30 câu trắc nghiệm bài hai đường thẳng vuông góc mức thông hiểu giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Câu 1. Trong không gian, cho đường thẳng $d$ và điểm $O$. Qua $O$ có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với đường thẳng $d$ ?
A. 3 .
B. vô số.
C. 1 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn B
Trong không gian, có vô số đường thẳng qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. Vì vậy chọn đáp án B
Câu 2. Trong không gian cho trước điểm $M$ và đường thẳng $\Delta$. Các đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $\Delta$ thì:
A. vuông góc với nhau.
B. song song với nhau.
C. cùng vuông góc với một mặt phẳng.
D. cùng thuộc một mặt phẳng.
Lời giải
Chọn D
Suy ra từ tính chất trong theo SGK hình học 11.
Câu 3. Trong không gian, cho các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
A. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
B. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau
C. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
D. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Lời giải
Sử dụng định lí $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a \bot b} \\
{b//c}
\end{array} \Rightarrow a \bot c} \right.$.
Câu 4. Trong không gian, cho 3 đường thẳng $a,b,c$ phân biệt và mặt phẳng $\left( P \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếu $a \bot c$ và $\left( P \right) \bot c$ thì $a//\left( P \right)$.
B. Nếu $a \bot c$ và $b \bot c$ thì $a//b$.
C. Nếu $a \bot b$ và $b \bot c$ thì $a \bot c$.
D. Nếu $a \bot b$ thì $a$ và $b$ cắt nhau hoặc chéo nhau.
Lời giải
Chọn D
Theo kiến thức SGK có bốn vị trí tương đối của hai đường thẳng mà nếu hai đường thẳng trùng nhau hoặc song song thì chúng không vuông góc với nhau do đó nếu $a \bot b$ thì $a$ và $b$ cắt nhau hoặc chéo nhau.
Câu 5. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Qua một điểm $O$ cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
B. Qua một điểm $O$ cho trước có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với một đường thẳng $\Delta$ cho trước.
C. Hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Khi đó có một và chỉ một mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
D. Qua một điểm $O$ cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Lời giải
Chọn D
Qua một điểm $O$ cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. Các đường thẳng này cùng nằm trên mặt phẳng qua $O$ và vuông góc với đường thẳng ấy.
Vậy D sai.
Câu 6. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai
A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
Lời giải
Chọn C
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì có thể song song hoặc chéo nhau.
Đáp án ${\text{C}}$ chỉ đúng trong mặt phẳng.
Câu 7. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
B. Trong không gian hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
C. Trong không gian hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
D. Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.
Lời giải
Chọn B
Đáp án ${\mathbf{A}}$ sai do hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
Ví dụ: Cho lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{AA’ \bot AB} \\
{AD \bot AB}
\end{array}} \right.$. Dễ thấy $AA’$ và $AD$ cắt nhau.
Đáp án ${\mathbf{C}}$ sai do hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng có thể trùng nhau.
Đáp án ${\text{D}}$ sai do trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì có thể chéo nhau.
Câu 8. Trong hình hộp $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. $BB’ \bot BD$.
B. $A’C’ \bot BD$.
C. $A’B \bot DC’$.
D. $BC’ \bot A’D$.
Lời giải
Chọn A
Vì hình hộp $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có tất cả các cạnh đều bằng nhau nên các tứ giác $ABCD,A’B’BA$, $B’C’CB$ đều là hình thoi nên ta có $AC \bot BD$ mà $AC//A’C’ \Rightarrow A’C’ \bot BD$ (B đúng).
$A’B \bot AB’$ mà $AB’//DC’ \Rightarrow A’B \bot DC’$ (C đúng).
$BC’ \bot B’C$ mà $B’C//A’D \Rightarrow BC’ \bot A’D$ (D đúng).
Câu 9. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$. Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng $BC’$ ?
A. $A’D$.
B. $AC$.
C. $BB’$.
D. $AD’$.
Lời giải
Chọn A
Ta có: $A’D//B’C,B’C \bot BC’ \Rightarrow A’D \bot BC’$
Câu 10. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi tâm $O$ và $SA = SC,SB = SD$. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
A. $AC \bot SD$.
B. $BD \bot AC$.
C. $BD \bot SA$.
D. $AC \bot SA$.
Lời giải
Chọn D
Ta có tam giác $SAC$ cân tại $S$ và $SO$ là đường trung tuyến cũng đồng thời là đường cao.
