40 câu trắc nghiệm phương trình lôgarit theo dạng giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CƠ BẢN
Phương pháp
1. Dạng cơ bản: Với a $ > 0,a \ne 1$: ${\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}$
2. Đưa về cùng cơ số: Với a $ > 0,a \ne 1$ : $lo{g_a}f\left( x \right) = lo{g_a}g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f\left( x \right) = g\left( x \right)} \\
{f\left( x \right) > 0} \\
{g\left( x \right) > 0}
\end{array}} \right.$
3. Mũ hóa: Với $a > 0,a \ne 1:lo{g_a}f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f\left( x \right) = {a^{g\left( x \right)}}} \\
{f\left( x \right) > 0}
\end{array}} \right.$
Câu 1. Nghiệm của phương trình $lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {2x – 1} \right) = 0$ là
A. $x = 1$.
B. $x = \frac{3}{4}$.
C. $x = \frac{2}{3}$.
D. $x = \frac{1}{2}$.
Lời giải
Chọn A.
$lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {2x – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x – 1 = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^0}$
$ \Leftrightarrow 2x – 1 = 1 \Leftrightarrow x = 1$.
Vậy nghiệm phương trình đã cho là $x = 1$.
Câu 2. Nghiệm của phương trình $lo{g_2}\left( {x + 4} \right) = 3$ là
A. $x = 5$.
B. $x = 4$.
C. $x = 2$.
D. $x = 12$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có $lo{g_2}\left( {x + 4} \right) = 3 \Leftrightarrow x + 4 = {2^3} \Leftrightarrow x = 4\left( {t/m} \right)$.
Câu 3. Nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {5x} \right) = 2$ là
A. $x = \frac{8}{5}$.
B. $x = 9$.
C. $x = \frac{9}{5}$.
D. $x = 8$.
Lời giải
Chọn C.
TXĐ: $D = \left( {0; + \infty } \right)$.
Ta có: $lo{g_3}\left( {5x} \right) = 2 \Leftrightarrow 5x = {3^2} \Leftrightarrow x = \frac{9}{5}$.
Câu 4. Tập nghiệm của phương trình $lo{g_2}\left( {{x^2} – 1} \right) = 3$ là
A. $\left\{ { – \sqrt {10} ;\sqrt {10} } \right\}$
B. $\left\{ { – 3;3} \right\}$
C. $\left\{ { – 3} \right\}$
D. $\left\{ 3 \right\}$
Lời giải
Chọn B.
$lo{g_2}\left( {{x^2} – 1} \right) = 3 \Leftrightarrow {x^2} – 1 = 8 \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3$.
Câu 5. Tập nghiệm của phương trình $lo{g_2}\left( {{x^2} – x + 2} \right) = 1$ là :
A. $\left\{ 0 \right\}$
B. $\left\{ {0;1} \right\}$
C. $\left\{ { – 1;0} \right\}$
D. $\left\{ 1 \right\}$
Lời giải
Chọn B.
$lo{g_2}\left( {{x^2} – x + 2} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} – x + 2 = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{x = 1}
\end{array}} \right.$
Câu 6. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình $lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – 5x + 7} \right) = 0$ bằng
A. 6
B. 5
C. 13
D. 7
Lời giải
Chọn C.
$lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – 5x + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 5x + 7 = 1 $
$\Leftrightarrow {x^2} – 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 2 \vee {x_2} = 3 \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 = 13$
Câu 7. Nghiệm nhỏ nhất của phương trình $lo{g_5}\left( {{x^2} – 3x + 5} \right) = 1$ là
A. -3 .
B. $a$.
C. 3 .
D. 0 .
Lời giải
Chọn D.
$lo{g_5}\left( {{x^2} – 3x + 5} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 5 = 5 \Leftrightarrow {x^2} – 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3} \\
{x = 0}
\end{array}} \right.$.
Vậy nghiệm nhỏ nhất của phương trình $lo{g_5}\left( {{x^2} – 3x + 5} \right) = 1$ là 0 .
Câu 8. Số nghiệm dương của phương trình $ln\left| {{x^2} – 5} \right| = 0$ là
A. 2 .
B. 4 .
C. 0 .
D. 1 .
Lời giải
Chọn A.
Có $ln\left| {{x^2} – 5} \right| = 0 \Leftrightarrow \left| {{x^2} – 5} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – 5 = 1} \\
{{x^2} – 5 = – 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \sqrt 6 } \\
{x = – \sqrt 6 } \\
{x = 2} \\
{x = – 2}
\end{array}} \right.} \right.$.
Vậy phương trình có 2 nghiệm dương là $x = \sqrt 6 ,x = 2$.
DẠNG 2: BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CƠ BẢN
Câu 9. Nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {x + 1} \right) + 1 = lo{g_3}\left( {4x + 1} \right)$
A. $x = 4$.
B. $x = 2$.
C. $x = 3$.
D. $x = – 3$.
Lời giải
Chọn B.
