Trắc nghiệm bài 18 Lũy thừa với mũ số thực mức thông hiểu giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Câu 1. Cho $x,y > 0$ và $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$. Tìm đẳng thức sai dưới đây.
A. ${(xy)^\alpha } = {x^\alpha } \cdot {y^\alpha }$.
B. ${x^\alpha } + {y^\alpha } = {(x + y)^\alpha }$.
C. ${\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha \beta }}$.
D. ${x^\alpha } \cdot {x^\beta } = {x^{\alpha + \beta }}$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có: Theo tính chất của lũy thừa thì đẳng thức ${x^\alpha } + {y^\alpha } = {(x + y)^\alpha }$ Sai.
Câu 2. Cho các số thực $a,b,m,n(a,b > 0)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$.
B. ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m + n}}$.
C. ${(a + b)^m} = {a^m} + {b^m}$.
D. ${a^m} \cdot {a^n} = {a^{m + n}}$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có: $\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m – n}} \Rightarrow $ Loại A
${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m \cdot n}} \Rightarrow $Loại B
${(1 + 1)^2} \ne {1^2} + {1^2} \Rightarrow $ Loại $C$
${a^m} \cdot {a^n} = {a^{m + n}} \Rightarrow $ Chọn D
Câu 3. Với $\alpha $ là số thực bất kì, mệnh đề nào sau đây sai?
A. $\sqrt {{{10}^\alpha }} = {(\sqrt {10} )^\alpha }$.
B. $\sqrt {{{10}^\alpha }} = {10^{\frac{\alpha }{2}}}$.
C. ${\left( {{{10}^\alpha }} \right)^2} = {(100)^\alpha }$.
D. ${\left( {{{10}^\alpha }} \right)^2} = {(10)^{{\alpha ^2}}}$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có: Theo định nghĩa và các tính chất của lũy thừa, ta thấy $A,B,C$ là các mệnh đề đúng.
Xét mệnh đề $D$ : với $\alpha = 1$, ta có: ${\left( {{{10}^1}} \right)^2} = 100 \ne {(10)^{{1^2}}} = 10$ nên mệnh đề $D$ sai.
Câu 4. Rút gọn biểu thức $Q = {B^{\frac{5}{3}}}:\sqrt[3]{B}$ với $B > 0$.
A. $Q = {B^{ – \frac{4}{3}}}$
B. $Q = {B^{\frac{4}{3}}}$
C. $Q = {B^{\frac{5}{9}}}$
D. $Q = {B^2}$
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $Q = {B^{\frac{5}{3}}}:\sqrt[3]{B} = {B^{\frac{5}{3}}}:{B^{\frac{1}{3}}} = {B^{\frac{4}{3}}}$
Câu 5. Rút gọn biểu thức $P = {x^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[6]{x}$ với $x > 0$.
A. $P = \sqrt x $
B. $P = {x^{\frac{1}{8}}}$
C. $P = {x^{\frac{2}{9}}}$
D. $P = {x^2}$
Lời giải
Chọn A.
Ta có: $P = {x^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[6]{x} = {x^{\frac{1}{3}}} \cdot {x^{\frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt x $
Câu 6. Cho biểu thức $P = {x^{\frac{1}{2}}} \cdot {x^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[6]{x}$ với $x > 0$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $P = x$
B. $P = {x^{\frac{{11}}{6}}}$
C. $P = {x^{\frac{7}{6}}}$
D. $P = {x^{\frac{5}{6}}}$
Lời giải
Chọn A.
Ta có: $P = {x^{\frac{1}{2}}} \cdot {x^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[6]{x} = {x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}}} = x$
Câu 7. Cho biểu thức $P = \sqrt[4]{{x \cdot \sqrt[3]{{{x^2} \cdot \sqrt {{x^3}} }}}}$, với $x > 0$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $P = {x^{\frac{2}{3}}}$
B. $P = {x^{\frac{1}{2}}}$
C. $P = {x^{\frac{{13}}{{24}}}}$
D. $P = {x^{\frac{1}{4}}}$
Lời giải
Chọn C.
