Các dạng bài tập về hàm số liên tục giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Dạng 1: Hàm số liên tục tại một điểm
1. Phương pháp
Ta cần phải nắm vững định nghĩa:
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $K$và ${x_0} \in K.$ Hàm số $y = f\left( x \right)$ gọi là liên tục tại ${x_0}$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0}) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ – } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ + } f(x) = f({x_0}).$
2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho $f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {x + 2} – \sqrt {2 – x} }}{x}$ với $x \ne 0.$ Phải bổ sung thêm giá trị $f\left( 0 \right)$ bằng bao nhiêu thì hàm số liên tục tại $x = 0?$
Lời giải
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 2} – \sqrt {2 – x} }}{x}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x + 2 – 2 + x}}{{\left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {2 – x} } \right)}}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{\left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {2 – x} } \right)}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.$
Như vậy để hàm số liên tục tại $x = 0$ thì phải bổ sung thêm giá trị $f\left( 0 \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.$
Ví dụ 2: Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
a – {x^2} \,với\, x \ne 1 \, và \, a \in \mathbb{R} \hfill \\
3 & \,với\,x = 1 \hfill \\
\end{gathered} \right..$ Giá trị của a để $f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 1$ là bao nhiêu?
Lời giải
TXĐ: $D = \mathbb{R}.$ Ta có:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {a – {x^2}} \right) = a – 1.$
Để hàm số liên tục tại $x = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow a – 1 = 3 \Leftrightarrow a = 4.$
Ví dụ 3: Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^3} – x + 6}}} với\, x \ne 3 \,và\, x \ne – 2 \hfill \\
b + 3 \,với\, x = 3 \,và\, b \in \mathbb{R} \hfill \\
\end{gathered} \right..$ Tìm b để $f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 3.$
Lời giải
TXĐ: $D = \mathbb{R}.$ Ta có:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^3} – x + 6}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3};\,\,f\left( 3 \right) = b + 3.$
Để hàm số liên tục tại $x = 3 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)$
$ \Leftrightarrow b + \sqrt 3 = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow b = \frac{{ – 2\sqrt 3 }}{3}.$
Ví dụ 4: Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
a – 2 & khi x < 2 \hfill \\
\sin \frac{\pi }{x} & khi x \geqslant 2 \hfill \\
\end{gathered} \right..$ Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại $x = 2.$
Lời giải
TXĐ: $D = \mathbb{R}.$ Ta có
$f\left( 2 \right) = \sin \frac{\pi }{2} = 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \left( {a – 2} \right) = a – 2$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sin \frac{\pi }{2} = 1$
Hàm số liên tục tại $x = 2$ khi $a – 1 = 2 \Leftrightarrow a = 3.$
Ví dụ 5: Tìm số a để hàm số sau liên tục tại điểm ${x_0}.$
$f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
\frac{{\sqrt[3]{{3x + 2}} – 2}}{{x – 2}} & \,nếu\, x > 2 \hfill \\
ax + 2 & \,nếu\, x \leqslant 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$; ${x_0} = 2.$
Lời giải
TXĐ: $D = \mathbb{R}.$
Ta có:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt[3]{{3x + 2}} – 2}}{{x – 2}}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3\left( {x – 2} \right)}}{{\left( {x – 2} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{3x + 2}}} \right)}^2} + 2\sqrt[3]{{3x + 2}} + 4} \right]}} = \frac{1}{4}.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) = ax + 2 = 2a + 2.$
Lại có: $f\left( 2 \right) = 2a + 2$.
Hàm số liên tục tại ${x_0} = 2$ nếu $2a + 2 = \frac{1}{4} \Rightarrow a = – \frac{7}{8}.$
Ví dụ 6: Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
\frac{{x – 2}}{{\sqrt {x + 5} }} \,với\, – 5 < x < 4 \hfill \\
mx + 2 \,với\, x = 4 \hfill \\
\frac{{\sqrt x }}{3} \,với\, x > 4 \hfill \\
\end{gathered} \right..$ Tìm giá trị của m để $f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 4$.
Lời giải
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} \frac{{x – 2}}{{\sqrt {x + 5} }} = \frac{2}{3};\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{\sqrt x }}{3} = \frac{2}{3}.$
Và $f\left( 4 \right) = 4m + 2$
Để hàm số liên tục tại $x = 4$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = f\left( 4 \right)$
$ \Leftrightarrow 4m + 2 = \frac{2}{3} \Leftrightarrow m = – \frac{1}{3}.$
Ví dụ 7: Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
\frac{{\sqrt {{x^2} + 8} – 3}}{{{x^2} – 4x + 3}} & khi x < 1 \hfill \\
\frac{1}{6}\cos \pi x + {a^2} – x & khi x \geqslant 1 \hfill \\
\end{gathered} \right..$ Tìm giá trị của a để $f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 1$.
