50 câu trắc nghiệm Lũy thừa với mũ số thực theo mức độ giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
I. THÔNG HIỂU
Câu 1. Với $a$ là số thực dương tùy ý, biểu thức ${a^{\frac{5}{3}}} \cdot {a^{\frac{1}{3}}}$ là
A. ${a^5}$.
B. ${a^{\bar 9}}$.
C. ${a^{\frac{4}{3}}}$.
D. ${a^2}$.
Lời giải
Ta có ${a^{\frac{5}{3}}} \cdot {a^{\frac{1}{3}}} = {a^{\frac{5}{3} + \frac{1}{3}}} = {a^2}$
Câu 2. Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\sqrt {{a^3}} $ bằng
A. ${a^6}$.
B. ${a^{\frac{3}{2}}}$.
C. ${a^{\frac{2}{3}}}$.
D. ${a^{\frac{1}{6}}}$.
Lời giải
Chọn B
Với $a > 0$ ta có $\sqrt {{a^3}} = {a^{\frac{3}{2}}}$.
Câu 3. Cho $a > 0,m,n \in \mathbb{R}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. ${a^{m + }} + {a^n} = {a^{m + n}}$.
B. ${a^m} \cdot {a^n} = {a^{mt – n}}$.
C. ${\left( {{a^{mi}}} \right)^n} = {\left( {{a^n}} \right)^{mt}}$.
D. $\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{n – m}}$.
Lời giải
Chọn C.
Tính chất lũy thừa
Câu 4. Với $a > 0,b > 0,\alpha ,\beta $ là các số thực bất kì, đẳng thức nào sau đây sai?
A. $\frac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha – \beta }}$.
B. ${a^\alpha } \cdot {a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }}$.
C. $\frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\beta }}} = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^{\alpha – \beta }}$.
D. ${a^a} \cdot {b^a} = {(ab)^a}$.
Lời giải
Chọn C
Câu 5. Cho $x,y > 0$ và $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$. Tìm đẳng thức sai dưới đây.
A. ${(xy)^a} = {x^a} \cdot {y^a}$.
B. ${x^a} + {y^\alpha } = {(x + y)^\alpha }$.
C. ${\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha \beta \beta }}$.
D. ${x^\alpha } \cdot {x^\beta } = {x^{\alpha + \beta }}$.
Lời giải
Chọn B
Theo tính chất của lũy thừa thì đẳng thức ${x^a} + {y^a} = {(x + y)^a}$ Sai.
Câu 6. Cho các số thực $a,b,m,n(a,b > 0)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$.
B. ${\left( {{a^{mt}}} \right)^n} = {a^{m + n}}$.
C. ${(a + b)^{m + }} = {a^m} + {b^m}$.
D. ${a^m} \cdot {a^n} = {a^{m + n}}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: $\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m – n}} \Rightarrow $ Loại $A$
${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.nt}} \Rightarrow $ Loại B
${(1 + 1)^2} \ne {1^2} + {1^2} \Rightarrow $ Loại C
${a^m} \cdot {a^n} = {a^{m + n}} \Rightarrow $ Chọn D
Câu 7. Với $\alpha $ là số thực bất kì, mệnh đề nào sau đây sai?
A. $\sqrt {{{10}^\alpha }} = {(\sqrt {10} )^\alpha }$.
B. $\sqrt {{{10}^\alpha }} = {10^{\frac{\alpha }{2}}}$.
C. ${\left( {{{10}^\alpha }} \right)^2} = {(100)^\alpha }$.
D. ${\left( {{{10}^\alpha }} \right)^2} = {(10)^{{\alpha ^2}}}$.
Lời giải
Theo định nghĩa và các tính chất của lũy thừa, ta thấy $A,B,C$ là các mệnh đề đúng.
Xét mệnh đề D: với $\alpha = 1$, ta có: ${\left( {{{10}^1}} \right)^2} = 100 \ne {(10)^{{1^2}}} = 10$ nên mệnh đề $D$ sai.
Câu 8. Rút gọn biểu thức $Q = {b^{\frac{5}{3}}}:\sqrt[3]{b}$ với $b > 0$.
A. $Q = {b^{ – \frac{4}{3}}}$
B. $Q = {b^{\frac{4}{3}}}$
C. $Q = {b^{\frac{5}{9}}}$
D. $Q = {b^2}$
Lời giải
Chọn B
$Q = {b^{\frac{5}{3}}}:\sqrt[3]{b} = {b^{\frac{5}{3}}}:{b^{\frac{1}{3}}} = {b^{\frac{4}{3}}}$
Câu 9. Rút gọn biểu thức $P = {x^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[6]{x}$ với $x > 0$.
