25 câu trắc nghiệm đạo hàm của hàm số lôgarit giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
| ${(lnx)’} = \frac{1}{x}$
${(ln\left| x \right|)’} = \frac{1}{x}$ |
${(lnu)’} = \frac{{u’}}{u}$
${(ln\left| u \right|)’} = \frac{{u’}}{u}$ |
| ${\left( {lo{g_a}x} \right)’} = \frac{1}{{xlna}}$
${\left( {lo{g_a}\left| x \right|} \right)’} = \frac{1}{{xlna}}$ |
${\left( {lo{g_a}u} \right)’} = \frac{{u’}}{{ulna}}$
${\left( {lo{g_a}\left| u \right|} \right)’} = \frac{{u’}}{{ulna}}$ |
II. TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$, đạo hàm của hàm số $y = lo{g_2}x$ là:
A. $y’ = \frac{1}{{xln2}}$.
B. $y’ = \frac{{ln2}}{x}$.
C. $y’ = \frac{1}{x}$.
D. $y’ = \frac{1}{{2x}}$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: ${\left( {lo{g_2}x} \right)’} = \frac{1}{{xln2}}$.
Câu 2. Tìm đạo hàm của hàm số $y = logx$.
A. $y’ = \frac{{ln10}}{x}$
B. $y’ = \frac{1}{{xln10}}$
C. $y’ = \frac{1}{{10lnx}}$
D. $y’ = \frac{1}{x}$
Lời giải
Chọn B.
Áp dụng công thức ${\left( {lo{g_a}x} \right)’} = \frac{1}{{xlna}}$, ta được $y’ = \frac{1}{{xln10}}$.
Câu 3. Tính đạo hàm của hàm số $y = lo{g_2}\left( {2x + 1} \right)$.
A. $y’ = \frac{2}{{\left( {2x + 1} \right)ln2}}$
B. $y’ = \frac{1}{{\left( {2x + 1} \right)ln2}}$
C. $y’ = \frac{2}{{2x + 1}}$
D. $y’ = \frac{1}{{2x + 1}}$
Lời giải
Chọn A.
Ta có $y’ = {\left( {lo{g_2}\left( {2x + 1} \right)} \right)’} = \frac{{{{(2x + 1)}’}}}{{\left( {2x + 1} \right)ln2}} = \frac{2}{{\left( {2x + 1} \right)ln2}}$.
Câu 4. Tính đạo hàm của hàm số $y = log\left( {{e^x} + 2} \right)$
A. $y’ = \frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 2}}$.
B. $y’ = \frac{{{e^x}}}{{\left( {{e^x} + 2} \right)ln10}}$.
C. $y’ = \frac{1}{{{e^x} + 2}}$.
D. $y’ = \frac{1}{{\left( {{e^x} + 2} \right)ln10}}$
Lời giải
Chọn B.
$y’ = \frac{{{{\left( {{e^x} + 2} \right)}’}}}{{\left( {{e^x} + 2} \right)ln10}} = \frac{{{e^x}}}{{\left( {{e^x} + 2} \right)ln10}}$.
Câu 5. Tính đạo hàm của hàm số $y = lo{g_3}\left( {2x + 1} \right)$.
A. $y’ = \frac{1}{{\left( {2x + 1} \right)ln3}}$.
B. $y’ = \frac{1}{{2x + 1}}$.
C. $y’ = \frac{2}{{\left( {2x + 1} \right)ln3}}$.
D. $y’ = \left( {2x + 1} \right) \cdot ln3$.
Lời giải
Chọn C
Đạo hàm của hàm số $y = lo{g_3}\left( {2x + 1} \right)$ là $y’ = \frac{2}{{\left( {2x + 1} \right)ln3}}$.
