50 câu trắc nghiệm bất phương trình lôgarit theo dạng giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
DẠNG 1: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CƠ BẢN
Phương pháp
• Nếu $a > 1$ thì $lo{g_a}f\left( x \right) > lo{g_a}g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)\,$ (cùng chiều)
• Nếu $0 < a < 1$ thì $lo{g_a}f\left( x \right) > lo{g_a}g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)$ (ngược chiều)
• Nếu a chứa ẩn thì $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{lo{g_a}B > 0 \Leftrightarrow \left( {a – 1} \right)\left( {B – 1} \right) > 0} \\
{\frac{{lo{g_a}A}}{{lo{g_a}B}} > 0 \Leftrightarrow \left( {A – 1} \right)\left( {B – 1} \right) > 0}
\end{array}} \right.$.
Câu 1. Tập nghiệm của bất phương trình $lo{g_5}\left( {x + 1} \right) > 2$ là
A. $\left( {9; + \infty } \right)$.
B. $\left( {25; + \infty } \right)$.
C. $\left( {31; + \infty } \right)$.
D. $\left( {24; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có $lo{g_5}\left( {x + 1} \right) > 2 \Leftrightarrow x + 1 > {5^2} \Leftrightarrow x + 1 > 25 \Leftrightarrow x > 24$.
Vậy tập nghiệp của bất phương trình là $\left( {24; + \infty } \right)$.
Câu 2. Tập nghiệm của bất phương trình $lo{g_3}\left( {36 – {x^2}} \right) \geqslant 3$ là
A. $\left( { – \infty ; – 3\left] \cup \right[3; + \infty } \right)$.
B. $\left( { – \infty ;3} \right]$.
C. $\left[ { – 3;3} \right]$.
D. $\left( {0;3} \right]$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: $lo{g_3}\left( {36 – {x^2}} \right) \geqslant 3 \Leftrightarrow 36 – {x^2} \geqslant 27 \Leftrightarrow 9 – {x^2} \geqslant 0 \Leftrightarrow – 3 \leqslant x \leqslant 3$.
Câu 3. Tập nghiệm $S$ của bất phương trình $lo{g_{0,8}}\left( {2x – 1} \right) < 0$ là
A. $S = \left( { – \infty ;\frac{1}{2}} \right)$
B. $S = \left( {1; + \infty } \right)$.
C. $S = \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$.
D. $S = \left( { – \infty ;1} \right)$.
Lời giải
Chọn B.
Bất phương trình $lo{g_{0,8}}\left( {2x – 1} \right)\left\langle {0 \Leftrightarrow 2x – 1} \right\rangle {(0,8)^0} \Leftrightarrow 2x > 2 \Leftrightarrow x > 1$.
Tập nghiệm $S$ của bất phương trình $lo{g_{0,8}}\left( {2x – 1} \right) < 0$ là $S = \left( {1; + \infty } \right)$.
Câu 4. Tập nghiệm của bất phương trình $lo{g_3}\left( {18 – {x^2}} \right) \geqslant 2$ là
A. $\left( { – \infty ;3} \right]$.
B. $\left( {0;3} \right]$.
C. $\left[ { – 3;3} \right]$.
D. $\left( { – \infty ; – 3\left] \cup \right[3; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn C.
Điều kiện: $18 – {x^2} > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { – 3\sqrt 2 ;3\sqrt 2 } \right)\left( * \right)$.
Khi đó ta có: $lo{g_3}\left( {18 – {x^2}} \right) \geqslant 2 \Leftrightarrow 18 – {x^2} \geqslant 9 \Leftrightarrow – 3 \leqslant x \leqslant 3$.
Kết hợp với điều kiện (*) ta được tập ngiệm của bất phương trình đã cho là $\left[ { – 3;3} \right]$.
Câu 5. Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình $ln{x^2} < 0$.
A. $S = \left( { – 1;1} \right)$.
B. $S = \left( { – 1;0} \right)$.
C. $S = \left( { – 1;1} \right) \setminus \left\{ 0 \right\}$.
D. $S = \left( {0;1} \right)$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: $ln{x^2} < 0 \Leftrightarrow 0 < {x^2} < 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne 0} \\
{ – 1 < x < 1}
\end{array}} \right.$.
Vậy $S = \left( { – 1;1} \right) \setminus \left\{ 0 \right\}$.
Câu 6. Tập nghiệm của bất phương trình $lo{g_{0,5}}\left( {x – 1} \right) > 1$ là
A. $\left( { – \infty ; – \frac{3}{2}} \right)$.
B. $\left( {1;\frac{3}{2}} \right)$.
C. $\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)$.
D. $\left[ {1;\frac{3}{2}} \right)$.
Lời giải
Chọn B.
Bất phương trình $ \Leftrightarrow 0 < x – 1 < 0,5 \Leftrightarrow 1 < x < \frac{3}{2}$.
Vậy tập nghiệm bất phương trình đã cho là: $S = \left( {1;\frac{3}{2}} \right)$.
Câu 7. Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình $lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) < lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {2x – 1} \right)$.
A. $S = \left( {2; + \infty } \right)$.
B. $S = \left( { – 1;2} \right)$.
C. $S = \left( { – \infty ;2} \right)$.
D. $S = \left( {\frac{1}{2};2} \right)$
Lời giải
Chọn D.
Ta có $lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) < lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {2x – 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 1 > 2x – 1} \\
{2x – 1 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < 2} \right.$.
Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình $lo{g_{0.3}}\left( {5 – 2x} \right) > lo{g_{\frac{3}{{10}}}}9$ là
A. $\left( {0;\frac{5}{2}} \right)$.
B. $\left( { – \infty ; – 2} \right)$.
C. $\left( { – 2;\frac{5}{2}} \right)$.
D. $\left( { – 2; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn C.
$lo{g_{0.3}}\left( {5 – 2x} \right) > lo{g_{\frac{3}{{10}}}}9 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{5 – 2x > 0} \\
{5 – 2x < 9}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < \frac{5}{2}} \\
{x > – 2}
\end{array} \Leftrightarrow – 2 < x < \frac{5}{2}} \right.} \right.$.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $S = \left( { – 2;\frac{5}{2}} \right)$.