Lời giải
TXĐ: $D = \mathbb{R}.$
• $f\left( 1 \right) = \frac{1}{6}\cos \pi + {a^2} – 1 = – \frac{1}{6} + {a^2} – 1.$
• $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{1}{6}\cos \pi x + {a^2} – x} \right)$$ = – \frac{1}{6} + {a^2} – 1.$
• $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 8} – 3}}{{{x^2} – 4x + 3}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 8} – 3} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 8} + 3} \right)}}{{\left( {{x^2} – 4x + 3} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 8} + 3} \right)}}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{{x^2} + 8 – 9}}{{\left( {{x^2} – 4x + 3} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 8} + 3} \right)}}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x – 3} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 8} + 3} \right)}}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{x + 1}}{{\left( {x – 3} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 8} + 3} \right)}} = – \frac{1}{6}.$
Để hàm số liên tục tại $x = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$
$ \Leftrightarrow – \frac{1}{6} + {a^2} – 1 = – \frac{1}{6} \Leftrightarrow a = \pm 1.$
Dạng 2. Hàm số liên tục trên tập xác định
1. Phương pháp
• Để chứng minh hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên một khoảng, đoạn ta dùng các định nghĩa về hàm số liên tục trên khoảng, đoạn và các nhận xét để suy ra kết luận.
• Khi nói xét tính liên tục của hàm số (mà không nói rõ gì hơn) thì ta hiểu phải xét tính liên tục trên tập xác định của nó.
• Tìm các điểm gián đoạn của hàm số tức là xét xem trên tập xác định của nó hàm số không liên tục tại các điểm nào
• Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
• Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là liên tục trên đoạn $\left[ {a,b} \right]$ nếu nó liên tục trên $\left( {a,b} \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} {\mkern 1mu} f(x) = f(a){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ – }} {\mkern 1mu} f(x) = f(b){\mkern 1mu} .$
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng :
a)$f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
\frac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}}\, khi \,x \ne – 2 \hfill \\
– 4 \,khi\, x = – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
b)$f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
\frac{{{x^2} – 2}}{{x – \sqrt 2 }}\, khi\, x \ne \sqrt 2 \hfill \\
2\sqrt 2 \,khi\, x = \sqrt 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Lời giải
a) Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục với $\forall x \ne – 2$ $\left( 1 \right)$
• $\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \frac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x – 2} \right)}}{{x + 2}}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \left( {x – 2} \right) = – 2 – 2 = – 4$
• $f\left( { – 2} \right) = – 4$$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} f\left( x \right) = f\left( { – 2} \right) \Rightarrow f\left( x \right)$ liên tục tại $x = – 2$$\left( 2 \right)$
• Từ $\left( 1 \right)$và $\left( 2 \right)$ ta có $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
b) Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục với $\forall x \ne \sqrt 2 $$\left( 1 \right)$
• $\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \frac{{{x^2} – 2}}{{x – \sqrt 2 }}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \frac{{\left( {x + \sqrt 2 } \right)\left( {x – \sqrt 2 } \right)}}{{x – \sqrt 2 }}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \left( {x + \sqrt 2 } \right) = \sqrt 2 + \sqrt 2 = 2\sqrt 2 $
• $f\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 $ $ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } f\left( x \right) = f\left( {\sqrt 2 } \right) \Rightarrow f\left( x \right)$liên tục tại $x = \sqrt 2 $ $\left( 2 \right)$
• Từ $\left( 1 \right)$và $\left( 2 \right)$ ta có $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
Ví dụ 2. Tìm các giá trị của $m$ để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:
a)$f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
\frac{{{x^2} – x – 2}}{{x – 2}} \,khi\, x \ne – 2 \hfill \\
m \,khi\, x = – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
b)$f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
{x^2} + x \,khi\, x < 1 \hfill \\
2 \,kh\,i x = 1 \hfill \\
mx + 1 \,khi\, x > 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Lời giải
a) Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục với $\forall x \ne 2$.
