Các dạng toán trắc nghiệm thể tích khối chóp lớp 11 giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Dạng 1: Lý thuyết
Câu 1: Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng $h$ và diện tích đáy bằng $B$ là
A. $V = \frac{1}{2}Bh$. B. $V = \frac{1}{6}Bh$. C. $V = Bh$. D. $V = \frac{1}{3}Bh$.
Lời giải
Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng $h$ và diện tích đáy bằng $B$ là: $V = \frac{1}{3}Bh$.
Chọn D
Câu 2: Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh $a$ và chiều cao bằng $4a$. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A. $16{a^3}$. B. $\frac{{16}}{3}{a^3}$. C. $4{a^3}$. D. $\frac{4}{3}{a^3}$.
Lời giải
Thể tích khối chóp: $V = \frac{1}{3}B.h$$ = \frac{1}{3}{a^2}.4a$$ = \frac{4}{3}{a^3}$.
Chọn D
Câu 3: Thể tích khối chóp có độ dài đường cao bằng 6, diện tích đáy bằng 8 là
A. $12$. B. $48$. C.$16$. D. $24$.
Lời giải
Ta có: $V = \frac{1}{3}S.h = \frac{1}{3}.8.6 = 16$.
Chọn B
Câu 4: Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh $2a$ và chiều cao bằng $3a$. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A. $16{a^3}$ B. $\frac{{16}}{3}{a^3}$ C. $4{a^3}$ D. $\frac{4}{3}{a^3}$
Lời giải
Thể tích khối chóp: $V = \frac{1}{3}B.h$$ = \frac{1}{3}{\left( {2a} \right)^2}.3a$$ = 4{a^3}$.
Chọn C
Câu 5: Khối chóp có một nửa diện tích đáy là $S$, chiều cao là $2h$ thì có thể tích là
A. $V = S.h$. B. $V = \frac{1}{3}S.h$. C. $V = \frac{4}{3}S.h$. D. $V = \frac{1}{2}S.h$.
Lời giải
Ta có: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}.2S.2h = \frac{4}{3}S.h$.
Chọn C
Câu 6: Khối chóp có thể tích $V$, diện tích đáy là $S$, chiều cao $h$ là
A. $h = \frac{V}{S}$. B. $h = \frac{{3V}}{S}$. C. $h = \frac{S}{{3V}}$. D. $h = \frac{S}{V}$.
Lời giải
Ta có: $V = \frac{1}{3}S.h \Rightarrow h = \frac{{3V}}{S}$.
Chọn B
Câu 7: Khối chóp có thể tích $V = 10\,c{m^3}$, diện tích đáy là $S = 6\,c{m^2}$, chiều cao $h$ là
A. $h = 8\,cm$. B. $h = 7\,cm$. C. $h = 6\,cm$. D. $h = 5\,cm$.
Lời giải
Ta có: $V = \frac{1}{3}S.h \Rightarrow h = \frac{{3V}}{S} = \frac{{3.10}}{6} = 5\,cm$.
Chọn D
Câu 8: Khối chóp có thể tích $V$, chiều cao $h$, diện tích đáy $S$ của khối chóp là
A. $S = \frac{V}{h}$. B. $S = \frac{{3V}}{h}$. C. $S = \frac{h}{{3V}}$. D. $S = 3Vh$.
Lời giải
Ta có: $V = \frac{1}{3}S.h \Rightarrow S = \frac{{3V}}{h}$.
Chọn B
Câu 9: Khối chóp có thể tích $V = 6\,c{m^3}$, chiều cao $h = 9\,cm$, diện tích đáy $S$của khối chóp là
A. $S = 2\,c{m^2}$. B. $S = 1\,c{m^2}$. C. $S = 3\,c{m^2}$. D. $S = 4\,c{m^2}$.
Lời giải
Ta có: $V = \frac{1}{3}S.h \Rightarrow S = \frac{{3V}}{h} = \frac{{3.6}}{9} = 2\,c{m^2}$.