Ta có, với $x > 0:P = \sqrt[4]{{x \cdot \sqrt[3]{{{x^2} \cdot \sqrt {{x^3}} }}}} = \sqrt[4]{{x \cdot \sqrt[3]{{{x^2} \cdot {x^{\frac{3}{2}}}}}}} = \sqrt[4]{{x \cdot \sqrt[3]{{{x^{\frac{7}{2}}}}}}} = \sqrt[4]{{x \cdot {x^{\frac{7}{6}}}}} = \sqrt[4]{{{x^{\frac{{13}}{6}}}}} = {x^{\frac{{13}}{{24}}}}$.
Câu 8. Cho a là số thực dương. Viết và rút gọn biểu thức ${a^{\frac{3}{{2024}}}} \cdot \sqrt[{2024}]{a}$ dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ. Tìm số mũ của biểu thức rút gọn đó.
A. $\frac{1}{{506}}$.
B. $\frac{1}{{1009}}$.
C. $\frac{3}{{1009}}$.
D. $\frac{3}{{{{2024}^2}}}$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: ${a^{\frac{3}{{2024}}}} \cdot \sqrt[{2024}]{a} = {a^{\frac{3}{{2024}}}} \cdot {a^{\frac{1}{{2024}}}} = {a^{\frac{4}{{2024}}}} = {a^{\frac{1}{{506}}}}$.
Vậy số mũ của biểu thức rút gọn bằng $\frac{1}{{506}}$.
Câu 9. Biểu thức $P = \sqrt[3]{{x\sqrt[5]{{{x^2}\sqrt x }}}} = {x^\alpha }$ (với $x > 0$ ), giá trị của $\alpha $ là
A. $\frac{1}{2}$.
B. $\frac{5}{2}$.
C. $\frac{9}{2}$.
D. $\frac{3}{2}$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: $P = \sqrt[3]{{x\sqrt[5]{{{x^2}\sqrt x }}}} = \sqrt[3]{{x\sqrt[5]{{{x^2} \cdot {x^{\frac{1}{2}}}}}}} = \sqrt[3]{{x \cdot {{\left( {{x^{\frac{5}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{5}}}}} = {\left( {{x^{\frac{3}{2}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} = {x^{\frac{1}{2}}} \Rightarrow \alpha = \frac{1}{2}$.
Câu 10. Cho biểu thức $P = \sqrt[3]{{x \cdot \sqrt[4]{{{x^3}\sqrt x }}}}$, với $x > 0$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $P = {x^{\frac{1}{2}}}$.
B. $P = {x^{\frac{7}{{12}}}}$.
C. $P = {x^{\frac{5}{8}}}$.
D. $P = {x^{\frac{7}{{24}}}}$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: $P = \sqrt[3]{{x \cdot \sqrt[4]{{{x^3}\sqrt x }}}} = {x^{\frac{5}{8}}}$
Câu 11. Cho biểu thức $P = {x^{ – \frac{3}{4}}} \cdot \sqrt {\sqrt {{x^5}} } ,x > 0$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $P = {x^{ – 2}}$
B. $P = {x^{ – \frac{1}{2}}}$
C. $P = {x^{\frac{1}{2}}}$
D. $P = {x^2}$
Lời giải
Chọn C.
Ta có $P = {x^{ – \frac{3}{4}}} \cdot \sqrt {\sqrt {{x^5}} } = {x^{ – \frac{3}{4}}} \cdot {x^{\frac{5}{4}}} = {x^{ – \frac{3}{4} + \frac{5}{4}}} = {x^{\frac{1}{2}}}$.
Câu 12. Cho biểu thức $\sqrt[5]{{8\sqrt {2\sqrt[3]{2}} }} = {2^{\frac{m}{n}}}$, trong đó $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Gọi $P = {m^2} + {n^2}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $P \in \left( {330;340} \right)$.
