a\sqrt 2 $ và chiều cao bằng $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$. Tang của góc nhị diện $\left[ {S,AB,O} \right]$
A. 1 .
B. $\frac{1}{{\sqrt 3 }}$.
C. $\sqrt 3 $.
D. $\frac{3}{4}$.
Lời giải
Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $\widehat {SEO};EO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$
Xét $\vartriangle SEO$ vuông tại $O$, ta có $tan\widehat {SEO} = \frac{{SO}}{{EO}} = 1$.
Câu 12: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $SA$ vuông góc với mặt đáy (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ bằng
A. Góc $\widehat {SDA}$.
B. Góc $\widehat {SCA}$.
C. Góc $\widehat {SCB}$.
D. Góc $\widehat {ASD}$.
Lời giải
Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{CD \bot \left( {SAD} \right)} \\
{\left( {ABCD} \right) \cap \left( {SCD} \right) = CD}
\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow \left( {\left( {ABCD} \right),\left( {SCD} \right)} \right) = \widehat {SDA}$.
Câu 13: Cho hình chóp $S.ABCD$ với đáy $ABCD$ là hình vuông có cạnh $2a,SA = a\sqrt 6 $ và vuông góc với đáy. Góc nhị diện $\left[ {S,BD,A} \right]$ ?
A. ${90^ \circ }$.
B. ${30^ \circ }$.
C. ${45^ \circ }$.
D. ${60^ \circ }$.
Lời giải
Từ $A$ ta kẻ đường vuông góc tới $BD$, thì chân đường vuông góc là tâm $O$ của hình vuông, từ đây dễ thấy $SO \bot BD$, nên góc giữa hai mặt phẳng là góc $SOA$.
Xét tam giác $\vartriangle SOA$ có $tanSOA = \frac{{SA}}{{OA}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 3 $. Vậy góc cần tìm bằng ${60^ \circ }$.
Câu 14: Cho tứ diện $S \cdot ABC$ có các cạnh $SA,SB;SC$ đôi một vuông góc và $SA = SB = SC = 1$. Tính $cos\alpha $, trong đó $\alpha $ là góc nhị diện $\left[ {S,BC,A} \right]$
A. $cos\alpha = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.
B. $cos\alpha = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}$.
C. $cos\alpha = \frac{1}{{3\sqrt 2 }}$.
D. $cos\alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.
Lời giải
Cách 1:
Gọi $D$ là trung điểm cạnh $BC$.
Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{SA \bot SB} \\
{SA \bot SC}
\end{array} \Rightarrow SA \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow SA \bot BC} \right.$.
Mà $SD \bot BC$ nên $BC \bot \left( {SAD} \right)$.
$ \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)}} \right) = \widehat {SDA} = \alpha $
Khi đó tam giác $SAD$ vuông tại $S$ có $SD = \frac{1}{{\sqrt 2 }};AD = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}$ và $cos\alpha = \frac{{SD}}{{AD}} \Leftrightarrow cos\alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.
Câu 15: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ và $AB = a\sqrt 2 $. Biết $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $SA = a$. Góc nhị diện $\left[ {S,BC,A} \right]$
A. ${30^ \circ }$.
B. ${45^ \circ }$.
C. ${60^ \circ }$.
D. ${90^ \circ }$.
Lời giải
Kẻ $AM \bot BC$ tại $M$. Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC} \\
{\left( {SAM} \right) \bot BC} \\
{\left( {SAM} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SM} \\
{\left( {SAM} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AM}
\end{array}} \right.$.
$ \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SM,AM}} \right)$
Góc nhị diện $\left[ {S,BC,A} \right]$ bằng góc $\widehat {SMA}$.
Ta có $tan\widehat {SMA} = \frac{{SA}}{{AM}} = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \widehat {SMA} = {45^ \circ }$.
Câu 16: Cho hình chóp $S.ABC$ có tam giác $ABC$ vuông cân tại $B,AB = BC = a,SA = a\sqrt 3 $, $SA \bot \left( {ABC} \right)$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là
A. ${45^ \circ }$.
B. ${60^ \circ }$.
C. ${90^ \circ }$.
D. ${30^ \circ }$.
Lời giải
Ta có $BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SA$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là góc $\widehat {SBA}$.
