50 câu trắc nghiệm Phương trình lôgarit mức thông hiểu giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
I. PHƯƠNG PHÁP
+ Dạng cơ bản: ${\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}$
+ Đưa về cùng cơ số: ${\log _a}x = {\log _a}y \Leftrightarrow x = y$
II. CÁC VÍ DỤ
Câu 1: Nghiệm của phương trình $lo{g_7}x = 2$ là:
A. $x = 32$.
B. $x = 9$.
C. $x = 8$.
D. $x = 49$.
Lời giải
Chọn D
$lo{g_7}x = 2 \Leftrightarrow x = {7^2} \Leftrightarrow x = 49\;$
Câu 2: Nghiệm của phương trình $lo{g_{\sqrt 5 }}x = 2$ là:
A. $x = 32$.
B. $x = 9$.
C. $x = 5$.
D. $x = 49$.
Lời giải
Chọn C
$lo{g_{\sqrt 5 }}x = 2 \Leftrightarrow x = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} \Leftrightarrow x = 5\;$
Câu 3: Nghiệm của phương trình $lo{g_{\sqrt[3]{7}}}x = 3$ là:
A. $x = 1$.
B. $x = 7$.
C. $x = 5$.
D. $x = 49$.
Lời giải
Chọn B
$lo{g_{\sqrt[3]{7}}}x = 3 \Leftrightarrow x = {\left( {\sqrt[3]{7}} \right)^3} \Leftrightarrow x = 7$
Câu 4: Nghiệm của phương trình $lo{g_2}\left( {5x} \right) = 3$ là:
A. $x = \frac{8}{5}$.
B. $x = \frac{9}{5}$.
C. $x = 8$.
D. $x = 9$.
Lời giải
Chọn A
$lo{g_2}\left( {5x} \right) = 3 \Leftrightarrow 5x = {2^3} \Leftrightarrow 5x = 8 \Leftrightarrow x = \frac{8}{5}\;(nhan).\;$
Câu 5: Nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {2x} \right) – 2 = 0$ là
A. $x = \frac{9}{2}$.
B. $x = 9$.
C. $x = 4$.
D. $x = 8$.
Lời giải
Chọn A
$lo{g_3}\left( {2x} \right) – 2 = 0 \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {2x} \right) = 2$
$ \Leftrightarrow 2x = 9 \Leftrightarrow x = \frac{9}{2}.$
Câu 6: Nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {2x – 1} \right) = 2$ là:
A. $x = 3$.
B. $x = 5$.
C. $x = \frac{9}{2}$.
D. $x = \frac{7}{2}$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $lo{g_3}\left( {2x – 1} \right) = 2 \Leftrightarrow 2x – 1 = {3^2} \Leftrightarrow x = 5$.
Vậy phương trình có nghiệm $x = 5$.
Câu 7: Nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {x – 1} \right) = 2$ là
A. $x = 8$.
B. $x = 9$.
C. $x = 7$.
D. $x = 10$.
Lời giải
Chọn D.
$lo{g_3}\left( {x – 1} \right) = 2 \Leftrightarrow x – 1 = {3^2} \Leftrightarrow x = 10$
Câu 8: Nghiệm của phương trình $lo{g_2}\left( {x + 9} \right) = 5$ là
A. $x = 41$.
B. $x = 23$.
C. $x = 1$.
D. $x = 16$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $lo{g_2}\left( {x + 9} \right) = 5 \Leftrightarrow x + 9 = {2^5} \Leftrightarrow x = 23$.
Câu 9: Nghiệm của phương trình $5 – lo{g_2}\left( {x + 8} \right) = 0$ bằng
A. $x = 17$.
B. $x = 24$.
C. $x = 2$.
D. $x = 40$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $5 – lo{g_2}\left( {x + 8} \right) = 0 \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {x + 8} \right) = 5$
$ \Leftrightarrow x + 8 = {2^5} \Leftrightarrow x = 24$.
Câu 10: Nghiệm của phương trình $lo{g_2}x = – 1$ bằng
A. $x = 1$.
B. $x = \frac{1}{2}$.
C. $x = 2$.
D. $x = 0$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $lo{g_2}x = – 1 \Leftrightarrow x = {2^{ – 1}} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$
Câu 11: Nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {x – 7} \right) = – 2$ là
A. $x = 41$.
B. $x = \frac{{15}}{4}$.
C. $x = 1$.
D. $x = \frac{{64}}{9}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: $lo{g_3}\left( {x – 7} \right) = – 2 \Leftrightarrow x – 7 = {3^{ – 2}} \Leftrightarrow x – 7 = \frac{1}{9} \Leftrightarrow x = \frac{{64}}{9}$.