Điều kiện: $x > – \frac{1}{4}$. Ta có:
$lo{g_3}\left( {x + 1} \right) + 1 = lo{g_3}\left( {4x + 1} \right)$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{4x + 1 > 0} \\
{3\left( {x + 1} \right) = 4x + 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x > \frac{{ – 1}}{4}} \\
{x = 2}
\end{array} \Leftrightarrow x = 2.} \right.} \right.$
Vậy: Nghiệm của phương trình là $x = 2$.
Câu 10. Số nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {6 + x} \right) + lo{g_3}9x – 5 = 0$.
A. 0
B. 2
C. 1
D. 3
Lời giải
Chọn C.
+ Điều kiện $x > 0$
+ Phương trình $ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {6 + x} \right) + lo{g_3}x = 3 \Leftrightarrow lo{g_3}x\left( {6 + x} \right) = 3 \Leftrightarrow {x^2} + 6x – 27 = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3} \\
{x = – 9\left( L \right)}
\end{array} \Leftrightarrow x = 3} \right.$.
Suy ra phương trình có 1 nghiệm.
Vậy số nghiệm của phương trình là 1.
Câu 11. Tìm số nghiệm của phương trình $lo{g_2}x + lo{g_2}\left( {x – 1} \right) = 2$
A. 0 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn B.
Điều kiện: $x > 1$
Ta có: $lo{g_2}x + lo{g_2}\left( {x – 1} \right) = 2$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left[ {x\left( {x – 1} \right)} \right] = 2 \Leftrightarrow x\left( {x – 1} \right) = 4 \Leftrightarrow {x^2} – x – 4 = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{1 – \sqrt {17} }}{2}} \\
{x = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}}
\end{array}} \right.$ Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là $x = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}$.
Câu 12. Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình $lo{g_{\sqrt 2 }}\left( {x – 1} \right) + lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) = 1$.
A. $S = \left\{ 3 \right\}$
B. $S = \left\{ {2 – \sqrt 5 ;2 + \sqrt 5 } \right\}$
C. $S = \left\{ {2 + \sqrt 5 } \right\}$
D. $S = \left\{ {\frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}} \right\}$
Lời giải
Chọn C.
Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – 1 > 0} \\
{x + 1 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow x > 1\,\left( * \right)} \right.$.
Phương trình $ \Leftrightarrow 2lo{g_2}\left( {x – 1} \right) – lo{g_2}\left( {x + 1} \right) = 1$
$ \Leftrightarrow 2lo{g_2}\left( {x – 1} \right) = lo{g_2}\left( {x + 1} \right) + lo{g_2}2$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}{(x – 1)^2} = lo{g_2}\left[ {2\left( {x + 1} \right)} \right]$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 = 2x + 2$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 4x – 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – \sqrt 5 \left( L \right)} \\
{x = 2 + \sqrt 5 }
\end{array}} \right.$.
Vậy tập nghiệm phương trình $S = \left\{ {2 + \sqrt 5 } \right\}$
Câu 13. Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình $lo{g_3}\left( {2x + 1} \right) – lo{g_3}\left( {x – 1} \right) = 1$.
A. $S = \left\{ 3 \right\}$
B. $S = \left\{ 4 \right\}$
C. $S = \left\{ 1 \right\}$
D. $S = \left\{ { – 2} \right\}$
Lời giải
Chọn B.
Điều kiện:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + 1 > 0} \\
{x – 1 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > \frac{{ – 1}}{2}} \\
{x > 1}
\end{array} \Leftrightarrow x > 1} \right.} \right.$.
Ta có $lo{g_3}\left( {2x + 1} \right) – lo{g_3}\left( {x – 1} \right) = 1 \Leftrightarrow lo{g_3}\frac{{2x + 1}}{{x – 1}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{2x + 1}}{{x – 1}} = 3 \Leftrightarrow x = 4$ (thỏa)
Câu 14. Tổng các nghiệm của phương trình $lo{g_4}{x^2} – lo{g_2}3 = 1$ là
A. 6
B. 5
C. 4
D. 0
Lời giải
Chọn D.
Điều kiện $x \ne 0$.
Ta có
$lo{g_4}{x^2} – lo{g_2}3 = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}lo{g_2}{x^2} = 1 + lo{g_2}3$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}{x^2} = 2 \cdot lo{g_2}6 \Leftrightarrow {x^2} = {6^2}$
Do đó, tổng các nghiệm sẽ bằng 0
Câu 15. Cho phương trình $lo{g_2}{(2x – 1)^2} = 2lo{g_2}\left( {x – 2} \right)$. Số nghiệm thực của phương trình là:
A. 1 .
B. 0 .
C. 3 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn B.
Điều kiện: $x > 2$.