Chọn A
Câu 10: Nếu chiều cao của khối chóp tăng lên 3 lần thì thể tích khối chóp tăng bao nhiêu lần
A. $27$ lần. B. $9$ lần.. C. $3$ lần. D. $6$ lần..
Lời giải
Ta có: ${V_1} = \frac{1}{3}S.h$.
Chiều cao của khối chóp tăng lên 3 lần thì thể tích khối chóp là ${V_2} = \frac{1}{3}S.(3h) = S.h$
Suy ra, $\frac{{{V_2}}}{{{V_1}}} = \frac{{S.h}}{{\frac{1}{3}S.h}} = 3$
Vậy, chiều cao của khối chóp tăng lên 3 lần thì thể tích khối chóp tăng $3$lần.
Chọn C
Câu 11: Nếu diện tích đáy của khối chóp tăng lên 3 lần thì thể tích khối chóp tăng bao nhiêu lần
A. $27$ lần. B. $9$ lần.. C. $3$ lần. D. $6$ lần..
Lời giải
Ta có: ${V_1} = \frac{1}{3}S.h$.
Diện tích đáy của khối chóp tăng lên 3 lần thì thể tích khối chóp là ${V_2} = \frac{1}{3}3S.h = S.h$
Suy ra, $\frac{{{V_2}}}{{{V_1}}} = \frac{{S.h}}{{\frac{1}{3}S.h}} = 3$
Vậy, diện tích đáy của khối chóp tăng lên 3 lần thì thể tích khối chóp tăng $3$lần.
Chọn C
Dạng 2. Thể tích có cạnh bên vuông góc với đáy:
a) Thể tích của hình chóp có đáy là tam giác
Câu 12: Cho hình chóp $S \cdot ABC$ có tam giác $ABC$ vuông tại $A,AB = a,AC = 2a.SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABC)$ và $SA = a\sqrt 3 $. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$.
A. $V = {a^3}\sqrt 3 $.
B. $V = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}{a^3}$.
C. $V = \frac{{\sqrt 3 }}{3}{a^3}$.
D. $V = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^3}$.
Lời giải
Do $SA \bot (ABC) \Rightarrow h = SA = a\sqrt 3 $. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên ${S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 2a = {a^2}$
Ta có: ${V_{S \cdot ABC}}\frac{1}{3} \cdot {S_{ABC}} \cdot SA = = \frac{1}{3} \cdot {a^2} \cdot a\sqrt 3 = \frac{{\sqrt 3 }}{3}{a^3}$.
Chọn C
Câu 13: Cho khối chóp $S \cdot ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA = a\sqrt 3 $. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S A B C$.
A. $V = 3{a^3}$.
B. $V = \frac{{{a^3}}}{4}$.
C. $V = {a^3}\sqrt 3 $.
D. $V = {a^3}$.
Lời giải
Ta có $V = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}},SA = a\sqrt 3 $ và ${S_{ABC}} = \frac{{{{(2a)}^2}\sqrt 3 }}{4}$
$ \Rightarrow V = \frac{1}{3}a\sqrt 3 \frac{{{{(2a)}^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^3}$.
Vậy $V = {a^3}$.
Chọn D
Câu 14: Cho khối chóp $S \cdot ABC$ có $SA$ vuông góc với đáy, $SA = 4,AB = 6,BC = 10$ và $CA = 8$. Tính thể tích khối chóp $S \cdot ABC$.
A. $V = 40$. B. $V = 192$. C. $V = 32$. D. $V = 24$.
Lời giải
Ta có $A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = {10^2} = B{C^2}$
Suy ra tam giác $ABC$ vuông tại $A$, do đó diện tích tam giác $ABC$ là: $S = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$
Vậy ${V_{SABC}} = \frac{1}{3} \cdot SA{S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 24 = 32$.
Chọn C
Câu 15: Cho khối chóp $S \cdot ABC$ có $SA$ vuông góc với $(ABC)$, đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,BC = 2a$, góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là ${30^\circ }$. Tính thể tích khối chóp $S \cdot ABC$
A. $\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{9}$. B. $\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}$. C. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$. D. $\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}$.
Lời giải
Ta có $AB$ là hình chiếu của $SB$ lên $(ABC)$ suy ra góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là góc $\widehat {SBA} = {30^\circ }$.