Câu 9. Tập nghiệm của bất phương trình $lo{g_{\frac{\pi }{4}}}\left( {x + 1} \right) > lo{g_{\frac{\pi }{4}}}\left( {2x – 5} \right)$ là
A. $\left( { – 1;6} \right)$
B. $\left( {\frac{5}{2};6} \right)$
C. $\left( {6; + \infty } \right)$
D. $\left( { – \infty ;6} \right)$
Lời giải
Chọn C.
Do $\frac{\pi }{4} < 1$ nên $lo{g_{\frac{\pi }{4}}}\left( {x + 1} \right) > lo{g_{\frac{\pi }{4}}}\left( {2x – 5} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 1 > 0} \\
{x + 1 < 2x – 5}
\end{array} \Leftrightarrow x > 6} \right.$.
Câu 10. Số nghiệm nguyên của bất phương trình $lo{g_{0,8}}\left( {15x + 2} \right) > lo{g_{0,8}}\left( {13x + 8} \right)$ là
A. Vô số.
B. 4 .
C. 2 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn D.
Điều kiện $x > – \frac{2}{{15}}$.
Khi đó, $lo{g_{0,8}}\left( {15x + 2} \right) > lo{g_{0,8}}\left( {13x + 8} \right) \Leftrightarrow 15x + 2 < 13x + 8 \Leftrightarrow 2x < 6 \Leftrightarrow x < 3$.
Tập nghiệm bất phương trình là: $T = \left( { – \frac{2}{{15}};3} \right) \Rightarrow x \in \left\{ {0;1;2} \right\}$.
Câu 11. Giải bất phương trình $lo{g_2}\left( {3x – 2} \right) > lo{g_2}\left( {6 – 5x} \right)$ được tập nghiệm là $\left( {a;b} \right)$. Hãy tính tổng $S = a + b$.
A. $S = \frac{{26}}{5}$.
B. $S = \frac{{11}}{5}$.
C. $S = \frac{{28}}{{15}}$.
D. $S = \frac{8}{3}$.
Lời giải
Chọn B.
Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3x – 2 > 0} \\
{6 – 5x > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > \frac{2}{3}} \\
{x < \frac{6}{5}}
\end{array} \Leftrightarrow \frac{2}{3} < x < \frac{6}{5}} \right.} \right.$.
Ta có: $lo{g_2}\left( {3x – 2} \right) > lo{g_2}\left( {6 – 5x} \right) \Leftrightarrow 3x – 2 > 6 – 5x \Leftrightarrow 8x > 8 \Leftrightarrow x > 1$.
Kết hợp với điều kiện, ta được $1 < x < \frac{6}{5}$.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là $\left( {1;\frac{6}{5}} \right)$. Từ đó, $S = a + b = 1 + \frac{6}{5} = \frac{{11}}{5}$.
Câu 12. Tập nghiệm của bất phương trình $ln3x < ln\left( {2x + 6} \right)$ là:
A. $\left[ {0;6} \right)$.
B. $\left( {0;6} \right)$.
C. $\left( {6; + \infty } \right)$.
D. $\left( { – \infty ;6} \right)$.
Lời giải
Chọn B.
Bất phương trình $ln3x < ln\left( {2x + 6} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3x > 0} \\
{3x < 2x + 6}
\end{array} \Leftrightarrow 0 < x < 6} \right.$.
Câu 13. Nghiệm của bất phương trình $lo{g_{2 – \sqrt 3 }}\left( {2x – 5} \right) \geqslant lo{g_{2 – \sqrt 3 }}\left( {x – 1} \right)$ là
A. $\frac{5}{2} < x \leqslant 4$.
B. $1 < x \leqslant 4$.
C. $\frac{5}{2} \leqslant x \leqslant 41$.
D. $x \geqslant 4$.
Lời giải
Chọn A.
$lo{g_{2 – \sqrt 3 }}\left( {2x – 5} \right) \geqslant lo{g_{2 – \sqrt 3 }}\left( {x – 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x – 5 \leqslant x – 1} \\
{2x – 5 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \leqslant 4} \\
{x > \frac{5}{2}}
\end{array}} \right.} \right.$
Vậy nghiệm của bất phương trình là $\frac{5}{2} < x \leqslant 4$.
Câu 14. Tập nghiệm của bất phương trình $lo{g_{0,5}}\left( {5x + 14} \right) \leqslant lo{g_{0,5}}\left( {{x^2} + 6x + 8} \right)$ là
A. $\left( { – 2;2} \right]$.
B. $\left( { – \infty ;2} \right]$.
C. $\mathbb{R} \setminus \left[ { – \frac{3}{2};0} \right]$.
D. $\left[ { – 3;2} \right]$.
Lời giải
Chọn A.
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{5x + 14 > 0} \\
{{x^2} + 6x + 8 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow x > – 2} \right.$
Ta có: $lo{g_{0,5}}\left( {5x + 14} \right) \leqslant lo{g_{0,5}}\left( {{x^2} + 6x + 8} \right) \Leftrightarrow 5x + 14 \geqslant {x^2} + 6x + 8 \Leftrightarrow – 3 \leqslant x \leqslant 2$
Kết hợp với điều kiện $\left( * \right)$ ta được $ – 2 < x \leqslant 2$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left( { – 2;2} \right]$.
Câu 15. Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình $ln{x^2} > ln\left( {4x – 4} \right)$.
A. $S = \left( {2; + \infty } \right)$.
B. $S = \left( {1; + \infty } \right)$.
C. $S = R \setminus \left\{ 2 \right\}$.
D. $S = \left( {1; + \infty } \right) \setminus \left\{ 2 \right\}$.
Lời giải
Chọn D.
$ln{x^2} > ln\left( {4x – 4} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} > 4x – 4} \\
{4x – 4 > 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – 4x + 4 > 0} \\
{x > 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne 2} \\
{x > 1}
\end{array}} \right.} \right.$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {1; + \infty } \right) \setminus \left\{ 2 \right\}$.
Câu 16. Giải bất phương trình $log\left( {3{x^2} + 1} \right) > log\left( {4x} \right)$.
