Các dạng toán về thể tích khối lăng trụ lớp 11 giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Dạng 1: Thể tích của khối lăng trụ đứng
Phương pháp:
+ Thể tích khối lăng trụ $V = S.h$ với $S$ là diện tích đa giác đáy, $h$ là chiều cao của khối lăng trụ.
+ Lăng trụ đứng là lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy.
+ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
Câu 1. Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$ và $AA’ = \sqrt 2 a$. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
Lời giải
Ta có: $A’A \bot (ABC)$
$ \Rightarrow {V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.A’A$
Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$$ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{{(canh)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$.
Vậy, thể tích của khối lăng trụ đã cho là: ${V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.AA’ = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a\sqrt 2 = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}$.
Câu 2. Cho khối lăng trụ đứng$ABC.A’B’C’$ có đáy là tam giác đều cạnh $2a$ và góc giữa$A’B$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng ${30^0}$. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho
Lời giải
Ta có: $A’A \bot (ABC)$
$ \Rightarrow {V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.A’A$
Tam giác $ABC$ đều cạnh $2a$ $ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{{(cạnh)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 $
Ta có: $AB$ là hình chiếu của $A’B$ lên $(ABC)$
$ \Rightarrow \left( {\widehat {A’B,\,(ABC)}} \right) = \left( {\widehat {A’B,\,AB}} \right) = \widehat {A’BA} = {30^0}$
Tam giác $A’AB$ vuông tại $A$ có $\tan \widehat {A’BA} = \frac{{A’B}}{{AB}} \Rightarrow A’B = AB.\tan \widehat {A’BA}$
$ = 2a.\tan {30^0} = 2a.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$
Vậy, thể tích của khối lăng trụ đã cho là: ${V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.AA’ = {a^2}\sqrt 3 .\frac{{2a\sqrt 3 }}{3} = 2{a^3}$.
Câu 3. Cho khối lăng trụ đứng$ABC.A’B’C’$ có đáy là tam giác vuông tại $B$; $BA = a;\,BC = a\sqrt 3 $ và $AA’ = a\sqrt 2 $. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
Lời giải
Ta có: $A’A \bot (ABC)$
$ \Rightarrow {V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.A’A$
Tam giác $ABC$ vuông tại $B$$ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}.a.a\sqrt 3 = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$
Vậy, thể tích của khối lăng trụ đã cho là: ${V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.AA’ = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.a\sqrt 2 = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}$.
Câu 4. Cho khối lăng trụ đứng$ABC.A’B’C’$ có $AA’ = a\sqrt 3 $; $CA = a;\,CB = 2a$ và $\widehat {ACB} = {120^0}$. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
Lời giải
Ta có: $A’A \bot (ABC)$
$ \Rightarrow {V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.A’A$
${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}CA.CB.\sin \widehat {ACB}$
$ = \frac{1}{2}.a.2a.\sin {120^0} = {a^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$
Vậy, thể tích của khối lăng trụ đã cho là: ${V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.AA’ = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.a\sqrt 3 = \frac{{3{a^3}}}{2}$.
Câu 5. Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có $BB’ = a$, đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ và $AC = a\sqrt 2 $. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho.
Lời giải
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ $ \Rightarrow AB = BC = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = a$.
Suy ra: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}{a^2}$.
Khi đó: ${V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{ABC}}.BB’ = \frac{1}{2}{a^2}.a = \frac{{{a^3}}}{2}$.
Câu 6. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$, $AB = a$ và $A’B = a\sqrt 3 $. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho.
Lời giải
Ta có $AA’ = \sqrt {A'{B^2} – A{B^2}} = a\sqrt 2 $, ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}A{B^2} = \frac{{{a^2}}}{2}$.
Thể tích khối lăng trụ là $V = AA’.{S_{ABC}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}$.
Câu 7. Tính thể tích $V$của khối lập phương$ABCD.A’B’C’D’$, biết $AC’ = 2a\sqrt 3 $.
Lời giải
Gọi $x$ là độ dài cạnh của khối lập phương $\left( {x > 0} \right)$
Tam giác $AA’C’$ vuông tại $A’$, ta có
$A{C’^2} = A'{A^2} + A'{C’^2}$
$ \Leftrightarrow {\left( {2a\sqrt 3 } \right)^2} = {x^2} + {\left( {x\sqrt 2 } \right)^2}$
$ \Leftrightarrow 12{a^2} = 3{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = 4{a^2}$
$ \Rightarrow x = 2a$.
Thể tích của khối lập phương $ABCD.A’B’C’D’$là $V = {\left( {2a} \right)^3} = 8{a^3}$.
Dạng 2: Thể tích khối lăng trụ xiên
Câu 8. Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $AA’ = \frac{{3a}}{2}$. Biết rằng hình chiếu vuông góc của $A’$ lên $\left( {ABC} \right)$ là trung điểm $BC$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đó.
Lời giải
Ta có: $A’H \bot (ABC)$
$ \Rightarrow {V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.A’H$
Tam giác $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$$ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{{(canh)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$
Tam giác $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ với $AH$ là trung tuyến$ \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
Tam giác $HAA’$ vuông tại $H$ có $A’H = \sqrt {A{{A’}^2} – A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)}^2} – {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} $
$ = \sqrt {\frac{{9{a^2}}}{4} – \frac{{3{a^2}}}{4}} = \sqrt {\frac{{6{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.$
Vậy thể tích khối lăng trụ là $V = {S_{\Delta ABC}}.A’H = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{8}$.
Câu 9. Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có tất cả các cạnh bằng $a$, các cạnh bên tạo với đáy góc $60^\circ $. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$.
Lời giải
Kẻ $AH’ \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {\widehat {A’A,\left( {ABC} \right)}} \right) = \widehat {A’AH} = 60^\circ .$
Xét $\Delta AHA’$ có $\sin 60^\circ = \frac{{A’H}}{{AA’}} \Rightarrow A’H = AA’.\sin 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$
Thể tích khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$ là $V = {S_{\Delta ABC}}.A’H = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3{a^3}}}{8}.$
Câu 10. Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,\;AC = 2\sqrt 2 $, biết góc giữa $AC’$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng ${60^0}$ và $AC’ = 4$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$.
Lời giải
Gọi $H$ là hình chiếu của $C’$ lên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$, khi đó $C’H$ là đường cao $ \Rightarrow \left( {\widehat {AC’,\left( {ABC} \right)}} \right) = \widehat {C’AH} = {60^0}$
Xét tam giác vuông $AC’H$ ta có $C’H = C’A.\sin {60^0} = 2\sqrt 3 $
Khi đó ${V_{ABC.A’B’C}} = {S_d}.C’H = \frac{1}{2}{\left( {2\sqrt 2 } \right)^2}.2\sqrt 3 = 8\sqrt 3 $.