$tan\widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SBA} = {60^ \circ }$.
Câu 17: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $B,SA \bot \left( {ABC} \right),SA = \sqrt 3 \;cm,AB = 1\;cm$, $BC = \sqrt 2 \;cm$. Mặt bên $\left( {SBC} \right)$ hợp với đáy một góc bằng:
A. ${30^ \circ }$.
B. ${90^ \circ }$.
C. ${60^ \circ }$.
D. ${45^ \circ }$.
Lời giải
Theo giả thiết vì $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $SA \bot AB,SA \bot BC$. Mặt khác $BC \bot AB$ nên $BC \bot SB$. Vậy góc giữa $\left( {SBC} \right)$ và đáy là góc $\widehat {SBA} = \alpha $.
Trong tam giác vuông $SAB$ ta có: $tan\alpha = \frac{{SA}}{{AB}} = \sqrt 3 \Rightarrow \alpha = {60^ \circ }$.
Câu 18: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a\sqrt 3 $, đường cao bằng $\frac{{3a}}{2}$. Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng:
A. ${30^ \circ }$.
B. ${45^ \circ }$.
C. ${60^ \circ }$.
D. ${75^ \circ }$.
Lời giải
Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD;M$ là trung điểm của $CD$.
Góc giữa mặt bên và mặt đáy là $\widehat {SMO}$.
Ta có $OM = \frac{1}{2}AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
Xét tam giác $SOM$ vuông tại $O$, ta có $tan\widehat {SMO} = \frac{{SO}}{{OM}} = \frac{{\frac{3}{2}a}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}a}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SMO} = {60^ \circ }$.
Câu 19: Cho tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc và $OB = OC = a\sqrt 6 ,OA = a$. Khi đó góc giữa hai mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {OBC} \right)$ bằng
A. ${90^ \circ }$
B. ${60^ \circ }$
C. ${45^0}$
D. ${30^ \circ }$
Lời giải
Chọn D
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Suy ra $OM \bot BC$. Nên góc giữa hai mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {OBC} \right)$ chính là góc $\widehat {OMA}$.
Ta có: Tam giác $OBC$ vuông cân tại $O$ nên $OM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}\sqrt {O{B^2} + O{C^2}} = a\sqrt 3 $
Xét tam giác $OAM$ vuông tại $O$ có
$tan\widehat {OMA} = \frac{{OA}}{{OM}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$. Suy ra $\widehat {OMA} = {30^ \circ }$
Vây, góc giữa hai mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {OBC} \right)$ bằng ${30^ \circ }$
Câu 20: Cho lăng trụ tam giác đều $ABC \cdot A’B’C’$ có diện tích đáy bằng $\sqrt 3 {a^2}\left( {dvdt} \right)$, diện tích tam giác $A’BC$ bằng $2{a^2}$ (đvdt). Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left( {A’BC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ ?
A. ${120^ \circ }$.
B. ${60^ \circ }$.
C. ${30^ \circ }$.
D. ${45^ \circ }$.
Lời giải
Chọn C
+) Ta có $\vartriangle ABC$ là hình chiếu vuông góc của $\vartriangle A’BC$ trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$
+) Gọi $\varphi $ là góc giữa $\left( {A’BC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$.
Ta có: $cos\varphi = \frac{{{S_{\vartriangle ABC}}}}{{{S_{\vartriangle A’BC}}}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{2{a^2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \varphi = {30^ \circ }$.
Câu 21: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a\sqrt 3 $, đường cao bằng $\frac{{3a}}{2}$. Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
A. ${45^ \circ }$.
B. ${30^ \circ }$.
C. ${60^ \circ }$.
D. ${75^ \circ }$.
Lời giải
Chọn C
Gọi $O = AC \cap BD$ thì $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ thì $\widehat {SMO}$ là góc cần tìm.