Câu 12: Tập nghiệm của phương trình $lo{g_2}\left( {{x^2} – x + 2} \right) = 1$ là :
A. $\left\{ 0 \right\}$
B. $\left\{ {0;1} \right\}$
C. $\left\{ { – 1;0} \right\}$
D. $\left\{ 1 \right\}$
Lời giải
Chọn B
$lo{g_2}\left( {{x^2} – x + 2} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} – x + 2 = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{x = 1}
\end{array}} \right.$
Câu 13: Giải phương trình $lo{g_4}\left( {x – 1} \right) = 3$.
A. $x = 65$
B. $x = 80$
C. $x = 82$
D. $x = 63$
Lời giải
Chọn B
Phương trình $lo{g_4}\left( {x – 1} \right) = 3 \Leftrightarrow x – 1 = {4^3} \Leftrightarrow x = 65$.
Câu 14: Tìm nghiệm của phương trình $lo{g_2}\left( {1 – x} \right) = 2$.
A. $x = 5$.
B. $x = – 3$.
C. $x = – 4$.
D. $x = 3$.
Chọn B
Lời giải
Ta có $lo{g_2}\left( {1 – x} \right) = 2 \Leftrightarrow 1 – x = 4 \Leftrightarrow x = – 3$.
Câu 15: Tập nghiệm của phương trình $lo{g_2}\left( {{x^2} – 1} \right) = 3$ là
A. $\left\{ { – \sqrt {10} ;\sqrt {10} } \right\}$
B. $\left\{ { – 3;3} \right\}$
C. $\left\{ { – 3} \right\}$
D. $\left\{ 3 \right\}$
Lời giải
Chọn B
$lo{g_2}\left( {{x^2} – 1} \right) = 3 \Leftrightarrow {x^2} – 1 = 8 \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3$.
Câu 16: Tập nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {{x^2} – 7} \right) = 2$ là
A. $\left\{ 4 \right\}$
B. $\left\{ { – 4} \right\}$
C. $\left\{ { – \sqrt {15} ;\sqrt {15} } \right\}$
D. $\left\{ { – 4;4} \right\}$
Lời giải
Chọn D
$lo{g_3}\left( {{x^2} – 7} \right) = 2 \Leftrightarrow {x^2} – 7 = 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 4} \\
{x = – 4}
\end{array}} \right.$
Câu 17: Tìm nghiệm của phương trình $lo{g_{25}}\left( {x + 1} \right) = \frac{1}{2}$.
A. $x = 6$
B. $x = 4$
C. $x = \frac{{23}}{2}$
D. $x = – 6$
Lời giải
Chọn B
Điều kiện: $x > – 1$
Xét phương trình $lo{g_{25}}\left( {x + 1} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow lo{g_5}\left( {x + 1} \right) = 1 \Leftrightarrow x + 1 = 5 \Leftrightarrow x = 4$.
Câu 18: Phương trình $lo{g_3}\left( {3x – 2} \right) = 3$ có nghiệm là
A. $x = \frac{{25}}{3}$.
B. $x = 87$.
C. $x = \frac{{29}}{3}$.
D. $x = \frac{{11}}{3}$.
Lời giải
Chọn C
Ta có: $lo{g_3}\left( {3x – 2} \right) = 3 \Leftrightarrow 3x – 2 = {3^3} \Leftrightarrow 3x = 29 \Leftrightarrow x = \frac{{29}}{3}$.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = \frac{{29}}{3}$.
Câu 19: Tập nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {{x^2} – x + 3} \right) = 1$ là
A. $\left\{ 1 \right\}$.
B. $\left\{ {0;1} \right\}$.
C. $\left\{ { – 1;0} \right\}$.
D. $\left\{ 0 \right\}$.
Lời giải
Ta có: $lo{g_3}\left( {{x^2} – x + 3} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} – x + 3 = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{x = 1}
\end{array}} \right.$
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {0;1} \right\}$.