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A,BC = 2a \Rightarrow AB = AC = a\sqrt 2 $.
Xét $\vartriangle SAB$ vuông tại $A$ có $SA = AB \cdot \tan {30^\circ } = a\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.
Ta có ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}A{B^2} = {a^2}$.
Vậy ${V_{SABC}} = \frac{1}{3} \cdot SA{S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 6 }}{3} \cdot {a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{9}$.
Chọn A
b) Thể tích của hình chóp có đáy là tứ giác
Câu 16: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$. Biết cạnh bên $SA = 2a$ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD$.
A. $\frac{{4{a^3}}}{3}$. B. $2{a^3}$. C. $\frac{{{a^3}}}{3}$. D. $\frac{{2{a^3}}}{3}$.
Lời giải
Ta có ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}{a^2}.2a = \frac{{2{a^3}}}{3}$.
Chọn D
Câu 17: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = a\sqrt 2 $. Tính thể tích $V$của hình chóp $S.ABCD$.
A. $V = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{6}$ . B. $V = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{4}$. C. $V = \sqrt 2 {a^3}$. D. $V = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}$.
Lời giải
Ta có $V = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}a\sqrt 2 .{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}$
Chọn D
Câu 18: Cho khối chóp$S.ABCD$có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a\sqrt 3 $, cạnh $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$và $SB$ tạo với đáy một góc $60^\circ $. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$.
A. $V = 9{a^3}$. B. $V = \frac{{3{a^3}}}{4}$. C. $V = \frac{{9{a^3}}}{2}$. D. $V = 3{a^3}$.
Lời giải
$SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AB$ là hình chiếu vuông góc của $SB$ lên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.
$ \Rightarrow \widehat {\left( {SB,\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SB,AB} \right)} = \widehat {SBA} = 60^\circ $.
Trong tam giác vuông $SAB$,
$SA = \tan 60^\circ .AB = \sqrt 3 .a\sqrt 3 = 3a$.
${S_{ABCD}} = A{B^2} = {\left( {a\sqrt 3 } \right)^2} = 3{a^2}$.
Vậy thể tích $V$của khối chóp $S.ABCD$ là$V = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}.3{a^2}.3a = 3{a^{.3}}$.
Chọn D
Câu 19: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, góc $\widehat {BAD} = {120^0}$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy $\left( {ABCD} \right)$ và $SD$ tạo với đáy $\left( {ABCD} \right)$ một góc ${60^0}$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$.
A. $V = \frac{{{a^3}}}{4}$. B. $V = \frac{{3{a^3}}}{4}$. C. $V = \frac{{{a^3}}}{2}$. D. $V = {a^3}$.
Lời giải
Do $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên ta có $\left( {\widehat {SD,\left( {ABCD} \right)}} \right) = (SD;AD) = \widehat {SDA} = {60^0}.$
Tam giác vuông $SAD$, có $SA = AD.\tan \widehat {SDA} = a\sqrt 3 .$
Diện tích hình thoi ${S_{ABCD}} = 2{S_{\Delta BAD}} = AB.AD.\sin \widehat {BAD} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.$
Vậy thể tích khối chop ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{{{a^3}}}{2}.$
Chọn C.
Dạng 3. Thể tích có mặt bên vuông góc với đáy:
a) Thể tích của hình chóp có đáy là tam giác
Câu 20: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ và có $AB = a$, $BC = a\sqrt 3 $. Mặt bên $\left( {SAB} \right)$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$.
A. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}$. B. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}$. C. $V = \frac{{2{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}$. D. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}$.
Lời giải
Ta có: $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)$
Kẻ $SH \bot AB$ tại$H$
$ \Rightarrow $ $SH \bot \left( {ABC} \right)$
$ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SH$
Tam giác $SAB$ là đều cạnh $AB = a$ nên $SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
Tam giác vuông $ABC$, có $AC = \sqrt {B{C^2} – A{B^2}} = a\sqrt 2 $.
Diện tích tam giác vuông ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}$.
Vậy ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SH = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}.$
Chọn A.