A. $x < \frac{1}{3}$ hoặc $x > 1$.
B. $0 < x < \frac{1}{3}$ hoặc $x > 1$.
C. $0 < x < 1$.
D. $\frac{1}{3} < x < 1$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có
$\log (3{x^2} + 1) > \log (4x)$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
3{x^2} + 1 > 4x \hfill \\
4x > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
3{x^2} – 4x + 1 > 0 \hfill \\
x > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\left[ \begin{gathered}
x < \frac{1}{3} \hfill \\
x > 1 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
x > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
0 < x < \frac{1}{3} \hfill \\
x > 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Câu 17. Số nghiệm nguyên của bất phương trình $lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} + 2x – 8} \right) \geqslant – 4$ là
A. 6 .
B. Vô số.
C. 4 .
D. 5 .
Lời giải
Chọn C.
Ta có
$lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} + 2x – 8} \right) \geqslant – 4 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} + 2x – 8 > 0} \\
{{x^2} + 2x – 8 \leqslant {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{ – 4}}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x > 2} \\
{x < – 4}
\end{array}} \right.} \\
{{x^2} + 2x – 24 \leqslant 0}
\end{array}} \right.} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 2} \\
{x < – 4} \\
{ – 6 \leqslant x \leqslant 4}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 6 \leqslant x < – 4} \\
{2 < x \leqslant 4}
\end{array}} \right.} \right.$.
Do đó các nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho là $ – 6; – 5;3;4$.
Câu 18. Tập xác định của hàm số $y = \sqrt {lo{g_2}\left( {4 – x} \right) – 1} $ là
A. $\left( { – \infty ;4} \right)$.
B. $\left[ {2;4} \right)$.
C. $\left( { – \infty ;2} \right]$.
D. $\left( { – \infty ;2} \right)$.
Lời giải
Chọn C.
Hàm số xác định $ \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {4 – x} \right) – 1 \geqslant 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{lo{g_2}\left( {4 – x} \right) \geqslant 1} \\
{4 – x > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{4 – x \geqslant 2} \\
{4 – x > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \leqslant 2} \\
{x < 4}
\end{array} \Leftrightarrow x \leqslant 2} \right.} \right.} \right.$.
Vậy tập xác định của hàm số là: $D = \left( { – \infty ;2} \right]$.
Câu 19. Tập nghiệm của bất phương trình $lo{g_{\frac{1}{2}}}\frac{{x + 2}}{{3 – 2x}} \geqslant 0$ là
A. $T = \left( { – 2;\frac{1}{3}} \right]$
B. $T = \left[ { – 2;\frac{1}{3}} \right]$
C. $T = \left[ {\frac{3}{2}; + \infty } \right)$
D. $T = \left( { – \infty ;\frac{1}{3}} \right]$.
Lời giải
Chọn A.
$lo{g_{\frac{1}{2}}}\frac{{x + 2}}{{3 – 2x}} \geqslant 0 \Leftrightarrow 0 < \frac{{x + 2}}{{3 – 2x}} \leqslant 1$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{x + 2}}{{3 – 2x}} > 0} \\
{\frac{{3x – 1}}{{3 – 2x}} \leqslant 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \in \left( { – 2;\frac{3}{2}} \right)} \\
{x \in \left( { – \infty ;\frac{1}{3}} \right] \cup \left[ {\frac{3}{2}; + \infty } \right)}
\end{array} \Leftrightarrow x \in \left( { – 2;\frac{1}{3}} \right]} \right.} \right.$
Câu 20. Tập nghiệm của bất phương trình $lo{g_3}\left( {lo{g_{\frac{1}{2}}}x} \right) < 1$ là
A. $\left( {0;1} \right)$.
B. $\left( {\frac{1}{8};3} \right)$.
C. $\left( {\frac{1}{8};1} \right)$.
D. $\left( {\frac{1}{8}; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có $lo{g_3}\left( {lo{g_{\frac{1}{2}}}x} \right)\left\langle {1 \Leftrightarrow 0\left\langle {lo{g_{\frac{1}{2}}}x\left\langle {{3^1} \Leftrightarrow {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^0}} \right\rangle x} \right\rangle {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^3} \Leftrightarrow 1} \right\rangle x > \frac{1}{8}$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {\frac{1}{8};1} \right)$.
Câu 21. Tập nghiệm của bất phương trình $lo{g_{\frac{1}{3}}}\left( { – lo{g_2}x} \right) < 0$ là
A. $\left( {0;5} \right)$.
B. $\left( {1;2} \right)$.
C. $\left( {\frac{1}{4};4} \right)$.
D. $\left( {0;\frac{1}{2}} \right)$.
Lời giải
Chọn D.
Điều kiện xác định: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 0} \\
{ – lo{g_2}x > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 0} \\
{x < 1}
\end{array} \Rightarrow 0 < x < 1} \right.} \right.$
$lo{g_{\frac{1}{3}}}\left( { – lo{g_2}x} \right)\left\langle {0 \Leftrightarrow – lo{g_2}x} \right\rangle 1 \Leftrightarrow lo{g_2}x < – 1 \Leftrightarrow x < \frac{1}{2}$
So sánh điều kiện, suy ra $S = \left( {0;\frac{1}{2}} \right)$.
Câu 22. Có tất cả bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn bất phương trình $lo{g_{\frac{1}{2}}}\left[ {lo{g_2}\left( {2 – {x^2}} \right)} \right] > 0$ ?
A. Vô số.
B. 1 .
C. 0 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn C.
$lo{g_{\frac{1}{2}}}\left[ {lo{g_2}\left( {2 – {x^2}} \right)} \right] > 0$
$ \Leftrightarrow 0 < lo{g_2}\left( {2 – {x^2}} \right) < 1$
$ \Leftrightarrow 1 < 2 – {x^2} < 2$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2 – {x^2} < 2} \\
{2 – {x^2} > 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} > 0} \\
{{x^2} < 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne 0} \\
{ – 1 < x < 1}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$
Kết hợp với giả thiết $x$ là số nguyên ta thấy không có số nguyên $x$ nào thỏa mãn bất phương trình $lo{g_{\frac{1}{2}}}\left[ {lo{g_2}\left( {2 – {x^2}} \right)} \right] > 0$.
