60 câu trắc nghiệm phương trình mũ mức thông hiểu giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN
Phương pháp: Với $0 < a \ne 1$ và $b > 0$, ta có:
${a^x} = b \Leftrightarrow x = {\log _a}b$
Câu 1: Nghiệm của phương trình ${3^x} = 11$ là
A. $x = 0$.
B. $x = 1$.
C. $x = {\log _{11}}3$.
D. $x = {\log _3}11$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: ${3^x} = 11 \Leftrightarrow x = {\log _3}11$.
Câu 2: Nghiệm của phương trình ${3^x} = 4$ là
A. $x = 0$.
B. $x = 1$.
C. $x = \frac{1}{2}{\log _2}3$.
D. $x = 2{\log _3}2$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: ${3^x} = 4 \Leftrightarrow x = {\log _3}4 \Leftrightarrow x = {\log _3}{2^2} \Leftrightarrow x = 2{\log _3}2$.
Câu 3: Nghiệm của phương trình ${3^{x + 5}} = 7$ là
A. $x = – 5 + {\log _3}7$.
B. $x = 5 + {\log _3}7$.
C. $x = – 5 + {\log _7}3$.
D. $x = 5 + {\log _7}3$.
Lời giải
Chọn A
Ta có: ${3^{x + 5}} = 7 \Leftrightarrow x + 5 = {\log _3}7 \Leftrightarrow x = – 5 + {\log _3}7$.
Câu 4: Nghiệm của phương trình ${7^{5 – x}} = 3$ là
A. $x = – 5 – {\log _7}3$.
B. $x = 5 + {\log _7}3$.
C. $x = 5 – {\log _7}3$.
D. $x = 10 – {\log _7}3$.
Lời giải
Chọn C
Ta có: ${7^{5 – x}} = 3 \Leftrightarrow 5 – x = {\log _7}3$
$ \Leftrightarrow – x = – 5 + {\log _7}3 \Leftrightarrow x = 5 – {\log _7}3$.
DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
Phương pháp: Với $0 < a \ne 1$, ta có:
${a^u} = {a^v} \Leftrightarrow u = v$
Câu 1: Nghiệm của phương trình ${3^{x – 1}} = 27$ là
A. $x = 4$.
B. $x = 3$.
C. $x = 2$.
D. $x = 1$.
Lời giải
Chọn A
Ta có: ${3^{x – 1}} = 27 \Leftrightarrow {3^{x – 1}} = {3^3} \Leftrightarrow x – 1 = 3 \Leftrightarrow x = 4$.
Vậy nghiệm của phương trình là $x = 4$.
Câu 2: Nghiệm của phương trình ${3^{x – 1}} = 9$ là:
A. $x = – 2$.
B. $x = 3$.
C. $x = 2$.
D. $x = – 3$.
Lời giải
Chọn B
${3^{x – 1}} = 9 \Leftrightarrow x – 1 = lo{g_3}9 \Leftrightarrow x – 1 = 2 \Leftrightarrow x = 3$
Câu 3: Nghiệm của phương trình ${3^{x – 5}} = 3$ là
A. $x = – 3$.
B. $x = 3$.
C. $x = 6$.
D. $x = – 4$.
Lời giải
Chọn C
Ta có ${3^{x – 5}} = 3 \Leftrightarrow {3^{x – 5}} = {3^1} \Leftrightarrow x – 5 = 1 \Leftrightarrow x = 6$.
Câu 4: Nghiệm của phương trình ${3^{x + 1}} = 1$ là
A. $x = 1$.
B. $x = 2$.
C. $x = – 2$.
D. $x = – 1$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: ${3^{x + 1}} = 1 \Leftrightarrow {3^{x + 1}} = {3^0} \Leftrightarrow x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = – 1$.
Câu 5: Nghiệm của phương trình ${3^{x + 2}} = 27$ là
A. $x = – 2$.
B. $x = – 1$.
C. $x = 2$.
D. $x = 1$.
Lời giải
Chọn D
Ta có ${3^{x + 2}} = 27 \Leftrightarrow {3^{x + 2}} = {3^3} \Leftrightarrow x + 2 = 3 \Leftrightarrow x = 1$.