Do đó $SO \bot AC$.
Trong tam giác vuông $SOA$ thì $AC$ và $SA$ không thể vuông tại $A$.
Câu 11. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $A’B$.
A. ${60^ \circ }$
B. ${45^ \circ }$
C. ${75^ \circ }$
D. ${90^ \circ }$
Lời giải
Chọn A
Do $A’BCD’$ là hình bình hành nên $A’B//D’C$. Suy ra góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $A’B$ bằng góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $D’C$ và đó chính là góc $\widehat {ACD’} = {60^ \circ }$ (do $\vartriangle ACD’$ đều).
Câu 12. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$. Góc giữa hai đường thẳng $BA’$ và $CD$ bằng:
A. ${45^ \circ }$.
B. ${60^ \circ }$.
C. ${30^ \circ }$.
D. ${90^ \circ }$.
Lời giải
Có $CD//AB \Rightarrow \left( {BA’,CD} \right) = \left( {BA’,BA} \right) = \widehat {ABA’} = {45^ \circ }$ (do $ABB’A’$ là hình vuông).
Câu 13. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = 2a,BC = a$. Các cạnh bên của hình chóp cùng bằng $a\sqrt 2 $. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.
A. ${45^ \circ }$.
B. ${30^ \circ }$.
C. ${60^ \circ }$.
D. ${90^ \circ }$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $AB//CD$ nên $\left( {\widehat {AB;SC}} \right) = \left( {\widehat {CD;SC}} \right) = \widehat {SCD}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $CD$. Tam giác $SCM$ vuông tại $M$ và có $SC = a\sqrt 2 ,CM = a$ nên là tam giác vuông cân tại $M$ nên $\widehat {SCD} = {45^ \circ }$. Vậy $\left( {\widehat {AB;SC}} \right) = {45^ \circ }$.
Câu 14. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$. Góc giữa hai đường thẳng $A’C’$ và $BD$ bằng.
A. ${60^ \circ }$.
B. ${30^ \circ }$.
C. ${45^ \circ }$.
D. ${90^ \circ }$.
Lời giải
Ta có: $\left( {\widehat {A’C’;BD}} \right) = \left( {\widehat {AC;BD}} \right) = {90^ \circ }$
Câu 15. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$, góc giữa hai đường thẳng $A’B$ và $B’C$ là
A. ${90^ \circ }$.
B. ${60^ \circ }$.
C. ${30^ \circ }$.
D. ${45^ \circ }$.
Lời giải
Ta có $B’C//A’D \Rightarrow \widehat {\left( {A’B;B’C} \right)} = \widehat {\left( {A’B;A’D} \right)} = \widehat {DA’B}$.
Xét $\vartriangle DA’B$ có $A’D = A’B = BD$ nên $\vartriangle DA’B$ là tam giác đều.
Vậy $\widehat {DA’B} = {60^ \circ }$.
Câu 16. Cho hình lăng trụ đều $ABC \cdot A’B’C’$ có cạnh đáy bằng 1 , cạnh bên bằng 2 . Gọi ${C_1}$ là trung điểm của $CC’$. Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng $B{C_1}$ và $A’B’$.
A. $\frac{{\sqrt 2 }}{6}$.
B. $\frac{{\sqrt 2 }}{4}$.
C. $\frac{{\sqrt 2 }}{3}$.
D. $\frac{{\sqrt 2 }}{8}$.
Lời giải
Ta có $A’B’//AB \Rightarrow \left( {\widehat {B{C_1},A’B’}} \right) = \left( {\widehat {B{C_1},AB}} \right) = \widehat {AB{C_1}}$.
Tam giác $AB{C_1}$ có $AB = 1;A{C_1} = B{C_1} = \sqrt 2 $ và ${\text{cos}}B = \frac{{A{B^2} + BC_1^2 – AC_1^2}}{{2AB \cdot B{C_1}}} \Leftrightarrow {\text{cos}}B = \frac{{\sqrt 2 }}{4}$.
Câu 17. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $SC$ và $BC$. Số đo của góc $\left( {IJ,CD} \right)$ bằng:
A. ${30^ \circ }$.
B. ${60^ \circ }$.
C. ${45^ \circ }$.
D. ${90^ \circ }$.
Lời giải
Ta có $\left. {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\text{IJ}}//SB} \\
{CD//AB}
\end{array}} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {IJ,CD} \right)} = \widehat {\left( {SB,AB} \right)} = \widehat {SBA} = {60^ \circ }$
(vì tam giác $SAB$ là tam giác đều cạnh $a$ ).