Câu 23. Bất phương trình $lo{g_2}\left( {lo{g_{\frac{1}{3}}}\frac{{3x – 7}}{{x + 3}}} \right) \geqslant 0$ có tập nghiệm là $\left( {a;b} \right]$. Tính giá trị $P = 3a – b$.
A. $P = 5$.
B. $P = 4$.
C. $P = 10$.
D. $P = 7$.
Lời giải
Chọn B.
$lo{g_2}\left( {lo{g_{\frac{1}{3}}}\frac{{3x – 7}}{{x + 3}}} \right) \geqslant 0$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{3x – 7}}{{x + 3}} > 0} \\
{lo{g_{\frac{1}{3}}}\frac{{3x – 7}}{{x + 3}} > 0} \\
{lo{g_{\frac{1}{3}}}\frac{{3x – 7}}{{x + 3}} \geqslant 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{3x – 7}}{{x + 3}} > 0} \\
{\frac{{3x – 7}}{{x + 3}} < 1} \\
{\frac{{3x – 7}}{{x + 3}} \leqslant \frac{1}{3}}
\end{array}} \right.} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{3x – 7}}{{x + 3}} > 0} \\
{\frac{{3x – 7}}{{x + 3}} \leqslant \frac{1}{3}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{3x – 7}}{{x + 3}} > 0} \\
{\frac{{8\left( {x – 3} \right)}}{{3\left( {x + 3} \right)}} \leqslant 0}
\end{array}} \right.} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \in \left( { – \infty ; – 3} \right) \cup \left( {\frac{7}{3}; + \infty } \right)} \\
{\frac{{8\left( {x – 3} \right)}}{{3\left( {x + 3} \right)}} < 0x \in \left[ { – 3;3} \right]}
\end{array} \Leftrightarrow x \in \left( {\frac{7}{3};3} \right]} \right.$.
Suy ra $a = \frac{7}{3},b = 3$;
Vậy $P = 3a – b = 3 \cdot \frac{7}{3} – 3 = 4$.
Câu 24. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình $lo{g_{\frac{1}{3}}}\left( {lo{g_2}\frac{{2x + 3}}{{x + 1}}} \right) \geqslant 0$.
A. 1 .
B. 2 .
C. 0 .
D. Vô số nghiệm.
Lời giải
Chọn D.
Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{2x + 3}}{{x + 1}} > 1} \\
{\frac{{2x + 3}}{{x + 1}} > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < – 2} \\
{x > – 1}
\end{array}} \right.} \right.$.
Ta có $lo{g_{\frac{1}{3}}}\left( {lo{g_2}\frac{{2x + 3}}{{x + 1}}} \right) \geqslant 0 \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {\frac{{2x + 3}}{{x + 1}}} \right) \leqslant 1 \Leftrightarrow \frac{{2x + 3}}{{x + 1}} \leqslant 2 \Leftrightarrow x < – 1$.
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { – \infty ; – 2} \right)$.
Câu 25. Tập nghiệm của bất phương trình $lo{g_2}\left( {lo{g_{\frac{2}{3}}}\frac{{2x – 1}}{{x + 1}}} \right) > 1$ là
A. $\left( {\frac{1}{2};\frac{{13}}{{14}}} \right)$
B. $\left( {\frac{1}{2};2} \right)$.
C. $\left( { – \infty ; – 1} \right)$.
D. $\left( {\frac{{13}}{{14}}; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: $lo{g_2}\left( {lo{g_{\frac{2}{3}}}\frac{{2x – 1}}{{x + 1}}} \right) > 1 \Leftrightarrow lo{g_{\frac{2}{3}}}\frac{{2x – 1}}{{x + 1}} > 2$
$ \Leftrightarrow 0 < \frac{{2x – 1}}{{x + 1}} < \frac{4}{9} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
0 < \frac{{2x – 1}}{{x + 1}} \hfill \\
\frac{{2x – 1}}{{x + 1}} < \frac{4}{9} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x > \frac{1}{2} \hfill \\
x < – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
– 1 < x < \frac{{13}}{{14}} \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < \frac{{13}}{{14}}$
Câu 26. Giải bất phương trình $lo{g_2}\left( {lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {{2^x} – \frac{{15}}{{16}}} \right)} \right) \leqslant 2$.
A. $x \geqslant 0$.
B. $lo{g_2}\frac{{15}}{{16}} < x < lo{g_2}\frac{{31}}{{16}}$.
C. $0 \leqslant x < lo{g_2}\frac{{31}}{{16}}$.
D. $lo{g_2}\frac{{15}}{{16}} < x \leqslant 0$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có $lo{g_2}\left( {lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {{2^x} – \frac{{15}}{{16}}} \right)} \right) \leqslant 2 \Leftrightarrow 0\left\langle {lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {{2^x} – \frac{{15}}{{16}}} \right) \leqslant 4 \Leftrightarrow 1} \right\rangle {2^x} – \frac{{15}}{{16}} \geqslant \frac{1}{{16}} \Leftrightarrow \frac{{31}}{{16}} > {2^x} \geqslant 1$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}\frac{{31}}{{16}} > x \geqslant 0$
DẠNG 2: BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CƠ BẢN
Câu 27. Tập nghiệm của bất phương trình: $lo{g_2}\left( {7 – x} \right) + lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {x – 1} \right) \leqslant 0$ là
A. $S = \left( {1;4} \right]$.
B. $S = \left( { – \infty ;4} \right]$.
C. $S = \left[ {4; + \infty } \right)$.
D. $S = \left[ {4;7} \right)$.
Lời giải
Chọn D.
Điều kiện: $1 < x < 7$.
Ta có:
$lo{g_2}\left( {7 – x} \right) + lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {x – 1} \right) \leqslant 0 \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {7 – x} \right) – lo{g_2}\left( {x – 1} \right) \leqslant 0$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}\frac{{7 – x}}{{x – 1}} \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{{7 – x}}{{x – 1}} \leqslant 1 \Leftrightarrow \frac{{ – 2x + 8}}{{x – 1}} \leqslant 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < 1} \\
{x \geqslant 4}
\end{array}} \right.$.
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm là $\left[ {4;7} \right)$.