Câu 6: Nghiệm của phương trình ${2^{2x – 4}} = {2^x}$ là
A. $x = 16$.
B. $x = – 16$.
C. $x = – 4$.
D. $x = 4$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: ${2^{2x – 4}} = {2^x} \Leftrightarrow 2x – 4 = x \Leftrightarrow x = 4$.
Câu 7: Nghiệm của phương trình ${5^{2x – 3}} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^x}$ là
A. $x = 8$.
B. $x = – 8$.
C. $x = 2$.
D. $x = – 3$.
Lời giải
Chọn C
Ta có ${5^{2x – 3}} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^x} \Leftrightarrow {5^{2x – 3}} = {\left( {{5^{\frac{1}{2}}}} \right)^x}$.
$ \Leftrightarrow {5^{2x – 3}} = {5^{\frac{1}{2}x}} \Leftrightarrow 2x – 3 = \frac{1}{2}x$
$ \Leftrightarrow 4x – 6 = x \Leftrightarrow x = 2$
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm $x = 2$.
Câu 8: Nghiệm của phương trình ${\left( {\frac{3}{5}} \right)^{2x – 2}} = {\left( {\frac{5}{3}} \right)^x}$ là
A. $x = – 2$.
B. $x = \frac{2}{3}$.
C. $x = – 4$.
D. $x = \frac{4}{3}$.
Lời giải
Chú ý: ${\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = {\left( {\frac{b}{a}} \right)^{ – \alpha }}$
Chọn B
${\left( {\frac{3}{5}} \right)^{2x – 2}} = {\left( {\frac{5}{3}} \right)^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{2x – 2}} = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{ – x}}$
$ \Leftrightarrow 2x – 2 = – x \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}$.
Câu 9: Nghiệm của phương trình: ${3^{2x – 1}} = 3.\sqrt[5]{3}$ là
A. $x = \frac{1}{{11}}$.
B. $x = \frac{{11}}{{10}}$.
C. $x = 4$.
D. $x = 5$.
Lời giải
Chọn B
Ta có: ${3^{2x – 1}} = 3.\sqrt[5]{3} \Leftrightarrow {3^{2x – 1}} = {3.3^{\frac{1}{5}}}$
$ \Leftrightarrow {3^{2x – 1}} = {3^{\frac{6}{5}}} \Leftrightarrow 2x – 1 = \frac{6}{5}$
$ \Leftrightarrow 10x – 5 = 6 \Leftrightarrow x = \frac{{11}}{{10}}$.
Câu 10: Tập nghiệm $S$ của phương trình ${3^{2{x^2} + 1}} = 27$ là
A. $S = \left\{ { – 1;1} \right\}$ .
B. $S = \left\{ { – 1} \right\}$ .
C. $S = \left\{ { – 2;2} \right\}$ .
D. $S = \left\{ { – 2} \right\}$ .
Lời giải
Chọn A
Ta có: ${3^{2{x^2} + 1}} = 27 \Leftrightarrow {3^{2{x^2} + 1}} = {3^3}$
$ \Leftrightarrow 2{x^2} + 1 = 3 \Leftrightarrow 2{x^2} – 2 = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 1 \hfill \\
x = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Câu 11: Tìm nghiệm của phương trình ${3^{x – 1}} = \frac{1}{3}$
A. $x = 10$
B. $x = 9$
C. $x = 3$
D. $x = 0$
Lời giải
Chọn D
${3^{x – 1}} = {3^{ – 1}} \Leftrightarrow x – 1 = – 1 \Leftrightarrow x = 0$.
Câu 12: Phương trình ${5^{2x + 1}} = 125$ có nghiệm là
A. $x = \frac{5}{2}$
B. $x = 1$
C. $x = 3$
D. $x = \frac{3}{2}$
Lời giải
Chọn B
Ta có: ${5^{2x + 1}} = 125 \Leftrightarrow {5^{2x + 1}} = {5^3} \Leftrightarrow 2x + 1 = 3 \Leftrightarrow x = 1$.