A. $P = \sqrt x $
B. $P = {x^{\frac{1}{8}}}$
C. $P = {x^{\frac{2}{9}}}$
D. $P = {x^2}$
Lời giải
Chọn A
Ta có: $P = {x^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[6]{x} = {x^{\frac{1}{3}}} \cdot {x^{\frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt x $
Câu 10. Cho $a$ là số thực dương. Giá trị rút gọn của biểu thức $P = {a^{\frac{4}{3}}}\sqrt a $ bằng
A. ${a^{\frac{7}{3}}}$.
B. ${a^{\frac{5}{6}}}$.
C. ${a^{\frac{{11}}{6}}}$.
D. ${a^{\frac{{10}}{3}}}$.
Lời giải
Chọn C
Ta có: $P = {a^{\frac{4}{3}}}\sqrt a = {a^{\frac{4}{3}}} \cdot {a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{4}{3} + \frac{1}{2}}} = {a^{\frac{{11}}{6}}}$.
Câu 11. Cho biểu thức $P = {x^{\frac{1}{2}}} \cdot {x^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[6]{x}$ với $x > 0$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $P = x$
B. $P = {x^{\frac{{11}}{6}}}$
C. $P = {x^{\frac{7}{6}}}$
D. $P = {x^{\frac{5}{6}}}$
Lời giải
Chọn A
$P = {x^{\frac{1}{2}}} \cdot {x^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[6]{x} = {x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}}} = x$
Câu 12. Rút gọn biểu thức $P = {x^{\frac{1}{6}}} \cdot \sqrt[3]{x}$ với $x > 0$.
A. $P = {x^{\frac{1}{8}}}$
B. $P = \sqrt x $
C. $P = {x^{\frac{2}{9}}}$
D. $P = {x^2}$
Lời giải
Chọn B
Với $x > 0;P = {x^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{1}{3}}} = {x^{\frac{1}{6} + \frac{1}{3}}} = {x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt x $
Câu 13. Biểu thức $P = \sqrt[3]{{x.\sqrt[5]{{{x^2}\sqrt x }}}} = {x^\alpha }$ (với $x > 0$ ), giá trị của $\alpha $ là
A. $\frac{1}{2}$.
B. $\frac{5}{2}$.
C. $\frac{9}{2}$.
D. $\frac{3}{2}$.
Lời giải
$P = \sqrt[3]{{x\sqrt[5]{{{x^2}\sqrt x }}}} = \sqrt[3]{{x\sqrt[5]{{{x^2} \cdot {x^{\frac{1}{2}}}}}}} = \sqrt[3]{{x \cdot {{\left( {{x^{\frac{5}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{5}}}}} = {\left( {{x^{\frac{3}{2}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} = {x^{\frac{1}{2}}} \Rightarrow \alpha = \frac{1}{2}$.
Câu 14. Cho $a$ là số thực dương khác 1 . Khi đó $\sqrt[4]{{{a^{\frac{2}{3}}}}}$ bằng
A. $\sqrt[3]{{{a^2}}}$.
B. ${a^{\frac{8}{3}}}$.
C. ${a^{\frac{3}{8}}}$.
D. $\sqrt[6]{a}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: $\sqrt[4]{{{a^{\frac{2}{3}}}}} = {\left( {{a^{\frac{2}{3}}}} \right)^{\frac{1}{4}}} = {a^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4}}} = {a^{\frac{1}{6}}} = \sqrt[6]{a}$
Câu 15. Cho biểu thức $P = {x^{ – \frac{3}{4}}} \cdot \sqrt {\sqrt {{x^5}} } ,x > 0$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $P = {x^{ – 2}}$
B. $P = {x^{ – \frac{1}{2}}}$
C. $P = {x^{\frac{1}{2}}}$
D. $P = {x^2}$
Lời giải
Chọn C
Ta có $P = {x^{ – \frac{3}{4}}} \cdot \sqrt {\sqrt {{x^5}} } = {x^{ – \frac{3}{4}}} \cdot {x^{\frac{5}{4}}} = {x^{ – \frac{3}{4} + \frac{5}{4}}} = {x^{\frac{1}{2}}}$.
Câu 16. Cho biểu thức $P = \sqrt[3]{{x \cdot \sqrt[4]{{{x^3}\sqrt x }}}}$, với $x > 0$. Mệnh đề nảo dưới đây đúng?
A. $P = {x^{\frac{1}{2}}}$.
B. $P = {x^{\frac{7}{{12}}}}$.
C. $P = {x^{\frac{5}{8}}}$.
D. $P = {x^{\frac{7}{{24}}}}$.
Lời giải
Chọn C
Ta có: $P = \sqrt[3]{{x \cdot \sqrt[4]{{{x^3}\sqrt x }}}} = {x^{\frac{5}{8}}}$
Câu 17. Cho biểu thức $P = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} }}}}$. Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là đúng?