Câu 28. Bất phương trình $1 + lo{g_2}\left( {x – 2} \right) > lo{g_2}\left( {{x^2} – 3x + 2} \right)$ có các nghiệm là
A. $S = \left( {3; + \infty } \right)$.
B. $S = \left( {1;3} \right)$.
C. $S = \left( {2; + \infty } \right)$.
D. $S = \left( {2;3} \right)$.
Lời giải
Chọn D.
Điều kiện: $x > 2$.
$\begin{array}{*{20}{r}}
{}&{1 + lo{g_2}\left( {x – 2} \right) > lo{g_2}\left( {{x^2} – 3x + 2} \right)} \\
{}&{\; \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {{x^2} – 3x + 2} \right) – lo{g_2}\left( {x – 2} \right) < 1} \\
{}&{\; \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {x – 1} \right) < 1 \Leftrightarrow x < 3.}
\end{array}$
Đối chiếu điều kiện, ta có tập nghiệm là $S = \left( {2;3} \right)$.
Câu 29. Tập nghiệm của bất phương trình $lo{g_{\frac{1}{3}}}\left( {x – 1} \right) + lo{g_3}\left( {11 – 2x} \right) \geqslant 0$ là:
A. $S = \left( { – \infty ;4} \right]$.
B. $S = \left( {1;4} \right)$.
C. $S = \left( {1;4} \right]$.
D. $S = \left( {3;\frac{{11}}{2}} \right)$.
Lời giải
Chọn C.
$lo{g_{\frac{1}{3}}}\left( {x – 1} \right) + lo{g_3}\left( {11 – 2x} \right) \geqslant 0 \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {11 – 2x} \right) – lo{g_3}\left( {x – 1} \right) \geqslant 0$
$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {11 – 2x} \right) \geqslant lo{g_3}\left( {x – 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{11 – 2x \geqslant x – 1} \\
{x – 1 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow 1 < x \leqslant 4} \right.$.
Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {1;4} \right]$.
Câu 30. Giải bất phương trình $lo{g_3}x + lo{g_3}\left( {x – 2} \right) > 1$ được tập nghiệm là
A. $x > 2$.
B. $x > 3$.
C. $x < – 1$.
D. $2 < x < 3$.
Lời giải
Chọn B.
Điều kiện $x > 2$
$lo{g_3}x + lo{g_3}\left( {x – 2} \right) > 1 \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 3 > 0 \Leftrightarrow x\left\langle { – 1 \vee x} \right\rangle 3$
So với điều kiện suy ra $x > 3$.
Câu 31. Tìm tập nghiệm của bất phương trình $lo{g_2}\left( {x – 3} \right) + lo{g_2}x \geqslant 2$.
A. $\left( {3; + \infty } \right)$.
B. $\left( { – \infty ; – 1\left] \cup \right[4; + \infty } \right)$.
C. $\left[ {4; + \infty } \right)$.
D. $\left( {3;4} \right]$
Lời giải
Chọn C.
ĐK: $x > 3$. Bất phương trình đã cho trở thành
$lo{g_2}\left( {x – 3} \right) \cdot x \geqslant 2 \Leftrightarrow {x^2} – 3x \geqslant 4 \Leftrightarrow {x^2} – 3x – 4 \geqslant 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \leqslant – 1} \\
{x \geqslant 4}
\end{array}} \right.$.
Kết hợp điều kiện Suy ra $x \geqslant 4$.
Câu 32. Giải bất phương trình $lo{g_2}\left( {x + 1} \right) > 1 + lo{g_2}\left( {x – 2} \right)$.
A. $1 < x < 2$.
B. $ – 4 < x < 3$.
C. $2 < x < 5$.
D. $2 < x < 3$.
Lời giải
Chọn C.
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 1 > 0} \\
{x – 2 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow x > 2} \right.$.
$lo{g_2}\left( {x + 1} \right) > 1 + lo{g_2}\left( {x – 2} \right) \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {x + 1} \right) > lo{g_2}2\left( {x – 2} \right) \Leftrightarrow x + 1 > 2\left( {x – 2} \right) \Leftrightarrow x < 5$.
So với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là $2 < x < 5$.
Câu 33. Nghiệm của bất phương trình $lo{g_2}\left( {{x^2} – x} \right) + lo{g_{\frac{1}{2}}}x > 0$ là
A. $x > 2$.
B. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < 0} \\
{x > 2}
\end{array}} \right.$
C. $x < 0$.
D. $x > 1$.
Lời giải
Chọn A.
Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – x > 0} \\
{x > 0}
\end{array} \Leftrightarrow x > 1} \right.$.
Ta có
$lo{g_2}\left( {{x^2} – x} \right) + lo{g_{\frac{1}{2}}}x > 0$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {{x^2} – x} \right) – lo{g_2}x > 0 \Leftrightarrow lo{g_2}\frac{{{x^2} – x}}{x} > 0$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {x – 1} \right) > 0 \Leftrightarrow x – 1 > 1 \Leftrightarrow x > 2$
Câu 34. Tìm nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình $lo{g_3}\left( {1 – {x^2}} \right) \leqslant lo{g_{\frac{1}{3}}}\left( {1 – x} \right)$
A. $x = 0$.
B. $x = 1$.
C. $x = \frac{{1 – \sqrt 5 }}{2}$.
D. $x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$.
Lời giải
Chọn A.
Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 – {x^2} > 0} \\
{1 – x > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 1 < x < 1} \\
{x < 1}
\end{array} \Leftrightarrow – 1 < x < 1} \right.} \right.$.
Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình nếu có là $x = 0$.
Kiểm tra lại thấy $x = 0$ thỏa mãn.
Câu 35. Số nghiệm nguyên của bất phương trình $lo{g_{\frac{1}{2}}}x + lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {x + \frac{1}{2}} \right) \geqslant 1$ là
A. vô số.
B. 0 .
C. 2 .
D. 1.
Lời giải
Chọn B.
Điều kiện: $x > 0$.
Ta có: $lo{g_{\frac{1}{2}}}x + lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {x + \frac{1}{2}} \right) \geqslant 1 \Leftrightarrow lo{g_{\frac{1}{2}}}\left[ {x\left( {x + \frac{1}{2}} \right)} \right] \geqslant 1 \Leftrightarrow x\left( {x + \frac{1}{2}} \right) \leqslant \frac{1}{2}$
$ \Leftrightarrow 2{x^2} + x – 1 \leqslant 0 \Leftrightarrow – 1 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}$
Kết hợp điều kiện: $0 < x \leqslant \frac{1}{2}$.