Câu 13: Phương trình ${2^{2x + 1}} = 32$ có nghiệm là
A. $x = 3$
B. $x = \frac{5}{2}$
C. $x = 2$
D. $x = \frac{3}{2}$
Lời giải
Chọn C
Ta có ${2^{2x + 1}} = 32 \Leftrightarrow {2^{2x + 1}} = {2^5} \Leftrightarrow 2x + 1 = 5 \Leftrightarrow x = 2$.
Câu 14: Nghiệm của phương trình ${2^{2x – 1}} = 32$ là
A. $x = 2$.
B. $x = \frac{{17}}{2}$.
C. $x = \frac{5}{2}$.
D. $x = 3$.
Lời giải
Chọn $\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{D} $
${2^{2x – 1}} = 32 \Leftrightarrow {2^{2x – 1}} = {2^5} \Leftrightarrow 2x – 1 = 5 \Leftrightarrow x = 3$.
Câu 15: Nghiệm của phương trình ${2^{2x – 1}} = \frac{1}{8}$ là
A. $x = 2$.
B. $x = \frac{5}{2}$.
C. $x = – 1$.
D. $x = \frac{3}{2}$.
Lời giải
Chọn A
Ta có: ${2^{2x – 1}} = \frac{1}{8} \Leftrightarrow {2^{2x – 1}} = \frac{1}{{{2^3}}}$
$ \Leftrightarrow {2^{2x – 1}} = {2^{ – 3}} \Leftrightarrow 2x – 1 = – 3 \Leftrightarrow x = – 1$.
Câu 16: Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để phương trình ${3^x} = m$ có nghiệm thực.
A. $m \geqslant 1$
B. $m \geqslant 0$
C. $m > 0$
D. $m \ne 0$
Lời giải
Chú ý: Phương trình ${a^x} = b\,\,(0 < a \ne 1)$ có nghiệm $ \Leftrightarrow b > 0$
Để phương trình ${3^x} = m$ có nghiệm thực thì $m > 0$.
Câu 17: Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để phương trình ${2024^x} = m – 5$ có nghiệm thực.
A. $m \geqslant 2024$
B. $m \geqslant 0$
C. $m > 5$
D. $m < 5$
Lời giải
Chọn C
Chú ý: Phương trình ${a^x} = b\,\,(0 < a \ne 1)$ có nghiệm $ \Leftrightarrow b > 0$
Để phương trình ${2024^x} = m – 5$ có nghiệm thực thì $m – 5 > 0 \Leftrightarrow m > 5$.
Câu 18: Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình ${5^{2{x^2} – x}} = 5$.
A. $S = \emptyset $
B. $S = \left\{ {0;\frac{1}{2}} \right\}$
C. $S = \left\{ {0;2} \right\}$
D. $S = \left\{ {1; – \frac{1}{2}} \right\}$
Lời giải
Chọn D
${5^{2{x^2} – x}} = 5 \Leftrightarrow 2{x^2} – x = 1 \Leftrightarrow 2{x^2} – x – 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{x = – \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$
Câu 19: Phương trình ${(\sqrt 5 )^{{x^2} + 4x + 6}} = lo{g_2}128$ có bao nhiêu nghiệm?
A. 1
B. 3
C. 2
D. 0
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương với: ${x^2} + 4x + 6 = lo{g_{\sqrt 5 }}7 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 6 – lo{g_{\sqrt 5 }}7 = 0$
Sử dụng máy tính bỏ túi ta thấy phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.
Câu 20: Tập nghiệm $S$ của phương trình ${3^{{x^2} – 2x}} = 27$.
A. $S = \left\{ {1;3} \right\}$.
B. $S = \left\{ { – 3;1} \right\}$.
C. $S = \left\{ { – 3; – 1} \right\}$.
D. $S = \left\{ { – 1;3} \right\}$.
Lời giải
Ta có: ${3^{{x^2} – 2x}} = 27 \Leftrightarrow {x^2} – 2x = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1} \\
{x = 3}
\end{array}} \right.$.
Vậy tập nghiệm $S$ của phương trình ${3^{{x^2} – 2x}} = 27$ là $S = \left\{ { – 1;3} \right\}$.