Phương trình đã cho tương đương với: $2lo{g_2}\left( {2x – 1} \right) = 2lo{g_2}\left( {x – 2} \right)$
$ \Leftrightarrow 2x – 1 = x – 2 \Leftrightarrow x = – 1$
Nghiệm này không thỏa mãn điều kiện của phương trình nên phương trình đã cho vô nghiệm.
Câu 16. Số nghiệm của phương trình $ln\left( {x + 1} \right) + ln\left( {x + 3} \right) = ln\left( {x + 7} \right)$ là
A. 1 .
B. 0 .
C. 2 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn A.
Điều kiện: $x > – 1$
$PT \Leftrightarrow ln\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)} \right] = ln\left( {x + 7} \right)$
$ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right) = x + 7$
$ \Leftrightarrow {x^2} + 3x – 4 = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1} \\
{x = – 4}
\end{array}} \right.$
Câu 17. Biết phương trình $lo{g_2}\left( {{x^2} – 5x + 1} \right) = lo{g_4}9$ có hai nghiệm thực ${x_1},{x_2}$. Tích ${x_1} \cdot {x_2}$ bằng:
A. -8 .
B. -2 .
C. 1 .
D. 5 .
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $lo{g_2}\left( {{x^2} – 5x + 1} \right) = lo{g_4}9 \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {{x^2} – 5x + 1} \right) = lo{g_2}3$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 5x + 1 = 3 > 0\left( {\forall x \in \mathbb{R}} \right)$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 5x – 2 = 0\left( * \right)$
Phương trình $\left( * \right)$ có $a.c = – 2 < 0$ nên luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy ${x_1} \cdot {x_2} = – 2$.
Câu 18. Tổng các nghiệm của phương trình $lo{g_2}\left( {x – 1} \right) + lo{g_2}\left( {x – 2} \right) = lo{g_5}125$ là
A. $\frac{{3 + \sqrt {33} }}{2}$.
B. $\frac{{3 – \sqrt {33} }}{2}$.
C. 3 .
D. $\sqrt {33} $.
Lời giải
Chọn A.
Điều kiện: $x > 2$
$lo{g_2}\left( {x – 1} \right) + lo{g_2}\left( {x – 2} \right) = lo{g_5}125 \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {{x^2} – 3x + 2} \right) = 3$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 3x – 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{3 + \sqrt {33} }}{2}} \\
{x = \frac{{3 – \sqrt {33} }}{2}}
\end{array}} \right.$
Đối chiếu điều kiện ta thấy nghiệm $x = \frac{{3 + \sqrt {33} }}{2}$ thỏa mãn.
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là $\frac{{3 + \sqrt {33} }}{2}$.
Câu 19. Số nghiệm của phương trình $lo{g_3}x + lo{g_3}\left( {x – 6} \right) = lo{g_3}7$ là
A. 0
B. 2
C. 1
D. 3
Lời giải
Chọn C.
Đk: $x > 6$
Ta có: $lo{g_3}x + lo{g_3}\left( {x – 6} \right) = lo{g_3}7 \Leftrightarrow lo{g_3}\left[ {x\left( {x – 6} \right)} \right] = lo{g_3}7 $
$\Leftrightarrow {x^2} – 6x – 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1} \\
{x = 7}
\end{array}} \right.$
So với điều kiên vậy phương trình có một nghiệm $x = 7$
Câu 20. Số nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {{x^2} + 4x} \right) + lo{g_{\frac{1}{3}}}\left( {2x + 3} \right) = 0$ là
A. 2 .
B. 3 .
C. 0 .
D. 1 .
Lời giải
Chọn D.
Viết lại phương trình ta được
Câu 21. Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình $lo{g_3}x \cdot lo{g_9}x \cdot lo{g_{27}}x \cdot lo{g_{81}}x = \frac{2}{3}$ bằng
A. 0 .
B. $\frac{{80}}{9}$.
C. 9 .
D. $\frac{{82}}{9}$.
Lời giải
Chọn D.
Điều kiện $x > 0$.
Phương trình đã cho tương đương với
$lo{g_3}x \cdot \frac{1}{2} \cdot lo{g_3}x \cdot \frac{1}{3}lo{g_3}x \cdot \frac{1}{4}lo{g_3}x = \frac{2}{3} \Leftrightarrow {\left( {lo{g_3}x} \right)^4} = 16 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{lo{g_3}x = 2} \\
{lo{g_3}x = – 2}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 9} \\
{x = \frac{1}{9}}
\end{array}} \right.} \right.$
Câu 22. Nghiệm của phương trình $lo{g_2}x + lo{g_4}x = lo{g_{\frac{1}{2}}}\sqrt 3 $ là
A. $x = \frac{1}{{\sqrt[3]{3}}}$.
B. $x = \sqrt[3]{3}$.
C. $x = \frac{1}{3}$.
D. $x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.
Lời giải
Chọn A.