Câu 36. Giải bất phương trình $lo{g_{\frac{1}{2}}}x + 2lo{g_{\frac{1}{4}}}\left( {x – 1} \right) + lo{g_2}6 \leqslant 0$.
A. $x \geqslant 3$
B. $ – 2 \leqslant x \leqslant 3$
C. $1 < x \leqslant 3$
D. $x \leqslant – 2$ hoặc $x \geqslant 3$
Lời giải
Chọn A.
Điều kiện: $x > 1$.
Ta có:
$\begin{array}{*{20}{r}}
{}&{lo{g_{\frac{1}{2}}}x + 2lo{g_{\frac{1}{4}}}\left( {x – 1} \right) + lo{g_2}6 \leqslant 0 \Leftrightarrow lo{g_{\frac{1}{2}}}x\left( {x – 1} \right) + lo{g_2}6 \leqslant 0 \Leftrightarrow lo{g_2}x\left( {x – 1} \right) \geqslant lo{g_2}6} \\
{}&{\; \Leftrightarrow {x^2} – x – 6 \geqslant 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \geqslant 3} \\
{x \leqslant – 2}
\end{array}} \right.}
\end{array}$
Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm: $x \geqslant 3$.
Câu 37. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $x$ thỏa mãn bất phương trình.
$log\left( {x – 40} \right) + log\left( {60 – x} \right) < 2$
A. 10.
B. 19.
C. 18.
D. 20.
Lời giải
Chọn C.
ĐK: $40 < x < 60$.
Ta có: $log\left( {x – 40} \right) + log\left( {60 – x} \right) < 2 \Leftrightarrow log\left( {x – 40} \right)\left( {60 – x} \right) < 2 \Leftrightarrow \left( {x – 40} \right)\left( {60 – x} \right) < 100$ $ \Leftrightarrow – {x^2} + 100x – 2500 < 0 \Leftrightarrow {(x – 50)^2} > 0 \Leftrightarrow x \ne 50$.
Số giá trị nguyên dương thỏa bpt là $\left( {59 – 41 + 1} \right) = 18$.
Câu 38. Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình $2lo{g_3}\left( {4x – 3} \right) + lo{g_{\frac{1}{3}}}\left( {2x + 3} \right) \leqslant 2$.
A. $S = \left[ {\frac{3}{4}; + \infty } \right)$.
B. $S = \left( {\frac{3}{4}; + \infty } \right)$
C. $S = \left( {\frac{3}{4};3} \right)$.
D. $S = \left( {\frac{3}{4};3} \right)$.
Lời giải
Chọn B.
Điều kiện: $x > \frac{3}{4}$.
$2lo{g_3}\left( {4x – 3} \right) + lo{g_{\frac{1}{3}}}\left( {2x + 3} \right) \leqslant 2 \Leftrightarrow lo{g_3}{(4x – 3)^2} \leqslant 2 + lo{g_3}\left( {2x + 3} \right)$
$ \Leftrightarrow {(4x – 3)^2} \leqslant 9\left( {2x + 3} \right) \Leftrightarrow 16{x^2} – 42x – 18 \leqslant 0 \Leftrightarrow – \frac{3}{8} \leqslant x \leqslant 3$
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm $S = \left( {\frac{3}{4};3} \right)$.
Câu 39. Nghiệm của bất phương trình $lo{g_4}\left( {2x + 6} \right) > lo{g_2}\left( {x – 1} \right)$ là:
A. $ – 1 < x < 5$
B. $1 < x < 5$
C. $x \leqslant – 1,x \geqslant 5$
D. $x\left\langle { – 1,x} \right\rangle 5$
Lời giải
Chọn A.
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + 6 > 0} \\
{x – 1 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow x > 1} \right.$
Khi đó: $lo{g_4}\left( {2x + 6} \right) > lo{g_2}\left( {x – 1} \right) $
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}lo{g_2}\left( {2x + 6} \right) > lo{g_2}\left( {x – 1} \right)$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {2x + 6} \right) > lo{g_2}{(x – 1)^2} $
$\Leftrightarrow 2x + 6 > {(x – 1)^2} \Leftrightarrow 2x + 6 > {x^2} – 2x + 1 $
$\Leftrightarrow {x^2} – 4x – 5 < 0$
$\Leftrightarrow – 1 < x < 5$
Câu 40. Bất phương trình $lo{g_4}\left( {x + 7} \right) > lo{g_2}\left( {x + 1} \right)$ có bao nhiêu nghiệm nguyên
A. 3 .
B. 1 .
C. 4 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn D.
Điều kiện xác định của bất phương trình là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 7 > 0} \\
{x + 1 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > – 7} \\
{x > – 1}
\end{array} \Leftrightarrow x > – 1} \right.} \right.$
Ta có $lo{g_4}\left( {x + 7} \right) > lo{g_2}\left( {x + 1} \right) $
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}lo{g_2}\left( {x + 7} \right) > lo{g_2}\left( {x + 1} \right)$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {x + 7} \right) > lo{g_2}{(x + 1)^2}$
$ \Leftrightarrow {x^2} + x – 6 < 0 \Leftrightarrow – 3 < x < 2$
Kết hợp điều kiện ta được $ – 1 < x < 2$
Vì $x \in \mathbb{Z}$ nên tìm được $x = 0,x = 1$.
Câu 41. Tập nghiệm của bất phương trình $2lo{g_2}\left( {x – 1} \right) \leqslant lo{g_2}\left( {5 – x} \right) + 1$ là
A. $\left[ {3;5} \right]$
B. $\left( {1;3} \right]$
C. $\left[ {1;3} \right]$.
D. $\left( {1;5} \right)$
Lời giải
Chọn B.
Điều kiện: $1 < x < 5$.
Ta có $2lo{g_2}\left( {x – 1} \right) \leqslant lo{g_2}\left( {5 – x} \right) + 1 $
$\Leftrightarrow lo{g_2}{(x – 1)^2} \leqslant lo{g_2}\left[ {2\left( {5 – x} \right)} \right] $
$\Leftrightarrow {(x – 1)^2} \leqslant 10 – 2x$.