Xét $\vartriangle SMO$ vuông tại $O$ có:
$tan\widehat {SMO} = \frac{{SO}}{{OM}} = \frac{{\frac{{3a}}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SMO} = {60^ \circ }$
Câu 22: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng $a$. Côsin của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
A. $\frac{1}{{\sqrt 3 }}$.
B. $\frac{1}{3}$.
C. $\frac{1}{2}$.
D. $\frac{1}{{\sqrt 2 }}$.
Lời giải
Chọn D
Hình chóp tứ giác đều $ABCD$ có $H$ là trọng tâm của tam giác đáy $BCD$ và $DH$ cắt $BC$ tại $I$
Ta có $AH \bot \left( {BCD} \right)$
Tam giác $BCD$ đều và $H$ là trọng tâm của tam giác $BCD$ nên $DI \bot BC$.
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{AH \bot BC} \\
{DI \bot BC}
\end{array} \Rightarrow AI \bot BC} \right.$
$ \Rightarrow $ góc giữa mặt bên $\left( {ABC} \right)$ và mặt đáy $\left( {BCD} \right)$ là $\widehat {AID}$
Tam giác $ABC$ đều có $AI$ là đường trung tuyến nên $AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
Tam giác $BCD$ đều có $H$ là trọng tâm nên $IH = \frac{1}{3}DI = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}$.
$AH \bot \left( {BCD} \right)$ nên tam giác $AIH$ vuông tại $H$. Khi đó $cos\widehat {AIH} = \frac{{IH}}{{AH}} = \frac{1}{3}$
Câu 23: Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a$. Giá trị sin của góc nhị diện $\left[ {A’,BD,A} \right]$
A. $\frac{{\sqrt 3 }}{4}$.
B. $\frac{{\sqrt 6 }}{4}$.
C. $\frac{{\sqrt 6 }}{3}$.
D. $\frac{{\sqrt 3 }}{3}$.
Lời giải
Chọn C
Gọi $I = AC \cap BD$.
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BD \bot AI} \\
{BD \bot AA’}
\end{array} \Rightarrow BD \bot \left( {AIA’} \right);\;BD = \left( {BDA’} \right) \cap \left( {ABCD} \right)} \right.$.
Do đó góc nhị diện $\left[ {A’,BD,A} \right]$ là $\widehat {AIA’}$.
Ta có: $\Delta AA’I$ vuông
$AA’ = a;AI = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$
$ \Rightarrow A’I = \sqrt {{AA’^2} + A{I^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$
$ \Rightarrow sin\widehat {AIA’} = \frac{{AA’}}{{A’I}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$.
Câu 24: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật cạnh $AB = a,$ $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SB = 2a$. Góc giữa mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ mặt phẳng đáy bằng
A. ${90^ \circ }$.
B. ${60^ \circ }$.
C. ${45^ \circ }$.
D. ${30^ \circ }$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $BC \bot AB$
$BC \bot SA\;vì\;SA \bot \left( {ABCD} \right).$
$ \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB$
$\left\{ \begin{gathered}
\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC \hfill \\
SB \subset \left( {SBC} \right),SB \bot BC \hfill \\
AB \subset \left( {ABCD} \right),AB \bot BC \hfill \\
\end{gathered} \right.$
$ \Rightarrow $ góc giữa mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng góc giữa $SB,AB$ bằng góc $\widehat {SBA}$.
${\Delta _v}SAB:cos\widehat {SBA} = \frac{{AB}}{{SB}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {SBA} = {60^ \circ }$
Vậy góc giữa mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ mặt phẳng đáy bằng ${60^ \circ }$.
Câu 25: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, đường cao $SA = x$. Góc giữa $\left( {SBC} \right)$ và mặt đáy bằng ${60^ \circ }$. Khi đó $x$ bằng
A. $\frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.
B. $a\sqrt 3 $.
C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
D. $\frac{a}{{\sqrt 3 }}$.
Lời giải
Chọn B
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BC \bot SA} \\
{BC \bot AB}
\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right).\;} \right.$
Ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC} \\
{\left( {SAB} \right) \bot BC} \\
{\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB} \\
{\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB}
\end{array}} \right.$
Suy ra góc giữa $\left( {SBC} \right)$ và mặt đáy bằng góc . Do đó $tan{60^ \circ } = \frac{x}{a} \Rightarrow x = a\sqrt 3 $.