Điều kiện: $x > 0$
Ta có: $lo{g_2}x + lo{g_4}x = lo{g_{\frac{1}{2}}}\sqrt 3 \Leftrightarrow lo{g_2}x + \frac{1}{2}lo{g_2}x = – \frac{1}{2}lo{g_2}3$
$ \Leftrightarrow 2lo{g_2}x + lo{g_2}x + lo{g_2}3 = 0 \Leftrightarrow 3lo{g_2}x + lo{g_2}3 = 0$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}{x^3} + lo{g_2}3 = 0 \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {3{x^3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^3} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[3]{3}}}$.
So với điều kiện, nghiệm phương trình là $x = \frac{1}{{\sqrt[3]{3}}}$.
Câu 23. Gọi $S$ là tập nghiệm của phương trình $lo{g_{\sqrt 2 }}\left( {x + 1} \right) = lo{g_2}\left( {{x^2} + 2} \right) – 1$. Số phần tử của tập $S$ là
A. 2
B. 3
C. 1
D. 0
Lời giải
Chọn C.
ĐK: $x > – 1$
$lo{g_{\sqrt 2 }}\left( {x + 1} \right) = lo{g_2}\left( {{x^2} + 2} \right) – 1 \Rightarrow {(x + 1)^2} = \frac{{{x^2} + 2}}{2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0\left( {TM} \right)} \\
{x = – 4\left( L \right)}
\end{array}} \right.$
Vậy tập nghiệm có một phần tử
Câu 24. Số nghiệm thục của phương trình $3lo{g_3}\left( {x – 1} \right) – lo{g_{\frac{1}{3}}}{(x – 5)^3} = 3$ là
A. 3
B. 1
C. 2
D. 0
Lời giải
Chọn B.
Điều kiện: $x > 5$
$3lo{g_3}\left( {x – 1} \right) – lo{g_{\frac{1}{3}}}{(x – 5)^3} = 3 \Leftrightarrow 3lo{g_3}\left( {x – 1} \right) + 3lo{g_3}\left( {x – 5} \right) = 3 $
$\Leftrightarrow lo{g_3}\left( {x – 1} \right) + lo{g_3}\left( {x – 5} \right) = 1$
$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left[ {\left( {x – 1} \right)\left( {x – 5} \right)} \right] = 1 \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {x – 5} \right) = 3$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt 7 $
Đối chiếu điều kiện suy ra phương trình có 1 nghiệm $x = 3 + \sqrt 7 $
Câu 25. Tổng các nghiệm của phương trình $lo{g_{\sqrt 3 }}\left( {x – 2} \right) + lo{g_3}{(x – 4)^2} = 0$ là $S = a + b\sqrt 2 $ (với $a,b$ là các số nguyên). Giá trị của biểu thức $Q = a \cdot b$ bằng
A. 0 .
B. 3 .
C. 9 .
D. 6 .
Lời giải
Chọn D.
Điều kiện: $2 < x \ne 4$.
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương
$2{\text{lo}}{{\text{g}}_3}\left( {x – 2} \right) + 2{\text{lo}}{{\text{g}}_3}\left| {x – 4} \right| = 0 \Leftrightarrow {\text{lo}}{{\text{g}}_3}\left( {x – 2} \right)\left| {x – 4} \right| = 0 \Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left| {x – 4} \right| = 1$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 4} \right) = 1} \\
{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 4} \right) = – 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} – 6x + 7 = 0} \\
{{x^2} – 6x + 9 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 3 \pm \sqrt 2 } \\
{x = 3}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$
So sánh điều kiện, ta nhận hai nghiệm ${x_1} = 3 + \sqrt 2 ;{x_2} = 3$
Ta được: $S = {x_1} + {x_2} = 6 + \sqrt 2 \Rightarrow a = 6;b = 1$.
Vậy $Q = a \cdot b = 6$.
Câu 26. Nghiệm của phương trình $lo{g_2}x + lo{g_4}x = lo{g_{\frac{1}{2}}}\sqrt 3 $ là
A. $x = \frac{1}{{\sqrt[3]{3}}}$.
B. $x = \sqrt[3]{3}$.
C. $x = \frac{1}{3}$.
D. $x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.
Lời giải
Chọn A.
Điều kiện: $x > 0$
Ta có: $lo{g_2}x + lo{g_4}x = lo{g_{\frac{1}{2}}}\sqrt 3 \Leftrightarrow lo{g_2}x + \frac{1}{2}lo{g_2}x = – \frac{1}{2}lo{g_2}3$
$ \Leftrightarrow 2lo{g_2}x + lo{g_2}x + lo{g_2}3 = 0 \Leftrightarrow 3lo{g_2}x + lo{g_2}3 = 0$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}{x^3} + lo{g_2}3 = 0 \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {3{x^3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^3} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[3]{3}}}$.