Câu 6. Cho hàm số $y = ln\frac{1}{{x + 1}}$. Xác định mệnh đề đúng
A. $xy’ – 1 = {e^y}$.
B. $xy’ + 1 = – {e^y}$.
C. $xy’ – 1 = – {e^y}$.
D. $xy’ + 1 = {e^y}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: $y’ = {( – ln\left( {x + 1} \right))’} = – \frac{1}{{x + 1}} \Rightarrow xy’ + 1 = – \frac{x}{{x + 1}} + 1 = \frac{1}{{x + 1}} = {e^y}$.
Câu 7. Hàm số $f\left( x \right) = lo{g_2}\left( {{x^2} – 2x} \right)$ có đạo hàm
A. $f’\left( x \right) = \frac{{ln2}}{{{x^2} – 2x}}$
B. $f’\left( x \right) = \frac{1}{{\left( {{x^2} – 2x} \right)ln2}}$
C. $f’\left( x \right) = \frac{{\left( {2x – 2} \right)ln2}}{{{x^2} – 2x}}$
D. $f’\left( x \right) = \frac{{2x – 2}}{{\left( {{x^2} – 2x} \right)ln2}}$
Lời giải
Chọn D.
$f’\left( x \right) = \frac{{{{\left( {{x^2} – 2x} \right)}’}}}{{\left( {{x^2} – 2x} \right)ln2}} = \frac{{2x – 2}}{{\left( {{x^2} – 2x} \right)ln2}}$
Câu 8. Tính đạo hàm số $y = f\left( x \right) = lo{g_{{x^2} + 2}}2$.
A. $y’ = – \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 2} \right) \cdot ln2 \cdot log_2^2\left( {{x^2} + 2} \right)}}$.
B. $y’ = – \frac{1}{{log_2^2\left( {{x^2} + 2} \right)}}$.
C. $y’ = – \frac{{2x}}{{ln\left( {{x^2} + 2} \right)}}$.
D. $y’ = – \frac{x}{{\left( {{x^2} + 2} \right) \cdot l{n^2}\left( {{x^2} + 2} \right)}}$.
Lời giải
Chọn A
Ta có: $y = lo{g_{{x^2} + 2}}2 = \frac{1}{{lo{g_2}\left( {{x^2} + 2} \right)}} \Rightarrow y’ = – \frac{{{{\left( {lo{g_2}\left( {{x^2} + 2} \right)} \right)}’}}}{{log_2^2\left( {{x^2} + 2} \right)}} = – \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 2} \right) \cdot ln2 \cdot log_2^2\left( {{x^2} + 2} \right)}}$.
Câu 9. Đạo hàm của hàm số $y = lo{g_3}\left( {{x^2} + x + 1} \right)$ là:
A. $y’ = \frac{{\left( {2x + 1} \right)ln3}}{{{x^2} + x + 1}}$
B. $y’ = \frac{{2x + 1}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)ln3}}$
C. $y’ = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$
D. $y’ = \frac{1}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)ln3}}$
Lời giải
Chọn B.
$y’ = \frac{{{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}’}}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)ln3}} = \frac{{2x + 1}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)ln3}}$
Câu 10. Cho hàm số $f\left( x \right) = lo{g_2}\left( {{x^2} + 1} \right)$, tính $f’\left( 1 \right)$
A $f’\left( 1 \right) = 1$
B. $f’\left( 1 \right) = \frac{1}{{2ln2}}$.
C. $f’\left( 1 \right) = \frac{1}{2}$.
D. $f’\left( 1 \right) = \frac{1}{{ln2}}$.
Lời giải
Chọn D.
TXĐ: $D = \mathbb{R}$.
$f’\left( x \right) = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right) \cdot ln2}} \Rightarrow f’\left( 1 \right) = \frac{1}{{ln2}}$.
Câu 11. Tìm đạo hàm của hàm số $y = ln\left( {1 + {e^{2x}}} \right)$.
