Đề kiểm tra giữa học kỳ 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo giải chi tiết-Đề 4 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 5 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Trên đường tròn lượng giác ở hình vẽ bên, số đo của góc lượng giác $\left( {OA,OB’} \right)$ là
A. $ – \frac{\pi }{4}$.
B. $\frac{\pi }{2}$.
C. $ – \frac{\pi }{2}$.
D. $\frac{\pi }{4}$.
Câu 2. Chọn khẳng định đúng. Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $M$ và $N$ thuộc đường tròn lượng giác. Hai góc lượng giác $\left( {Ox,OM} \right)$ và $\left( {Ox,ON} \right)$ lệch nhau ${180^ \circ }$.
A. $M,N$ có tung độ và hoành độ đều bằng nhau.
B. $M,N$ có tung độ và hoành độ đều đối nhau.
C. $M,N$ có tung độ bằng nhau và hoành độ đối nhau.
D. $M,N$ có hoành độ bằng nhau và tung độ đối nhau.
Câu 3. Cho hai góc nhọn $\alpha$ và $\beta $ phụ nhau. Hệ thức nào sau đây sai?
A. $sin\alpha = – cos\beta $.
B. $cos\alpha = sin\beta $.
C. $cos\beta = sin\alpha $.
D. $cot\alpha = tan\beta $.
Câu 4. Cho $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi $. Xác định dấu của biểu thức $M = cos\left( { – \frac{\pi }{2} + \alpha } \right) \cdot tan\left( {\pi – \alpha } \right)$.
A. $M \geqslant 0$.
B. $M < 0$.
C. $M \leqslant 0$.
D. $M > 0$.
Câu 5. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. $tan\left( {x – y} \right) = \frac{{tanx + tany}}{{tanxtany}}$.
B. $tan\left( {x – y} \right) = \frac{{tanx – tany}}{{1 + tanxtany}}$
C. $tan\left( {x – y} \right) = \frac{{tanx – tany}}{{1 – tanxtany}}$.
D. $tan\left( {x – y} \right) = \frac{{tanx – tany}}{{tanxtany}}$
Câu 6. Biểu thức rút gọn của $A = \frac{{ta{n^2}a – si{n^2}a}}{{co{t^2}a – co{s^2}a}}$ bằng
A. $ta{n^6}a$.
B. $co{s^6}a$.
C. $ta{n^4}a$.
D. $si{n^6}a$.
Câu 7. Tập xác định của hàm số $y = tanx$ là
A. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.$
B. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
C. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
D. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.$
Câu 8. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?
A. $y = sinxcos2x.$
B. $y = si{n^3}x \cdot cos\left( {x – \frac{\pi }{2}} \right)$.
C. $y = \frac{{tanx}}{{ta{n^2}x + 1}}$.
D. $y = cosxsi{n^3}x.$
Câu 9. Nghiệm của phương trình $cotx = 3$ là
A. $x \in \emptyset $.
B. $x = 3 + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
C. $x = arccot3 + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
D. $x = arccot3 + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
Câu 10. Tất cả nghiệm của phương trình $tan\left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0$ là
A. $x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
B. $x = – \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$
C. $x = k\frac{\pi }{3},k \in \mathbb{Z}$.
D. $x = – \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3},k \in \mathbb{Z}$.
Câu 11. Cho dãy số có các số hạng đầu là: $\frac{1}{3};\frac{1}{{{3^2}}};\frac{1}{{{3^3}}};\frac{1}{{{3^4}}};\frac{1}{{{3^5}}} \cdots $ Số hạng tổng quát của dãy số này là
A. ${u_n} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}$.
B. ${u_n} = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}$.
C. ${u_n} = \frac{1}{{{3^n}}}$.
D. ${u_n} = \frac{1}{{{3^{n – 1}}}}$.
Câu 12. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_n} = – {n^2} + n + 1$. Số -19 là số hạng thứ mấy của dãy?
A. 5 .
B. 7 .
C. 6 .
D. 4 .
Câu 13. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là một cấp số cộng?
A. $1; – 2; – 4; – 6; – 8; \ldots $.
B. $1; – 3; – 6; – 9; – 12; \ldots $.
C. $1; – 3; – 7; – 11; – 15; \ldots $.
D. $1; – 3; – 5; – 7; – 9; \ldots $.
Câu 14. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 3;{u_8} = 24$ thì ${u_{11}}$ bằng
A. 30 .
B. 33 .
C. 32 .
D. 28 .
Câu 15. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
A. $1;2;3;4;5;6; \ldots $.
B. $2;4;6;8;16;32; \ldots $.
C. $ – 2; – 3; – 4; – 5; – 6; – 7; \ldots $.
D. $1;2;4;6;8;16;32; \ldots $.
Câu 16. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $x$ để ba số $1;x;x + 2$ theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân?