• Do đó $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$ $\left( 1 \right)$
• Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} – x – 2}}{{x – 2}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x – 2} \right)}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 1} \right) = 2 + 1 = 3$
$f\left( 2 \right) = m$
• Khi đó $\left( 1 \right) \Leftrightarrow $$3 = m \Leftrightarrow m = 3$.
b) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {mx + 1} \right) = m + 1$
$ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \left( {{x^2} + x} \right) = 1 + 1 = 2$
$f\left( 1 \right) = 2$
• Từ $YCBT \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$
$ \Leftrightarrow m + 1 = 2 \Leftrightarrow m = 1.$
Dạng 3. Số nghiệm của phương trình trên một khoảng
1. Phương pháp
• Chứng minh phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm
– Tìm hai số a và b sao cho $f\left( a \right).f\left( b \right) < 0$
– Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$
– Phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$
• Chứng minh phương trình $f\left( x \right) = 0$có ít nhất k nghiệm
– Tìm k cặp số ${a_i},{b_i}$ sao cho các khoảng $\left( {{a_i};{b_i}} \right)$ rời nhau và
$f({a_i})f({b_i}) < 0,\,\,i = 1,…,k$
– Phương trình $f\left( x \right) = 0$có ít nhất một nghiệm ${x_i} \in \left( {{a_i};{b_i}} \right).$
• Khi phương trình $f\left( x \right) = 0$có chứa tham số thì cần chọn a, b sao cho :
– $f\left( a \right), f\left( b \right)$ không còn chứa tham số hoặc chứa tham số nhưng dấu không đổi.
– Hoặc $f\left( a \right), f\left( b \right)$còn chứa tham số nhưng tích f(a).f(b) luôn âm.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: $m\left( {x – 1} \right)\left( {x + 2} \right) + 2x + 1 = 0.$
Lời giải
Đặt $f\left( x \right) = m\left( {x – 1} \right)\left( {x + 2} \right) + 2x + 1.$
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$ nên hàm số liên tục trên $\mathbb{R}.$
Ta có: $f\left( 1 \right) = 3;\,\,f\left( { – 2} \right) = – 3 \Rightarrow f\left( 1 \right).f\left( { – 2} \right) < 0.$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm với mọi m.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:
a) $\left( {1 – {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} – x – 3 = 0$
b) $\cos x + m\cos 2x = 0$
c) $m\left( {2\cos x – \sqrt 2 } \right) = 2\sin 5x + 1$
Lời giải
a) Xét $\left[ \begin{gathered}
m = 1 \hfill \\
m = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$. Phương trình có dạng ${x^2} – x – 3 = 0$ nên PT có nghiệm
• Với $\left\{ \begin{gathered}
m \ne 1 \hfill \\
m \ne 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ giả sử $f\left( x \right) = \left( {1 – {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} – x – 3$
• $f\left( x \right)$ liên tục trên R nên $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ { – 1;0} \right]$
• Ta có $f\left( { – 1} \right) = {m^2} + 1 > 0; f\left( 0 \right) = – 1 < 0 \Rightarrow f\left( { – 1} \right).f\left( 0 \right) < 0$
• Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số $m$
b) Đặt $f\left( x \right) = \cos x + m\cos 2x \Rightarrow f\left( x \right)$ liên tục trên R
• Ta có $f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} > 0; f\left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right) = – \frac{1}{{\sqrt 2 }} < 0$$ \Rightarrow f\left( {\frac{\pi }{4}} \right).f\left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right) < 0$
• Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số $m$
c) Đặt $f\left( x \right) = m\left( {2\cos x – \sqrt 2 } \right) – 2\sin 5x – 1 \Rightarrow f\left( x \right)$ liên tục trên R
• Ta có $f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = – \sqrt 2 – 1 < 0; f\left( { – \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 – 1 > 0$$ \Rightarrow f\left( {\frac{\pi }{4}} \right).f\left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right) < 0$
• Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số $m$
Ví dụ 3. Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
a)${x^3} – 3x + 1 = 0$ b)$2x + 6\sqrt[3]{{1 – x}} = 3$
Lời giải
$\left. a \right)$ Dễ thấy hàm $f\left( x \right) = {x^3} – 3x + 1$ liên tục trên $R$.
Ta có:
• $\left\{ \begin{gathered}
f\left( { – 2} \right) = – 1 \hfill \\
f\left( { – 1} \right) = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow f\left( { – 2} \right).f\left( { – 1} \right) < 0 \Rightarrow $tồn tại một số ${a_1} \in \left( { – 2; – 1} \right):f\left( {{a_1}} \right) = 0\left( 1 \right).$
• $\left\{ \begin{gathered}
f\left( 0 \right) = 1 \hfill \\
f\left( 1 \right) = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0 \Rightarrow $ tồn tại một số ${a_2} \in \left( {0;1} \right):f\left( {{a_2}} \right) = 0\left( 2 \right).$
• $\left\{ \begin{gathered}
f\left( 1 \right) = – 1 \hfill \\
f\left( 2 \right) = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) < 0 \Rightarrow $ tồn tại một số ${a_3} \in \left( {1;2} \right):f\left( {{a_3}} \right) = 0\left( 3 \right).$
Do ba khoảng $\left( { – 2; – 1} \right), \left( {0;1} \right)$ và $\left( {1;2} \right)$ đôi một không giao nhau nên phương trình ${x^3} – 3x + 1 = 0$ có ít nhất 3 nghiệm phân biệt.