B. $P \in \left( {350;360} \right)$.
C. $P \in \left( {260;370} \right)$.
D. $P \in \left( {340;350} \right)$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có: $\sqrt[5]{{8\sqrt {2\sqrt[3]{2}} }} = \sqrt[5]{{{2^3}\sqrt {2\sqrt[3]{2}} }} = {2^{\frac{3}{5}}} \cdot {2^{\frac{1}{{10}}}} \cdot {2^{\frac{1}{{30}}}} = {2^{\frac{3}{5} + \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{30}}}} = {2^{\frac{{11}}{{15}}}}$
$ \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{{11}}{{15}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 11} \\
{n = 15}
\end{array} \Rightarrow P = {m^2} + {n^2} = {{11}^2} + {{15}^2} = 346} \right.$.
Câu 13. Giá trị của biểu thức $P = \frac{{{2^3} \cdot {2^{ – 1}} + {5^{ – 3}} \cdot {5^4}}}{{{{10}^{ – 3}}:{{10}^{ – 2}} – {{(0,1)}^0}}}$ là
A. -9 .
B. -10 .
C. 10 .
D. 9 .
Lời giải
Chọn B.
Ta có $P = \frac{{{2^3} \cdot {2^{ – 1}} + {5^{ – 3}} \cdot {5^4}}}{{{{10}^{ – 3}}:{{10}^{ – 2}} – {{(0,1)}^0}}} = \frac{{{2^{3 – 1}} + {5^{ – 3 + 4}}}}{{{{10}^{ – 3 + 2}} – 1}} = \frac{{4 + 5}}{{{{10}^{ – 1}} – 1}} = \frac{9}{{\frac{1}{{10}} – 1}} = – 10$. .
Câu 14. Cho biểu thức $P = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} }}}}$. Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là đúng?
A. $P = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{8}}}$.
B. $P = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{18}}$.
C. $P = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{{18}}}}$.
D. $P = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{2}}}$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có: $P = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} }}}} = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} + 1}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{2}}}$.
Câu 15. Tính giá trị của biểu thức $P = {(7 + 4\sqrt 3 )^{2023}}{(4\sqrt 3 – 7)^{2022}}$
A. $P = {(7 + 4\sqrt 3 )^{2016}}$
B. $P = 1$
C. $P = 7 – 4\sqrt 3 $
D. $P = 7 + 4\sqrt 3 $
Lời giải
Chọn D.
Ta có: $P = {(7 + 4\sqrt 3 )^{2023}}{(4\sqrt 3 – 7)^{2022}} = \left( {7 + 4\sqrt 3 } \right) \cdot {[\left( {7 + 4\sqrt 3 } \right)\left( {4\sqrt 3 – 7} \right)]^{2022}}$
$ = \left( {7 + 4\sqrt 3 } \right){( – 1)^{2022}} = 7 + 4\sqrt 3 $.
Câu 16. Tính giá trị biểu thức $P = \frac{{{{(4 + 2\sqrt 3 )}^{2024}} \cdot {{(1 – \sqrt 3 )}^{2023}}}}{{{{(1 + \sqrt 3 )}^{2025}}}}$.
A. $P = – {2^{2023}}$.
B. $P = – 1$.
C. $P = – {2^{2025}}$.
D. $P = {2^{2024}}$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: $P = \frac{{{{(1 + \sqrt 3 )}^{2.2024}} \cdot {{(1 – \sqrt 3 )}^{2023}}}}{{{{(1 + \sqrt 3 )}^{2025}}}} = {[\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 – \sqrt 3 } \right)]^{2023}} = – {2^{2023}}$.
Câu 17. Giá trị biểu thức ${(3 + 2\sqrt 2 )^{2024}} \cdot {(\sqrt 2 – 1)^{2025}}$ bằng