So với điều kiện, nghiệm phương trình là $x = \frac{1}{{\sqrt[3]{3}}}$.
Câu 27. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình $\frac{1}{2}log\left( {{x^2} – 4x – 1} \right) = log8x – log4x$ bằng
A. 4 .
B. 3 .
C. 5 .
D. 1 .
Lời giải
Chọn C.
Phương trình $\frac{1}{2}log\left( {{x^2} – 4x – 1} \right) = log8x – log4x$ điều kiện $x > 2 + \sqrt 5 $
$ \Rightarrow log\left( {{x^2} – 4x – 1} \right) = 2log\left( {\frac{{8x}}{{4x}}} \right)$
$ \Leftrightarrow log\left( {{x^2} – 4x – 1} \right) = log\left( {{2^2}} \right)$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 4x – 1 = 4$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1} \\
{x = 5}
\end{array}} \right.$. Nghiệm $x = – 1$ loại, $x = 5$ thỏa mãn.
Suy ra tổng các nghiệm là 5 .
Câu 28. Gọi $S$ là tập nghiệm của phương trình $2lo{g_2}\left( {2x – 2} \right) + lo{g_2}{(x – 3)^2} = 2$ trên $\mathbb{R}$. Tổng các phần tử của $S$ bằng
A. $6 + \sqrt 2 $.
B. $8 + \sqrt 2 $.
C. 8 .
D. $4 + \sqrt 2 $.
Lời giải
Chọn D.
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 1} \\
{x \ne 3}
\end{array}} \right.$.
$2lo{g_2}\left( {2x – 2} \right) + lo{g_2}{(x – 3)^2} = 2 \Leftrightarrow lo{g_2}{(2x – 2)^2} + lo{g_2}{(x – 3)^2} = 2$.
$ \Leftrightarrow lo{g_2}{[\left( {2x – 2} \right)\left( {x – 3} \right)]^2} = 2 \Leftrightarrow {\left( {2{x^2} – 8x + 6} \right)^2} = {2^2}$.
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2{x^2} – 8x + 6 = 2} \\
{2{x^2} – 8x + 6 = – 2}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – 4x + 2 = 0\left( 1 \right)} \\
{{x^2} – 4x + 4 = 0\left( 2 \right)}
\end{array}} \right.} \right.$.
$ + )\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + \sqrt 2 } \\
{x = 2 – \sqrt 2 \left( l \right)}
\end{array}} \right.$.
+) $\left( 2 \right) \Leftrightarrow x = 2$.
$ \Rightarrow S = \left\{ {2;2 + \sqrt 2 } \right\}$.
Vậy tổng các nghiệm của $S$ là: $2 + 2 + \sqrt 2 = 4 + \sqrt 2 $.
Câu 29. Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình $lo{g_{\sqrt 3 }}\left( {x – 2} \right) + lo{g_3}{(x – 4)^2} = 0$.
A. $6 + \sqrt 2 $.
B. 6 .
C. $3 + \sqrt 2 $.
D. 9 .
Lời giải
Chọn A.
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 2} \\
{x \ne 4}
\end{array}} \right.$.
Ta có: $lo{g_{\sqrt 3 }}\left( {x – 2} \right) + lo{g_3}{(x – 4)^2} = 0 \Rightarrow {[\left( {x – 2} \right)\left( {x – 4} \right)]^2} = 1$.
Vậy tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình $lo{g_{\sqrt 3 }}\left( {x – 2} \right) + lo{g_3}{(x – 4)^2} = 0$ bằng $6 + \sqrt 2 $.
Câu 30. Gọi $S$ là tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\frac{1}{2}log{x^2} + log\left( {x + 10} \right) = 2 – log4$. Tính $S$ ?
A. $S = – 10$.
B. $S = – 15$.
C. $S = – 10 + 5\sqrt 2 $.
D. $S = 8 – 5\sqrt 2 $.
Lời giải
Chọn C.
Điều kiện phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne 0} \\
{x > – 10}
\end{array}} \right.$.
Phương trình: $\frac{1}{2}log{x^2} + log\left( {x + 10} \right) = 2 – log4 \Leftrightarrow log\left| x \right| + log\left( {x + 10} \right) + log4 = 2$
$ \Leftrightarrow log\left[ {4\left| x \right|\left( {x + 10} \right)} \right] = 2 \Leftrightarrow 4\left| x \right|\left( {x + 10} \right) = 100 \Leftrightarrow \left| x \right|\left( {x + 10} \right) = 25\left( * \right)$.
• Khi $ – 10 < x < 0$ :
Phương trình $\left( * \right) \Leftrightarrow – x\left( {x + 10} \right) = 25 \Leftrightarrow {x^2} + 10x + 25 = 0 \Leftrightarrow x = – 5\left( {t/m} \right)$.