A. $P = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{8}}}$.
B. $P = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{18}}$.
C. $P = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{{18}}}}$.
D. $P = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{2}}}$.
Lời giải
Ta có: $P = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} }}}} = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{3}{2}\frac{1}{3} + 1}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{2}}}$.
Câu 18. Cho $a = {3^{\sqrt 5 }},b = {3^2}$ và $c = {3^{\sqrt 6 }}$ mệnh đề nào dưới đây đúng
A. $a < c < b$.
B. $a < b < c$.
C. $b < a < c$.
D. $c < a < b$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $a = {3^{\sqrt 5 }},b = {3^2} = {3^{\sqrt 4 }},c = {3^{\sqrt 6 }}$ và $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sqrt 4 < \sqrt 5 < \sqrt 6 } \\
{3 > 1}
\end{array} \Rightarrow b < a < c} \right.$.
Câu 19. Cho $a = {3^{\sqrt 5 }},b = {3^2}$ và $c = {3^{\sqrt 6 }}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $a < b < c$.
B. $a < c < b$.
C. $c < a < b$.
D. $b < a < c$.
Lời giải
Chọn D
Ta có $2 < \sqrt 5 < \sqrt 6 $ mà cơ số $3 > 1$ nên ${3^2} < {3^{\sqrt 5 }} < {3^{\sqrt 6 }}$ hay $b < a < c$.
Câu 20. Cho ${(\sqrt 2 – 1)^m} < {(\sqrt 2 – 1)^n}$. Khi đó
A. $m = n$.
B. $m < n$.
C. $m > n$.
D. $m \ne n$.
Lời giải
Chọn C
Do $0 < \sqrt 2 – 1 < 1$ nên ${(\sqrt 2 – 1)^{mt}} < {(\sqrt 2 – 1)^n} \Leftrightarrow m > n$.
Câu 21. Cho $a > 1$. Mệnh đề nào sau đây là đủng?
A. ${a^{ – \sqrt 3 }} > \frac{1}{{{a^{\sqrt 5 }}}}$.
B. ${a^{\frac{1}{3}}} > \sqrt a $.
C. $\frac{{\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{a} > 1$.
D. $\frac{1}{{{a^{2024}}}} < \frac{1}{{{a^{2025}}}}$.
Lời giải
Chọn A
Vi $a > 1; – \sqrt 3 > – \sqrt 5 \Rightarrow {a^{ – \sqrt 3 }} > {a^{ – \sqrt 5 }} \Leftrightarrow {a^{ – \sqrt 3 }} > \frac{1}{{{a^{\sqrt 5 }}}}$.
Câu 22. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào $SAI$ ?
A. ${(\sqrt 3 – 1)^{2024}} > {(\sqrt 3 – 1)^{2023}}$.
B. ${2^{\sqrt 2 + 1}} > {2^{\sqrt 3 }}$.
C. ${(\sqrt 2 – 1)^{2023}} > {(\sqrt 2 – 1)^{2024}}$.
D. ${\left( {1 – \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{2025}} < {\left( {1 – \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{2024}}$.
Lời giải
Chọn A
A. ${(\sqrt 3 – 1)^{2024}} > {(\sqrt 3 – 1)^{2023}}$. Cùng cơ số, $0 < \sqrt 3 – 1 < 1$, hàm nghịch biến, số mũ lớn hơn nên bé hon. Sai
B. ${2^{\sqrt 2 + 1}} > {2^{\sqrt 3 }}$. Cùng cơ số, $2 > 1$, hàm đồng biến, số mũ ${(\sqrt 2 + 1)^2} = 3 + 2\sqrt 2 > {(\sqrt 3 )^2} = 3$ nên lớn hơn. Đúng
C. ${(\sqrt 2 – 1)^{2023}} > {(\sqrt 2 – 1)^{2024}}$. Cùng cơ số, $0 < \sqrt 2 – 1 < 1$, hàm nghịch biến, số mũ bé hơn nên lớn hơn. Đúng.
D. ${\left( {1 – \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{2025}} < {\left( {1 – \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{2024}}$. Cùng cơ số, $0 < 1 – \frac{{\sqrt 2 }}{2} < 1$, hàm nghịch biến, số mũ lớn hơn nên bé hơn. Đúng
Câu 23. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. ${\left( {\frac{3}{7}} \right)^{\sqrt 3 }} > {\left( {\frac{5}{8}} \right)^{\sqrt 3 }}$.
B. ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – \pi }} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ – \pi }}$.
C. ${3^{ – \sqrt 2 }} < {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{\sqrt 2 }}$.
D. ${\left( {\frac{1}{4}} \right)^{ – 50}} < {(\sqrt 2 )^{100}}$.
Lời giải
Ta có:
$\left( {\frac{3}{7}} \right) < \left( {\frac{5}{8}} \right) \Rightarrow {\left( {\frac{3}{7}} \right)^{\sqrt 3 }} < {\left( {\frac{5}{8}} \right)^{\sqrt 3 }}($ vì $\sqrt 3 > 0$ ). Phương án A Sai.