Câu 20: Tập nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {{x^2} + x + 3} \right) = 1$ là:
A. $\left\{ { – 1;0} \right\}$.
B. $\left\{ {0;1} \right\}$.
C. $\left\{ 0 \right\}$
D. $\left\{ { – 1} \right\}$.
Lời giải
$lo{g_3}\left( {{x^2} + x + 3} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} + x + 3 = 3$
$ \Leftrightarrow {x^2} + x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{x = – 1}
\end{array}} \right.$
Câu 21: Cho phương trình $lo{g_2}{(2x – 1)^2} = 2lo{g_2}\left( {x – 2} \right)$. Số nghiệm thực của phương trình là:
A. 1 .
B. 0 .
C. 3 .
D. 2 .
Lời giải
Điều kiện: $x > 2$.
Phương trình đã cho tương đương với: $2lo{g_2}\left( {2x – 1} \right) = 2lo{g_2}\left( {x – 2} \right)$
$ \Leftrightarrow 2x – 1 = x – 2 \Leftrightarrow x = – 1$
Nghiệm này không thỏa mãn điều kiện của phương trình nên phương trình đã cho vô nghiệm.
Câu 22: Tập nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {{x^2} + 2x} \right) = 1$ là
A. $\left\{ {1; – 3} \right\}$.
B. $\left\{ {1;3} \right\}$.
C. $\left\{ 0 \right\}$.
D. $\left\{ { – 3} \right\}$.
Lời giải
Phương trình $lo{g_3}\left( {{x^2} + 2x} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2x = {3^1}$
$ \Leftrightarrow {x^2} + 2x – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{x = – 3}
\end{array}} \right.$.
Tập nghiệm của phương trình là $\left\{ {1; – 3} \right\}$.
Câu 23: Tổng bình phương các nghiệm của phương trình $lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – 5x + 7} \right) = 0$ bằng
A. 6
B. 5
C. 13
D. 7
Lời giải
Chọn C
$lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – 5x + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 5x + 7 = 1$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 2 \vee {x_2} = 3 \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 = 13$
Câu 24: Tổng các nghiệm của phương trình $lo{g_4}{x^2} – lo{g_2}3 = 1$ là
A. 6
B. 5
C. 4
D. 0
Lời giải
Chọn D
Điều kiện $x \ne 0$.
Ta có có $lo{g_4}{x^2} – lo{g_2}3 = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}lo{g_2}{x^2} = 1 + lo{g_2}3$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}{x^2} = 2 \cdot lo{g_2}6 \Leftrightarrow lo{g_2}{x^2} = lo{g_2}{6^2}$
$ \Leftrightarrow {x^2} = {6^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 6 \hfill \\
x = – 6 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Dó đó, tổng các nghiệm sẽ bằng 0
Câu 25: Tập nghiệm của phương trình $lo{g_{0,25}}\left( {{x^2} – 3x} \right) = – 1$ là:
A. $\left\{ 4 \right\}$.
B. $\left\{ {1; – 4} \right\}$.
C. $\left\{ {\frac{{3 – 2\sqrt 2 }}{2};\frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{2}} \right\}$.
D. $\left\{ { – 1;4} \right\}$.
Lời giải
Ta có: $lo{g_{0,25}}\left( {{x^2} – 3x} \right) = – 1 \Leftrightarrow {x^2} – 3x = {(0,25)^{ – 1}}$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 3x – 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 4 \hfill \\
x = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ { – 1;4} \right\}$.
Câu 26: Nghiệm nhỏ nhất của phương trình $lo{g_5}\left( {{x^2} – 3x + 5} \right) = 1$ là
A. -3 .
B. $a$.
C. 3 .
D. 0 .
Lời giải
$lo{g_5}\left( {{x^2} – 3x + 5} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 5 = 5$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3} \\
{x = 0}
\end{array}} \right.$.
Vậy nghiệm nhỏ nhất của phương trình $lo{g_5}\left( {{x^2} – 3x + 5} \right) = 1$ là 0 .
Câu 27: Số nghiệm dương của phương trình $ln\left| {{x^2} – 5} \right| = 0$ là
A. 2 .
B. 4 .
C. 0 .
D. 1 .
Lời giải
Có $ln\left| {{x^2} – 5} \right| = 0 \Leftrightarrow \left| {{x^2} – 5} \right| = 1$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – 5 = 1} \\
{{x^2} – 5 = – 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \sqrt 6 } \\
{x = – \sqrt 6 } \\
{x = 2} \\
{x = – 2}
\end{array}} \right.} \right.$.