A. 2 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 0
Câu 17. Cho hình chóp $S \cdot ABC$. Gọi $M,N,K,E$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB,SC,BC$. Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng?
A. $M,K,A,C$.
B. $M,N,A,C$.
C. $M,N,K,C$.
D. $M,N,K,E$.
Câu 18. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I,J$ lần luợt là trung điểm của $SA$ và $SB$. Khẳng định nào sau đây sai?
A. IJCD là hình thang.
B. $\left( {SAB} \right) \cap \left( {IBC} \right) = IB$.
C. $\left( {SBD} \right) \cap \left( {JCD} \right) = JD$.
D. $\left( {IAC} \right) \cap \left( {JBD} \right) = AO,O$ là tâm hình bình hành $ABCD$.
Câu 19. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng sẽ
A. song song với hai đường thẳng đó.
B. song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
C. trùng với một trong hai đường thẳng đó.
D. cắt một trong hai đường thẳng đó.
Câu 20. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $AC$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {GMN} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$ là đường thẳng
A. qua $M$ và song song với $AB$.
B. qua $N$ và song song với $BD$.
C. qua $G$ và song song với $BC$.
D. qua $G$ và song song với $CD$.
II. TỰ LUẬN:
Bài 1. Giải phương trình:
a) $2sin2x + 1 = 0$
b) $tan\left( {\frac{{4\pi }}{9} + x} \right) + 2cot\left( {\frac{\pi }{{18}} – x} \right) = \sqrt 3 $.
Bài 2. Xét tính đơn điệu của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_n} = \frac{{{5^n}}}{{{n^2}}}$.
Bài 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt các cạnh $SA,SB,SC,SD$ lần lượt tại $A’,B’,C’,D’$. Giả sử $AB$ cắt $CD$ tại $E$ và $A’B’$ cắt $C’D’$ tại $E’$.
a) Chứng minh ba điểm $S,E,E’$ thẳng hàng.
b) Tìm $\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$.
c) Chứng minh $A’C’,B’D’$, SO đồng quy.
Bài 4. Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh $M$ là $1,2\% $. Biết rằng số dân của tỉnh $M$ hiện nay là 2 triệu người. Nếu lấy kết quả chính xác đến hàng nghìn thì sau 9 năm nữa số dân của tỉnh $M$ sẽ là bao nhiêu?
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
Bảng đáp án trắc nghiệm
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| C | B | A | D | B |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| A | C | B | C | D |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| C | A | C | B | D |
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| B | A | D | A | D |
Hướng dẫn giải chi tiết trắc nghiệm
Câu 1.
Đáp án đúng là: $C$
Từ hình vẽ, ta có $\left( {OA,OB’} \right) = – \frac{\pi }{2}$.
Câu 2.
Đáp án đúng là: $B$
Vì hai góc lượng giác $\left( {Ox,OM} \right)$ và $\left( {Ox,ON} \right)$
lệch nhau ${180^ \circ }$ nên $M$ và $N$ dối xứng với nhau qua gốc tọa độ $O$ nên $M,N$ có tung độ và hoành độ đều đối nhau.
Câu 3.
Đáp án đúng là: A
Các góc phụ nhau có các giá trị lượng giác bằng chéo nhau.
Nghĩa là $cos\alpha = sin\beta ;cot\alpha = tan\beta $ và ngược lại.
Câu 4.
Đáp án đúng là: D
Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi $ nên ta có:
. $0 < – \frac{\pi }{2} + \alpha < \frac{\pi }{2}$ nên $cos\left( { – \frac{\pi }{2} + \alpha } \right) > 0$
. $0 < \pi – \alpha < \frac{\pi }{2}$ nên $tan\left( {\pi – \alpha } \right) > 0$ Do đó $M = cos\left( { – \frac{\pi }{2} + \alpha } \right) \cdot tan\left( {\pi – \alpha } \right) > 0$.
Câu 5.
Đáp án đúng là: $B$
Ta có $tan\left( {x – y} \right) = \frac{{tanx – tany}}{{1 + tanxtany}}$.
Câu 6.