A. $y’ = \frac{{ – 2{e^{2x}}}}{{{{\left( {{e^{2x}} + 1} \right)}^2}}}$.
B. $y’ = \frac{{{e^{2x}}}}{{{e^{2x}} + 1}}$.
C. $y’ = \frac{1}{{{e^{2x}} + 1}}$.
D. $y’ = \frac{{2{e^{2x}}}}{{{e^{2x}} + 1}}$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có: $y’ = {\left[ {ln\left( {1 + {e^{2x}}} \right)} \right]’} = \frac{{{{\left( {1 + {e^{2x}}} \right)}’}}}{{1 + {e^{2x}}}} = \frac{{2{e^{2x}}}}{{1 + {e^{2x}}}}$.
Câu 12. Tính đạo hàm của hàm số $y = ln\left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right)$.
A. $y’ = \frac{1}{{\sqrt {x + 1} \left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right)}}$
B. $y’ = \frac{2}{{\sqrt {x + 1} \left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right)}}$
C. $y’ = \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} \left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right)}}$
D. $y’ = \frac{1}{{1 + \sqrt {x + 1} }}$
Lời giải
Chọn C.
Ta có:
$y’ = {(ln\left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right))’} = \frac{{{{(1 + \sqrt {x + 1} )}’}}}{{1 + \sqrt {x + 1} }} = \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} \left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right)}}$
Câu 13. Tính đạo hàm số $y = ln\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)$.
A. $y’ = \frac{{1 + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{{x^2} + 1}}$.
B. $y’ = \frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$.
C. $y’ = \frac{{1 + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}$.
D. $y’ = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: $y’ = {\left[ {ln\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)} \right]’} = \frac{{{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}’}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$
Câu 14. Cho hàm số $f\left( x \right) = ln\left( {{x^2} – 2x} \right)$. Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{1}{{{f^2}\left( x \right)}}$
A. $y’ = \frac{{x – 1}}{{2\left( {{x^2} – 2x} \right)}}$.
B. $y’ = \frac{{ – 4x + 4}}{{\left( {{x^2} – 2x} \right)l{n^4}\left( {{x^2} – 2x} \right)}}$.
C. $y’ = \frac{{4 – 4x}}{{\left( {{x^2} – 2x} \right)l{n^3}\left( {{x^2} – 2x} \right)}}$.
D. $y’ = \frac{{2x – 2}}{{{{\left( {{x^2} – 2x} \right)}^2}}}$.
Lời giải
Chọn C
Ta có: $y = \frac{1}{{{f^2}\left( x \right)}} = \frac{1}{{l{n^2}\left( {{x^2} – 2x} \right)}}$.
$ \Rightarrow f’\left( x \right) = – \frac{{{{\left[ {l{n^2}\left( {{x^2} – 2x} \right)} \right]}’}}}{{l{n^4}\left( {{x^2} – 2x} \right)}} = – \frac{{2\left( {2x – 2} \right)ln\left( {{x^2} – 2x} \right)}}{{\left( {{x^2} – 2x} \right)l{n^4}\left( {{x^2} – 2x} \right)}} = – \frac{{4x – 4}}{{\left( {{x^2} – 2x} \right)l{n^3}\left( {{x^2} – 2x} \right)}}$.
Câu 15. Cho hàm số $y = \frac{1}{{x + 1 + lnx}}$ với $x > 0$. Khi đó $ – \frac{{y’}}{{{y^2}}}$ bằng
A. $\frac{x}{{x + 1}}$.
B. $1 + \frac{1}{x}$.
C. $\frac{x}{{1 + x + lnx}}$.
D. $\frac{{x + 1}}{{1 + x + lnx}}$.
Lời giải
Chọn B.
$y = \frac{1}{{x + 1 + lnx}} \Rightarrow \frac{1}{y} = x + 1 + lnx \Rightarrow {\left( {\frac{1}{y}} \right)’} = {(x + 1 + lnx)’} \Leftrightarrow – \frac{{y’}}{{{y^2}}} = 1 + \frac{1}{x}.$
Câu 16. Tính đạo hàm của hàm số $y = {2^x}lnx – \frac{1}{{{e^x}}}$.