Vậy phương trình có 2 nghiệm dương là $x = \sqrt 6 ,x = 2$.
Câu 28: Số nghiệm của phương trình $\left( {x + 3} \right)lo{g_2}\left( {5 – {x^2}} \right) = 0$.
A. 2 .
B. 0 .
C. 1 .
D. 3 .
Lời giải
Điều kiện: $5 – {x^2} > 0 \Leftrightarrow – \sqrt 5 < x < \sqrt 5 $.
Phương trình $\left( {x + 3} \right)lo{g_2}\left( {5 – {x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + 3 = 0} \\
{lo{g_2}\left( {5 – {x^2}} \right) = 0}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = – 3} \\
{5 – {x^2} = 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 3} \\
{x = \pm 2}
\end{array}} \right.} \right.$.
Đối chiếu điều kiện ta có $x = \pm 2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy phương trình có 2 nghiệm.
Câu 29: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\left( {2{x^2} – 5x + 2} \right)\left[ {lo{g_x}\left( {7x – 6} \right) – 2} \right] = 0$ bằng
A. $\frac{{17}}{2}$.
B. 9 .
C. 8 .
D. $\frac{{19}}{2}$.
Lời giải
Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{0 < x \ne 1} \\
{x > \frac{6}{7}}
\end{array} \Leftrightarrow \frac{6}{7} < x \ne 1\left( * \right)} \right.$.
Phương trình $\left( {2{x^2} – 5x + 2} \right)\left[ {lo{g_x}\left( {7x – 6} \right) – 2} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2{x^2} – 5x + 2 = 0} \\
{lo{g_x}\left( {7x – 6} \right) – 2 = 0}
\end{array}} \right.$.
• Phương trình $2{x^2} – 5x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2} \\
{x = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$.
Kết hợp với điều kiện $\left( * \right) \Rightarrow x = 2$.
• Phương trình $lo{g_x}\left( {7x – 6} \right) – 2 = 0 \Leftrightarrow 7x – 6 = {x^2}$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{x = 6}
\end{array}} \right.$.
Kết hợp với điều kiện $\left( * \right) \Rightarrow x = 6$.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x = 2;x = 6$ suy ra tổng các nghiệm bằng 8 .
Câu 30: Hàm số $y = lo{g_a}x$ và $y = lo{g_b}x$ có đồ thị như hình bên.
Đường thẳng $y = 3$ cắt hai đồ thị tại các điểm có hoành độ là ${x_1};{x_2}$. Biết rằng ${x_1} = 2{x_2}$. Giá trị của $\frac{a}{b}$ bằng
A. $\frac{1}{3}$.
B. $\sqrt 3 $.
C. 2 .
D. $\sqrt[3]{2}$.
Lời giải
Chọn D
Xét phương trình hoành độ giao điểm $lo{g_a}x = 3 \Leftrightarrow {x_1} = {a^3}$, và $lo{g_b}x = 3 \Leftrightarrow {x_2} = {b^3}$.
Ta có ${x_1} = 2{x_2} \Leftrightarrow {a^3} = 2{b^3} \Leftrightarrow {\left( {\frac{a}{b}} \right)^3} = 2 \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \sqrt[3]{2}$.
Câu 31: Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình $lo{g_2}\left( {x – 1} \right) + lo{g_2}\left( {x + 1} \right) = 3$.
A. $S = \left\{ 3 \right\}$
B. $S = \left\{ { – \sqrt {10} ;\sqrt {10} } \right\}$
C. $S = \left\{ { – 3;3} \right\}$
D. $S = \left\{ 4 \right\}$
Lời giải
Chọn A
Điều kiện $\left\{ \begin{gathered}
x – 1 > 0 \hfill \\
x + 1 > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x > 1 \hfill \\
x > – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow x > 1$.
Phương trình đã cho trở thành $lo{g_2}\left[ {\left( {x – 1} \right)(x + 1)} \right] = 3 \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {{x^2} – 1} \right) = 3$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 1 = 8 \Leftrightarrow x = \pm 3$
Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm duy nhất của phương trình là $x = 3 \Rightarrow S = \left\{ 3 \right\}$
Câu 32: Nghiệm của phương trình $lo{g_2}\left( {x + 1} \right) + 1 = lo{g_2}\left( {3x – 1} \right)$ à
A. $x = 1$.
B. $x = 2$.
C. $x = – 1$.
D. $x = 3$.
Lời giải
Chọn D
Điều kiện phương trình: $x > \frac{1}{3}$.