• Khi $x > 0$ :
Phương trình $\left( * \right) \Leftrightarrow x\left( {x + 10} \right) = 25 \Leftrightarrow {x^2} + 10x – 25 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 5 + 5\sqrt 2 \left( {t/m} \right)} \\
{x = – 5 – 5\sqrt 2 \left( l \right)}
\end{array}} \right.$.
Vậy $S = – 5 + \left( { – 5 + 5\sqrt 2 } \right) = – 10 + 5\sqrt 2 $.
Câu 31. Biết rằng phương trình $2ln\left( {x + 2} \right) + ln4 = lnx + 4ln3$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)$.
Tính $P = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}$.
A. $\frac{1}{4}$.
B. 64 .
C. $\frac{1}{{64}}$.
D. 4 .
Lời giải
Chọn C.
Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 2 > 0} \\
{x > 0}
\end{array} \Leftrightarrow x > 0\left( * \right)} \right.$.
Phương trình $ \Leftrightarrow ln{(x + 2)^2} + ln4 = lnx + ln{3^4} \Leftrightarrow ln\left[ {4{{(x + 2)}^2}} \right] = ln\left( {x{{.3}^4}} \right)$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \cdot {3^4} > 0} \\
{4{{(x + 2)}^2} = 81x}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 16} \\
{x = \frac{1}{4}}
\end{array}} \right.} \right.$ thỏa mãn $\left( * \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} = \frac{1}{4}} \\
{{x_2} = 16}
\end{array} \Rightarrow P = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{1}{{64}}} \right.$.
Câu 32. Phương trình $lo{g_{49}}{x^2} + \frac{1}{2}lo{g_7}{(x – 1)^2} = lo{g_7}\left( {lo{g_{\sqrt 3 }}3} \right)$ có bao nhiêu nghiệm?
A. 2 .
B. 3 .
C. 1 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn A.
Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne 0} \\
{x \ne 1}
\end{array}} \right.$. $lo{g_{49}}{x^2} + \frac{1}{2}lo{g_7}{(x – 1)^2} = lo{g_7}\left( {lo{g_{\sqrt 3 }}3} \right) \Leftrightarrow lo{g_7}\left| x \right| + lo{g_7}\left| {x – 1} \right| = lo{g_7}2 \Leftrightarrow lo{g_7}\left| {x\left( {x – 1} \right)} \right| = lo{g_7}2$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x\left( {x – 1} \right) = 2} \\
{x\left( {x – 1} \right) = – 2}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – x – 2 = 0} \\
{{x^2} – x + 2 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2} \\
{x = – 1}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$
Câu 33. Số nghiệm của phương trình $lo{g_4}{\left( {\frac{x}{4}} \right)^2} – lo{g_2}{(4x)^4} + 10 = 0$ là:
A. 2 .
B. 3 .
C. 1 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn A.
$lo{g_4}{\left( {\frac{x}{4}} \right)^2} – lo{g_2}{(4x)^4} + 10 = 0$
Điều kiện: $x \ne 0$
(4)$ \Leftrightarrow lo{g_4}{x^2} – lo{g_4}{4^2} – lo{g_2}{4^4} – lo{g_2}{x^4} + 10 = 0$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left| x \right| – 2 – 8 – 4lo{g_2}\left| x \right| + 10 = 0$
$\Leftrightarrow lo{g_2}\left| x \right| = 0 \Leftrightarrow \left| x \right| = {2^0} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\,\,$ (thỏa ĐK).
Câu 34. Phương trình $lo{g_4}\left( {lo{g_2}x} \right) + lo{g_2}\left( {lo{g_4}x} \right) = 2$ có tổng các nghiệm là:
A. 16 .
B. 10 .
C. 4 .
D. 1 .
Lời giải
Chọn A.
$lo{g_4}\left( {lo{g_2}x} \right) + lo{g_2}\left( {lo{g_4}x} \right) = 2$
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 0} \\
{lo{g_2}x > 0} \\
{lo{g_4}x > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 0} \\
{x > {2^0}} \\
{x > {4^0}}
\end{array} \Leftrightarrow x > 1} \right.} \right.$
(8)$ \Leftrightarrow lo{g_{{2^2}}}\left( {lo{g_2}x} \right) + lo{g_2}\left( {lo{g_{{2^2}}}x} \right) = 2 \Leftrightarrow \frac{1}{2}lo{g_2}\left( {lo{g_2}x} \right) + lo{g_2}\left( {\frac{1}{2}lo{g_2}x} \right) = 2$
$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}lo{g_2}\left( {lo{g_2}x} \right) + lo{g_2}\left( {lo{g_2}x} \right) + lo{g_2}\frac{1}{2} = 2 \Leftrightarrow \frac{3}{2}lo{g_2}\left( {lo{g_2}x} \right) = 3$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {lo{g_2}x} \right) = 2 \Leftrightarrow lo{g_2}x = 4 \Leftrightarrow x = 16$
Câu 35. Phương trình $lo{g_2}\frac{{x – 5}}{{x + 5}} + lo{g_2}\left( {{x^2} – 25} \right) = 0$ có tổng các nghiệm là:
A. 6 .
B. 10 .
C. 4 .
D. 1 .
Lời giải
Chọn A.