A. $y’ = {2^x}\left( {\frac{1}{x} + \left( {ln2} \right)\left( {lnx} \right)} \right) + \frac{1}{{{e^x}}}$.
B. $y’ = {2^x}ln2 + \frac{1}{x} + {e^{ – x}}$.
C. $y’ = {2^x}\frac{1}{x}ln2 + \frac{1}{{{e^x}}}$.
D. $y’ = {2^x}ln2 + \frac{1}{x} – {e^x}$
Lời giải
Chọn A.
Ta có $y’ = {2^x}\left( {ln2} \right)\left( {lnx} \right) + \frac{{{2^x}}}{x} + \frac{1}{{{e^x}}} = \left( {\frac{1}{x} + \left( {ln2} \right)\left( {lnx} \right)} \right) + \frac{1}{{{e^x}}}$.
Câu 17. Đạo hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {ln\left( {lnx} \right)} $ là:
A. $f’\left( x \right) = \frac{1}{{xlnx\sqrt {ln\left( {lnx} \right)} }}$.
B. $f’\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {ln\left( {lnx} \right)} }}$
C. $f’\left( x \right) = \frac{1}{{2xlnx\sqrt {ln\left( {lnx} \right)} }}$.
D. $f’\left( x \right) = \frac{1}{{lnx\sqrt {ln\left( {lnx} \right)} }}$.
Lời giải
Chọn C.
Áp dụng các công thức ${(lnu)’} = \frac{{u’}}{{lnu}}$ và ${(\sqrt u )’} = \frac{{u’}}{{2\sqrt u }}$ ta có $f’\left( x \right) = \frac{1}{{2xlnx\sqrt {ln\left( {lnx} \right)} }}$.
Câu 18. Cho $f\left( x \right) = 2 \cdot {3^{lo{g_{81}}x}} + 3$. Tính $f’\left( 1 \right)$
A. $f’\left( 1 \right) = \frac{1}{2}$.
B. $f’\left( 1 \right) = \frac{{ – 1}}{2}$.
C. $f’\left( 1 \right) = 1$.
D. $f’\left( 1 \right) = 1$.
Lời giải
Chọn D.
TXĐ: $D = \left( {0; + \infty } \right)$.
$f’\left( x \right) = 2 \cdot {3^{lo{g_{81}}x}} \cdot ln3 \cdot {\left( {lo{g_{81}}x} \right)’} = 2 \cdot {3^{lo{g_{81}}x}} \cdot ln3 \cdot \frac{1}{{xln81}}$
$f’\left( 1 \right) = 2 \cdot {3^0} \cdot ln3 \cdot \frac{1}{{ln81}} = 2 \cdot 1 \cdot ln3 \cdot \frac{1}{{4ln3}} = \frac{1}{2}$.
Câu 19. Tính đạo hàm của hàm số $y = {e^x} + ln3x$.
A. $y’ = {e^x} + \frac{1}{{3x}}$.
B. $y’ = {e^x} + \frac{1}{x}$.
C. $y’ = {e^x} + \frac{3}{x}$.
D. $y’ = {e^x}ln3x + {e^x}\frac{1}{x}$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có $y = {e^x} + ln3x = {e^x} + ln3 + lnx \Rightarrow y’ = {e^x} + \frac{1}{x}$.
Câu 20. Tính đạo hàm của hàm số $y = {7^{2x}} – lo{g_2}\left( {5x} \right)$.
A. $y’ = \frac{{2 \cdot {7^{2x}}}}{{ln5}}7 – \frac{{ln2}}{{5x}}$.
B. $y’ = 2 \cdot {7^{2x}} \cdot ln7 – \frac{1}{{xln5}}$.
C. $y’ = 2 \cdot {7^{2x}} \cdot ln7 – \frac{1}{{xln2}}$.
D. $y’ = \frac{{2 \cdot {7^{2x}}}}{{ln7}} – \frac{{ln2}}{{5x}}$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có $y = {7^{2x}} – lo{g_2}5 – lo{g_2}x \Rightarrow y’ = {2.7^{2x}} \cdot ln7 – \frac{1}{{xln2}}$.