$\frac{1}{2} > \frac{1}{3} \Rightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – \pi }} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ – \pi }}$ (vì $ – \pi < 0$ ). Phương án $B$ Đúng.
$3\left\langle {5 \Rightarrow {3^{ – \sqrt 2 }}} \right\rangle {5^{ – \sqrt 2 }} \Rightarrow {3^{ – \sqrt 2 }} > {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{\sqrt 2 }}$ (vì $\left. { – \sqrt 2 < 0} \right)$. Phương án C Sai.
${\left( {\frac{1}{4}} \right)^{ – 50}} < {(\sqrt 2 )^{100}} \Rightarrow {\left( {{2^{ – 2}}} \right)^{ – 50}} < {(2)^{100}} \Rightarrow {2^{100}} < {2^{100}}$ (Mệnh đề sai ). Phương án D Sai.
Câu 24. Tìm tập tất cả các giá trị của $a$ để $\sqrt[{21}]{{{a^5}}} > \sqrt[7]{{{a^2}}}$ ?
A. $a > 0$.
B. $0 < a < 1$.
C. $a > 1$.
D. $\frac{5}{{21}} < a < \frac{2}{7}$.
Lời giải
Chọn B
$\sqrt[7]{{{a^2}}} = \sqrt[{21}]{{{a^6}}}$.
Ta có $\sqrt[{212}]{{{a^5}}} > \sqrt[7]{{{a^2}}} \Leftrightarrow \sqrt[{21}]{{{a^5}}} > \sqrt[{22}]{{{a^6}}}$ mà $5 < 6$ vậy $0 < a < 1$.
II. VẬN DỤNG
Câu 25. Cho biểu thức $P = \sqrt[4]{{x \cdot \sqrt[3]{{{x^2} \cdot \sqrt {{x^3}} }}}}$, với $x > 0$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $P = {x^{\frac{2}{3}}}$
B. $P = {x^{\frac{1}{2}}}$
C. $P = {x^{\frac{{13}}{{24}}}}$
D. $P = {x^{\frac{1}{4}}}$
Lời giải
Chọn C
Ta có, với $x > 0:P = \sqrt[4]{{x \cdot \sqrt[3]{{{x^2} \cdot \sqrt {{x^3}} }}}} = \sqrt[4]{{x \cdot \sqrt[3]{{{x^2} \cdot {x^{\frac{3}{2}}}}}}} = \sqrt[4]{{x \cdot \sqrt[3]{{{x^{\frac{7}{2}}}}}}} = \sqrt[4]{{x \cdot {x^{\frac{7}{6}}}}} = \sqrt[4]{{{x^{\frac{{13}}{6}}}}} = {x^{\frac{{13}}{{24}}}}$.
Câu 26. Cho a là số thực dương. Viết và rút gọn biểu thức ${a^{\frac{3}{{2024}}}} \cdot \sqrt[{2024}]{a}$ dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ. Tìm số mũ của biểu thức rút gọn đó.
A. $\frac{1}{{506}}$.
B. $\frac{1}{{2024}}$.
C. $\frac{3}{{506}}$.
D. $\frac{3}{{{{2024}^2}}}$.
Lời giải
Chọn A
${a^{\frac{3}{{2024}}}} \cdot \sqrt[{2024}]{a} = {a^{\frac{3}{{2024}}}} \cdot {a^{\frac{1}{{2024}}}} = {a^{\frac{4}{{2024}}}} = {a^{\frac{1}{{506}}}}$.
Vậy số mũ của biểu thức rút gọn bằng $\frac{1}{{506}}$.
Câu 27. Rút gọn biểu thức $P = \frac{{{a^{\sqrt 3 + 1}} \cdot {a^{2 – \sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 – 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}}$ với $a > 0$.
A. $P = a$.
B. $P = {a^3}$.
C. $P = {a^4}$.
D. $P = {a^5}$.
Lời giải
$P = \frac{{{a^{\sqrt 3 + 1}} \cdot {a^{2 – \sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 – 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}} = \frac{{{a^{\sqrt 3 + 1 + 2 – \sqrt 3 }}}}{{{a^{\left( {\sqrt 2 – 2} \right)\left( {\sqrt 2 + 2} \right)}}}} = \frac{{{a^3}}}{{{a^{ – 2}}}} = {a^5}.$
Câu 28. Rút gọn biểu thức $P = \frac{{{a^{\sqrt 3 + 1}} \cdot {a^{2 – \sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 – 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}}$ với $a > 0$
A. $P = a$
B. $P = {a^3}$
C. $P = {a^4}$
D. $P = {a^5}$
Lời giải
Chọn D
Ta có $P = \frac{{{a^{\sqrt {3 + 1} }} \cdot {a^{2 – \sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 – 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}} = \frac{{{a^3}}}{{{a^{2 – 4}}}} = {a^5}$
Câu 29. Cho biểu thức $P = \frac{{{a^{\sqrt 5 + 1}} \cdot {a^{2 – \sqrt 5 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 – 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}}$. Rút gọn $P$ được kết quả:
A. ${a^5}$.
B. $a$.
C. ${a^3}$.
D. ${a^4}$.
Lời giải
Chọn A
Ta có: $P = \frac{{{a^{\sqrt 5 + 1}} \cdot {a^{2 – \sqrt 5 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 – 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}} = \frac{{{a^{\sqrt 5 + 1 + 2 – \sqrt 5 }}}}{{{a^{\left( {\sqrt 2 – 2} \right)\left( {\sqrt 2 + 2} \right)}}}} = \frac{{{a^3}}}{{{a^{ – 2}}}} = {a^5}$.
Câu 30. Cho hai số thực dương $a,b$. Rút gọn biểu thức $A = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}}$ ta thu được $A = {a^m} \cdot {b^n}$. Tích của $m.n$ là
A. $\frac{1}{8}$
B. $\frac{1}{{21}}$
C. $\frac{1}{9}$
D. $\frac{1}{{18}}$
Lời giải
Chọn C
$A = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}} = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}} \cdot {b^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{3}}} \cdot {a^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}}$
$ = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}} \cdot {b^{\frac{1}{3}}}\left( {{b^{\frac{1}{6}}} + {a^{\frac{1}{6}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} = {a^{\frac{1}{3}}} \cdot {b^{\frac{1}{3}}}$
$ \Rightarrow m = \frac{1}{3},n = \frac{1}{3} \Rightarrow m \cdot n = \frac{1}{9}$.
Câu 31. Rút gọn biểu thức $A = \frac{{\sqrt[3]{{{a^7}}} \cdot {a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4} \cdot \sqrt[7]{{{a^{ – 5}}}}}}$ với $a > 0$ ta được kết quả $A = {a^{\frac{m}{n}}}$ trong đó $m,n \in {N^*}$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đủng?
A. ${m^2} – {n^2} = 312$.
B. ${m^2} + {n^2} = 543$.
C. ${m^2} – {n^2} = – 312$.
D. ${m^2} + {n^2} = 409$.
Lời giải
Ta có: $A = \frac{{\sqrt[3]{{{a^7}}} \cdot {a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4} \cdot \sqrt[7]{{{a^{ – 5}}}}}} = \frac{{{a^{\frac{7}{3}}} \cdot {a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4} \cdot {a^{\frac{{ – 5}}{7}}}}} = \frac{{{a^6}}}{{{a^{\frac{{23}}{7}}}}} = {a^{\frac{{19}}{7}}}$
Mà $A = {a^{\frac{m}{n}}},m,n \in {N^*}$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản
$ \Rightarrow m = 19,n = 7$
$ \Rightarrow {m^2} – {n^2} = 312$
Câu 32. Cho $a$ là số thực dương. Đơn giản biểu thức $P = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{\frac{{ – 1}}{3}}} + {a^{\frac{2}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{{ – 1}}{4}}}} \right)}}$.
A. $P = a\left( {a + 1} \right)$.
B. $P = a – 1$.
C. $P = a$.
D. $P = a + 1$.
Lời giải
$P = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{\frac{{ – 1}}{3}}} + {a^{\frac{2}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{{ – 1}}{4}}}} \right)}} = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}} \cdot {a^{\frac{{ – 1}}{3}}} + {a^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} \cdot {a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{4}}} \cdot {a^{\frac{{ – 1}}{4}}}}} = \frac{{a + {a^2}}}{{a + 1}} = \frac{{a\left( {a + 1} \right)}}{{a + 1}} = a$.
Câu 33. Cho $a,b$ là các số thực dương. Rút gọn $P = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}}b + a{b^{\frac{4}{3}}}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}$ ta được
A. $P = ab$.
B. $P = a + b$.
C. $P = {a^4}b + a{b^4}$.
D. $P = ab\left( {a + b} \right)$.
Lời giải
$P = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}}b + a{b^{\frac{4}{3}}}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} = \frac{{a \cdot {a^{\frac{1}{3}}}b + ab \cdot {b^{\frac{1}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}}} = \frac{{ab\left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}}} = ab$.
Câu 34. Cho biểu thức $\sqrt[5]{{8\sqrt {2\sqrt[3]{2}} }} = {2^{\frac{m}{n}}}$, trong đó $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Gọi $P = {m^2} + {n^2}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $P \in \left( {330;340} \right)$.