Câu 21: Số nghiệm thực phân biệt của phương trình ${e^{{x^2}}} = \sqrt 3 $ là:
A. 1 .
B. 0 .
C. 3 .
D. 2.
Lời giải
Ta có ${e^{{x^2}}} = \sqrt 3 \Leftrightarrow {x^2} = ln\sqrt 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {ln\sqrt 3 } $.
Vậy phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt.
Câu 22: Phương trình ${5^{x + 2}} – 1 = 0$ có tập nghiệm là
A. $S = \left\{ 3 \right\}$.
B. $S = \left\{ 2 \right\}$.
C. $S = \left\{ 0 \right\}$.
D. $S = \left\{ { – 2} \right\}$.
Lời giải
Ta có ${5^{x + 2}} – 1 = 0 \Leftrightarrow {5^{x + 2}} = 1 \Leftrightarrow x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = – 2$
Vậy $S = \left\{ { – 2} \right\}$.
Câu 23: Gọi ${x_1},\,{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${5^{{x^2} – x}} – 25 = 0$. Tính $P = {x_1}^3 + {x_2}^3$.
A. $P = 1$.
B. $P = 7$.
C. $P = 9$.
D. $P = 8$.
Lời giải
Ta có: ${5^{{x^2} – x}} – 25 = 0 \Leftrightarrow {5^{{x^2} – x}} = 25 = 0$
$ \Leftrightarrow {5^{{x^2} – x}} = {5^2} \Leftrightarrow {x^2} – x = 2$
$ \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 2 \hfill \\
x = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy $P = {x_1}^3 + {x_2}^3 = {2^3} + {( – 1)^3} = 7$
Câu 24: Cho biết ${9^x} – {12^2} = 0$, tính giá trị của biểu thức $P = \frac{1}{{{3^{ – x – 1}}}} – {8.9^{\frac{{x – 1}}{2}}} + 19$.
A. 31 .
B. 23 .
C. 22 .
D. 15 .
Lời giải
Ta có ${9^x} – {12^2} = 0 \Leftrightarrow {3^x} = 12$.
$P = {3^{x + 1}} – {8.3^{x – 1}} + 19 = {3.3^x} – 8 \cdot \frac{{{3^x}}}{3} + 19$
$ = 3.12 – 8 \cdot \frac{{12}}{3} + 19 = 23.$
Câu 25: Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình ${2^{2{x^2} + 5x + 4}} = 4$
A. $ – \frac{5}{2}$.
B. -1 .
C. 1 .
D. $\frac{5}{2}$.
Lời giải
${2^{2{x^2} + 5x + 4}} = 4 \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{1}{2}} \\
{x = – 2}
\end{array}} \right.$
Vậy tổng hai nghiệm bằng $ – \frac{5}{2}$.
Câu 26: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình ${3^{2x – 1}} + 2{m^2} – m – 3 = 0$ có nghiệm.
A. $m \in \left( { – 1;\frac{3}{2}} \right)$.
B. $m \in \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$.
C. $m \in \left( {0; + \infty } \right)$.
D. $m \in \left[ { – 1;\frac{3}{2}} \right]$.
Lời giải
Chọn A
${3^{2x – 1}} + 2{m^2} – m – 3 = 0 \Leftrightarrow {3^{2x – 1}} = 3 + m – 2{m^2}$
Phương trình có nghiệm khi $3 + m – 2{m^2} > 0 \Leftrightarrow – 1 < m < \frac{3}{2}$.
Vậy $m \in \left( { – 1;\frac{3}{2}} \right)$.
Câu 27: Cho a, b là hai số thực khác 0 , biết: ${\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{{a^2} + 4ab}} = {(\sqrt[3]{{625}})^{3{a^2} – 8ab}}$. Tỉ số $\frac{a}{b}$ là:
A. $\frac{{ – 8}}{7}$
B. $\frac{1}{7}$
C. $\frac{4}{7}$
D. $\frac{{ – 4}}{{21}}$
Lời giải
Ta có $:{\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{{a^2} + 4ab}} = {(\sqrt[3]{{625}})^{3{a^2} – 8ab}} \Leftrightarrow {5^{ – 3\left( {{a^2} + 4ab} \right)}} = {5^{\frac{4}{3}\left( {3{a^2} – 8ab} \right)}}$
$ \Leftrightarrow – 3\left( {{a^2} + 4ab} \right) = \frac{4}{3}\left( {3{a^2} – 8ab} \right)$
$ \Leftrightarrow 21{a^2} = – 4ab \Leftrightarrow \frac{a}{b} = – \frac{4}{{21}}$