Câu 26: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có $BC = a,BB’ = a\sqrt 3 $. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {A’B’C} \right)$ và $\left( {ABC’D’} \right)$ bằng
A. ${60^ \circ }$.
B. ${45^ \circ }$.
C. ${30^ \circ }$.
D. ${90^ \circ }$.
Lời giải
Chọn A
Ta có: $\left( {\left( {A’B’C} \right);\left( {ABC’D’} \right)} \right) = \left( {BC’;B’C} \right)$
Gọi $I$ là giao điểm của hai đường chéo $BC’$ và $B’C$.
+) $tan\widehat {CB’B} = \frac{{CB}}{{BB’}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {CB’B} = {30^ \circ }$.
Tam giác $IBB’$ cân tại $I$, suy ra: $\widehat {BIB’} = {120^ \circ } \Rightarrow \widehat {CIB} = {60^ \circ }$.
Vậy $\left( {\left( {A’B’C} \right);\left( {ABC’D’} \right)} \right) = {60^ \circ }$.
Câu 27: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Tính cosin của góc giữa một mặt bên và mặt đáy.
A. $\frac{{\sqrt 3 }}{3}$.
B. $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
C. $\frac{1}{2}$.
D. $\frac{1}{3}$.
Lời giải
Chọn A
Giả sử $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng $a$.
Gọi $O = AC \cap BD$ và $M$ là trung điểm của cạnh $CD \Rightarrow OM = \frac{a}{2}$ và $SM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
Theo giả thiết ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{CD \bot SO} \\
{CD \bot OM}
\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow CD \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow CD \bot SM$.
Vậy $\left( {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {OM,SM} \right) = \widehat {SMO}$.
Xét tam giác vuông $SOM$ ta có $cos\widehat {SOM} = \frac{{OM}}{{SM}} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.
Câu 28: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $2a$, cạnh bên bằng $3a$. Gọi $\alpha $ là góc giữa mặt bên và mặt đáy, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $cos\alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{4}$.
B. $cos\alpha = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}$.
C. $cos\alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
D. $cos\alpha = \frac{{\sqrt {14} }}{{14}}$.
Lời giải
Chọn A
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD,N$ là trung điểm của $BC$.
$\alpha = \left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SN,ON} \right) = \widehat {SNO}$
$OB = \frac{1}{2}BD = \sqrt 2 a$
Xét $\vartriangle SOB$ vuông tại $O:SO = \sqrt {S{B^2} – O{B^2}} = a\sqrt 7 $
Xét $\vartriangle SON$ vuông tại O: $SN = \sqrt {S{O^2} + O{N^2}} = 2\sqrt 2 a$
Xét $\vartriangle SON$ vuông tại $O:cos\alpha = \frac{{ON}}{{SN}} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}$
Câu 29: Cho lăng trụ tam giác đều $ABC \cdot A’B’C’$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Gọi $\alpha $ là góc nhị diện $\left[ {A,B’C’,A’} \right]$. Tính giá trị của $tan\alpha $ ?
A. $\frac{{2\sqrt 3 }}{3}$.
B. $\frac{{\sqrt 3 }}{3}$.
C. $\frac{{3\sqrt 2 }}{2}$.
D. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$.
Lời giải
Chọn A
Gọi $H$ là trung điểm của $B’C’$
$ \Rightarrow AH \bot B’C’$ (do $\Delta AB’C’$ cân tại $A$ ) và $A’H \bot B’C’$ (do $\Delta A’B’C’$ đều).
Suy ra $\left[ {A,B’C’,A’} \right] = \widehat {AHA}\;’$.
Vậy $tan\widehat {AHA’} = \frac{{AA’}}{{A’H}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}$.