Câu 21. Tính đạo hàm của hàm số $y = lo{g_{2024}}\left| x \right|,\forall x \ne 0$.
A. $y’ = \frac{1}{{\left| x \right|ln2024}}$.
B. $y’ = \frac{1}{{\left| x \right|}}$.
C. $y’ = \frac{1}{{xln2024}}$.
D. $y’ = xln2024$.
Chọn C
Lời giải
$y’ = \frac{1}{{xlna}} = \frac{1}{{x\ln 2024}}$.
Câu 22. Cho hàm số $y = \frac{{lnx}}{x}$, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $2y’ + xy” = – \frac{1}{{{x^2}}}$.
B. $y’ + xy” = \frac{1}{{{x^2}}}$.
C. $y’ + xy” = – \frac{1}{{{x^2}}}$.
D. $2y’ + xy” = \frac{1}{{{x^2}}}$.
Lời giải
Chọn A
Cách 1. $y’ = \frac{{{{(lnx)}’} \cdot x – x’ \cdot lnx}}{{{x^2}}} = \frac{{\frac{1}{x} \cdot x – lnx}}{{{x^2}}} = \frac{{1 – lnx}}{{{x^2}}}$
$y” = \frac{{{{(1 – lnx)}’} \cdot {x^2} – {{\left( {{x^2}} \right)}’}\left( {1 – lnx} \right)}}{{{x^4}}} = \frac{{ – \frac{1}{x} \cdot {x^2} – 2x\left( {1 – lnx} \right)}}{{{x^4}}}$
$ = \frac{{ – x – 2x\left( {1 – lnx} \right)}}{{{x^4}}} = – \frac{{1 + 2\left( {1 – lnx} \right)}}{{{x^3}}} = – \frac{{3 – 2lnx}}{{{x^3}}}$
Suy ra: $2y’ + xy” = 2 \cdot \frac{{1 – lnx}}{{{x^2}}} – x\frac{{3 – 2lnx}}{{{x^3}}}$
$ = \frac{{2 – 2lnx – 3 + 2lnx}}{{{x^2}}} = – \frac{1}{{{x^2}}}$.
Cách 2. Ta có $xy = lnx$, lấy đạo hàm hai vế, ta được $y + xy’ = \frac{1}{x}$.
Tiếp tục lấy đạo hàm hai vế của biểu thức trên, ta được $y’ + y’ + xy” = – \frac{1}{{{x^2}}}$, hay $2y’ + xy” = – \frac{1}{{{x^2}}}$.
Câu 23. Cho hàm $y = x\left[ {cos\left( {lnx} \right) + sin\left( {lnx} \right)} \right]$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. ${x^2}y” + xy’ – 2y + 4 = 0$.
B. ${x^2}y” – xy’ – 2xy = 0$.
C. $2{x^2}y’ + xy” + 2y – 5 = 0$.
D. ${x^2}y” – xy’ + 2y = 0$.
Lời giải
Chọn D
Ta có $y = x\left[ {cos\left( {lnx} \right) + sin\left( {lnx} \right)} \right]$ $y’ = cos\left( {lnx} \right) + sin\left( {lnx} \right) – sin\left( {lnx} \right) + cos\left( {lnx} \right) = 2cos\left( {lnx} \right)$
$y” = – \frac{2}{x}sin\left( {lnx} \right)$
Từ đó kiểm tra thấy đáp án $D$ đúng vì :
${x^2}y” – xy’ + 2y = y” = – 2xsin\left( {lnx} \right) – 2xcos\left( {lnx} \right) + 2x\left[ {cos\left( {lnx} \right) + sin\left( {lnx} \right)} \right] = 0$