Câu 28: Tổng các nghiệm của phương trình ${2^{{x^2} – 2x + 1}} = 8$ bằng
A. 0 .
B. -2 .
C. 2 .
D. 1 .
Lời giải
Ta có: ${2^{{x^2} – 2x + 1}} = 8 \Leftrightarrow {2^{{x^2} – 2x + 1}} = {2^3} \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 = 3$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – \sqrt 3 } \\
{x = 1 + \sqrt 3 }
\end{array}} \right.$
Như vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: $1 – \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 $.
Tổng hai nghiệm là: $\left( {1 – \sqrt 3 } \right) + \left( {1 + \sqrt 3 } \right) = 2$.
Câu 29: Phương trình ${2^{2{x^2} + 5x + 4}} = 4$ có tổng tất cả các nghiệm bằng
A. 1 .
B. $\frac{5}{2}$.
C. -1 .
D. $ – \frac{5}{2}$.
Lời giải
Chọn D
Cách 1:
Ta có: ${2^{2{x^2} + 5x + 4}} = 4 \Leftrightarrow {2^{2{x^2} + 5x + 4}} = {2^2}$
$ \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 4 = 2 \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2} \\
{x = – \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là: $ – 2 + \left( { – \frac{1}{2}} \right) = – \frac{5}{2}$.
Cách 2:
Ta có: ${2^{2{x^2} + 5x + 4}} = 4 \Leftrightarrow {2^{2{x^2} + 5x + 4}} = {2^2}$
$ \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 4 = 2 \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 2 = 0$
Xét phương trình (1): $\Delta = 9 > 0 \Rightarrow $ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$.
Theo định lý Viet ta có: ${x_1} + {x_2} = – \frac{5}{2}$.
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là: $ – \frac{5}{2}$.
Câu 30: Phương trình ${5^{2{x^2} + 5x + 4}} = 25$ có tổng tất cả các nghiệm bằng
A. 1
B. $\frac{5}{2}$
C. -1
D. $ – \frac{5}{2}$
Lời giải
Chọn D
${5^{2{x^2} + 5x + 4}} = {5^2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 4 = 2 \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 2 = 0$
Tổng các nghiệm là $ – \frac{5}{2}$.
Câu 31: Phương trình ${7^{2{x^2} + 5x + 4}} = 49$ có tổng tất cả các nghiệm bằng
A. $ – \frac{5}{2}$.
B. 1 .
C. -1 .
D. $\frac{5}{2}$.
Lời giải
${7^{2{x^2} + 5x + 4}} = 49 \Leftrightarrow {7^{2{x^2} + 5x + 4}} = {7^2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 4 = 2$
$ \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2} \\
{x = – \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng: $ – 2 + \left( { – \frac{1}{2}} \right) = – \frac{5}{2}$.
Câu 32: Nghiệm của phương trình ${3^{2x + 1}} = {3^{2 – x}}$ là:
A. $x = \frac{1}{3}$.
B. $x = 0$.
C. $x = – 1$.
D. $x = 1$.
Lời giải
Chọn A
${3^{2x + 1}} = {3^{2 – x}} \Leftrightarrow 2x + 1 = 2 – x \Leftrightarrow 3x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}$.
Câu 33: Số nghiệm thực của phương trình ${2^{{x^2} + 1}} = 4$ là
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 0 .
Lời giải
Chọn B
${2^{{x^2} + 1}} = {2^2} \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 2 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{x = – 1}
\end{array}} \right.$
Câu 34: Tập nghiệm của phương trình: ${4^{x + 1}} + {4^{x – 1}} = 272$ là
A. $\left\{ {3;2} \right\}$.
B. $\left\{ 2 \right\}$.
C. $\left\{ 3 \right\}$.
D. $\left\{ {3;5} \right\}$.
Lời giải
Chọn C
${4^{x + 1}} + {4^{x – 1}} = 272 \Leftrightarrow {4.4^x} + \frac{{{4^x}}}{4} = 272 \Leftrightarrow {4^x} = 64 \Leftrightarrow x = 3$
Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ 3 \right\}$.