$lo{g_2}\left( {x + 1} \right) + 1 = lo{g_2}\left( {3x – 1} \right)$
$lo{g_2}\left( {x + 1} \right) + {\log _2}2 = lo{g_2}\left( {3x – 1} \right)$ (Lưu ý: $\alpha = {\log _a}{a^\alpha }$)
$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left[ {\left( {x + 1} \right) \cdot 2} \right] = lo{g_2}\left( {3x – 1} \right)$
$ \Leftrightarrow 2\left( {x + 1} \right) = 3x – 1 \Leftrightarrow x = 3$ (nhận)
Vậy nghiệm phương trình là $x = 3$.
Câu 33: Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình $lo{g_3}\left( {2x + 1} \right) – lo{g_3}\left( {x – 1} \right) = 1$.
A. $S = \left\{ 3 \right\}$
B. $S = \left\{ 4 \right\}$
C. $S = \left\{ 1 \right\}$
D. $S = \left\{ { – 2} \right\}$
Lời giải
Chọn B
ĐК: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + 1 > 0} \\
{x – 1 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > \frac{{ – 1}}{2}} \\
{x > 1}
\end{array} \Leftrightarrow x > 1} \right.} \right.$.
Ta có $lo{g_3}\left( {2x + 1} \right) – lo{g_3}\left( {x – 1} \right) = 1$
$ \Leftrightarrow lo{g_3}\frac{{2x + 1}}{{x – 1}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{2x + 1}}{{x – 1}} = 3 \Leftrightarrow x = 4$ (thỏa)
Câu 34: Nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {x + 1} \right) + 1 = lo{g_3}\left( {4x + 1} \right)$
A. $x = 4$.
B. $x = 2$.
C. $x = 3$.
D. $x = – 3$.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện: $\left\{ \begin{gathered}
x + 1 > 0 \hfill \\
4x + 1 > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow x > – \frac{1}{4}$.
Ta có:
$lo{g_3}\left( {x + 1} \right) + 1 = lo{g_3}\left( {4x + 1} \right)$
$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {x + 1} \right) + {\log _3}3 = lo{g_3}\left( {4x + 1} \right)$
$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left[ {\left( {x + 1} \right)3} \right] = lo{g_3}\left( {4x + 1} \right)$
$ \Leftrightarrow 3\left( {x + 1} \right) = 4x + 1 \Leftrightarrow x = 2$ (nhận)
Vậy: Nghiệm của phương trình là $x = 2$.
Câu 35: Nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {2x + 1} \right) = 1 + lo{g_3}\left( {x – 1} \right)$ là
A. $x = 4$.
B. $x = – 2$.
C. $x = 1$.
D. $x = 2$.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + 1 > 0} \\
{x – 1 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow x > 1} \right.$.
Ta có: $lo{g_3}\left( {2x + 1} \right) = 1 + lo{g_3}\left( {x – 1} \right)$
$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {2x + 1} \right) = lo{g_3}\left[ {3 \cdot \left( {x – 1} \right)} \right]$
$ \Leftrightarrow 2x + 1 = 3x – 3$
$ \Leftrightarrow x = 4$ (nhận).
Câu 36: Nghiệm của phương trình $lo{g_2}\left( {x + 1} \right) = 1 + lo{g_2}\left( {x – 1} \right)$ là
A. $x = 3$.
B. $x = 2$.
C. $x = 1$.
D. $x = – 2$.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > – 1} \\
{x > 1}
\end{array} \Leftrightarrow x > 1} \right.$.
Phương trình đã cho tương đương với
$lo{g_2}\left( {x + 1} \right) = 1 + lo{g_2}\left( {x – 1} \right)$.
$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {x + 1} \right) = lo{g_2}2.\left( {x – 1} \right)$
$ \Leftrightarrow x + 1 = 2x – 2 \Leftrightarrow x = 3$ (Thỏa mãn).