Câu 18. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ (hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $A’D$ bằng
A. ${45^ \circ }$.
B. ${30^ \circ }$.
C. ${60^ \circ }$.
D. ${90^ \circ }$.
Lời giải
Ta có: $\widehat {\left( {AC,A’D} \right)} = \widehat {\left( {A’C’,A’D} \right)} = \widehat {DA’C’} = {60^ \circ }$.
Vì $A’D = A’C’ = C’D$.
Câu 19. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ cạnh $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $CD$ và $N$ là trung điểm của $A’D’$. Góc giữa hai đường thẳng $B’M$ và $C’N$ bằng
A. ${30^ \circ }$.
B. ${45^ \circ }$.
C. ${60^ \circ }$.
D. ${90^ \circ }$.
Lời giải
Chọn D
Gọi $I$ là trung điểm của $C’D’$ khi đó $IB’$ là hình chiếu vuông góc của $B’M$ trên $\left( {A’B’C’D’} \right)$. Mặt khác ta có $\widehat {IB’C’} + \widehat {NC’B’} = \widehat {NC’D’} + \widehat {NC’B’} = \widehat {B’C’D’} = {90^ \circ } \Rightarrow C’N \bot IB’$ Do đó $C’N \bot B’M$. Vậy góc giữa $B’M$ và $C’N$ bằng ${90^ \circ }$.
Câu 20. Cho tứ diện $OABC$ có $OA = OB = OC = a;OA,OB,OC$ vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi $I$ là trung điểm $BC$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $OI$.
A. ${45^ \circ }$.
B. ${30^ \circ }$.
C. ${90^ \circ }$.
D. ${60^ \circ }$.
Lời giải
Chọn D
Vì tứ diện $OABC$ có $OA = OB = OC = a;OA,OB,OC$ vuông góc với nhau từng đôi một nên ta có thể dựng hình lập phương $AMNP.OBDC$ như hình vẽ với $I$ là trung điểm $BC$ nên $\left\{ I \right\} = OD \cap BC$.
Cạnh của hình lập phương trên bằng $a$ nên $AB = AN = NB = a\sqrt 2 $ vậy tam giác $ABN$ đều.
Dễ thấy $OI//AN$ nên góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $OI$ bằng góc giữa $AB$ và $AN$ bằng ${60^ \circ }$.
Câu 21. Cho hình hình lăng trụ $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có đáy là hình chữ nhật và $\widehat {CAD} = {40^ \circ }$. Số đo góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $B’D’$ là
A. ${40^ \circ }$.
B. ${20^ \circ }$.
C. ${50^ \circ }$.
D. ${80^ \circ }$.
Lời giải
Chọn D
Ta có $BD//B’D’ \Rightarrow \left( {\widehat {AC;B’D’}} \right) = \left( {\widehat {AC;BD}} \right)$.
Gọi $O = AC \cap BD$.
Vì $\widehat {CAD} = {40^ \circ } \Rightarrow \widehat {OAB} = \widehat {OBA} = {50^ \circ } \Rightarrow \widehat {AOB} = {80^ \circ }$
Vậy $\left( {\widehat {AC;B’D’}} \right) = {80^ \circ }$.
Câu 22. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có $I,J$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $BB’$. Góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $IJ$ bằng
A. ${45^ \circ }$.
B. ${60^ \circ }$.
C. ${30^ \circ }$.
D. ${120^ \circ }$.
Lời giải
Chọn B
Vì $IJ//B’C$ nên $\left( {IJ,AC} \right) = \left( {B’C,AC} \right)$.
Mà $AC,AB’,CB’$ là đường chéo của các hình vuông bằng nhau nên $AC = AB’ = CB’$.
$ \Rightarrow \vartriangle ACB’$ đều.
Vậy $\left( {IJ,AC} \right) = \left( {B’C,AC} \right) = \widehat {ACB’} = {60^ \circ }$.
Câu 23. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$. Góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $DA’$ bằng
A. ${60^ \circ }$.
B. ${45^ \circ }$.
C. ${90^ \circ }$.
D. ${120^ \circ }$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $AC//A’C’$ nên góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $DA’$ bằng góc giữa hai đường thẳng $A’C’$ và $DA’$.