Câu 35: Phương trình ${27^{2x – 3}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{{x^2} + 2}}$ có tập nghiệm là
A. $\left\{ { – 1;7} \right\}$.
B. $\left\{ { – 1; – 7} \right\}$.
C. $\left\{ {1;7} \right\}$.
D. $\left\{ {1; – 7} \right\}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: ${27^{2x – 3}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{{x^2} + 2}} \Leftrightarrow {3^{6x – 9}} = {3^{ – {x^2} – 2}}$
$ \Leftrightarrow 6x – 9 = – {x^2} – 2 \Leftrightarrow {x^2} + 6x – 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{x = – 7}
\end{array}} \right.$.
Vậy tập nghiệm của phương trình là $\left\{ {1; – 7} \right\}$.
Câu 36: Phương trình ${3^x} \cdot {2^{x + 1}} = 72$ có nghiệm là
A. $x = \frac{5}{2}$.
B. $x = 2$.
C. $x = \frac{3}{2}$.
D. $x = 3$.
Lời giải
Chọn B
${3^x} \cdot {2^{x + 1}} = 72 \Leftrightarrow {3^x} \cdot {2^x} \cdot 2 = 72 \Leftrightarrow {6^x} = 36 \Leftrightarrow x = 2.$
Câu 37: Nghiệm của phương trình ${\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} – 2x – 3}} = {5^{x + 1}}$ là
A. $x = – 1;x = 2$.
B. $x = 1;x = – 2$.
C. $x = 1;x = 2$.
D. Vô nghiệm.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
${\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} – 2x – 3}} = {5^{x + 1}} \Leftrightarrow {5^{ – \left( {{x^2} – 2x – 3} \right)}} = {5^{x + 1}}$
$ \Leftrightarrow – {x^2} + 2x + 3 = x + 1 \Leftrightarrow – {x^2} + x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = – 1} \\
{x = 2}
\end{array}.} \right.$
Vậy nghiệm của phương trình là $x = – 1;x = 2$.
Câu 38: Tập nghiệm của phương trình ${\left( {\frac{1}{7}} \right)^{{x^2} – 2x – 3}} = {7^{x + 1}}$ là
A. $\left\{ { – 1} \right\}$.
B. $\left\{ { – 1;2} \right\}$.
C. $\left\{ { – 1;4} \right\}$.
D. $\left\{ 2 \right\}$.
Lời giải
Chọn B
Ta có: ${\left( {\frac{1}{7}} \right)^{{x^2} – 2x – 3}} = {7^{x + 1}} \Leftrightarrow {7^{ – {x^2} + 2x + 3}} = {7^{x + 1}}$
$ \Leftrightarrow – {x^2} + 2x + 3 = x + 1$
$ \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1} \\
{x = 2}
\end{array}} \right.$.
Câu 39: Tổng các nghiệm của phương trình ${2^{{x^2} + 2x}} = {8^{2 – x}}$ bằng
A. -6 .
B. -5 .
C. 5 .
D. 6 .
Lời giải
Chọn B
Ta có: ${2^{{x^2} + 2x}} = {8^{2 – x}} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + 2x}} = {2^{6 – 3x}} \Leftrightarrow {x^2} + 5x – 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{x = – 6}
\end{array}} \right.$.
Vậy tổng hai nghiệm của phương trình bằng -5 .
Câu 40: Gọi ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${7^{x + 1}} = {\left( {\frac{1}{7}} \right)^{{x^2} – 2x – 3}}$. Khi đó $x_1^2 + x_2^2$ bằng:
A. 17 .
B. 1 .
C. 5 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn C
${7^{x + 1}} = {\left( {\frac{1}{7}} \right)^{{x^2} – 2x – 3}} \Leftrightarrow {7^{x + 1}} = {7^{ – \left( {{x^2} – 2x – 3} \right)}}$
$ \Leftrightarrow x + 1 = – {x^2} + 2x + 3 \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} = – 1} \\
{{x_2} = 2}
\end{array}} \right.$
Vậy $x_1^2 + x_2^2 = 5$.