Câu 37: Số nghiệm của phương trình $ln\left( {x + 1} \right) + ln\left( {x + 3} \right) = ln\left( {x + 7} \right)$ là
A. 1 .
B. 0 .
C. 2 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn A
Điều kiện: $x > – 1$
$PT \Leftrightarrow ln\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)} \right] = ln\left( {x + 7} \right)$
$ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right) = x + 7$
$ \Leftrightarrow {x^2} + 3x – 4 = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}&{\left( {nhan} \right)} \\
{x = – 4}&{\left( {loai} \right)}
\end{array}} \right.$
Câu 38: Tìm số nghiệm của phương trình $lo{g_2}x + lo{g_2}\left( {x – 1} \right) = 2$
A. 0 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn B
Điều kiện: $x > 1$
Ta có: $lo{g_2}x + lo{g_2}\left( {x – 1} \right) = 2$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left[ {x\left( {x – 1} \right)} \right] = 2 \Leftrightarrow x\left( {x – 1} \right) = 4$
$ \Leftrightarrow {x^2} – x – 4 = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{1 – \sqrt {17} }}{2}} \\
{x = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}}
\end{array}} \right.$
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là $x = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}$.
Câu 39: Số nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {6 + x} \right) + lo{g_3}9x – 5 = 0$.
A. 0
B. 2
C. 1
D. 3
Lời giải
+) Điều kiện $x > 0$
+) Phương trình
$lo{g_3}\left( {6 + x} \right) + lo{g_3}9x – 5 = 0$
$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {6 + x} \right) + lo{g_3}9 + {\log _3}x – 5 = 0$
$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {6 + x} \right) + 2 + {\log _3}x – 5 = 0$
$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {6 + x} \right) + lo{g_3}x = 3 \Leftrightarrow lo{g_3}x\left( {6 + x} \right) = 3$
$ \Leftrightarrow {x^2} + 6x – 27 = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3} \\
{x = – 9\left( L \right)}
\end{array} \Leftrightarrow x = 3} \right.$.
Vậy phương trình có 1 nghiệm.
Vậy số nghiệm của phương trình là 1 .
Câu 40: Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình: $lo{g_3}\left( {2x + 1} \right) – lo{g_3}\left( {x – 1} \right) = 1$.
A. $S = \left\{ 3 \right\}$.
B. $S = \left\{ 1 \right\}$.
C. $S = \left\{ 2 \right\}$.
D. $S = \left\{ 4 \right\}$.
Lời giải
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + 1 > 0} \\
{x – 1 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow x > 1} \right.$.
Với điều kiện trên, $lo{g_3}\left( {2x + 1} \right) – lo{g_3}\left( {x – 1} \right) = 1$
$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {2x + 1} \right) = lo{g_3}\left( {x – 1} \right) + lo{g_3}3$
$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {2x + 1} \right) = lo{g_3}\left( {3x – 3} \right) \Leftrightarrow 2x + 1 = 3x – 3 \Leftrightarrow x = 4$ (thỏa mãn điều kiện).
Vậy tập nghiệm $S = \left\{ 4 \right\}$.
Câu 41: Phương trình $lo{g_2}x + lo{g_2}\left( {x – 1} \right) = 1$ có tập nghiệm là
A. $S = \left\{ { – 1;3} \right\}$.
B. $S = \left\{ {1;3} \right\}$.
C. $S = \left\{ 2 \right\}$.
D. $S = \left\{ 1 \right\}$.
Lời giải
Điều kiện: $x > 1$.
Với điều kiện trên, ta có: $lo{g_2}x + lo{g_2}\left( {x – 1} \right) = 1 \Leftrightarrow lo{g_2}\left[ {x\left( {x – 1} \right)} \right] = 1$
$ \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1} \\
{x = 2}
\end{array}} \right.$.
Kết hợp với điều kiện ta được: $x = 2$.
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ 2 \right\}$.
Câu 42: Tổng các nghiệm của phương trình $lo{g_2}\left( {x – 1} \right) + lo{g_2}\left( {x – 2} \right) = lo{g_5}125$ là
A. $\frac{{3 + \sqrt {33} }}{2}$.
B. $\frac{{3 – \sqrt {33} }}{2}$.
C. 3 .
D. $\sqrt {33} $.
Lời giải
Điều kiện: $x > 2$
$lo{g_2}\left( {x – 1} \right) + lo{g_2}\left( {x – 2} \right) = lo{g_5}125 \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {{x^2} – 3x + 2} \right) = 3$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 3x – 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{{3 + \sqrt {33} }}{2}\,\,(nhận)} \\
{x = \frac{{3 – \sqrt {33} }}{2}\,\,(loại)}
\end{array}} \right.$
Đối chiếu điều kiện ta thấy nghiệm $x = \frac{{3 + \sqrt {33} }}{2}$ thỏa mãn.