Mà $A’C’ = DA’ = DC’$ (các đường chéo của hình vuông).
Suy ra tam giác ${A’C’D$ là tam giác đều $ \Rightarrow \widehat {A’C’D} = {60^ \circ }$.
Vậy góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $DA’$ bằng ${60^ \circ }$.
Câu 24. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB’$ và $A’C’$.
A. ${60^ \circ }$.
B. ${45^ \circ }$.
C. ${30^ \circ }$.
D. ${90^ \circ }$.
Lời giải
Chọn A
Giả sử hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh là $a$.
Do $AC\parallel A’C’$ nên $\left( {AB’,A’C’} \right) = \left( {AB’,AC} \right)$.
Ta có: $AB’ = AC = CB’ = a\sqrt 2 \Rightarrow $ Tam giác $AB’C$ dều nên $\widehat {CAB’} = {60^ \circ }$.
$ \Rightarrow \left( {AB’,A’C’} \right) = \left( {AB’,AC} \right) = \widehat {CAB’} = {60^ \circ }$.
Câu 25. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$. Góc giữa hai đường thẳng $AB’$ và $CD’$ bằng
A. ${60^ \circ }$.
B. ${45^ \circ }$.
C. ${30^ \circ }$.
D. ${90^ \circ }$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: $C’D//AB’$.
$ \Rightarrow \left( {\widehat {AB’,CD’}} \right) = \left( {\widehat {C’D,CD’}} \right) = {90^ \circ }$ (vì $CDD’C’$ là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc).
Câu 26. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a,SA = a\sqrt 3 $ và $SA \bot BC$. Góc giữa hai đường thẳng $SD$ và $BC$ bằng
A. ${90^ \circ }$.
B. ${60^ \circ }$.
C. ${45^ \circ }$.
D. ${30^ \circ }$.
Lời giải
Chọn B
$AD//BC,SA \bot BC \Rightarrow SA \bot AD$ hay $\vartriangle SAD$ vuông tại $A$.
$AD//BC,SD \cap AD = D \Rightarrow \widehat {\left( {SD,BC} \right)} = \widehat {\left( {SD,AD} \right)} = \widehat {SDA}$.
$\vartriangle SAD$ vuông tại $A \Rightarrow {\text{tan}}\widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SDA} = {60^ \circ }$.
Câu 27. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ (hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $A’D$ bằng
A. ${30^ \circ }$.
B. ${60^ \circ }$.
C. ${90^ \circ }$.
D. ${45^ \circ }$.
Lời giải
Chọn A
Gọi cạnh hình lập phương là $a$.
Ta có $\left( {AC,A’D} \right) = \left( {A’C’,A’D} \right) = \widehat {C’A’D}$.
Vì $A’C’ = A’D = DC’ = a\sqrt 2 $ nên tam giác $A’C’D$ là tam giác đều.
Suy ra $\widehat {C’A’D} = {60^ \circ }$.
Câu 28. Cho hình lăng trụ đều $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Góc giữa hai đường thẳng $BC’$ và $B’D’$ bằng
A. ${30^ \circ }$.
B. ${45^ \circ }$.
C. ${60^ \circ }$.
D. ${90^ \circ }$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $\left( {BC’,B’D’} \right) = \left( {BC’,BD} \right) = \widehat {DBC’}$, xét $\vartriangle BDC’$ có $BD,BC’,DC’$ đều là các đường chéo của hình vuông cạnh bằng $a$ nên $\vartriangle BDC’$ là tam giác đều. Do đó $\left( {BC’,B’D’} \right) = \left( {BC’,BD} \right) = \widehat {DBC’} = {60^ \circ }$.
Câu 29. Cho lăng trụ đều $ABC \cdot A’B’C’$ có $AB = 1,AA’ = \sqrt 2 $. Tính góc giữa $AB’$ và $BC’$
A. ${30^ \circ }$.
B. ${45^0}$.
C. ${120^ \circ }$.
D. ${60^ \circ }$.
Lời giải
Gọi $I$ là tâm của hình chữ nhật $ABB’A’$ và $M$ là trung điểm của $A’C’$.
Có $IM = IB’ = B’M = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ suy ra $\left( {AB’,BC’} \right) = \left( {AB’,IM} \right) = \widehat {MIB’} = {60^ \circ }$.