$ \Leftrightarrow {x^2} – 9 \leqslant 0 \Leftrightarrow – 3 \leqslant x \leqslant 3$.
Vậy tập nghiệm của bpt là $S = \left( {1;3} \right]$.
Câu 42. Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình $2lo{g_3}\left( {4x – 3} \right) \leqslant lo{g_3}\left( {18x + 27} \right)$.
A. $S = \left[ { – \frac{3}{8};3} \right]$
B. $S = \left( {\frac{3}{4};3} \right]$.
C. $S = \left( {\frac{3}{4}; + \infty } \right)$.
D. $S = \left[ {3; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn B.
$2lo{g_3}\left( {4x – 3} \right) \leqslant lo{g_3}\left( {18x + 27} \right)\left( * \right)$.
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{4x – 3 > 0} \\
{18x + 27 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow x > \frac{3}{4}} \right.$.
Với điều kiện trên, $\left( * \right) \Leftrightarrow lo{g_3}{(4x – 3)^2} \leqslant lo{g_3}\left( {18x + 27} \right)$
$ \Leftrightarrow {(4x – 3)^2} \leqslant 18x + 27$
$ \Leftrightarrow – \frac{3}{8} \leqslant x \leqslant 3$
Kết hợp điều kiện ta được $S = \left( {\frac{3}{4};3} \right]$.
Câu 43. Tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình $2lo{g_2}\sqrt {x + 1} \leqslant 2 – lo{g_2}\left( {x – 2} \right)$ bằng
A. 12
B. 9
C. 5
D. 3
Lời giải
Chọn D.
Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 1 > 0} \\
{x – 2 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > – 1} \\
{x > 2}
\end{array} \Leftrightarrow x > 2} \right.} \right.$
$2lo{g_2}\sqrt {x + 1} \leqslant 2 – lo{g_2}\left( {x – 2} \right) $
$\Leftrightarrow lo{g_2}\left( {x + 1} \right) \leqslant lo{g_2}\frac{4}{{\left( {x – 2} \right)}} $
$\Leftrightarrow x + 1 \leqslant \frac{4}{{\left( {x – 2} \right)}}$
$ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} – x – 2 – 4}}{{x – 2}} \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} – x – 6}}{{x – 2}} \leqslant 0 \Leftrightarrow x \in \left( { – \infty ; – 2\left] \cup \right[2;3} \right]$
Suy ra nghiệm của bất phương trình là: $x \in \left( {2;3} \right]$.
Nghiệm nguyên là: $x = 3$. Vậy tổng tất cả các nghiệm nguyên là 3
Câu 44. Giải bất phương trình $2lo{g_3}\left( {4x – 3} \right) + lo{g_{\frac{1}{9}}}{(2x + 3)^2} \leqslant 2$.
A. $x > \frac{3}{4}$.
B. $ – \frac{3}{8} \leqslant x \leqslant 3$.
C. $\frac{3}{4} < x \leqslant 3$.
D. Vô nghiệm.
Lời giải
Chọn C.
Điều kiện: $x > \frac{3}{4}$.
Ta có: $2lo{g_3}\left( {4x – 3} \right) + lo{g_{\frac{1}{9}}}{(2x + 3)^2} \leqslant 2 \Leftrightarrow 2lo{g_3}\left( {4x – 3} \right) + lo{g_{{3^{ – 2}}}}{(2x + 3)^2} \leqslant 2$
$ \Leftrightarrow lo{g_3}{(4x – 3)^2} – lo{g_3}\left( {2x + 3} \right) \leqslant 2 $
$\Leftrightarrow lo{g_3}\frac{{{{(4x – 3)}^2}}}{{2x + 3}} \leqslant 2 $
$\Leftrightarrow \frac{{{{(4x – 3)}^2}}}{{2x + 3}} \leqslant 9$
Do $x > \frac{3}{4} \Rightarrow 2x + 3 > 0$ nên $\frac{{{{(4x – 3)}^2}}}{{2x + 3}} \leqslant 9 $
$\Leftrightarrow 16{x^2} – 24x + 9 \leqslant 9\left( {2x + 3} \right)$
$ \Leftrightarrow 16{x^2} – 42x – 18 \leqslant 0 \Leftrightarrow 8{x^2} – 21x – 9 \leqslant 0 $
$\Leftrightarrow – \frac{3}{8} \leqslant x \leqslant 3$.
Kết hợp với điều kiện ta được $\frac{3}{4} < x \leqslant 3$.
Câu 45. Bất phương trình $3lo{g_3}\left( {x – 1} \right) + lo{g_{\sqrt[3]{3}}}\left( {2x – 1} \right) \leqslant 3$ có tập nghiệm là
A. $\left( {1;2} \right]$.
B. $\left[ {1;2} \right]$.
C. $\left[ { – \frac{1}{2};2} \right]$.
D. $\left( { – \frac{1}{2};2} \right]$.
Lời giải
Chọn A.
Điều kiện xác định $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – 1 > 0} \\
{2x – 1 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 1} \\
{x > \frac{1}{2}}
\end{array} \Leftrightarrow x > 1} \right.} \right.$.
Ta có
$3lo{g_3}\left( {x – 1} \right) + lo{g_{\sqrt[3]{3}}}\left( {2x – 1} \right) \leqslant 3 \Leftrightarrow lo{g_3}{(x – 1)^3} + lo{g_3}{(2x – 1)^3} \leqslant lo{g_3}27$
$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left[ {{{(x – 1)}^3} \cdot {{(2x – 1)}^3}} \right] \leqslant lo{g_3}27 \Leftrightarrow {[\left( {x – 1} \right)\left( {2x – 1} \right)]^3} \leqslant 27$
$ \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {2x – 1} \right) \leqslant 3 \Leftrightarrow 2{x^2} – 3x – 2 \leqslant 0 \Leftrightarrow – \frac{1}{2} \leqslant x \leqslant 2$.
Kết hợp điều kiện thì $S = \left( {1;2} \right]$.