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là $\frac{{3 + \sqrt {33} }}{2}$.
Câu 43: Tập nghiệm của phương trình $lo{g_2}x + lo{g_2}\left( {x – 3} \right) = 2$ là
A. $S = \left\{ 4 \right\}$
B. $S = \left\{ { – 1,4} \right\}$
C. $S = \left\{ { – 1} \right\}$
D. $S = \left\{ {4,5} \right\}$
Lời giải
Chọn A
Điều kiện: $x \geqslant 3$.
$PT \Leftrightarrow lo{g_2}\left[ {x\left( {x – 3} \right)} \right] = 2 \Leftrightarrow {x^2} – 3x – 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 4} \\
{x = – 1}
\end{array}} \right.$.
So sánh điều kiện ta được $x = 4$.
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ 4 \right\}$.
Câu 44: Số nghiệm của phương trình $lo{g_3}x + lo{g_3}\left( {x – 6} \right) = lo{g_3}7$ là
A. 0
B. 2
C. 1
D. 3
Lời giải
Chọn C
Đk: $x > 6$
Ta có: $lo{g_3}x + lo{g_3}\left( {x – 6} \right) = lo{g_3}7$
$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left[ {x\left( {x – 6} \right)} \right] = lo{g_3}7$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 6x – 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1\,\,(loại)} \\
{x = 7\,\,\,(nhận)}
\end{array}} \right.$
Câu 45: Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình $lo{g_{\sqrt 2 }}\left( {x – 1} \right) + lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) = 1$.
A. $S = \left\{ 3 \right\}$
B. $S = \left\{ {2 – \sqrt 5 ;2 + \sqrt 5 } \right\}$
C. $S = \left\{ {2 + \sqrt 5 } \right\}$
D. $S = \left\{ {\frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}} \right\}$
Lời giải
Chọn ${\mathbf{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{C} }}$
Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – 1 > 0} \\
{x + 1 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow x > 1} \right.$
Phương trình $ \Leftrightarrow 2lo{g_2}\left( {x – 1} \right) – lo{g_2}\left( {x + 1} \right) = 1$
$ \Leftrightarrow 2lo{g_2}\left( {x – 1} \right) = lo{g_2}\left( {x + 1} \right) + lo{g_2}2$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}{(x – 1)^2} = lo{g_2}\left[ {2\left( {x + 1} \right)} \right]$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 = 2x + 2$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 4x – 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – \sqrt 5 \left( L \right)} \\
{x = 2 + \sqrt 5 }
\end{array}} \right.$.
Vậy tập nghiệm phương trình $S = \left\{ {2 + \sqrt 5 } \right\}$
Câu 46: Số nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {{x^2} + 4x} \right) + lo{g_{\frac{1}{3}}}\left( {2x + 3} \right) = 0$ là
A. 2 .
B. 3 .
C. 0 .
D. 1 .
Lời giải
Viết lại phương trình ta được
$lo{g_3}\left( {{x^2} + 4x} \right) = lo{g_3}\left( {2x + 3} \right)$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + 3 > 0} \\
{{x^2} + 4x = 2x + 3}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > – \frac{3}{2}} \\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1} \\
{x = – 3}
\end{array}} \right.}
\end{array} \Leftrightarrow x = 1} \right.} \right.$.
Câu 47: Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình $lo{g_3}x \cdot lo{g_9}x \cdot lo{g_{27}}x \cdot lo{g_{81}}x = \frac{2}{3}$ bằng
A. 0 .
B. $\frac{{80}}{9}$.
C. 9 .
D. $\frac{{82}}{9}$.
Lời giải
Chọn D
Điều kiện $x > 0$.