A. ${(\sqrt 2 + 1)^{2024}}$.
B. ${(\sqrt 2 – 1)^{2024}}$.
C. ${(\sqrt 2 – 1)^{2023}}$.
D. ${(\sqrt 2 + 1)^{2023}}$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có ${(3 + 2\sqrt 2 )^{2024}} \cdot {(\sqrt 2 – 1)^{2025}} = {\left[ {{{(\sqrt 2 + 1)}^2}} \right]^{2024}} \cdot {(\sqrt 2 – 1)^{2025}}$
$ = {(\sqrt 2 + 1)^{2024}} \cdot {(\sqrt 2 + 1)^{2024}} \cdot {(\sqrt 2 – 1)^{2024}} \cdot \left( {\sqrt 2 – 1} \right)$
$ = {(\sqrt 2 + 1)^{2024}} \cdot {[\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {\sqrt 2 – 1} \right)]^{2024}}.\left( {\sqrt 2 – 1} \right)$
$ = {(\sqrt 2 + 1)^{2024}}\left( {\sqrt 2 – 1} \right)$
$ = {(\sqrt 2 + 1)^{2023}}.(\sqrt 2 + 1).\left( {\sqrt 2 – 1} \right) = {(\sqrt 2 + 1)^{2023}}$
Câu 18. Rút gọn biểu thức $A = \frac{{\sqrt[3]{{{a^7}}} \cdot {a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4} \cdot \sqrt[7]{{{a^{ – 5}}}}}}$ với $a > 0$ ta được kết quả $A = {a^{\frac{m}{n}}}$ trong đó $m,n \in {N^{\text{*}}}$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. ${m^2} – {n^2} = 312$.
B. ${m^2} + {n^2} = 543$.
C. ${m^2} – {n^2} = – 312$.
D. ${m^2} + {n^2} = 409$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: $A = \frac{{\sqrt[3]{{{a^7}}} \cdot {a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4} \cdot \sqrt[7]{{{a^{ – 5}}}}}} = \frac{{{a^{\frac{7}{3}}} \cdot {a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4} \cdot {a^{\frac{{ – 5}}{7}}}}} = \frac{{{a^6}}}{{{a^{\frac{{23}}{7}}}}} = {a^{\frac{{19}}{7}}}$
Mà $A = {a^{\frac{m}{n}}},m,n \in {N^{\text{*}}}$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản
$ \Rightarrow m = 19,n = 7$
$ \Rightarrow {m^2} – {n^2} = 312$
Câu 19. Cho biểu thức $P = \frac{{{a^{\sqrt 5 + 1}} \cdot {a^{2 – \sqrt 5 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 – 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}}$. Rút gọn $P$ được kết quả:
A. ${a^5}$.
B. $a$.
C. ${a^3}$.
D. ${a^4}$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: $P = \frac{{{a^{\sqrt 5 + 1}} \cdot {a^{2 – \sqrt 5 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 – 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}} = \frac{{{a^{\sqrt 5 + 1 + 2 – \sqrt 5 }}}}{{{a^{\left( {\sqrt 2 – 2} \right)\left( {\sqrt 2 + 2} \right)}}}} = \frac{{{a^3}}}{{{a^{ – 2}}}} = {a^5}$.
Câu 20. Rút gọn biểu thức $P = \frac{{{a^{\sqrt 3 + 1}} \cdot {a^{2 – \sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 – 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}}$ với $a > 0$.
A. $P = a$.
B. $P = {a^3}$.
C. $P = {a^4}$.
D. $P = {a^5}$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có: $P = \frac{{{a^{\sqrt 3 + 1}} \cdot {a^{2 – \sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 – 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}} = \frac{{{a^{\sqrt 3 + 1 + 2 – \sqrt 3 }}}}{{{a^{\left( {\sqrt 2 – 2} \right)\left( {\sqrt 2 + 2} \right)}}}} = \frac{{{a^3}}}{{{a^{ – 2}}}} = {a^5}$.
Câu 21. Rút gọn biểu thức $P = \frac{{{a^{\sqrt 3 + 1}} \cdot {a^{2 – \sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 – 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}}$ với $a > 0$
A. $P = a$
B. $P = {a^3}$
C. $P = {a^4}$
D. $P = {a^5}$
Lời giải
Chọn D.