Câu 41: Tổng bình phương các nghiệm của phương trình ${5^{3x – 2}} = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{ – {x^2}}}$ bằng
A. 2 .
B. 5 .
C. 0 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn B
Ta có ${5^{3x – 2}} = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{ – {x^2}}} \Leftrightarrow {5^{3x – 2}} = {5^{{x^2}}} \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{x = 2}
\end{array}} \right.$.
Vậy tổng bình phương các nghiệm của phương trình ${5^{3x – 2}} = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{ – {x^2}}}$ bằng 5 .
Câu 42: Nghiệm của phương trình ${2^{7x – 1}} = {8^{2x – 1}}$ là
A. $x = 2$.
B. $x = – 3$.
C. $x = – 2$.
D. $x = 1$.
Lời giải
Chọn C
${2^{7x – 1}} = {8^{2x – 1}} \Leftrightarrow {2^{7x – 1}} = {2^{3 \cdot \left( {2x – 1} \right)}}$
$ \Leftrightarrow {2^{7x – 1}} = {2^{6x – 3}} \Leftrightarrow 7x – 1 = 6x – 3 \Leftrightarrow x = – 2$.
Câu 43: Giải phương trình ${(2,5)^{5x – 7}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{x + 1}}$.
A. $x \geqslant 1$.
B. $x = 1$.
C. $x < 1$.
D. $x = 2$.
Lời giải
Ta có ${(2,5)^{5x – 7}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{x + 1}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{2}} \right)^{5x – 7}} = {\left( {\frac{5}{2}} \right)^{ – x – 1}}$
$ \Leftrightarrow 5x – 7 = – x – 1 \Leftrightarrow x = 1$.
Câu 44: Phương trình ${3^{{x^2} – 4}} = {\left( {\frac{1}{9}} \right)^{3x – 1}}$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$. Tính ${x_1}{x_2}$.
A. -6 .
B. -5 .
C. 6 .
D. -2 .
Lời giải
Ta có ${3^{{x^2} – 4}} = {\left( {\frac{1}{9}} \right)^{3x – 1}} \Leftrightarrow {x^2} – 4 = 2 – 6x \Leftrightarrow {x^2} + 6x – 6 = 0$.
Áp dụng Vi-ét suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thì ${x_1}{x_2} = – 6$.
Câu 45: Tổng các nghiệm của phương trình ${2^{{x^2} + 2x}} = {8^{2 – x}}$ bằng
A. 5 .
B. -5 .
C. 6 .
D. -6 .
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương: ${2^{{x^2} + 2x}} = {2^{3\left( {2 – x} \right)}}$
$ \Leftrightarrow {x^2} + 2x = 6 – 3x \Leftrightarrow {x^2} + 5x – 6 = 0$.
Do đó tổng các nghiệm của phương trình là: $S = – \frac{b}{a} = – 5$.
Câu 46: Tập nghiệm của phương trình ${4^{x – {x^2}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$ là
A. $\left\{ {0;\frac{2}{3}} \right\}$.
B. $\left\{ {0;\frac{1}{2}} \right\}$.
C. $\left\{ {0;2} \right\}$.
D. $\left\{ {0;\frac{3}{2}} \right\}$.
Lời giải
Ta có ${4^{x – {x^2}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} \Leftrightarrow {2^{2x – 2{x^2}}} = {2^{ – x}} \Leftrightarrow – 2{x^2} + 2x = – x$
$ \Leftrightarrow – 2{x^2} + 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{x = \frac{3}{2}}
\end{array}} \right.$.
Câu 47: Tìm nghiệm của phương trình ${(7 + 4\sqrt 3 )^{2x + 1}} = 2 – \sqrt 3 $.