Đáp án đúng là: A
Ta có
$A = \frac{{ta{n^2}a – si{n^2}a}}{{co{t^2}a – co{s^2}a}} = \frac{{si{n^2}a\left( {\frac{1}{{co{s^2}a}} – 1} \right)}}{{co{s^2}a\left( {\frac{1}{{si{n^2}a}} – 1} \right)}}$
$ = \frac{{ta{n^2}a \cdot ta{n^2}a}}{{co{t^2}a}} = ta{n^6}a.\;$
Câu 7.
Đáp án đúng là: $C$
Hàm số $y = tanx$ xác định khi và chỉ khi $cosx \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
Vậy TXĐ của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
Câu 8.
Đáp án đúng là: $B$
Ta dễ dàng kiểm tra được $A,C,D$ là các hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ $O$.
Xét đáp án $B$, ta có $y = f\left( x \right) = si{n^3}x \cdot cos\left( {x – \frac{\pi }{2}} \right) = si{n^3}x \cdot sinx = si{n^4}x$. Kiểm tra được đây là hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung.
Câu 9.
Đáp án đúng là: $C$
Ta có $cotx = 3 \Leftrightarrow x = arccot3 + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
Câu 10.
Đáp án đúng là: D
$tan\left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + \frac{\pi }{4} = k\pi $
$ \Leftrightarrow 3x = – \frac{\pi }{4} + k\pi \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3},k \in \mathbb{Z}$
Câu 11.
Đáp án đúng là: $C$
Từ các số hạng đầu của dãy số, ta có số hạng tổng quát của dãy số này là ${u_n} = \frac{1}{{{3^n}}}$.
Câu 12.
Đáp án đúng là: A
Giả sử ${u_n} = – 19\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)$
Suy ra ${u_n} = – {n^2} + n + 1 = – 19$
$ \Leftrightarrow – {n^2} + n + 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 5} \\
{n = – 4\left( L \right)}
\end{array}} \right.$
Vậy số -19 là số hạng thứ 5 của dãy.
Câu 13.
Đáp án đúng là: $C$
Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có tính chất ${u_{n + 1}} = {u_n} + d$ thì được gọi một cấp số cộng.
Ta thấy dãy số: $1; – 3; – 7; – 11; – 15; \ldots $ là một cấp số cộng có số hạng đầu là 1 và công sai bằng -4 .
Câu 14.
Đáp án đúng là: $B$
Ta có ${u_8} = {u_1} + 7d \Rightarrow d = \frac{{{u_8} – {u_1}}}{7} = \frac{{24 – 3}}{7} = 3$.
Do đó ${u_{11}} = {u_1} + 10d = 33$.
Câu 15.
Đáp án đúng là: D
Nhận thấy $\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} \ne \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}$ nên các dãy số ở các đáp án $A,B$ và $C$ không phải là cấp số nhân.
Riêng đối với dãy $1;2;4;6;8;16;32; \ldots $ ở đáp án $D$ thỏa mãn: ${u_{n + 1}} = 2{u_n}\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.
Vậy dãy số $1;2;4;6;8;16;32; \cdots $ là cấp số nhân với ${u_1} = 1$ và công bội $q = 2$.
Câu 16.
Đáp án đúng là: $B$
$1;x;x + 2$
Để ba số theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì
${x^2} = x + 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1} \\
{x = 2}
\end{array}} \right.$
Vậy có đúng 1 số nguyên dương $x = 2$.
Câu 17.
Đáp án đúng là: A
Ta thấy $M,K$ cùng thuộc mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ nên bốn điểm $M,K,A,C$ dồng phẳng.
Câu 18.
Đáp án đúng là: D
Ta có $\left( {IAC} \right) \equiv \left( {SAC} \right);\left( {JBD} \right) = \left( {SBD} \right)$. Mà $\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO$, trong đó là $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$.
Câu 19.
Đáp án đúng là: A
Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng sẽ song song với hai đường thẳng đó.
Câu 20.
Đáp án đúng là: D
Ta có $MN$ là đường trung bình tam giác $ACD$ nên $MN//CD$.
Mà $G \in \left( {GMN} \right) \cap \left( {BCD} \right)$, hai mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$ lần lượt chứa $DC$ và $MN$.
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {GMN} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$ là đường thẳng qua $G$ và song song với $CD$.
Giải chi tiết tự luận
Bài 1.