Ta có $P = \frac{{{a^{\sqrt 3 + 1}} \cdot {a^{2 – \sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 – 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}} = \frac{{{a^3}}}{{{a^{2 – 4}}}} = {a^5}$
Câu 22. Cho $a > 0,b > 0$, giá trị của biểu thức $T = 2{(a + b)^{ – 1}} \cdot {(ab)^{\frac{1}{2}}} \cdot {\left[ {1 + \frac{1}{4}{{\left( {\sqrt {\frac{a}{b}} – \sqrt {\frac{b}{a}} } \right)}^2}} \right]^{\frac{1}{2}}}$ bằng
A. 1 .
B. $\frac{1}{2}$.
C. $\frac{2}{3}$.
D. $\frac{1}{3}$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
$T = 2{(a + b)^{ – 1}} \cdot {(ab)^{\frac{1}{2}}} \cdot {\left[ {1 + \frac{1}{4}{{\left( {\sqrt {\frac{a}{b}} – \sqrt {\frac{b}{a}} } \right)}^2}} \right]^{\frac{1}{2}}}$
$ = 2{(a + b)^{ – 1}} \cdot {(ab)^{\frac{1}{2}}} \cdot {\left[ {1 + \frac{1}{4}{{\left( {\frac{{a – b}}{{\sqrt {ab} }}} \right)}^2}} \right]^{\frac{1}{2}}} $
$= 2{(a + b)^{ – 1}} \cdot {(ab)^{\frac{1}{2}}} \cdot {\left[ {1 + \frac{{{{(a – b)}^2}}}{{4ab}}} \right]^{\frac{1}{2}}}$
$ = 2{(a + b)^{ – 1}} \cdot {(ab)^{\frac{1}{2}}} \cdot {\left[ {\frac{{{{(a + b)}^2}}}{{4ab}}} \right]^{\frac{1}{2}}} $
$= 2\frac{1}{{a + b}} \cdot {(ab)^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{\left( {a + b} \right)}}{{2{{(ab)}^{\frac{1}{2}}}}} = 1$.
Câu 23. Cho hai số thực dương $a,b$. Rút gọn biểu thức $A = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}}$ ta thu được $A = {a^m}.{b^n}$. Tích của m.n là
A. $\frac{1}{8}$
B. $\frac{1}{{21}}$
C. $\frac{1}{9}$
D. $\frac{1}{{18}}$
Lời giải
Chọn C.
Ta có:
$A = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}} $
$= \frac{{{a^{\frac{1}{3}}} \cdot {b^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{3}}} \cdot {a^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} $
$= \frac{{{a^{\frac{1}{3}}} \cdot {b^{\frac{1}{3}}}\left( {{b^{\frac{1}{6}}} + {a^{\frac{1}{6}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} $
$= {a^{\frac{1}{3}}} \cdot {b^{\frac{1}{3}}}$
$ \Rightarrow m = \frac{1}{3},n = \frac{1}{3} \Rightarrow m \cdot n = \frac{1}{9}$.
Câu 24. Cho $a,b$ là các số thực dương. Rút gọn $P = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}}b + a{b^{\frac{4}{3}}}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}$ ta được
A. $P = ab$.
B. $P = a + b$.
C. $P = {a^4}b + a{b^4}$.
D. $P = ab\left( {a + b} \right)$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: $P = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}}b + a{b^{\frac{4}{3}}}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} = \frac{{a \cdot {a^{\frac{1}{3}}}b + ab \cdot {b^{\frac{1}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}}} = \frac{{ab\left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}}} = ab$
Câu 25. Cho a là số thực dương. Đơn giản biểu thức $P = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{\frac{{ – 1}}{3}}} + {a^{\frac{2}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{{ – 1}}{4}}}} \right)}}$.
A. $P = a\left( {a + 1} \right)$.
B. $P = a – 1$.
C. $P = a$.
D. $P = a + 1$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có:
$P = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{\frac{{ – 1}}{3}}} + {a^{\frac{2}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{{ – 1}}{4}}}} \right)}} = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}} \cdot {a^{\frac{{ – 1}}{3}}} + {a^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} \cdot {a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{4}}} \cdot {a^{\frac{{ – 1}}{4}}}}} = \frac{{a + {a^2}}}{{a + 1}} = \frac{{a\left( {a + 1} \right)}}{{a + 1}} = a$.