Câu 46. Nghiệm của bất phương trình $lo{g_2}\left( {x + 1} \right) – 2lo{g_2}\left( {5 – x} \right) < 1 – lo{g_2}\left( {x – 2} \right)$ là:
A. $2 < x < 3$.
B. $ – 4 < x < 3$.
C. $1 < x < 2$.
D. $2 < x < 5$.
Lời giải
Chọn D.
Điều kiện xác định $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 1 > 0} \\
{5 – x > 0} \\
{x – 2 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > – 1} \\
{x < 5} \\
{x > 2}
\end{array} \Leftrightarrow 2 < x < 5} \right.} \right.$.
$lo{g_2}\left( {x + 1} \right) – 2lo{g_2}\left( {5 – x} \right) < 1 – lo{g_2}\left( {x – 2} \right) $
$\Leftrightarrow lo{g_2}\left( {x + 1} \right) + lo{g_2}\left( {x – 2} \right) < 1 + 2lo{g_2}\left( {5 – x} \right)$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right) < lo{g_2}2{(5 – x)^2} $
$\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right) < 2{(5 – x)^2} $
$\Leftrightarrow {x^2} – 19x + 52 > 0$
$ \Leftrightarrow x \in \left( { – \infty ;\frac{{19 – \sqrt {53} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{19 + \sqrt {53} }}{2}; + \infty } \right)$.
Kết hợp điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình là $2 < x < 5$.
Câu 47. Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình $lo{g_2}\left( {x + 2} \right) – 2 \geqslant 6lo{g_{\frac{1}{8}}}\sqrt {3x – 5} $.
A. $\left[ { – 2;\frac{5}{3}} \right]$.
B. $\left[ { – 2;\frac{5}{3}} \right]$.
C. $\left( {\frac{5}{3};2} \right]$.
D. $\left[ {2; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn D.
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3x – 5 > 0} \\
{x + 2 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > \frac{5}{3}} \\
{x > – 2}
\end{array} \Leftrightarrow x > \frac{5}{3}} \right.} \right.$.
Ta có
$\begin{array}{*{20}{r}}
{lo{g_2}\left( {x + 2} \right) – 2 \geqslant 6lo{g_{\frac{1}{8}}}\sqrt {3x – 5} }&{\; \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {x + 2} \right) – 2 \geqslant – lo{g_2}\left( {3x – 5} \right)} \\
{}&{\; \Leftrightarrow lo{g_2}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {3x – 5} \right)} \right] \geqslant 2} \\
{}&{\; \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {3x – 5} \right) \geqslant {2^2}} \\
{}&{\; \Leftrightarrow 3{x^2} + x – 14 \geqslant 0} \\
{}&{\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \leqslant – \frac{7}{3}} \\
{x \geqslant 2}
\end{array}} \right.}
\end{array}$
So với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là $S = \left[ {2, + \infty } \right)$.
Câu 48. Biết $x = \frac{{15}}{2}$ là một nghiệm của bất phương trình $2lo{g_a}\left( {23x – 23} \right) > lo{g_{\sqrt a }}\left( {{x^2} + 2x + 15} \right)\left( * \right)$. Tập nghiêm T của bất phương trình $\left( * \right)$ là
A. $T = \left( { – \infty ;\frac{{19}}{2}} \right)$
B. $t = \left( {2;19} \right)$
C. $t = \left( {2;8} \right)$
D. $t = \left( {1;\frac{{17}}{2}} \right)$
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $2lo{g_a}\left( {23x – 23} \right) > lo{g_{\sqrt a }}\left( {{x^2} + 2x + 15} \right)$
$\Leftrightarrow lo{g_a}\left( {23x – 23} \right) > lo{g_a}\left( {{x^2} + 2x + 15} \right)$
$x = \frac{{15}}{2}$ là một nghiệm của bất phương trình nên $lo{g_a}\frac{{299}}{2} > lo{g_a}\frac{{345}}{4}$.
Do đó $a > 1$ Ta có: $\left( * \right) \Leftrightarrow 23x – 23 > {x^2} + 2x + 15 \Leftrightarrow {x^2} – 21x + 38 < 0 \Leftrightarrow 2 < x < 19$
Câu 49. Tập nghiệm của bất phương trình $\frac{{log\left( {{x^2} – 9} \right)}}{{log\left( {3 – x} \right)}} \leqslant 1$ là:
A. $\left( { – 4; – 3} \right)$.
B. $\left[ { – 4; – 3} \right)$.
C. $\left( {3;4} \right]$.
D. $\phi $.
Lời giải
Chọn B.
Với $x < – 3$ suy ra $log\left( {3 – x} \right) > 0$ nên bất phương trình đã cho tương đương với
$log\left( {{x^2} – 9} \right) \leqslant log\left( {3 – x} \right) \Leftrightarrow {x^2} + x – 12 \leqslant 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { – 4;3} \right]$
Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $\left[ { – 4; – 3} \right)$
Câu 50. Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình $\frac{{log\left( {{x^2} – 1} \right)}}{{log\left( {1 – x} \right)}} \leqslant 1$.
A. $S = \left( { – 2; – 1} \right)$
B. $S = \left[ { – 2; – 1} \right)$
C. $S = \left[ { – 2;1} \right)$.
D. $S = \left[ { – 2; – 1} \right]$.
Lời giải
Chọn B.
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x\left\langle { – 1;x} \right\rangle 1} \\
{x < 1}
\end{array} \Leftrightarrow x < – 1} \right.$.
$\frac{{log\left( {{x^2} – 1} \right)}}{{log\left( {1 – x} \right)}} \leqslant 1 \Leftrightarrow lo{g_{\left( {1 – x} \right)}}\left( {{x^2} – 1} \right) \leqslant 1$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 – x > 1} \\
{{x^2} + x – 2 \leqslant 0} \\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{0 < 1} \\
{{x^2} – x – 2 \geqslant 0}
\end{array}} \right.}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < 0} \\
{ – 2 \leqslant x \leqslant 1} \\
{0 < x < 1} \\
{x \leqslant – 1;x \geqslant 2}
\end{array} \Leftrightarrow – 2 \leqslant x < 0} \right.} \right.$.
Kết hợp với điều kiện ta có $S = \left[ { – 2; – 1} \right)$.