Phương trình đã cho tương đương với
$lo{g_3} \cdot \frac{1}{2} \cdot lo{g_3}x \cdot \frac{1}{3}lo{g_3}x \cdot \frac{1}{4}lo{g_3}x = \frac{2}{3} \Leftrightarrow {\left( {lo{g_3}x} \right)^4} = 16 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{lo{g_3}x = 2} \\
{lo{g_3}x = – 2}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 9} \\
{x = \frac{1}{9}}
\end{array}} \right.} \right.$
Câu 48: Nghiệm của phương trình $lo{g_2}x + lo{g_4}x = lo{g_{\frac{1}{2}}}\sqrt 3 $ là
A. $x = \frac{1}{{\sqrt[3]{3}}}$.
B. $x = \sqrt[3]{3}$.
C. $x = \frac{1}{3}$.
D. $x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.
Lời giải
Điều kiện: $x > 0$
Ta có: $lo{g_2}x + lo{g_4}x = lo{g_{\frac{1}{2}}}\sqrt 3 \Leftrightarrow lo{g_2}x + \frac{1}{2}lo{g_2}x = – \frac{1}{2}lo{g_2}3$
$ \Leftrightarrow 2lo{g_2}x + lo{g_2}x + lo{g_2}3 = 0 \Leftrightarrow 3lo{g_2}x + lo{g_2}3 = 0$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}{x^3} + lo{g_2}3 = 0 \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {3{x^3}} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow 3{x^3} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[3]{3}}}$.
So với điều kiện, nghiệm phương trình là $x = \frac{1}{{\sqrt[3]{3}}}$.
Câu 49: Gọi $S$ là tập nghiệm của phương trình $lo{g_{\sqrt 2 }}\left( {x + 1} \right) = lo{g_2}\left( {{x^2} + 2} \right) – 1$. Số phần tử của tập $S$ là
A. 2
B. 3
C. 1
D. 0
Lời giải
ĐК: $x > – 1$
$lo{g_{\sqrt 2 }}\left( {x + 1} \right) = lo{g_2}\left( {{x^2} + 2} \right) – 1$
$ \Rightarrow {(x + 1)^2} = \frac{{{x^2} + 2}}{2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0\left( {TM} \right)} \\
{x = – 4\left( L \right)}
\end{array}} \right.$
Vậy tập nghiệm có một phần tử
Câu 50: Số nghiệm thục của phương trình $3lo{g_3}\left( {x – 1} \right) – lo{g_{\frac{1}{3}}}{(x – 5)^3} = 3$ là
A. 3
B. 1
C. 2
D. 0
Lời giải
Chọn B
Điều kiện: $x > 5$
$3lo{g_3}\left( {x – 1} \right) – lo{g_{\frac{1}{3}}}{(x – 5)^3} = 3$
$ \Leftrightarrow 3lo{g_3}\left( {x – 1} \right) + 3lo{g_3}\left( {x – 5} \right) = 3$
$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {x – 1} \right) + lo{g_3}\left( {x – 5} \right) = 1$
$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left[ {\left( {x – 1} \right)\left( {x – 5} \right)} \right] = 1 \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {x – 5} \right) = 3$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt 7 $
Đối chiếu điều kiện suy ra phương trình có 1 nghiệm $x = 3 + \sqrt 7 $
Câu 51: Tổng các nghiệm của phương trình $lo{g_{\sqrt 3 }}\left( {x – 2} \right) + lo{g_3}{(x – 4)^2} = 0$ là $S = a + b\sqrt 2 $ (với $a,b$ là các số nguyên). Giá trị của biểu thức $Q = a.b$ bằng
A. 0 .
B. 3 .
C. 9 .
D. 6 .
Lời giải
Chọn D
Điều kiện: $2 < x \ne 4$.
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương
$2lo{g_3}\left( {x – 2} \right) + 2lo{g_3}\left| {x – 4} \right| = 0$
$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {x – 2} \right)\left| {x – 4} \right| = 0 \Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left| {x – 4} \right| = 1$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 4} \right) = 1} \\
{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 4} \right) = – 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} – 6x + 7 = 0} \\
{{x^2} – 6x + 9 = 0}
\end{array}} \right.} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 3 \pm \sqrt 2 } \\
{x = 3}
\end{array}} \right.$
So lại điều kiện, ta nhận hai nghiệm ${x_1} = 3 + \sqrt 2 ;{x_2} = 3$
Ta được: $S = {x_1} + {x_2} = 6 + \sqrt 2 \Rightarrow a = 6;b = 1$.
Vậy $Q = a \cdot b = 6$.