Câu 26. Cho hàm số $f\left( a \right) = \frac{{{a^{ – \frac{1}{3}}}\left( {\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{{{a^4}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{8}}}\left( {\sqrt[8]{{{a^3}}} – \sqrt[8]{{{a^{ – 1}}}}} \right)}}$ với $a > 0,a \ne 1$. Tính giá trị $M = f\left( {{{2023}^{2022}}} \right)$
A. $M = {2023^{1011}} – 1$
B. $M = – {2023^{1011}} – 1$
C. $M = {2023^{2022}} – 1$
D. $M = 1 – {2023^{2022}}$
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $f\left( a \right) = \frac{{{a^{ – \frac{1}{3}}}\left( {\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{{{a^4}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{8}}}\left( {\sqrt[8]{{{a^3}}} – \sqrt[8]{{{a^{ – 1}}}}} \right)}} = \frac{{1 – a}}{{\sqrt a – 1}} = – 1 – \sqrt a $ nên $M = f\left( {{{2023}^{2022}}} \right) = – 1 – \sqrt {{{2023}^{2022}}} = – 1 – {2023^{1011}}$
Câu 27. Cho $a,b$ là hai số thực dương. Rút gọn biểu thức có dạng $\frac{{{{\left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}^2}}}{{2 + \sqrt[3]{{\frac{a}{b}}} + \sqrt[3]{{\frac{b}{a}}}}} = {(ab)^{\frac{m}{n}}}$ với $m,n \in \mathbb{Z}$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản . Giá trị của $P = m + n$ là :
A. $P = 2$.
B. $P = 3$.
C. $P = 4$.
D. $P = 5$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: $\frac{{{{\left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}^2}}}{{2 + \sqrt[3]{{\frac{a}{b}}} + \sqrt[3]{{\frac{b}{a}}}}} = \frac{{{{\left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}^2}{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}}}{{2{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} + {a^{\frac{2}{3}}} + {b^{\frac{2}{3}}}}}$
$ = \frac{{{{\left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}^2}{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}}}{{{{\left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}^2}}} = {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} = {(ab)^{\frac{1}{3}}}$
$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 1} \\
{n = 3}
\end{array} \Rightarrow P = m + n = 4} \right.$
Câu 28. Cho $a,b$ là hai số thực dương. Rút gọn biểu thức có dạng $\left[ {\frac{{a – b}}{{{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{4}}}}} – \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} – {b^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}}}} \right]:{\left( {{a^{\frac{1}{4}}} – {b^{\frac{1}{4}}}} \right)^{ – 1}} = {\left( {\frac{b}{a}} \right)^{\frac{m}{n}}}$ với $m,n \in \mathbb{Z}$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản . Giá trị của $P = 2m + 3n$ là :
A. $P = 8$.
B. $P = 10$.
C. $P = 7$.
D. $P = 5$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: $C = \left[ {\frac{{a – b}}{{{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{4}}}}} – \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} – {b^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}}}} \right]:\left( {{a^{\frac{1}{4}}} – {b^{\frac{1}{4}}}} \right)$
$ = \left[ {\frac{{a – b}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}} – \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} – {b^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}}}} \right]:\left( {{a^{\frac{1}{4}}} – {b^{\frac{1}{4}}}} \right)$
$ = \frac{{a – b – a + {a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}} \cdot \frac{1}{{\left( {{a^{\frac{1}{4}}} – {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}} = \frac{{{b^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{2}}}}}\left( {\frac{{{a^{\frac{1}{2}}} – {b^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{2}}} – {b^{\frac{1}{2}}}}}} \right) = {\left( {\frac{b}{a}} \right)^{\frac{1}{2}}}$
$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m = 1} \\
{n = 2}
\end{array} \Rightarrow P = 2m + 3n = 8} \right.$
Câu 29. Cho $a,b$ là hai số thực dương. Rút gọn biểu thức có dạng $\left( {\frac{{{a^{\frac{1}{2}}} + 2}}{{a + 2{a^{\frac{1}{2}}}}} – \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} – 1}}{{a – 1}}} \right)\left( {\frac{{{a^{\frac{1}{2}}} + 1}}{{{a^{\frac{1}{2}}}}}} \right) = {a^{\frac{m}{n}}}$ với $m,n \in \mathbb{Z}$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản . Giá trị của $P = m \cdot n$ là :
A. $P = 2$.
B. $P = – 3$.
C. $P = – 2$.
D. $P = 4$.
Lời giải
Chọn C.