Câu 21: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $AC = 2a$, $AB = SA = a$. Tam giác $SAC$ vuông tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy $\left( {ABC} \right)$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$.
A. $V = \frac{{{a^3}}}{4}$. B. $V = \frac{{3{a^3}}}{4}$. C. $V = {a^3}$. D. $V = \frac{{2{a^3}}}{3}$.
Lời giải
Ta có: $\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)$
Kẻ $SH \bot AC$ tại$H$
$ \Rightarrow $ $SH \bot \left( {ABC} \right)$
$ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SH$
Trong tam giác vuông $SAC$, ta có
$SC = \sqrt {A{C^2} – S{A^2}} = a\sqrt 3 $, $SH = \frac{{SA.SC}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
Tam giác vuông $ABC$, có $BC = \sqrt {A{C^2} – A{B^2}} = a\sqrt 3 $.
Diện tích tam giác $ABC$ là ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$.
Vậy ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SH = \frac{{{a^3}}}{4}.$
Chọn A.
b) Thể tích của hình chóp có đáy là tứ giác
Câu 22: Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, $SA = 2a$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$.
A. $V = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{{12}}$. B. $V = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{6}$. C. $V = 2{a^3}$. D. $V = \frac{{2{a^3}}}{3}$.
Lời giải
Ta có: $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$
Kẻ $SI \bot AB$ tại$I$
$ \Rightarrow $ $SI \bot \left( {ABCD} \right)$
$ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SI$
Tam giác vuông $SIA$, có
$SI = \sqrt {S{A^2} – I{A^2}} = \sqrt {S{A^2} – {{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}$.
Diện tích hình vuông $ABCD$ là ${S_{ABCD}} = {a^2}.$
Vậy ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SI = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{6}.$
Chọn B.
Câu 23: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $\sqrt 3 $, tam giác $SBC$ vuông tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đường thẳng $SD$ tạo với mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ một góc ${60^0}$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$.
A. $V = \frac{1}{{\sqrt 6 }}$. B. $V = \sqrt 6 $. C. $V = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$. D. $V = \sqrt 3 $.
Lời giải
Ta có: $\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$
Kẻ $SH \bot BC$ tại $H$
$ \Rightarrow $ $SH \bot \left( {ABCD} \right)$
$ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SH$
Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{DC \bot BC} \\
{DC \bot SH}
\end{array}} \right. \Rightarrow DC \bot \left( {SBC} \right)$.
Do đó $\left( {\widehat {SD,\left( {SBC} \right)}} \right) = \left( {SD,SC} \right) = \widehat {DSC} = {60^0}$.
Từ $DC \bot \left( {SBC} \right)\xrightarrow{{}}DC \bot SC.$
Tam giác vuông $SCD,$ có $SC = \frac{{DC}}{{\tan \widehat {DSC}}} = 1$.
Tam giác vuông $SBC$, có
$SH = \frac{{SB.SC}}{{BC}} = \frac{{\sqrt {B{C^2} – S{C^2}} .SC}}{{BC}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$.
Diện tích hình vuông $ABCD$ là ${S_{ABCD}} = 3.$
Vậy ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SH = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.$
Chọn C.
Dạng 4. Thể tích của khối chóp đều:
a) Thể tích của hình chóp có đáy là tam giác
Câu 24: Cho hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích $V$ của khối chóp đã cho.
A. $V = \frac{{\sqrt {13} \,{a^3}}}{{12}}.$ B. $V = \frac{{\sqrt {11} \,{a^3}}}{{12}}.$ C. $V = \frac{{\sqrt {11} \,{a^3}}}{6}.$ D. $V = \frac{{\sqrt {11} \,{a^3}}}{4}.$
Lời giải
Gọi $I$ là tâm tam giác $ABC.$
Vì $S.ABC$ là khối chóp đều nên suy ra$\,\,SI \bot \left( {ABC} \right)$
$ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SI$
Gọi $M$ là trung điểm của $BC\,\, \Rightarrow \,\,AI = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.$
Tam giác $SAI$ vuông tại $I$, có
$SI = \sqrt {S{A^2} – S{I^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} – {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}.$
Diện tích tam giác $ABC$ là ${S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.$
Vậy thể tích khối chóp ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SI = \frac{{\sqrt {11} \,{a^3}}}{{12}}.$
Chọn B.