$a)\;2sin2x + 1 = 0 \Leftrightarrow sin2x = \frac{{ – 1}}{2}$
$ \Leftrightarrow sin2x = sin\left( { – \frac{\pi }{6}} \right)$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x = – \frac{\pi }{6} + k2\pi } \\
{2x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = – \frac{\pi }{{12}} + k\pi } \\
{x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi }
\end{array},k \in \mathbb{Z}} \right.} \right.$
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $S = \left\{ { – \frac{\pi }{{12}} + k\pi ;\frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
b) $tan\left( {\frac{{4\pi }}{9} + x} \right) + 2cot\left( {\frac{\pi }{{18}} – x} \right) = \sqrt 3 \,\,\,(*)$
Điều kiện $\left\{ \begin{gathered}
cos\left( {\frac{{4\pi }}{9} + x} \right) \ne 0 \hfill \\
\sin \left( {\frac{\pi }{{18}} – x} \right) \ne 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\frac{{4\pi }}{9} + x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \hfill \\
\frac{\pi }{{18}} – x \ne l\pi \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne \frac{\pi }{{18}} + k\pi } \\
{x \ne \frac{\pi }{{18}} – l\pi }
\end{array} \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{{18}} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$
Ta có $\left( {\frac{{4\pi }}{9} + x} \right) + \left( {\frac{\pi }{{18}} – x} \right) = \frac{\pi }{2} \Rightarrow tan\left( {\frac{{4\pi }}{9} + x} \right) = cot\left( {\frac{\pi }{{18}} – x} \right)$.
Khi đó $(*) \Leftrightarrow cot\left( {\frac{\pi }{{18}} – x} \right) + 2cot\left( {\frac{\pi }{{18}} – x} \right) = \sqrt 3 $
$ \Leftrightarrow 3cot\left( {\frac{\pi }{{18}} – x} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow cot\left( {\frac{\pi }{{18}} – x} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$
$ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{18}} – x = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = – \frac{{5\pi }}{{18}} – k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = – \frac{{5\pi }}{{18}} – k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
Bài 2.
Ta có ${u_n} = \frac{{{5^n}}}{{{n^2}}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow {u_{n + 1}} = \frac{{{5^{n + 1}}}}{{{{(n + 1)}^2}}}$.
Xét tỉ số $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{5^{n + 1}}}}{{{{(n + 1)}^2}}} \cdot \frac{{{n^2}}}{{{5^n}}} = \frac{{5{n^2}}}{{{n^2} + 2n + 1}}$
$ = \frac{{{n^2} + 2n + 1 + 4{n^2} – 2n – 1}}{{{n^2} + 2n + 1}} = 1 + \frac{{2n\left( {n – 1} \right) + 2{n^2} – 1}}{{{n^2} + 2n + 1}} > 1,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.
Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.
Bài 3.
a) Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{E’ \in A’B’ \subset \left( {SAB} \right)} \\
{E’ \in C’D’ \subset \left( {SCD} \right)}
\end{array} \Rightarrow E’ \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)} \right.$
Mặt khác $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{E \in AB \subset \left( {SAB} \right)} \\
{E \in CD \subset \left( {SCD} \right)}
\end{array} \Rightarrow E \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)} \right.$
Do đó $EE’ = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)$
Mà $S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)$ nên $S \in EE’$.
Vậy ba điểm $S,E,E’$ thẳng hàng.
b) Trong $(\alpha )$, gọi$\left\{ M \right\} = A’C’ \cap B’D’$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{O \in AC \subset \left( {SAC} \right)} \\
{O \in BD \subset \left( {SBD} \right)}
\end{array} \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)} \right.$
c) Ta có $O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$
Mà $S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) \Rightarrow SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$
Lại có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{M \in A’C’ \subset \left( {SAC} \right)} \\
{M \in B’D’ \subset \left( {SBD} \right)}
\end{array} \Rightarrow M \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)} \right.$
Vậy $M \in SO$ hay $A’C’,B’D’,SO$ đồng quy tại $M$.
Bài 4.
Đặt ${P_0} = 2000000 = 2 \cdot {10^6}$ và $r = 1,2\% = 0,012$.
Gọi ${P_n}$ là số dân của tỉnh $M$ sau $\;n$ năm nữa. Ta có: ${P_{n + 1}} = {P_n} + {P_n}r = {P_n}\left( {1 + r} \right)$.
Suy ra $\left( {{P_n}} \right)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu ${P_0}$ và công bội $q = 1 + r$.
Do đó số dân của tỉnh $M$ sau 10 năm nữa là:
${P_{10}} = {P_0}{(1 + r)^9} = 2 \cdot {10^6} \cdot {(1,012)^9} \approx 2226663$ (người).
Vậy số dân của tỉnh M sau 10 năm nữa khoảng 2226663 người.