$lo{g_2}\frac{{x – 5}}{{x + 5}} + lo{g_2}\left( {{x^2} – 25} \right) = 0$ Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{x – 5}}{{x + 5}} > 0} \\
{{x^2} – 25 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < – 5} \\
{x > 5}
\end{array}} \right.} \right.$
$\left( 7 \right) \Leftrightarrow lo{g_2}\frac{{\left( {x – 5} \right)\left( {{x^2} – 25} \right)}}{{x + 5}} = 0 \Leftrightarrow lo{g_2}{(x – 5)^2} = 0 \Leftrightarrow \left| {x – 5} \right| = 1$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 6\left( N \right)} \\
{x = 4\left( L \right)}
\end{array} \Leftrightarrow x = 6} \right.$
Câu 36. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $lo{g_3}\sqrt {{x^2} – 5x + 6} + lo{g_{\frac{1}{3}}}\sqrt {x – 2} = \frac{1}{2}lo{g_{\frac{1}{{81}}}}{(x + 3)^4}$ bằng
A. $\sqrt {10} $.
B. $3\sqrt {10} $.
C. 0 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn A.
Điều kiện: $x > 3$.
$lo{g_3}\sqrt {{x^2} – 5x + 6} + lo{g_{\frac{1}{3}}}\sqrt {x – 2} = \frac{1}{2}lo{g_{\frac{1}{{81}}}}{(x + 3)^4}$
$\; \Leftrightarrow \frac{1}{2}lo{g_3}\left( {{x^2} – 5x + 6} \right) – \frac{1}{2}lo{g_3}\left( {x – 2} \right) = – \frac{1}{2}lo{g_3}\left( {x + 3} \right)$
$\; \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {{x^2} – 5x + 6} \right) – lo{g_3}\left( {x – 2} \right) + lo{g_3}\left( {x + 3} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {{x^2} – 9} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 9 = 1 \Leftrightarrow x = \sqrt {10} \,\,$(Do điều kiện)
Câu 37. Cho phương trình $lo{g_4}{(x + 1)^2} + 2 = lo{g_{\sqrt 2 }}\sqrt {4 – x} + lo{g_8}{(4 + x)^3}$. Tổng các nghiệm của phương trình trên là
A. $4 + 2\sqrt 6 $.
B. -4 .
C. $4 – 2\sqrt 6 $.
D. $2 – 2\sqrt 3 $.
Lời giải
Chọn C.
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{(x + 1)}^2} > 0} \\
{4 – x > 0} \\
{4 + x > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne – 1} \\
{ – 4 < x < 4}
\end{array}} \right.} \right.$.
$lo{g_4}{(x + 1)^2} + 2 = lo{g_{\sqrt 2 }}\sqrt {4 – x} + lo{g_8}{(4 + x)^3}$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left| {x + 1} \right| + lo{g_2}4 = lo{g_2}\left( {4 – x} \right) + lo{g_2}\left( {4 + x} \right)$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}4\left| {x + 1} \right| = lo{g_2}\left( {16 – {x^2}} \right) \Leftrightarrow 4\left| {x + 1} \right| = 16 – {x^2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{4\left( {x + 1} \right) = 16 – {x^2}} \\
{4\left( {x + 1} \right) = – \left( {16 – {x^2}} \right)}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} + 4x – 12 = 0} \\
{{x^2} – 4x – 20 = 0}
\end{array}} \right.} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2} \\
{x = – 6} \\
{x = 2 + 2\sqrt 6 } \\
{x = 2 – 2\sqrt 6 }
\end{array}} \right.$. So với điều kiện phương trình trình có 2 nghiệp $x = 2;x = 2 – 2\sqrt 6 $. Vậy tổng các nghiệm là $4 – 2\sqrt 2 $.