Mà phương trình bậc 3 thì chỉ có tối đa là 3 nghiệm nên ${x^3} – 3x + 1 = 0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt.
$\left. b \right)$ Đặt $\sqrt[3]{{1 – x}} = t \Leftrightarrow x = 1 – {t^3} \Rightarrow 2{t^3} – 6t + 1 = 0$.
Xét hàm số $f\left( t \right) = 2{t^3} – 6t + 1$ liên tục trên $R$.
Ta có: $\left\{ \begin{gathered}
f\left( { – 2} \right).f\left( { – 1} \right) = – 3.5 < 0 \hfill \\
f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) = 1.\left( { – 3} \right) < 0 \hfill \\
f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) = – 3.5 < 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow $ tồn tại 3 số ${t_1}, {t_2}$và ${t_3}$ lần lượt thuộc 3 khoảng đôi một không giao nhau là $\left( { – 2; – 1} \right), \left( {0;1} \right)$ và $\left( {1;2} \right)$ sao cho $f\left( {{t_1}} \right) = f\left( {{t_2}} \right) = f\left( {{t_3}} \right) = 0$ và do đây là phương trình bậc 3 nên $f\left( t \right) = 0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt.
Ứng với mỗi giá trị ${t_1}, {t_2}$và ${t_3}$ ta tìm được duy nhất một giá trị $x$ thỏa mãn $x = 1 – {t^3}$ và hiển nhiên 3 giá trị này khác nhau nên PT ban đầu có đúng 3 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 4. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:
a) ${x^5} – 3x + 3 = 0$ b) ${x^4} + {x^3} – 3{x^2} + x + 1 = 0$
Lời giải
$\left. a \right)$ Xét $f\left( x \right) = {x^5} – 3x + 3.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \Rightarrow $ tồn tại một số ${x_1} > 0$ sao cho $f\left( {{x_1}} \right) > 0.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = – \infty \Rightarrow $ tồn tại một số ${x_2} < 0$ sao cho $f\left( {{x_2}} \right) < 0.$
Từ đó $f\left( {{x_1}} \right).f\left( {{x_2}} \right) < 0 \Rightarrow $ luôn tồn tại một số ${x_0} \in \left( {{x_2};{x_1}} \right):f\left( {{x_0}} \right) = 0$ nên phương trình ${x^5} – 3x + 3 = 0$ luôn có nghiệm.
$\left. b \right)$ Xét $f\left( x \right) = {x^4} + {x^3} – 3{x^2} + x + 1$ liên tục trên $R$
Ta có: $f\left( { – 1} \right) = – 3 < 0$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \Rightarrow $ tồn tại một số $a > 0$ sao cho $f\left( a \right) > 0$.
$ \Rightarrow {x^2} – x – 3 = 0$ nên luôn tồn tại một số ${x_0} \in \left( {0;a} \right)$ thỏa mãn $f\left( {{x_0}} \right) = 0$ nên phương trình ${x^4} + {x^3} – 3{x^2} + x + 1 = 0$ luôn có nghiệm.
Ví dụ 5. Chứng minh rằng phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ luôn có nghiệm $x \in \left[ {0;\frac{1}{3}} \right]$ với $a \ne 0$ và $2a + 6b + 19c = 0$.
Lời giải
Đặt $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c \Rightarrow f\left( x \right)$ liên tục trên R
$\left. + \right)$ Nếu $c = 0$ thì $f\left( x \right) = 0$ có 2 nghiệm là $\left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = \frac{1}{3} \hfill \\
\end{gathered} \right.$
$\left. + \right)$ Nếu $c \ne 0$, ta có $f\left( 0 \right) = c; f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{a}{9} + \frac{b}{3} + c$$ = \frac{1}{{18}}\left( {2a + 6b + 18c} \right) = – \frac{c}{{18}}$
$ \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( {\frac{1}{3}} \right) = – \frac{{{c^2}}}{{18}} < 0$. Do đó $f\left( x \right) = 0$ có nghiệm trong $\left( {0;\frac{1}{3}} \right)$