A. $x = \frac{1}{4}$.
B. $x = – 1 + lo{g_{7 + 4\sqrt 3 }}\left( {2 – \sqrt 3 } \right)$.
C. $x = – \frac{3}{4}$.
D. $x = \frac{{25 – 15\sqrt 3 }}{2}$.
Lời giải
Ta có
${(7 + 4\sqrt 3 )^{2x + 1}} = 2 – \sqrt 3 \Leftrightarrow {(2 + 2\sqrt 3 )^{4x + 2}} = {(2 + \sqrt 3 )^{ – 1}}$
$ \Leftrightarrow 4x + 2 = – 1 \Leftrightarrow 4x = – 3 \Leftrightarrow x = – \frac{3}{4}.$
Câu 48: Tính tổng $S = {x_1} + {x_2}$ biết ${x_1},{x_2}$ là các giá trị thực thỏa mãn đẳng thức ${2^{{x^2} – 6x + 1}} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{x – 3}}$.
A. $S = – 5$.
B. $S = 8$.
C. $S = 4$.
D. $S = 2$.
Lời giải
Ta có ${2^{{x^2} – 6x + 1}} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{x – 3}} \Leftrightarrow {2^{{x^2} – 6x + 1}} = {(2)^{ – 2\left( {x – 3} \right)}}$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 6x + 1 = – 2x + 6$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 4x – 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} = – 1} \\
{{x_2} = 5}
\end{array} \Rightarrow S = {x_1} + {x_2} = 4} \right.$
Câu 49: Tập nghiệm $S$ của phương trình ${\left( {\frac{4}{7}} \right)^x}{\left( {\frac{7}{4}} \right)^{3x – 1}} – \frac{{16}}{{49}} = 0$ là
A. $S = \left\{ {\frac{{ – 1}}{2}} \right\}$
B. $S = \left\{ 2 \right\}$
C. $S = \left\{ {\frac{1}{2};\frac{{ – 1}}{2}} \right\}$
D. $S = \left\{ {\frac{{ – 1}}{2};2} \right\}$
Lời giải
Ta có
${\left( {\frac{4}{7}} \right)^x}{\left( {\frac{7}{4}} \right)^{3x – 1}} – \frac{{16}}{{49}} = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{7}} \right)^x}{\left( {\frac{4}{7}} \right)^{ – (3x – 1)}} – \frac{{16}}{{49}} = 0$
$ \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{7}} \right)^x}{\left( {\frac{4}{7}} \right)^{ – 3x + 1}} – \frac{{16}}{{49}} = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{7}} \right)^{ – 2x + 1}} – \frac{{16}}{{49}} = 0$
$ \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{7}} \right)^{ – 2x + 1}} = \frac{{16}}{{49}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{7}} \right)^{ – 2x + 1}} = \frac{{{4^2}}}{{{7^2}}}$
$ \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{7}} \right)^{ – 2x + 1}} = {\left( {\frac{4}{7}} \right)^2} \Leftrightarrow – 2x + 1 = 2$
$ \Leftrightarrow x = \frac{{ – 1}}{2}.$
Câu 50: Tích các nghiệm của phương trình ${(\sqrt 5 + 2)^{x – 1}} = {(\sqrt 5 – 2)^{\frac{{x – 1}}{{x + 1}}}}$ là
A. -2 .
B. -4 .
C. 4 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn A.
Điều kiện: $x \ne – 1$
Vì $\left( {\sqrt 5 – 2} \right)\left( {\sqrt 5 + 2} \right) = 1$ nên $\left( {\sqrt 5 – 2} \right) = {(\sqrt 5 + 2)^{ – 1}}$.
Khi đó phương trình đã cho tương đương ${(\sqrt 5 + 2)^{x – 1}} = {(\sqrt 5 + 2)^{\frac{{ – x + 1}}{{x + 1}}}}$
$ \Leftrightarrow x – 1 = \frac{{ – x + 1}}{{x + 1}}$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{x = – 2}
\end{array}} \right.$. (thỏa điều kiện)
Suy ra tích hai nghiệm là -2 .
Câu 51: Giải phương trình ${4^{2x + 3}} = {8^{4 – x}}$.
A. $x = \frac{6}{7}$.
B. $x = \frac{2}{3}$.
C. $x = 2$.
D. $x = \frac{4}{5}$.
Lời giải
${4^{2x + 3}} = {8^{4 – x}} \Leftrightarrow {2^{4x + 6}} = {2^{12 – 3x}} \Leftrightarrow 4x + 6 = 12 – 3x \Leftrightarrow x = \frac{6}{7}$.