B. $P \in \left( {350;360} \right)$.
C. $P \in \left( {260;370} \right)$.
D. $P \in \left( {340;350} \right)$.
Lời giải
Chọn D
Ta có $\sqrt[3]{{8\sqrt {2\sqrt[3]{2}} }} = \sqrt[3]{{{2^3}\sqrt {2\sqrt[3]{2}} }} = {2^{\frac{3}{5}}} \cdot {2^{\frac{1}{{10}}}} \cdot {2^{\frac{1}{{30}}}} = {2^{\frac{3}{5} + \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{30}}}} = {2^{\frac{{11}}{{15}}}}$
$ \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{{11}}{{15}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 11} \\
{n = 15}
\end{array} \Rightarrow P = {m^2} + {n^2} = {{11}^2} + {{15}^2} = 346} \right.$.
Câu 35. Cho $a > 0,b > 0$, giá trị của biểu thức $T = 2{(a + b)^{ – 1}} \cdot {(ab)^{\frac{1}{2}}} \cdot {\left[ {1 + \frac{1}{4}{{\left( {\sqrt {\frac{a}{b}} – \sqrt {\frac{b}{a}} } \right)}^2}} \right]^{\frac{1}{2}}}$ bằng
A. 1 .
B. $\frac{1}{2}$.
C. $\frac{2}{3}$.
D. $\frac{1}{3}$.
Lời giải
Ta có $T = 2{(a + b)^{ – 1}} \cdot {(ab)^{\frac{1}{2}}} \cdot {\left[ {1 + \frac{1}{4}{{\left( {\sqrt {\frac{a}{b}} – \sqrt {\frac{b}{a}} } \right)}^2}} \right]^{\frac{1}{2}}}$
$ = 2{(a + b)^{ – 1}} \cdot {(ab)^{\frac{1}{2}}} \cdot {\left[ {1 + \frac{1}{4}{{\left( {\frac{{a – b}}{{\sqrt {ab} }}} \right)}^2}} \right]^{\frac{1}{2}}} = 2{(a + b)^{ – 1}} \cdot {(ab)^{\frac{1}{2}}} \cdot {\left[ {1 + \frac{{{{(a – b)}^2}}}{{4ab}}} \right]^{\frac{1}{2}}}$
$ = 2{(a + b)^{ – 1}} \cdot {(ab)^{\frac{1}{2}}} \cdot {\left[ {\frac{{{{(a + b)}^2}}}{{4ab}}} \right]^{\frac{1}{2}}} = 2\frac{1}{{a + b}} \cdot {(ab)^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{\left( {a + b} \right)}}{{2{{(ab)}^{\frac{1}{2}}}}} = 1.$
Câu 36. Tính giá trị của biểu thức $P = {(7 + 4\sqrt 3 )^{2025}}{(4\sqrt 3 – 7)^{2024}}$
A. $P = {(7 + 4\sqrt 3 )^{2024}}$
B. $P = 1$
C. $P = 7 – 4\sqrt 3 $
D. $P = 7 + 4\sqrt 3 $
Lời giải
Chọn D
$P = {(7 + 4\sqrt 3 )^{2025}}{(4\sqrt 3 – 7)^{2024}}$
$ = \left( {7 + 4\sqrt 3 } \right) \cdot {\left[ {\left( {7 + 4\sqrt 3 } \right)\left( {4\sqrt 3 – 7} \right)} \right]^{2024}}$
$ = \left( {7 + 4\sqrt 3 } \right){( – 1)^{2024}} = 7 + 4\sqrt 3 $
Câu 37. Cho hàm số $f\left( a \right) = \frac{{{a^{ – \frac{1}{3}}}\left( {\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{{{a^4}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{8}}}\left( {\sqrt[8]{{{a^3}}} – \sqrt[8]{{{a^{ – 1}}}}} \right)}}$ với $a > 0,a \ne 1$. Tính giá trị $M = f\left( {{{2025}^{2024}}} \right)$
A. $M = {2025^{1008}} – 1$
B. $M = – 1 – {2025^{1012}}$
C. $M = {2025^{2024}} – 1$
D. $M = 1 – {2025^{2024}}$
Lời giải
Chọn B
$f\left( a \right) = \frac{{{a^{ – \frac{1}{3}}}\left( {\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{{{a^4}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{8}}}\left( {\sqrt[8]{{{a^3}}} – \sqrt[8]{{{a^{ – 1}}}}} \right)}} = \frac{{1 – a}}{{\sqrt a – 1}} = – 1 – \sqrt a $ nên
$M = f\left( {{{42025}^{2024}}} \right) = – 1 – \sqrt {{{2025}^{2024}}} = – 1 – {2025^{1012}}$
Câu 38. Giá trị của biểu thức $P = \frac{{{2^3} \cdot {2^{ – 1}} + {5^{ – 3}} \cdot {5^4}}}{{{{10}^{ – 3}}:{{10}^{ – 2}} – {{(0,1)}^0}}}$ là