Câu 38. Cho phương trình $lo{g_2}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right) \cdot lo{g_3}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right) = lo{g_6}\left| {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right|$. Biết phương trình có một nghiệm là 1 và một nghiệm còn lại có dạng $x = \frac{1}{2}\left( {{a^{lo{g_b}c}} + {a^{ – lo{g_b}c}}} \right)$ (với $a,c$ là các số nguyên tố và $a > c)$. Khi đó giá trị của ${a^2} – 2b + 3c$ bằng:
A. 0 .
B. 3 .
C. 6 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn B.
Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 1 \leqslant x \leqslant 1} \\
{x – \sqrt {{x^2} – 1} > 0}
\end{array}} \right.$
$lo{g_2}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right) \cdot lo{g_3}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right) = lo{g_6}\left| {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right|$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right) \cdot lo{g_3}\frac{1}{{\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right)}} = lo{g_6}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right)$
$ \Leftrightarrow – lo{g_2}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right) \cdot lo{g_3}6 \cdot lo{g_6}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right) = lo{g_6}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right)$
$ \Leftrightarrow lo{g_6}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right)\left[ {lo{g_3}6 \cdot lo{g_2}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right) + 1} \right] = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{lo{g_6}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right) = 0} \\
{lo{g_3}6 \cdot lo{g_2}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right) + 1 = 0}
\end{array}} \right.$
(1) $ \Leftrightarrow x – \sqrt {{x^2} – 1} = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} – 1} = x – 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \geqslant 1} \\
{{x^2} – 1 = {{(x – 1)}^2}}
\end{array} \Leftrightarrow x = 1} \right.$.
$\left( 2 \right) \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right) \cdot lo{g_3}6 = – 1 \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right) = lo{g_6}3$
$ \Leftrightarrow x – \sqrt {{x^2} – 1} = {2^{lo{g_6}3}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \leqslant {2^{lo{g_6}3}}} \\
{{x^2} – 1 = {{\left( {{2^{lo{g_6}3}} – x} \right)}^2}}
\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\left( {{2^{lo{g_6}3}} + {2^{ – lo{g_6}3}}} \right)} \right.$ (thỏa mãn $\left. {\left( * \right)} \right)$
Như vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x = 1,x = \frac{1}{2}\left( {{3^{lo{g_6}2}} + {3^{ – lo{g_6}2}}} \right)$.
Khi đó $a = 3,b = 6,c = 2$.
Vậy ${a^2} – 2b + 3c = 3$.
Câu 39. Phương trình ${5^{ – 2lo{g_{0,04}}\left( {3 – 4{x^2}} \right)}} + \frac{3}{2}lo{g_{\frac{1}{8}}}{4^x} = 0$ có nghiệm thuộc khoảng nào sau đây?
A. $\left( { – 8; – 4} \right)$.
B. $\left( { – 4;0} \right)$.
C. $\left( {0;4} \right)$.
D. $\left( {4;10} \right)$.
Lời giải
Chọn C. ${5^{ – 2lo{g_{0,04}}\left( {3 – 4{x^2}} \right)}} + \frac{3}{2}lo{g_{\frac{1}{8}}}{4^x} = 0\left( 1 \right)$
Điều kiện: $3 – 4{x^2} > 0 \Leftrightarrow {x^2} < \frac{3}{4} \Leftrightarrow – \frac{{\sqrt 3 }}{2} < x < \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {5^{ – 2lo{g_{{5^{ – 2}}}}\left( {3 – 4{x^2}} \right)}} + \frac{3}{2}lo{g_{{2^{ – 3}}}}{4^x} = 0 \Leftrightarrow {5^{lo{g_5}\left( {3 – 4{x^2}} \right)}} – \frac{1}{2}lo{g_2}{2^{2x}} = 0.$
$ \Leftrightarrow {\left( {3 – 4{x^2}} \right)^{lo{g_5}5}} – \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot lo{g_2}2 = 0 \Leftrightarrow 3 – 4{x^2} – x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1\left( L \right)} \\
{x = \frac{3}{4}\left( N \right)}
\end{array}} \right.$
Câu 40. Phương trình ${8^{lo{g_2}\left( {{x^2} – 8} \right)}} = {(x – 2)^3}$ có nghiệm thuộc khoảng nào sau đây?
A. $\left( { – 8; – 4} \right)$.
B. $\left( { – 4;0} \right)$.
C. $\left( {0;4} \right)$.
D. $\left( {4;10} \right)$.
Lời giải
Chọn C.
${8^{lo{g_2}\left( {{x^2} – 8} \right)}} = {(x – 2)^3}$
Điều kiện: ${x^2} – 8 > 0 \Rightarrow \left| x \right| > 2\sqrt 2 $
(5)$ \Leftrightarrow {2^{3{\text{lo}}{{\text{g}}_2}\left( {{x^2} – 8} \right)}} = {(x – 2)^3} \Leftrightarrow {\left[ {{2^{{\text{lo}}{{\text{g}}_2}\left( {{x^2} – 8} \right)}}} \right]^3} = {(x – 2)^3} \Leftrightarrow {2^{{\text{lo}}{{\text{g}}_2}\left( {{x^2} – 8} \right)}} = x – 2$
$ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} – 8} \right)^{{\text{lo}}{{\text{g}}_2}2}} = x – 2 \Leftrightarrow {x^2} – 8 = x – 2 \Leftrightarrow {x^2} – x – 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = – 2} \\
{x = 3}
\end{array}.} \right.$
So với điều kiện, nghiệm của phương trình là: $x = 3$.