Câu 30: Cho hình lăng trụ đều $ABC \cdot A’B’C’$ có cạnh đáy bằng $2a$, cạnh bên bằng $a$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left( {AB’C’} \right)$ và $\left( {A’B’C’} \right)$.
A. ${30^ \circ }$.
B. ${60^ \circ }$.
C. ${45^ \circ }$.
D. ${90^ \circ }$.
Lời giải
Chọn A
Gọi $M$ là trung điểm $B’C’$. Do lăng trụ đều nên ta có: $A’M \bot B’C’,AM \bot B’C’$.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng $\left( {AB’C’} \right)$ và $\left( {A’B’C’} \right)$ là góc $\widehat {AMA’}$.
Lại có tam giác đều $A’B’C’$ nên $A’M = 2a\frac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 $.
Từ đó: $tan\widehat {AMA’} = \frac{{AA’}}{{A’M}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$
Vậy góc giữa hai mặt phẳng $\left( {AB’C’} \right)$ và $\left( {A’B’C’} \right)$ bằng ${30^ \circ }$.
Câu 31: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ với $O$ là tâm của đáy và chiều cao $SO = \frac{{\sqrt 3 }}{2}AB$. Tính góc nhị diện $\left[ {S,AB,O} \right]$
A. ${90^ \circ }$.
B. ${60^ \circ }$.
C. ${30^ \circ }$.
D. ${45^ \circ }$.
Lời giải
Chọn B
Đặt $AB = a$, gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB} \\
{SI \bot AB} \\
{OI \bot AB}
\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow \left[ {S,AB,O} \right] = \widehat {SIO}$
Mặt khác, ta lại có:
$AB = a,SO = \frac{{\sqrt 3 }}{2}AB = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a,OI = \frac{1}{2}a$
$ \Rightarrow tan\widehat {SIO} = \frac{{SO}}{{OI}} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}a}}{{\frac{1}{2}a}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SIO} = {60^ \circ }$
Câu 32: Cho hình hộp chữ nhật $ABCB \cdot A’B’C’D’$ có $AB = a,AD = a\sqrt 3 ,AA’ = a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD,AA’$. Góc giữa hai đường thẳng $MN$ và $BB’$ bằng
A. ${45^ \circ }$.
B. ${90^ \circ }$.
C. ${60^ \circ }$.
D. ${30^ \circ }$.
Lời giải
Chọn C
Vì $AA’//BB’$ nên góc giữa hai đường thẳng $MN$ và $BB’$ bằng góc giữa $MN$ và $AA’$ và bằng góc $\widehat {ANM}$.
Xét tam giác $ANM$ vuông tại $A$, ta có: $tan\widehat {ANM} = \frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{2}{a} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {ANM} = {60^ \circ }$.
Câu 33: Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật cạnh $AB = 4a,AD = 3a$. Các cạnh bên đều có độ dài $5a$. Tính góc nhị diện $\left[ {S,BC,O} \right]$
A. $\alpha \approx {75^ \circ }{46’}$.
B. $\alpha \approx {71^ \circ }{21’}$.
C. $\alpha \approx {68^ \circ }{31’}$.
D. $\alpha \approx {65^ \circ }{21’}$.
Lời giải
Gọi $O,H$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$.
Xét tam giác $SHC$ vuông tại $H$ ta có: $SH = \sqrt {S{C^2} – H{C^2}} = \sqrt {{{(5a)}^2} – {{\left( {\frac{3}{2}a} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {91} a}}{2}$.
Vì $SA = SB = SC = SD = 5a$ nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.
Ta có: $\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC,SH \bot BC,OH \bot BC$, suy ra góc giữa $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ bằng $\widehat {SHO} = \alpha $.
Xét tam giác $SOH$ vuông tại $O$, ta có: $cos\alpha = \frac{{OH}}{{SH}} = \frac{{2a}}{{\frac{{\sqrt {91} a}}{2}}} = \frac{{4\sqrt {91} }}{{91}} \Rightarrow \alpha \approx {65^ \circ }{21’}$.