A. -9 .
B. -10 .
C. 10 .
D. 9 .
Lời giải
Chọn B
Ta có $P = \frac{{{2^3} \cdot {2^{ – 1}} + {5^{ – 3}} \cdot {5^4}}}{{{{10}^{ – 3}}:{{10}^{ – 2}} – {{(0,1)}^0}}} = \frac{{{2^{3 – 1}} + {5^{ – 3 + 4}}}}{{{{10}^{ – 3 + 2}} – 1}} = \frac{{4 + 5}}{{{{10}^{ – 1}} – 1}} = \frac{9}{{\frac{1}{{10}} – 1}} = – 10$.
Câu 39. Cho biểu thức $f\left( x \right) = \sqrt[3]{x}\sqrt[4]{x}\sqrt[{12}]{{{x^5}}}$. Khi đó, giá trị của $f\left( {2,7} \right)$ bằng
A. 0,027 .
B. 27 .
C. 2,7 .
D. 0,27 .
Lời giải
Chọn C.
$f\left( x \right) = \sqrt[3]{x}\sqrt[4]{x}\sqrt[{12}]{{{x^5}}} = {x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{5}{{12}}}}$$ = {x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{5}{{12}}}} = {x^1} = x$
$ \Rightarrow f\left( {2,7} \right) = 2,7$.
Câu 40. Giá trị biểu thức ${(3 + 2\sqrt 2 )^{2024}} \cdot {(\sqrt 2 – 1)^{2025}}$ bằng
A. ${(\sqrt 2 + 1)^{2025}}$.
B. ${(\sqrt 2 – 1)^{2023}}$.
C. ${(\sqrt 2 – 1)^{2025}}$.
D. ${(\sqrt 2 + 1)^{2023}}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có ${(3 + 2\sqrt 2 )^{2024}} \cdot {(\sqrt 2 – 1)^{2025}}$
$ = {\left[ {{{(\sqrt 2 + 1)}^2}} \right]^{2024}} \cdot {(\sqrt 2 – 1)^{2025}}$
$ = {(\sqrt 2 + 1)^{2024}} \cdot {(\sqrt 2 + 1)^{2024}} \cdot {(\sqrt 2 – 1)^{2024}} \cdot \left( {\sqrt 2 – 1} \right)$
$ = {(\sqrt 2 + 1)^{2024}} \cdot {\left[ {(\sqrt 2 + 1)(\sqrt 2 – 1)} \right]^{2024}} \cdot \left( {\sqrt 2 – 1} \right)$
$ = {(\sqrt 2 + 1)^{2024}} \cdot {\left( 1 \right)^{2024}} \cdot \left( {\sqrt 2 – 1} \right)$
$ = {(\sqrt 2 + 1)^{2023}} \cdot (\sqrt 2 + 1).\left( {\sqrt 2 – 1} \right)$
$ = {(\sqrt 2 + 1)^{2023}}$
Câu 41. Tính giả trị biểu thức $P = \frac{{{{(4 + 2\sqrt 3 )}^{2024}} \cdot {{(1 – \sqrt 3 )}^{2023}}}}{{{{(1 + \sqrt 3 )}^{2025}}}}$.
A. $P = – {2^{2023}}$.
B. -1 .
C. $ – {2^{2025}}$.
D. ${2^{2024}}$.
Lời giải
Chọn A
Ta có: $P = \frac{{{{(4 + 2\sqrt 3 )}^{2024}} \cdot {{(1 – \sqrt 3 )}^{2023}}}}{{{{(1 + \sqrt 3 )}^{2025}}}}$
$ = \frac{{{{\left[ {{{(1 + \sqrt 3 )}^2}} \right]}^{2024}} \cdot {{(1 – \sqrt 3 )}^{2023}}}}{{{{(1 + \sqrt 3 )}^{2025}}}}$
$ = \frac{{{{(1 + \sqrt 3 )}^{4048}} \cdot {{(1 – \sqrt 3 )}^{2023}}}}{{{{(1 + \sqrt 3 )}^{2025}}}}$
$ = {(1 + \sqrt 3 )^{4048 – 2025}} \cdot {(1 – \sqrt 3 )^{2023}}$
$ = {(1 + \sqrt 3 )^{2023}} \cdot {(1 – \sqrt 3 )^{2023}}$
$ = {\left[ {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 – \sqrt 3 } \right)} \right]^{2023}} = – {2^{2023}}$
Câu 42. Cho $a > 0,b > 0$ giá trị của biểu thức
$T = 2{(a + b)^{ – 1}}{(ab)^{\frac{1}{2}}}{\left[ {1 + \frac{1}{4}{{\left( {\sqrt {\frac{a}{b}} – \sqrt {\frac{b}{a}} } \right)}^2}} \right]^{\frac{1}{2}}}$ bằng