Câu 25: Cho hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $\frac{{a\sqrt {21} }}{6}$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp đã cho.
A. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}$. B. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$. C. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}$. D. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$.
Lời giải
Gọi $I$ là tâm tam giác $ABC.$ Vì $S.ABC$ là khối chóp đều nên suy ra$\,\,SI \bot \left( {ABC} \right).$
$ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SI$
Gọi $M$ là trung điểm của $BC\,\, \Rightarrow \,\,AI = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.$
Tam giác $SAI$ vuông tại $I$, có
$SI = \sqrt {S{A^2} – A{I^2}} \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt {21} }}{6}} \right)}^2} – {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{a}{2}.$
Diện tích tam giác $ABC$ là ${S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.$
Vậy thể tích khối chóp ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SI = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}$
Chọn C.
Câu 26: Cho hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng ${60^0}$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$.
A. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}$. B. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}$. C. $V = \frac{{{a^3}}}{8}$. D. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$.
Lời giải
Gọi $O$ là tâm tam giác $ABC$.
Vì $S.ABC$ là khối chóp đều nên suy ra$\,\,SO \bot \left( {ABC} \right).$
$ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SO$
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$
Khi đó $\left( {\widehat {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)}} \right) = \left( {SE,OE} \right) = \widehat {SEO} = {60^0}$.
Tam giác vuông $SOE$, có
$SO = OE.\tan \widehat {SEO} = \frac{{AE}}{3}.\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\sqrt 3 = \frac{a}{2}$.
Diện tích tam giác đều $ABC$ là ${S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$.
Vậy ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SO = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}.$
Chọn A.
b) Thể tích của hình chóp có đáy là tứ giác
Câu 27: Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc ${60^0}$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$.
A. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}$. B. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}$. C. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}$. D. $V = \frac{{{a^3}}}{3}$.
Lời giải
Gọi $O = AC \cap BD.$
Do $S.ABCD$ là hình chóp đều nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.
Suy ra $OB$ là hình chiếu của $SB$ trên $\left( {ABCD} \right)$.
Khi đó ${60^0}{\text{ = }}\widehat {SB,\left( {ABCD} \right)} = \widehat {SB,OB} = \widehat {SBO}$.
Tam giác vuông $SOB$, có $SO = OB.\tan \widehat {SBO} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.$
Diện tích hình vuông $ABC$ là ${S_{ABCD}} = A{B^2} = {a^2}.$
Vậy ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}.$
Chọn A.
Câu 28: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, cạnh $2a$. Mặt bên tạo với đáy góc ${60^0}$. Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $SD$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối tứ diện $DKAC$.
A. $V = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{{15}}$. B. $V = \frac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{5}$. C. $V = \frac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{{15}}$. D. $V = {a^3}\sqrt 3 $.
Lời giải
Gọi $M$ là trung điểm $CD$, suy ra $OM \bot CD$ nên
$\left( {\widehat {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {SM,OM} \right) = \widehat {SMO} = {60^0}$.
Tam giác vuông $SOM$, có $SO = OM.\tan \widehat {SMO} = a\sqrt 3 $.
Kẻ $KH \bot OD \Rightarrow KH\parallel SO$ nên $KH \bot \left( {ABCD} \right)$.
Tam giác vuông $SOD$, ta có $\frac{{KH}}{{SO}} = \frac{{DK}}{{DS}} = \frac{{D{O^2}}}{{D{S^2}}}$
$ = \frac{{O{D^2}}}{{S{O^2} + O{D^2}}} = \frac{2}{5}\xrightarrow{{}}KH = \frac{2}{5}SO = \frac{{2a\sqrt 3 }}{5}.$
Diện tích tam giác ${S_{\Delta ADC}} = \frac{1}{2}AD.DC = 2{a^2}$.
Vậy ${V_{DKAC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ADC}}.KH = \frac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{{15}}.$
Chọn C.