$\left( {\frac{{{a^{\frac{1}{2}}} + 2}}{{a + 2{a^{\frac{1}{2}}}}} – \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} – 1}}{{a – 1}}} \right)\left( {\frac{{{a^{\frac{1}{2}}} + 1}}{{{a^{\frac{1}{2}}}}}} \right)$
$ = \left[ {\frac{{\sqrt a + 2}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 2} \right)}} – \frac{{\sqrt a – 1}}{{\left( {\sqrt a – 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}} \right] \cdot \left( {\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a }}} \right)$
$\; = \left[ {\frac{1}{{\sqrt a }} – \frac{1}{{\sqrt a + 1}}} \right] \cdot \left( {\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a }}} \right)$
$\; = \left( {\frac{{\sqrt a + 1 – 1}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)}}} \right) \cdot \left( {\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a }}} \right)$
$ = \left( {\frac{1}{{\sqrt a + 1}}} \right) \cdot \left( {\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a }}} \right) = \frac{1}{{\sqrt a }} = {a^{ – \frac{1}{2}}}$
$\; \Rightarrow P = m \cdot n = – 2$
Câu 30. Cho $a,x$ là hai số thực dương. Rút gọn biểu thức có dạng $\frac{{\frac{{a + x}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} – \sqrt[3]{{{x^2}}}}} – \frac{{\sqrt[3]{{a{x^2}}} – \sqrt[3]{{{a^2}x}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} – \sqrt[3]{{ax}} + \sqrt[3]{{{x^2}}}}}}}{{\sqrt[6]{a} – \sqrt[6]{x}}} – \sqrt[6]{x} = {a^{\frac{m}{n}}}$ với $m,n \in \mathbb{Z}$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản . Giá trị của $P = 2m + n$ là :
A. $P = 8$.
B. $P = 10$.
C. $P = 7$.
D. $P = 5$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: $\frac{{\frac{{a + x}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} – \sqrt[3]{{{x^2}}}}} – \frac{{\sqrt[3]{{a{x^2}}} – \sqrt[3]{{{a^2}x}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} – \sqrt[3]{{ax}} + \sqrt[3]{{{x^2}}}}}}}{{\sqrt[6]{a} – \sqrt[6]{x}}} – \sqrt[6]{x}$ $ = \frac{{{{(\sqrt[3]{a})}^3} + {{(\sqrt[3]{x})}^3}}}{{\left( {\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{x}} \right)\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{x}} \right)}} – \frac{{\sqrt[3]{{ax}}\left( {\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{x}} \right)}}{{{{(\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{x})}^2}}} – \sqrt[6]{x}$
$ = \frac{{\frac{{{{(\sqrt[3]{a})}^2} – \sqrt[3]{{ax}} + {{(\sqrt[3]{x})}^2}}}{{\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{x}}} – \frac{{\sqrt[3]{{ax}}}}{{\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{x}}} – \sqrt[6]{x}}}{{\sqrt[6]{a} – \sqrt[6]{x}}}$
$ = \frac{{{{(\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{x})}^2}}}{{\left( {\sqrt[6]{a} – \sqrt[6]{x}} \right)\left( {\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{x}} \right)}} – \sqrt[6]{x}$
$ = \frac{{\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{x}}}{{\sqrt[6]{a} – \sqrt[6]{x}}} – \sqrt[6]{x} = \frac{{{{(\sqrt[6]{a})}^2} – {{(\sqrt[6]{x})}^2}}}{{\sqrt[6]{a} – \sqrt[6]{x}}} – \sqrt[6]{x}$
$ = \sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{x} – \sqrt[6]{x} = {a^{\frac{1}{6}}}$
$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 1} \\
{n = 6}
\end{array} \Rightarrow P = 2m + n = 8} \right.$