A. 1.
B. $\frac{1}{3}$.
C. $\frac{2}{3}$.
D. $\frac{1}{2}$.
Lời giải
Chọn A
Ta có
$T = 2{(a + b)^{ – 1}}{(ab)^{\frac{1}{2}}}{\left[ {1 + \frac{1}{4}{{\left( {\sqrt {\frac{a}{b}} – \sqrt {\frac{b}{a}} } \right)}^2}} \right]^{\frac{1}{2}}}$
$ = 2{(a + b)^{ – 1}}{(ab)^{\frac{1}{2}}}{\left[ {1 + \frac{1}{4}\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a} – 2} \right)} \right]^{\frac{1}{2}}}$
$ = 2{(a + b)^{ – 1}}{(ab)^{\frac{1}{2}}}{\left( {\frac{a}{{4b}} + \frac{b}{{4a}} + \frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{2}}}$
$ = 2{(a + b)^{ – 1}}{(ab)^{\frac{1}{2}}}{\left[ {\frac{{{a^2} + {b^2} + 2ab}}{{4ab}}} \right]^{\frac{1}{2}}}$
$ = 2{(a + b)^{ – 1}}{(ab)^{\frac{1}{2}}}\frac{{\left( {a + b} \right)}}{{2{{(ab)}^{\frac{1}{2}}}}} = 1$.
Câu 43. So sánh ba số: ${(0,2)^{0,3}},{(0,7)^{3,2}}$ và ${\sqrt 3 ^{0,3}}$.
A. ${(0,7)^{3,2}} < {(0,2)^{0,3}} < {\sqrt 3 ^{0,3}}$.
B. ${(0,2)^{0,3}} < {(0,7)^{3,2}} < {\sqrt 3 ^{0,3}}$.
C. ${\sqrt 3 ^{0,3}} < {(0,2)^{0,3}} < {(0,7)^{3,2}}$.
D. ${(0,2)^{0,3}} < {\sqrt 3 ^{0,3}} < {(0,7)^{3,2}}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có $0,2 < \sqrt 3 \Rightarrow {(0,2)^{0,3}} < {\sqrt 3 ^{0,3}}$ nên loại đáp án
Câu 44. Cho $a,b > 0$ thỏa mãn ${a^{\frac{1}{2}}} > {a^{\frac{1}{3}}},{b^{\frac{2}{3}}} > {b^{\frac{3}{4}}}$. Khi đó khẳng định nào đúng?
A. $0 < a < 1,0 < b < 1$.
B. $0 < a\left\langle {1,b} \right\rangle 1$.
C. $a > 1,0 < b < 1$.
D. $a > 1,b > 1$.
Lời giải
Chọn C
Ta có
${a^{\frac{1}{2}}} > {a^{\frac{1}{3}}} \Leftrightarrow \frac{1}{2}lna > \frac{1}{3}lna \Leftrightarrow \frac{1}{6}lna > 0 \Leftrightarrow a > 1$
${b^{\frac{2}{3}}} > {b^{\frac{3}{4}}} \Leftrightarrow \frac{2}{3}lnb > \frac{3}{4}lnb \Leftrightarrow 0 > \frac{1}{{12}}lnb \Leftrightarrow 0 < b < 1$
Luu ý: Ta có thể sử dụng máy tính Casio để thử các đáp án bằng cách cho $a,b$ các giá trị cụ thể.
Câu 45. So sánh ba số $a = {1000^{1001}},b = {2^{{2^{64}}}}$ và $c = {1^1} + {2^2} + {3^3} + \ldots + {1000^{1000}}$ ?
A. $c < a < b$.
B. $b < a < c$.
C. $c < b < a$.
D. $a < c < b$.
Lời giải
Chọn A
Ta có: ${1^1} < {1000^{1000}};{2^2} < {1000^{1000}} \ldots {..999^{999}} < {1000^{1000}}$
$ \Rightarrow c = {1^1} + {2^2} + {3^3} + \ldots + {1000^{1000}} < {1000.1000^{1000}} \Leftrightarrow c < a$
Mặt khác: ${2^{10}} > 1000$
$ \Rightarrow {2^{64}} \cdot ln2 = \frac{{{2^4}}}{{10}} \cdot {\left( {{2^{10}}} \right)^6} \cdot ln{2^{10}} > {1000^6} \cdot ln1000 > 1001 \cdot ln1000 \Rightarrow {2^{{2^{64}}}} > {1000^{1001}} \Leftrightarrow a < b$
Vậy $c < a < b$.
